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2021年九年级数学中考一轮复习高频考点《轴对称确定最短路线》专题训练含答案
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这是一份2021年九年级数学中考一轮复习高频考点《轴对称确定最短路线》专题训练含答案，共41页。试卷主要包含了平面直角坐标系xOy中，已知A等内容，欢迎下载使用。
2021年九年级数学中考高频考点《轴对称确定最短路线》专题训练
1．如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为（ ）
A．﹣1 B．+1 C． D．+1
2．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点．当PC+PD最小时，OP的长为（ ）
A． B． C．1 D．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．
5．如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（，） C．（，） D．（3，3）
6．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（ ）
A．AB B．DE C．BD D．AF
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．
8．平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣1）三点，D（1，m）是一个动点，当△ACD的周长最小时，△ABD的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y交于C点，且A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，m的值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为（2，0），P是OB上的一动点，试求PD+PA和的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．6
11．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．
12．如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8千米，P，Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
A．B．C．D．
13．如图，四边形ABCD中，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝3，AB＝5，BC＝2，P是边AB上的动点，则PC+PD的最小值是 ．
14．如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为 ．
15．如图，在直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知A（3，6），B（﹣2，2），在x轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持CD＝1，线段CD在x轴上平移，当AD+BC的值最小时，点C的坐标为 ．
17．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，点P是对角线BD上的动点，则AP+PE的最小值是 ．
18．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为 ．
19．如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为 ．
20．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为 ．
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为 ．
22．在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，7），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为 ．
23．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB为边在AB上方作正方形ABDE，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F，连接BE．
（1）求证：△ABC≌△BDF；
（2）P，N分别为AC，BE上的动点，连接AN，PN，若DF＝5，AC＝9，求AN+PN的最小值．
24．如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝AD，点E为AD的中点，点F为AE的中点，AC⊥CD，连接BE、CE、CF．
（1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由；
（2）如果AB＝4，∠D＝30°，点P为BE上的动点，求△PAF的周长的最小值．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．
（1）求证：△ADE≌△CDB；
（2）若BC＝，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．
26．问题背景：
如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．
（1）实践运用：
如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD＝30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为 ．
（2）知识拓展：
如图（c），在Rt△ABC中，AB＝10，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．
27．阅读材料：
（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：
当a﹣b＞0时，一定有a＞b；
当a﹣b＝0时，一定有a＝b；
当a﹣b＜0时，一定有a＜b．
反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．
（2）对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：
∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a+b＞0
∴（a2﹣b2）与（a﹣b）的符号相同
当a2﹣b2＞0时，a﹣b＞0，得a＞b
当a2﹣b2＝0时，a﹣b＝0，得a＝b
当a2﹣b2＜0时，a﹣b＜0，得a＜b
解决下列实际问题：
（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：
①W1＝ （用x、y的式子表示）
W2＝ （用x、y的式子表示）
②请你分析谁用的纸面积最大．
