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第五单元 第17课时 二次函数的图象和性质（含答案）
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这是一份第五单元 第17课时 二次函数的图象和性质（含答案），共60页。PPT课件主要包含了小题热身，考点管理，y＝ax2＋bx＋c，二次函数的性质，对称轴，b2－4ac0，方程有两个不相等实，b2－4ac＝0，方程有两个相等实数，方程没有实数根等内容，欢迎下载使用。
1．抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是 ( )A．(3，4) B．(－3，4)C．(3，－4) D．(2，4)2．二次函数y＝x2－2x＋4化为y＝a(x－m)2＋k的形式，下列正确的是 ( )A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x－1)2＋3C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2＋4
3．对于二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是 ( )A．对称轴是直线x＝1，最小值是2B．对称轴是直线x＝1，最大值是2C．对称轴是直线x＝－1，最小值是2D．对称轴是直线x＝－1，最大值是2
4．抛物线y＝2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为 ( )A．y＝2(x－3)2－5B．y＝2(x＋3)2＋5C．y＝2(x－3)2＋5D．y＝2(x＋3)2－55．当x＝______时，二次函数y＝x2－2x＋6有最小值______．【解析】 ∵y＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5，∴当x＝1时，二次函数y＝x2－2x＋6有最小值5.
一、必知5 知识点1．二次函数的概念定义：一般地，形如_________________(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．
【智慧锦囊】二次函数y＝ax2＋bx＋c的结构特征是：①等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次整式，x的最高次数是2；②二次项系数a≠0.
2．二次函数的图象用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的步骤：(1)用配方法化成_______________________的形式；(2)确定图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；(3)在对称轴两侧利用对称性描点画图．
y＝a(x－m)2＋k(a≠0)
【智慧锦囊】(1)|a|的大小决定抛物线的开口大小．|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大；(2)画抛物线y＝ax2＋bx＋c的草图，要确定五点：①开口方向；②对称轴；③顶点；④与y轴交点；⑤与x轴交点．
4. 二次函数与一元二次方程二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有着密切的关系，二次函数的图象与x轴的交点的横坐标对应一元二次方程的实数根，抛物线与x轴的交点情况可由对应的一元二次方程的根的判别式b2－4ac的符号判定．(1)有两个交点⇔______________⇔____________________ ______．(2)有一个交点⇔______________⇔_____________________ ____．(3)没有交点⇔______________⇔___________________．
5．二次函数图象的平移将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成______________ ________的形式，而任意抛物线______________________均可由y＝ax2平移得到，具体平移方法如下：
二、必会2 方法1．用待定系数法求二次函数的表达式用待定系数法可求二次函数的表达式，确定二次函数一般需要三个独立条件，根据不同条件选择不同的设法．(1)设一般式______________________：若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入，求出a，b，c的值；(2)设顶点式______________________：若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴或最大值(最小值)，设所求二次函数为__________________，将已知条件代入，求出待定系数，最后将表达式化为一般形式；
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
y＝a(x－m)2＋k
(3)设两根式________________________：若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为y＝a(x－x1)(x－x2)，将第三点(m，n)的坐标(其中m，n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将表达式化为一般形式．2．数形结合思想二次函数的图象与性质是数形结合最好的体现，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a，b，c及根的判别式b2－4ac的符号之间的关系如下表：
y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
特殊值：当x＝1时，y＝a＋b＋c；当x＝－1时，y＝a－b＋c.若a＋b＋c>0，即x＝1时，y>0.若a－b＋c>0，即x＝－1时，y>0.
二次函数的图象和性质(1)用配方法求抛物线的顶点坐标；(2)x取何值时，y随x的增大而减小；(3)若抛物线与x轴的两个交点分别为A，B，与y轴的交点为C，求S△ABC.
A．当x>0时，y随x的增大而增大B．当x＝2时，y有最大值－3C．图象的顶点坐标为(－2，－7)D．图象与x轴有两个交点2．已知抛物线y＝ax2(a＞0)过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是 ( )A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
3．已知二次函数y＝x2＋x的图象，如图17－1所示．(1)根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程x2＋x＝1的根在图上近似地表示出来(描点)，并观察图象，写出方程x2＋x＝1的根(精确到0.1)；
变式跟进3答图【点悟】 (1)从函数图象上可获知的二次函数特征有：①开口方向；②对称轴；③顶点坐标；④与y轴交点的坐标；⑤与x轴交点的坐标．(2)求二次函数的顶点坐标有两种方法：①配方法；②顶点公式法．
二次函数图象的平移 将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的是 ( )A．向左平移1个单位B．向右平移3个单位C．向上平移3个单位D．向下平移1个单位
1．将抛物线y＝2(x－4)2－1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的表达式为 ( )A．y＝2x2＋1 B.y＝2x2－3C.y＝2(x－8)2＋1 D.y＝2(x－8)2－3【解析】 抛物线y＝2(x－4)2－1先向左平移4个单位长度，得到的抛物线表达式为y＝2(x－4＋4)2－1，即y＝2x2－1，再向上平移2个单位长度得到的抛物线表达式为y＝2x2－1＋2，即y＝2x2＋1.
2．把抛物线y＝x2＋bx＋c向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得函数图象的表达式为y＝x2－2x－3，则b，c的值分别为 ( )A．b＝2，c＝2 B．b＝2，c＝0C．b＝－2，c＝－1 D．b＝－3，c＝2【解析】 把所得函数配方为y＝(x－1)2－4，逆向思考把y＝(x－1)2－4先向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到抛物线表达式为y＝(x－1＋2)2－4＋3＝(x＋1)2－1，化为一般式是y＝x2＋2x，故选B.
【点悟】 (1)二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的移动，因此先将二次函数表达式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后求出平移后的顶点坐标，从而求出平移后二次函数的表达式；(2)图象的平移规律：上加下减，左加右减．
二次函数的表达式的求法 在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0.(1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式；(2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．解： (1)函数y1的图象经过点(1，－2)，得(a＋1)(－a)＝－2，则a(a＋1)＝2，
故y1＝(x＋a)[x－(a＋1)]＝x2－x－a(a＋1)＝x2－x－2，即函数y1的表达式为y＝x2－x－2.(2)由题意知，函数y1的图象与x轴交于点(－a，0)和(a＋1，0)，当y2的图象过点(－a，0)时，得a2－b＝0；当y2的图象过点(a＋1，0)时，得a2＋a＋b＝0.
2．[2016·宁波]如图17－3，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)．(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；(2)P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，求点P的坐标．
解： (1)把点B的坐标(3，0)代入抛物线y＝－x2＋mx＋3，得0＝－32＋3m＋3，解得m＝2，∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点坐标为(1，4)；(2)如答图，连结BC交抛物线对称轴l于点P，连结AP，则此时PA＋PC的值最小，设直线BC的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，∵点B坐标为(3，0)，点C坐标为(0，3)，
【点悟】 (1)已知抛物线上三点求二次函数的表达式时，通常采用一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)已知抛物线顶点坐标(或对称轴或最大、最小值)求表达式时，一般采用顶点式y＝a(x－m)2＋k(a≠0)；(3)已知抛物线与x轴的交点坐标求二次函数的表达式时，一般采用两根式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
二次函数与方程、不等式的关系已知抛物线y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常数．(1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；①求该抛物线的函数表达式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
解： (1)证明：y＝(x－m)2－(x－m)＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m，∵b2－4ac＝(2m＋1)2－4(m2＋m)＝1＞0，∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
1．若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为 ( )A．x1＝－3，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝3C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－3，x2＝1【解析】 ∵二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，∴方程ax2－2ax＋c＝0一定有一个解为x＝－1，∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象与x轴的另一个交点为(3，0)，∴方程ax2－2ax＋c＝0的解为x1＝－1，x2＝3.
2．若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是 ( )A．b＜1且b≠0 B．b＞1C．0＜b＜1 D．b＜1
3．若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围是_________．【解析】 由抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，得Δ＝b2－4ac＜0，∴(－6)2－4m＜0，解得m＞9，∴m的取值范围是m＞9.
4．如图17－4，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是________________．【解析】 观察函数图象可知：当x＜－1或x＞4时，直线y＝mx＋n在抛物线y＝ax2＋bx＋c的上方，∴不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集为x＜－1或x＞4.