（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC＝3km，BE＝4km），AB＝xkm，现设计两种方案：
方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1＝AB+AP．
方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2＝AP+BP．
①在方案一中，a1＝ km（用含x的式子表示）；
②在方案二中，a2＝ km（用含x的式子表示）；
③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．
28．在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．
如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点B′．
②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．
请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．
（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）请直接写出△PDE周长的最小值： ．
29．去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图）．两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）．
（1）若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥多远的地方可使所用输水管道最短？
（2）水泵站建在距离大桥多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？
30．几何模型：
条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB＝A′B的值最小（不必证明）．
模型应用：
（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是 ；
（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；
（3）如图3，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．
2021年九年级数学中考高频考点《轴对称确定最短路线》小专题突破训练答案
1．解：作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，如图：
∵动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，
∴点M在以AB为直径的圆上，OM＝AB＝1，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°，
∵E是AD的中点，
∴DE＝AD＝×2＝1，
∵点E与点E'关于DC对称，
∴DE'＝DE＝1，PE＝PE'，
∴AE'＝AD+DE'＝2+1＝3，
在Rt△AOE'中，OE'＝＝＝，
∴线段PE+PM的最小值为：
PE+PM
＝PE'+PM
＝ME'
＝OE'﹣OM
＝﹣1．
故选：A．
2．解：如图，连接ED交AC于一点F，连接BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BF＝DF，
∴△BFE的周长＝BF+EF+BE＝DE+BE，此时△BEF的周长最小，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，
∵点E在AB上且BE＝1，
∴AE＝3，
∴DE＝，
∴△BFE的周长＝5+1＝6，
故选：B．
3．解：如图，延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，此时PC+PD的值最小．
∵CD⊥OB，
∴∠DCB＝90°，
又∠AOB＝90°，
∴∠DCB＝∠AOB，
∴CD∥AO
∴
∵OC＝2，OB＝4，
∴BC＝2，
∴，解得，CD＝；
∵CD∥AO，
∴＝，即＝，解得，PO＝
故选：B．
4．解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵S△PAB＝S矩形ABCD，
∴AB•h＝AB•AD，
∴h＝AD＝2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，
如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB＝6，AE＝2+2＝4，
∴BE＝＝＝2，
即PA+PB的最小值为2．
故选：A．
5．解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），
∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，
∵＝，点D为OB的中点，
∴BC＝3，OD＝BD＝2，
∴D（2，0），C（4，3），
作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，
则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），
∵直线OA 的解析式为y＝x，
设直线EC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线EC的解析式为y＝x+2，
解得，，
∴P（，），
故选：C．
6．解：如图，连接CP，
由AD＝CD，∠ADP＝∠CDP＝45°，DP＝DP，可得△ADP≌△CDP，
∴AP＝CP，
∴AP+PE＝CP+PE，
∴当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长，
此时，由AB＝CD，∠ABF＝∠CDE，BF＝DE，可得△ABF≌△CDE，
∴AF＝CE，
∴AP+EP最小值等于线段AF的长，
故选：D．
7．解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵S△PAB＝S矩形ABCD，
∴AB•h＝AB•AD，
∴h＝AD＝2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB＝5，AE＝2+2＝4，
∴BE＝＝＝，
即PA+PB的最小值为．
故选：D．
8．解：由题可得，点C关于直线x＝1的对称点E的坐标为（2，﹣1），
设直线AE的解析式为y＝kx+b，则
，
解得，
∴y＝﹣x﹣，
将D（1，m）代入，得
m＝﹣﹣＝﹣，
即点D的坐标为（1，﹣），
∴当△ACD的周长最小时，△ABD的面积＝×AB×|﹣|＝×4×＝．
故选：C．
9．解：∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝x2+bx﹣2上，
∴×（﹣1）2+b×（﹣1）﹣2＝0，
∴b＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2，
∴顶点D的坐标为（，﹣），
作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′＝2
连接C′D交x轴于点M，
根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．
设抛物线的对称轴交x轴于点E．
∵ED∥y轴，
∴∠OC′M＝∠EDM，∠C′OM＝∠DEM
∴△C′OM∽△DEM．
∴＝，
即＝，
∴m＝．
故选：B．
10．解：连接CD，交OB于P．则CD就是PD+PA和的最小值．
∵在直角△OCD中，∠COD＝90°，OD＝2，OC＝6，
∴CD＝＝2，
∴PD+PA＝PD+PC＝CD＝2．
∴PD+PA和的最小值是2．
故选：A．
11．解：设BE与AC交于点F（P′），连接BD，
∵点B与D关于AC对称，
∴P′D＝P′B，
∴P′D+P′E＝P′B+P′E＝BE最小．
即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB＝2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝2．
故所求最小值为2．
故选：A．
12．解：A、PQ+QM＝8+2＝10km；
B、∵QM+PM＝P′Q，P′Q2＝82﹣（5﹣2）2+（5+2）2＝104，
∴P′Q＝2km＞10km；
C、QM+PR＝5+＞10；
D、PM+QM＝5+＞10．
综上所述，A选项铺设的管道最短．
故选：A．
13．解：延长CB到C′，使C′B＝CB＝2，连接DC′交AB于P．则DC′就是PC+PD的和的最小值．
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠PBC′，∠ADP＝∠C′，
∴△ADP∽△BC′P，
∴AP：BP＝AD：BC′＝3：2，′
∴PB＝AP，
∵AP+BP＝AB＝5，
∴AP＝3，BP＝2，
∴PD＝＝＝3，PC′＝＝＝2，
∴DC′＝PD+PC′＝3+2＝5，
∴PC+PD的最小值是5，
故答案为5．
14．解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′作A′H⊥AB于H．
∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，
∴∠ABA′＝60°，
∴△ABA′是等边三角形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10，
在Rt△ABD中，AB＝＝10，
∵A′H⊥AB，
∴AH＝HB＝5，
∴A′H＝AH＝15，
∵AM+MN＝A′M+MN≥A′H，
∴AM+MN≥15，
∴AM+MN的最小值为15．
故答案为15．
15．解：∵点A（1，1），点C的纵坐标为1，
∴AC∥x轴，
∴∠BAC＝45°，
∵CA＝CB，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴∠C＝90°，
∵B（3，3）
∴C（3，1），
∴AC＝BC＝2，
作B关于y轴的对称点E，
连接AE交y轴于D，
则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，
过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，
则EF＝BC＝2，AF＝6﹣2＝4，
∴AE＝＝＝2，
∴最小周长的值＝AC+BC+AE＝4+2，
故答案为：4+2．
16．解：把A（3，6）向左平移1得A′（2，6），
作点B关于x轴的对称点B′，连接B′A′交x轴于C，在x轴上取点D（点C在点D左侧），使CD＝1，连接AD，
则AD+BC的值最小，
∵B（﹣2，2），
∴B′（﹣2，﹣2），
设直线B′A′的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线B′A′的解析式为y＝2x+2，
当y＝0时，x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
故答案为：（﹣1，0）．
17．解：如图，连接CE交BD于点P，连接AP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点A与点C关于BD对称，
∴AP＝CP，
∴AP+EP＝CP+EP＝CE，此时AP+PE的最小值等于CE的长，
∵正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，
∴BC＝4，BE＝2，∠ABC＝90°，
∴CE＝＝，
∴AP+PE的最小值是，
故答案为：．
18．解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，
∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△EGF，
∴EG＝AB＝1，EG∥AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAD＝120°，
∴EG＝CD，EG∥CD，
连接ED
∴四边形EGCD是平行四边形，
∴ED＝GC，
∴EC+GC的最小值＝EC+ED的最小值，
∵点E在过点A且平行于BD的定直线上，
∴作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于E，
则CM的长度即为EC+DE的最小值，
∵∠EAD＝∠ADB＝30°，AD＝1，
∴∠ADM＝60°，DH＝MH＝AD＝，
∴DM＝1，
∴DM＝CD，
∵∠CDM＝∠MDG+∠CDB＝90°+30°＝120°，
∴∠M＝∠DCM＝30°，
∴CM＝2×CD＝．
故答案为：．
19．解：过C作CF⊥AB交AD于E，
则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF，
∵△ABC为等边三角形，边长为6，
∴BF＝AB＝6＝3，
∴CF＝＝＝3，
∴CE+EF的最小值为3，
故答案为：3．
20．解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，
∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，
∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAD＝120°，
∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，
∴四边形A′B′CD是平行四边形，
∴A′D＝B′C，
∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，
∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，
∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，
则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，
∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，
∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝，
∴DE＝1，
∴DE＝CD，
∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，
∴∠E＝∠DCE＝30°，
∴CE＝2×CD＝．
故答案为：．
21．解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵S△PAB＝S矩形ABCD，