二次函数的图象特征与a，b，c之间的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图17－5所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a＋b＋2c＜0；④3a＋c＜0.其中正确的是 ( )A．①④ B．②④C．①②③ D．①②③④
1．如图17－6所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c>0；③2a－b＝0；④c－a＝3.其中正确的有 ( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个
A．1 B．2C．3 D．4
【点悟】 二次函数的图象特征主要从开口方向，与x轴有无交点，与y轴交点及对称轴的位置入手，确定a，b，c及b2－4ac的符号，有时也可把x的值代入求值或根据图象确定y的符号．
(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标；(2)在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D.①连结BD，求BD的最小值；②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．
例6答图① 例6答图②
②如答图②，设抛物线的对称轴交x轴于点F，交BC于点H.∵OD＝5，OF＝4.∴DF＝3，∴D(4，3)，DH＝HF－DF＝2.设CP＝a，则PD＝CP＝a，PH＝4－a，在Rt△PHD中，(4－a)2＋22＝a2，
如图17－8，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；(3)设P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形时点P的坐标．
(2)如答图，设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，∵MA＝MB，∴MA＋MC＝MB＋MC，∴使MA＋MC最小的点M应为直线BC与对称轴x＝－1的交点．把x＝－1代入直线y＝x＋3，得y＝2.∴M点坐标为(－1，2)；
(3)设P(－1，t)，由B(－3，0)，C(0，3)，得BC2＝18，PB2＝[－1－(－3)]2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.①若B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；②若C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；③若P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18，
必明3 易错点1．二次函数y＝a(x－m)2＋k的图象平移一般按照“横坐标加减左右移”、“纵坐标加减上下移”即“左加右减，上加下减”进行，注意避免出现移动方向弄反．2．求二次函数与x轴交点坐标的方法是令y＝0，解关于x的方程；求函数与y轴交点的方法是令x＝0，求y值，容易出现求与x轴交点坐标时令x＝0，求与y轴交点坐标时令y＝0的错误．
3．根据a，b，c确定函数的大致图象易错点：(1)c的大小决定抛物线与y轴的交点位置，c＝0时，抛物线过原点，c>0时，抛物线与y轴交于正半轴，c<0时，抛物线与y轴交于负半轴；(2)ab的符号决定抛物线的对称轴的位置．当b＝0时，对称轴为y轴，当ab>0时，对称轴在y轴左侧，当ab<0时，对称轴在y轴的右侧．
二次函数图象平移方向弄反[临沂中考]要将抛物线y＝x2＋2x＋3平移后得到抛物线y＝x2，下列平移方法正确的是 ( )A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位【错解】A或B或C
1．抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是 ( )A．(3，4) B．(－3，4)C．(3，－4) D．(2，4)2．二次函数y＝x2－2x＋4化为y＝a(x－m)2＋k的形式，下列正确的是 ( )A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x－1)2＋3C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2＋4
3．对于二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是 ( )A．对称轴是直线x＝1，最小值是2B．对称轴是直线x＝1，最大值是2C．对称轴是直线x＝－1，最小值是2D．对称轴是直线x＝－1，最大值是2
4．抛物线y＝2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为 ( )A．y＝2(x－3)2－5B．y＝2(x＋3)2＋5C．y＝2(x－3)2＋5D．y＝2(x＋3)2－55．当x＝______时，二次函数y＝x2－2x＋6有最小值______．【解析】 ∵y＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5，∴当x＝1时，二次函数y＝x2－2x＋6有最小值5.
一、必知5 知识点1．二次函数的概念定义：一般地，形如_________________(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．
【智慧锦囊】二次函数y＝ax2＋bx＋c的结构特征是：①等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次整式，x的最高次数是2；②二次项系数a≠0.