∴AB•h＝AB•AD，
∴h＝AD＝2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝2+2＝4，
∴BE＝＝＝4，
即PA+PB的最小值为4．
故答案为：4．
22．解：取点B关于x轴的对称点B′，则直线AB′交x轴于点M．点M即为所求．
设直线AB′解析式为：y＝kx+b
把点A（﹣1，﹣1）B′（2，﹣7）代入
解得
∴直线AB′为：y＝﹣2x﹣3，
当y＝0时，x＝﹣
∴M坐标为（﹣，0）
故答案为：（﹣，0）
23．（1）证明：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，DF⊥CB，
∴∠C＝∠DFB＝90°．
∵四边形ABDE是正方形，
∴BD＝AB，∠DBA＝90°，
∵∠DBF+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠DBF＝∠CAB，
∴△ABC≌△BDF（AAS）；
（2）解：∵△ABC≌△BDF，
∴DF＝BC＝5，BF＝AC＝9，
∴FC＝BF+BC＝9+5＝14．
如图，连接DN，
∵BE是正方形顶点A与顶点D的对称轴，
∴AN＝DN．
如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一条直线上，
由于点P、N分别是AC和BE上的动点，
作DP1⊥AC，交BE于点N1，垂足为P1，
所以，AN+PN的最小值等于DP1＝FC＝14．
24．解：（1）四边形ABCE是菱形，理由如下：
∵点E是AD的中点，
∴AE＝AD．
∵BC＝AD，
∴AE＝BC．
∵BC∥AD，即BC∥AE．
∴四边形ABCE是平行四边形
∵AC⊥CD，点E是AD的中点，
∴CE＝AE＝DE，
∴四边形ABCE是菱形
（2）由（I）得，四边形ABCE是菱形．
∴AE＝EC＝AB＝4，且点A、C关于BE对称
∵点F是AE的中点，AF＝AE＝2
∴当PA+PF最小时，△PAF的周长最小
即点P为CF与BE的交点时，△PAF的周长最小，
此时△PAF的周长＝PA+PF+AF＝CF+AF，
在Rt△ACD中，点E是AD的中点，则CE＝DE，．
∠ECD＝∠D＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°．
∴△ACE是等边三角形．
∴AC＝AE＝CE＝4．
∵AF＝EF，CF⊥AE
∴CF＝＝2
△PAF的周长最小＝CF+AF＝2．
25．（1）证明：在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，
∴BC＝EA，∠ABC＝60°．
∵△DEB为等边三角形，
∴DB＝DE，∠DEB＝∠DBE＝60°，
∴∠DEA＝120°，∠DBC＝120°，
∴∠DEA＝∠DBC
∴△ADE≌△CDB．
（2）解：如图，作点E关于直线AC对称点E'，连接BE'交AC于点H．
则点H即为符合条件的点．
由作图可知：EH＝HE'，AE'＝AE，∠E'AC＝∠BAC＝30°．
∴∠EAE'＝60°，
∴△EAE'为等边三角形，
∴，
∴∠AE'B＝90°，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，，
∴，，
∴，
∴BH+EH的最小值为3．
26．解：（1）作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，
此时PA+PB最小，且等于AE．
作直径AC′，连接C′E．
根据垂径定理得＝．
∵∠ACD＝30°，
∴∠AOD＝60°，∠DOE＝30°，
∴∠AOE＝90°，
∴∠C′AE＝45°，
又AC′为圆的直径，∴∠AEC′＝90°，
∴∠C′＝∠C′AE＝45°，
∴C′E＝AE＝AC′＝2，
即AP+BP的最小值是2．
故答案为：2；
（2）如图，在斜边AC上截取AB′＝AB，连结BB′．
∵AD平分∠BAC，
∴∠B′AM＝∠BAM，
在△B′AM和△BAM中
，
∴△B′AM≌△BAM（SAS），
∴BM＝B′M，∠BMA＝∠B′MA＝90°，
∴点B与点B′关于直线AD对称．
过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，
则线段B′F的长即为所求．（点到直线的距离最短）
在Rt△AFB′中，∵∠BAC＝45°，AB′＝AB＝10，
∴B′F＝AB′•sin45°＝AB•sin45°＝10×＝5，
∴BE+EF的最小值为．
27．（1）解：①W1＝3x+7y，W2＝2x+8y，
故答案为：3x+7y，2x+8y．
②解：W1﹣W2＝（3x+7y）﹣（2x+8y）＝x﹣y，
∵x＞y，
∴x﹣y＞0，
∴W1﹣W2＞0，
得W1＞W2，
所以张丽同学用纸的总面积大．
（2）①解：a1＝AB+AP＝x+3，
故答案为：x+3．
②解：过B作BM⊥AC于M，
则AM＝4﹣3＝1，
在△ABM中，由勾股定理得：BM2＝AB2﹣12＝x2﹣1，
在△A′MB中，由勾股定理得：AP+BP＝A′B＝＝，
故答案为：．
③解：＝（x+3）2﹣（）2＝x2+6x+9﹣（x2+48）＝6x﹣39，
当＞0（即a1﹣a2＞0，a1＞a2）时，6x﹣39＞0，解得x＞6.5，
当＝0（即a1﹣a2＝0，a1＝a2）时，6x﹣39＝0，解得x＝6.5，
当＜0（即a1﹣a2＜0，a1＜a2）时，6x﹣39＜0，解得x＜6.5，
综上所述
当x＞6.5时，选择方案二，输气管道较短，
当x＝6.5时，两种方案一样，
当0＜x＜6.5时，选择方案一，输气管道较短．
28．解：（1）作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，
P点即为所求；
（2）∵点D、E分别是AB、AC边的中点，
∴DE为△ABC中位线，
∵BC＝6，BC边上的高为4，
∴DE＝3，DD′＝4，
∴D′E＝＝＝5，
∴△PDE周长的最小值为：DE+D′E＝3+5＝8，
故答案为：8．
29．解：（1）作点B关于x轴的对称点E，连接AE，则点E为（12，﹣7）
设直线AE的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），则
解得，
当y＝0时，x＝5．
所以，水泵站建在距离大桥5千米的地方，可使所用输水管道最短．
（2）作线段AB的垂直平分线GF，交AB于点F，交x轴于点G
设点G的坐标为（x，0）
在Rt△AGD中，AG2＝AD2+DG2＝32+（x﹣2）2
在Rt△BCG中，BG2＝BC2+GC2＝72+（12﹣x）2
∵AG＝BG，
∴32+（x﹣2）2＝72+（12﹣x）2
解得x＝9．
所以，水泵站建在距离大桥9千米的地方，可使它到张村、李村的距离相等．
30．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AC垂直平分BD，
∴PB＝PD，
由题意易得：PB+PE＝PD+PE＝DE，
在△ADE中，根据勾股定理得，DE＝；
（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，
PA+PC的最小值即为A′C的长，
∵∠AOC＝60°
∴∠A′OC＝120°，
∵AO＝CO，AO＝A′O
∴∠OA'C＝∠OCA'＝30°，
作OD⊥A′C于D，则∠A′OD＝60°
∵OA′＝OA＝2
∴A′D＝
∴；
（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．
由轴对称性质可得，OM＝ON＝OP＝10，∠MOA＝∠POA，∠NOB＝∠POB，
∴∠MON＝2∠AOB＝2×45°＝90°，
在Rt△MON中，MN＝＝＝10．
即△PQR周长的最小值等于10．
2021年九年级数学中考高频考点《轴对称确定最短路线》专题训练
1．如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为（ ）
A．﹣1 B．+1 C． D．+1
2．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点．当PC+PD最小时，OP的长为（ ）
A． B． C．1 D．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．
5．如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（，） C．（，） D．（3，3）
6．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（ ）
A．AB B．DE C．BD D．AF
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．
8．平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣1）三点，D（1，m）是一个动点，当△ACD的周长最小时，△ABD的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y交于C点，且A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，m的值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为（2，0），P是OB上的一动点，试求PD+PA和的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．6
11．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．
12．如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8千米，P，Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
A．B．C．D．
13．如图，四边形ABCD中，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝3，AB＝5，BC＝2，P是边AB上的动点，则PC+PD的最小值是 ．
14．如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为 ．
15．如图，在直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知A（3，6），B（﹣2，2），在x轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持CD＝1，线段CD在x轴上平移，当AD+BC的值最小时，点C的坐标为 ．
17．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，点P是对角线BD上的动点，则AP+PE的最小值是 ．
18．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为 ．
19．如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为 ．
20．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为 ．
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为 ．
22．在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，7），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为 ．
23．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB为边在AB上方作正方形ABDE，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F，连接BE．
（1）求证：△ABC≌△BDF；
（2）P，N分别为AC，BE上的动点，连接AN，PN，若DF＝5，AC＝9，求AN+PN的最小值．
24．如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝AD，点E为AD的中点，点F为AE的中点，AC⊥CD，连接BE、CE、CF．
（1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由；
（2）如果AB＝4，∠D＝30°，点P为BE上的动点，求△PAF的周长的最小值．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．
（1）求证：△ADE≌△CDB；
（2）若BC＝，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．
26．问题背景：
如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．
（1）实践运用：
如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD＝30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为 ．
（2）知识拓展：
如图（c），在Rt△ABC中，AB＝10，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．
27．阅读材料：
（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：
当a﹣b＞0时，一定有a＞b；
当a﹣b＝0时，一定有a＝b；
当a﹣b＜0时，一定有a＜b．
反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．
（2）对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：
∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a+b＞0
∴（a2﹣b2）与（a﹣b）的符号相同
当a2﹣b2＞0时，a﹣b＞0，得a＞b
当a2﹣b2＝0时，a﹣b＝0，得a＝b
当a2﹣b2＜0时，a﹣b＜0，得a＜b
解决下列实际问题：
（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：
①W1＝ （用x、y的式子表示）
W2＝ （用x、y的式子表示）
②请你分析谁用的纸面积最大．
（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC＝3km，BE＝4km），AB＝xkm，现设计两种方案：
方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1＝AB+AP．