2．二次函数的图象用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的步骤：(1)用配方法化成_______________________的形式；(2)确定图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；(3)在对称轴两侧利用对称性描点画图．
y＝a(x－m)2＋k(a≠0)
【智慧锦囊】(1)|a|的大小决定抛物线的开口大小．|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大；(2)画抛物线y＝ax2＋bx＋c的草图，要确定五点：①开口方向；②对称轴；③顶点；④与y轴交点；⑤与x轴交点．
4. 二次函数与一元二次方程二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有着密切的关系，二次函数的图象与x轴的交点的横坐标对应一元二次方程的实数根，抛物线与x轴的交点情况可由对应的一元二次方程的根的判别式b2－4ac的符号判定．(1)有两个交点⇔______________⇔____________________ ______．(2)有一个交点⇔______________⇔_____________________ ____．(3)没有交点⇔______________⇔___________________．
5．二次函数图象的平移将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成______________ ________的形式，而任意抛物线______________________均可由y＝ax2平移得到，具体平移方法如下：
二、必会2 方法1．用待定系数法求二次函数的表达式用待定系数法可求二次函数的表达式，确定二次函数一般需要三个独立条件，根据不同条件选择不同的设法．(1)设一般式______________________：若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入，求出a，b，c的值；(2)设顶点式______________________：若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴或最大值(最小值)，设所求二次函数为__________________，将已知条件代入，求出待定系数，最后将表达式化为一般形式；
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
y＝a(x－m)2＋k
(3)设两根式________________________：若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为y＝a(x－x1)(x－x2)，将第三点(m，n)的坐标(其中m，n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将表达式化为一般形式．2．数形结合思想二次函数的图象与性质是数形结合最好的体现，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a，b，c及根的判别式b2－4ac的符号之间的关系如下表：
y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
特殊值：当x＝1时，y＝a＋b＋c；当x＝－1时，y＝a－b＋c.若a＋b＋c>0，即x＝1时，y>0.若a－b＋c>0，即x＝－1时，y>0.
二次函数的图象和性质(1)用配方法求抛物线的顶点坐标；(2)x取何值时，y随x的增大而减小；(3)若抛物线与x轴的两个交点分别为A，B，与y轴的交点为C，求S△ABC.
A．当x>0时，y随x的增大而增大B．当x＝2时，y有最大值－3C．图象的顶点坐标为(－2，－7)D．图象与x轴有两个交点2．已知抛物线y＝ax2(a＞0)过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是 ( )A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
3．已知二次函数y＝x2＋x的图象，如图17－1所示．(1)根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程x2＋x＝1的根在图上近似地表示出来(描点)，并观察图象，写出方程x2＋x＝1的根(精确到0.1)；
变式跟进3答图【点悟】 (1)从函数图象上可获知的二次函数特征有：①开口方向；②对称轴；③顶点坐标；④与y轴交点的坐标；⑤与x轴交点的坐标．(2)求二次函数的顶点坐标有两种方法：①配方法；②顶点公式法．
二次函数图象的平移 将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的是 ( )A．向左平移1个单位B．向右平移3个单位C．向上平移3个单位D．向下平移1个单位
1．将抛物线y＝2(x－4)2－1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的表达式为 ( )A．y＝2x2＋1 B.y＝2x2－3C.y＝2(x－8)2＋1 D.y＝2(x－8)2－3【解析】 抛物线y＝2(x－4)2－1先向左平移4个单位长度，得到的抛物线表达式为y＝2(x－4＋4)2－1，即y＝2x2－1，再向上平移2个单位长度得到的抛物线表达式为y＝2x2－1＋2，即y＝2x2＋1.
2．把抛物线y＝x2＋bx＋c向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得函数图象的表达式为y＝x2－2x－3，则b，c的值分别为 ( )A．b＝2，c＝2 B．b＝2，c＝0C．b＝－2，c＝－1 D．b＝－3，c＝2【解析】 把所得函数配方为y＝(x－1)2－4，逆向思考把y＝(x－1)2－4先向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到抛物线表达式为y＝(x－1＋2)2－4＋3＝(x＋1)2－1，化为一般式是y＝x2＋2x，故选B.
【点悟】 (1)二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的移动，因此先将二次函数表达式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后求出平移后的顶点坐标，从而求出平移后二次函数的表达式；(2)图象的平移规律：上加下减，左加右减．
二次函数的表达式的求法 在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0.(1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式；(2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．解： (1)函数y1的图象经过点(1，－2)，得(a＋1)(－a)＝－2，则a(a＋1)＝2，
故y1＝(x＋a)[x－(a＋1)]＝x2－x－a(a＋1)＝x2－x－2，即函数y1的表达式为y＝x2－x－2.(2)由题意知，函数y1的图象与x轴交于点(－a，0)和(a＋1，0)，当y2的图象过点(－a，0)时，得a2－b＝0；当y2的图象过点(a＋1，0)时，得a2＋a＋b＝0.