方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2＝AP+BP．
①在方案一中，a1＝ km（用含x的式子表示）；
②在方案二中，a2＝ km（用含x的式子表示）；
③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．
28．在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．
如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点B′．
②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．
请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．
（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）请直接写出△PDE周长的最小值： ．
29．去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图）．两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）．
（1）若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥多远的地方可使所用输水管道最短？
（2）水泵站建在距离大桥多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？
30．几何模型：
条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB＝A′B的值最小（不必证明）．
模型应用：
（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是 ；
（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；
（3）如图3，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．
2021年九年级数学中考高频考点《轴对称确定最短路线》小专题突破训练答案
1．解：作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，如图：
∵动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，
∴点M在以AB为直径的圆上，OM＝AB＝1，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°，
∵E是AD的中点，
∴DE＝AD＝×2＝1，
∵点E与点E'关于DC对称，
∴DE'＝DE＝1，PE＝PE'，
∴AE'＝AD+DE'＝2+1＝3，
在Rt△AOE'中，OE'＝＝＝，
∴线段PE+PM的最小值为：
PE+PM
＝PE'+PM
＝ME'
＝OE'﹣OM
＝﹣1．
故选：A．
2．解：如图，连接ED交AC于一点F，连接BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BF＝DF，
∴△BFE的周长＝BF+EF+BE＝DE+BE，此时△BEF的周长最小，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，
∵点E在AB上且BE＝1，
∴AE＝3，
∴DE＝，
∴△BFE的周长＝5+1＝6，
故选：B．
3．解：如图，延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，此时PC+PD的值最小．
∵CD⊥OB，
∴∠DCB＝90°，
又∠AOB＝90°，
∴∠DCB＝∠AOB，
∴CD∥AO
∴
∵OC＝2，OB＝4，
∴BC＝2，
∴，解得，CD＝；
∵CD∥AO，
∴＝，即＝，解得，PO＝
故选：B．
4．解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵S△PAB＝S矩形ABCD，
∴AB•h＝AB•AD，
∴h＝AD＝2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，
如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB＝6，AE＝2+2＝4，
∴BE＝＝＝2，
即PA+PB的最小值为2．
故选：A．
5．解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），
∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，
∵＝，点D为OB的中点，
∴BC＝3，OD＝BD＝2，
∴D（2，0），C（4，3），
作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，
则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），
∵直线OA 的解析式为y＝x，
设直线EC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线EC的解析式为y＝x+2，
解得，，
∴P（，），
故选：C．
6．解：如图，连接CP，
由AD＝CD，∠ADP＝∠CDP＝45°，DP＝DP，可得△ADP≌△CDP，
∴AP＝CP，
∴AP+PE＝CP+PE，
∴当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长，
此时，由AB＝CD，∠ABF＝∠CDE，BF＝DE，可得△ABF≌△CDE，
∴AF＝CE，
∴AP+EP最小值等于线段AF的长，
故选：D．
7．解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵S△PAB＝S矩形ABCD，
∴AB•h＝AB•AD，
∴h＝AD＝2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB＝5，AE＝2+2＝4，
∴BE＝＝＝，
即PA+PB的最小值为．
故选：D．
8．解：由题可得，点C关于直线x＝1的对称点E的坐标为（2，﹣1），
设直线AE的解析式为y＝kx+b，则
，
解得，
∴y＝﹣x﹣，
将D（1，m）代入，得
m＝﹣﹣＝﹣，
即点D的坐标为（1，﹣），
∴当△ACD的周长最小时，△ABD的面积＝×AB×|﹣|＝×4×＝．
故选：C．
9．解：∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝x2+bx﹣2上，
∴×（﹣1）2+b×（﹣1）﹣2＝0，
∴b＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2，
∴顶点D的坐标为（，﹣），
作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′＝2
连接C′D交x轴于点M，
根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．
设抛物线的对称轴交x轴于点E．
∵ED∥y轴，
∴∠OC′M＝∠EDM，∠C′OM＝∠DEM
∴△C′OM∽△DEM．
∴＝，
即＝，
∴m＝．
故选：B．
10．解：连接CD，交OB于P．则CD就是PD+PA和的最小值．
∵在直角△OCD中，∠COD＝90°，OD＝2，OC＝6，
∴CD＝＝2，
∴PD+PA＝PD+PC＝CD＝2．
∴PD+PA和的最小值是2．
故选：A．
11．解：设BE与AC交于点F（P′），连接BD，
∵点B与D关于AC对称，
∴P′D＝P′B，
∴P′D+P′E＝P′B+P′E＝BE最小．
即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB＝2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝2．
故所求最小值为2．
故选：A．
12．解：A、PQ+QM＝8+2＝10km；
B、∵QM+PM＝P′Q，P′Q2＝82﹣（5﹣2）2+（5+2）2＝104，
∴P′Q＝2km＞10km；
C、QM+PR＝5+＞10；
D、PM+QM＝5+＞10．
综上所述，A选项铺设的管道最短．
故选：A．
13．解：延长CB到C′，使C′B＝CB＝2，连接DC′交AB于P．则DC′就是PC+PD的和的最小值．
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠PBC′，∠ADP＝∠C′，
∴△ADP∽△BC′P，
∴AP：BP＝AD：BC′＝3：2，′
∴PB＝AP，
∵AP+BP＝AB＝5，
∴AP＝3，BP＝2，
∴PD＝＝＝3，PC′＝＝＝2，
∴DC′＝PD+PC′＝3+2＝5，
∴PC+PD的最小值是5，
故答案为5．
14．解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′作A′H⊥AB于H．
∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，
∴∠ABA′＝60°，
∴△ABA′是等边三角形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10，
在Rt△ABD中，AB＝＝10，
∵A′H⊥AB，
∴AH＝HB＝5，
∴A′H＝AH＝15，
∵AM+MN＝A′M+MN≥A′H，
∴AM+MN≥15，
∴AM+MN的最小值为15．
故答案为15．
15．解：∵点A（1，1），点C的纵坐标为1，
∴AC∥x轴，
∴∠BAC＝45°，
∵CA＝CB，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴∠C＝90°，
∵B（3，3）
∴C（3，1），
∴AC＝BC＝2，
作B关于y轴的对称点E，
连接AE交y轴于D，
则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，
过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，
则EF＝BC＝2，AF＝6﹣2＝4，
∴AE＝＝＝2，
∴最小周长的值＝AC+BC+AE＝4+2，
故答案为：4+2．
16．解：把A（3，6）向左平移1得A′（2，6），
作点B关于x轴的对称点B′，连接B′A′交x轴于C，在x轴上取点D（点C在点D左侧），使CD＝1，连接AD，
则AD+BC的值最小，
∵B（﹣2，2），
∴B′（﹣2，﹣2），
设直线B′A′的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线B′A′的解析式为y＝2x+2，
当y＝0时，x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
故答案为：（﹣1，0）．
17．解：如图，连接CE交BD于点P，连接AP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点A与点C关于BD对称，
∴AP＝CP，
∴AP+EP＝CP+EP＝CE，此时AP+PE的最小值等于CE的长，
∵正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，
∴BC＝4，BE＝2，∠ABC＝90°，
∴CE＝＝，
∴AP+PE的最小值是，
故答案为：．
18．解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，
∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△EGF，
∴EG＝AB＝1，EG∥AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAD＝120°，
∴EG＝CD，EG∥CD，
连接ED
∴四边形EGCD是平行四边形，
∴ED＝GC，
∴EC+GC的最小值＝EC+ED的最小值，
∵点E在过点A且平行于BD的定直线上，
∴作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于E，
则CM的长度即为EC+DE的最小值，
∵∠EAD＝∠ADB＝30°，AD＝1，
∴∠ADM＝60°，DH＝MH＝AD＝，
∴DM＝1，
∴DM＝CD，
∵∠CDM＝∠MDG+∠CDB＝90°+30°＝120°，
∴∠M＝∠DCM＝30°，
∴CM＝2×CD＝．
故答案为：．
19．解：过C作CF⊥AB交AD于E，
则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF，
∵△ABC为等边三角形，边长为6，
∴BF＝AB＝6＝3，
∴CF＝＝＝3，
∴CE+EF的最小值为3，
故答案为：3．
20．解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，
∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，
∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAD＝120°，
∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，
∴四边形A′B′CD是平行四边形，
∴A′D＝B′C，
∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，
∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，
∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，
则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，
∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，
∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝，
∴DE＝1，
∴DE＝CD，
∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，
∴∠E＝∠DCE＝30°，
∴CE＝2×CD＝．
故答案为：．
21．解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵S△PAB＝S矩形ABCD，
∴AB•h＝AB•AD，
∴h＝AD＝2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝2+2＝4，
∴BE＝＝＝4，
即PA+PB的最小值为4．
故答案为：4．