2．[2016·宁波]如图17－3，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)．(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；(2)P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，求点P的坐标．
解： (1)把点B的坐标(3，0)代入抛物线y＝－x2＋mx＋3，得0＝－32＋3m＋3，解得m＝2，∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点坐标为(1，4)；(2)如答图，连结BC交抛物线对称轴l于点P，连结AP，则此时PA＋PC的值最小，设直线BC的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，∵点B坐标为(3，0)，点C坐标为(0，3)，
【点悟】 (1)已知抛物线上三点求二次函数的表达式时，通常采用一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)已知抛物线顶点坐标(或对称轴或最大、最小值)求表达式时，一般采用顶点式y＝a(x－m)2＋k(a≠0)；(3)已知抛物线与x轴的交点坐标求二次函数的表达式时，一般采用两根式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
二次函数与方程、不等式的关系已知抛物线y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常数．(1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；①求该抛物线的函数表达式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
解： (1)证明：y＝(x－m)2－(x－m)＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m，∵b2－4ac＝(2m＋1)2－4(m2＋m)＝1＞0，∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
1．若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为 ( )A．x1＝－3，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝3C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－3，x2＝1【解析】 ∵二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，∴方程ax2－2ax＋c＝0一定有一个解为x＝－1，∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象与x轴的另一个交点为(3，0)，∴方程ax2－2ax＋c＝0的解为x1＝－1，x2＝3.
2．若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是 ( )A．b＜1且b≠0 B．b＞1C．0＜b＜1 D．b＜1
3．若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围是_________．【解析】 由抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，得Δ＝b2－4ac＜0，∴(－6)2－4m＜0，解得m＞9，∴m的取值范围是m＞9.
4．如图17－4，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是________________．【解析】 观察函数图象可知：当x＜－1或x＞4时，直线y＝mx＋n在抛物线y＝ax2＋bx＋c的上方，∴不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集为x＜－1或x＞4.
二次函数的图象特征与a，b，c之间的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图17－5所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a＋b＋2c＜0；④3a＋c＜0.其中正确的是 ( )A．①④ B．②④C．①②③ D．①②③④
1．如图17－6所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c>0；③2a－b＝0；④c－a＝3.其中正确的有 ( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个
A．1 B．2C．3 D．4
【点悟】 二次函数的图象特征主要从开口方向，与x轴有无交点，与y轴交点及对称轴的位置入手，确定a，b，c及b2－4ac的符号，有时也可把x的值代入求值或根据图象确定y的符号．
(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标；(2)在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D.①连结BD，求BD的最小值；②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．
例6答图① 例6答图②
②如答图②，设抛物线的对称轴交x轴于点F，交BC于点H.∵OD＝5，OF＝4.∴DF＝3，∴D(4，3)，DH＝HF－DF＝2.设CP＝a，则PD＝CP＝a，PH＝4－a，在Rt△PHD中，(4－a)2＋22＝a2，
如图17－8，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；(3)设P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形时点P的坐标．
(2)如答图，设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，∵MA＝MB，∴MA＋MC＝MB＋MC，∴使MA＋MC最小的点M应为直线BC与对称轴x＝－1的交点．把x＝－1代入直线y＝x＋3，得y＝2.∴M点坐标为(－1，2)；
(3)设P(－1，t)，由B(－3，0)，C(0，3)，得BC2＝18，PB2＝[－1－(－3)]2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.①若B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；②若C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；③若P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18，
必明3 易错点1．二次函数y＝a(x－m)2＋k的图象平移一般按照“横坐标加减左右移”、“纵坐标加减上下移”即“左加右减，上加下减”进行，注意避免出现移动方向弄反．2．求二次函数与x轴交点坐标的方法是令y＝0，解关于x的方程；求函数与y轴交点的方法是令x＝0，求y值，容易出现求与x轴交点坐标时令x＝0，求与y轴交点坐标时令y＝0的错误．
3．根据a，b，c确定函数的大致图象易错点：(1)c的大小决定抛物线与y轴的交点位置，c＝0时，抛物线过原点，c>0时，抛物线与y轴交于正半轴，c<0时，抛物线与y轴交于负半轴；(2)ab的符号决定抛物线的对称轴的位置．当b＝0时，对称轴为y轴，当ab>0时，对称轴在y轴左侧，当ab<0时，对称轴在y轴的右侧．
二次函数图象平移方向弄反[临沂中考]要将抛物线y＝x2＋2x＋3平移后得到抛物线y＝x2，下列平移方法正确的是 ( )A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位【错解】A或B或C
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