22．解：取点B关于x轴的对称点B′，则直线AB′交x轴于点M．点M即为所求．
设直线AB′解析式为：y＝kx+b
把点A（﹣1，﹣1）B′（2，﹣7）代入
解得
∴直线AB′为：y＝﹣2x﹣3，
当y＝0时，x＝﹣
∴M坐标为（﹣，0）
故答案为：（﹣，0）
23．（1）证明：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，DF⊥CB，
∴∠C＝∠DFB＝90°．
∵四边形ABDE是正方形，
∴BD＝AB，∠DBA＝90°，
∵∠DBF+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠DBF＝∠CAB，
∴△ABC≌△BDF（AAS）；
（2）解：∵△ABC≌△BDF，
∴DF＝BC＝5，BF＝AC＝9，
∴FC＝BF+BC＝9+5＝14．
如图，连接DN，
∵BE是正方形顶点A与顶点D的对称轴，
∴AN＝DN．
如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一条直线上，
由于点P、N分别是AC和BE上的动点，
作DP1⊥AC，交BE于点N1，垂足为P1，
所以，AN+PN的最小值等于DP1＝FC＝14．
24．解：（1）四边形ABCE是菱形，理由如下：
∵点E是AD的中点，
∴AE＝AD．
∵BC＝AD，
∴AE＝BC．
∵BC∥AD，即BC∥AE．
∴四边形ABCE是平行四边形
∵AC⊥CD，点E是AD的中点，
∴CE＝AE＝DE，
∴四边形ABCE是菱形
（2）由（I）得，四边形ABCE是菱形．
∴AE＝EC＝AB＝4，且点A、C关于BE对称
∵点F是AE的中点，AF＝AE＝2
∴当PA+PF最小时，△PAF的周长最小
即点P为CF与BE的交点时，△PAF的周长最小，
此时△PAF的周长＝PA+PF+AF＝CF+AF，
在Rt△ACD中，点E是AD的中点，则CE＝DE，．
∠ECD＝∠D＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°．
∴△ACE是等边三角形．
∴AC＝AE＝CE＝4．
∵AF＝EF，CF⊥AE
∴CF＝＝2
△PAF的周长最小＝CF+AF＝2．
25．（1）证明：在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，
∴BC＝EA，∠ABC＝60°．
∵△DEB为等边三角形，
∴DB＝DE，∠DEB＝∠DBE＝60°，
∴∠DEA＝120°，∠DBC＝120°，
∴∠DEA＝∠DBC
∴△ADE≌△CDB．
（2）解：如图，作点E关于直线AC对称点E'，连接BE'交AC于点H．
则点H即为符合条件的点．
由作图可知：EH＝HE'，AE'＝AE，∠E'AC＝∠BAC＝30°．
∴∠EAE'＝60°，
∴△EAE'为等边三角形，
∴，
∴∠AE'B＝90°，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，，
∴，，
∴，
∴BH+EH的最小值为3．
26．解：（1）作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，
此时PA+PB最小，且等于AE．
作直径AC′，连接C′E．
根据垂径定理得＝．
∵∠ACD＝30°，
∴∠AOD＝60°，∠DOE＝30°，
∴∠AOE＝90°，
∴∠C′AE＝45°，
又AC′为圆的直径，∴∠AEC′＝90°，
∴∠C′＝∠C′AE＝45°，
∴C′E＝AE＝AC′＝2，
即AP+BP的最小值是2．
故答案为：2；
（2）如图，在斜边AC上截取AB′＝AB，连结BB′．
∵AD平分∠BAC，
∴∠B′AM＝∠BAM，
在△B′AM和△BAM中
，
∴△B′AM≌△BAM（SAS），
∴BM＝B′M，∠BMA＝∠B′MA＝90°，
∴点B与点B′关于直线AD对称．
过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，
则线段B′F的长即为所求．（点到直线的距离最短）
在Rt△AFB′中，∵∠BAC＝45°，AB′＝AB＝10，
∴B′F＝AB′•sin45°＝AB•sin45°＝10×＝5，
∴BE+EF的最小值为．
27．（1）解：①W1＝3x+7y，W2＝2x+8y，
故答案为：3x+7y，2x+8y．
②解：W1﹣W2＝（3x+7y）﹣（2x+8y）＝x﹣y，
∵x＞y，
∴x﹣y＞0，
∴W1﹣W2＞0，
得W1＞W2，
所以张丽同学用纸的总面积大．
（2）①解：a1＝AB+AP＝x+3，
故答案为：x+3．
②解：过B作BM⊥AC于M，
则AM＝4﹣3＝1，
在△ABM中，由勾股定理得：BM2＝AB2﹣12＝x2﹣1，
在△A′MB中，由勾股定理得：AP+BP＝A′B＝＝，
故答案为：．
③解：＝（x+3）2﹣（）2＝x2+6x+9﹣（x2+48）＝6x﹣39，
当＞0（即a1﹣a2＞0，a1＞a2）时，6x﹣39＞0，解得x＞6.5，
当＝0（即a1﹣a2＝0，a1＝a2）时，6x﹣39＝0，解得x＝6.5，
当＜0（即a1﹣a2＜0，a1＜a2）时，6x﹣39＜0，解得x＜6.5，
综上所述
当x＞6.5时，选择方案二，输气管道较短，
当x＝6.5时，两种方案一样，
当0＜x＜6.5时，选择方案一，输气管道较短．
28．解：（1）作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，
P点即为所求；
（2）∵点D、E分别是AB、AC边的中点，
∴DE为△ABC中位线，
∵BC＝6，BC边上的高为4，
∴DE＝3，DD′＝4，
∴D′E＝＝＝5，
∴△PDE周长的最小值为：DE+D′E＝3+5＝8，
故答案为：8．
29．解：（1）作点B关于x轴的对称点E，连接AE，则点E为（12，﹣7）
设直线AE的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），则
解得，
当y＝0时，x＝5．
所以，水泵站建在距离大桥5千米的地方，可使所用输水管道最短．
（2）作线段AB的垂直平分线GF，交AB于点F，交x轴于点G
设点G的坐标为（x，0）
在Rt△AGD中，AG2＝AD2+DG2＝32+（x﹣2）2
在Rt△BCG中，BG2＝BC2+GC2＝72+（12﹣x）2
∵AG＝BG，
∴32+（x﹣2）2＝72+（12﹣x）2
解得x＝9．
所以，水泵站建在距离大桥9千米的地方，可使它到张村、李村的距离相等．
30．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AC垂直平分BD，
∴PB＝PD，
由题意易得：PB+PE＝PD+PE＝DE，
在△ADE中，根据勾股定理得，DE＝；
（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，
PA+PC的最小值即为A′C的长，
∵∠AOC＝60°
∴∠A′OC＝120°，
∵AO＝CO，AO＝A′O
∴∠OA'C＝∠OCA'＝30°，
作OD⊥A′C于D，则∠A′OD＝60°
∵OA′＝OA＝2
∴A′D＝
∴；
（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．
由轴对称性质可得，OM＝ON＝OP＝10，∠MOA＝∠POA，∠NOB＝∠POB，
∴∠MON＝2∠AOB＝2×45°＝90°，
在Rt△MON中，MN＝＝＝10．
即△PQR周长的最小值等于10．
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