2020年浙江省台州市中考数学试卷

这是一份2020年浙江省台州市中考数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020年浙江省台州市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）计算的结果是　　
A．2 B． C．4 D．
2．（4分）用三个相同的正方体搭成如图所示的立体图形，则该立体图形的主视图是　　

A． B． C． D．
3．（4分）计算的结果是　　
A． B． C． D．
4．（4分）无理数在　　
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
5．（4分）在一次数学测试中，小明成绩72分，超过班级半数同学的成绩，分折得出这个结论所用的统计量是　　
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
6．（4分）如图，把先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到，则顶点对应点的坐标为　　

A． B． C． D．
7．（4分）如图，已知线段，分别以，为圆心，大于同样长为半径画弧，两弧交于点，，连接，，，，，则下列说法错误的是　　

A．平分 B．平分 C． D．
8．（4分）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是　　
A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出②
9．（4分）如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度（单位：与运动时间（单位：的函数图象如图2，则该小球的运动路程（单位：与运动时间（单位：之间的函数图象大致是　　

A． B．
C． D．
10．（4分）把一张宽为的长方形纸片折叠成如图所示的阴影图案，顶点，互相重合，中间空白部分是以为直角顶点，腰长为的等腰直角三角形，则纸片的长（单位：为　　

A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）因式分解：　　．
12．（5分）计算的结果是　　．
13．（5分）如图，等边三角形纸片的边长为6，，是边上的三等分点．分别过点，沿着平行于，方向各剪一刀，则剪下的的周长是　　．

14．（5分）甲、乙两位同学在10次定点投篮训练中（每次训练投8个），各次训练成绩（投中个数）的折线统计图如图所示，他们成绩的方差分别为与，则　　．（填“”、“ ”、“ ”中的一个）

15．（5分）如图，在中，是边上的一点，以为直径的交于点，连接．若与相切，，则的度数为　　．

16．（5分）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为，小正方形地砖面积为，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形．则正方形的面积为　　．（用含，的代数式表示）

三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）解方程组：
19．（8分）人字折叠梯完全打开后如图1所示，，是折叠梯的两个着地点，是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，，，，求点离地面的高度．（结果精确到；参考数据，，，

20．（8分）小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间（单位：秒）与训练次数（单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当的值为6，8，10时，对应的函数值分别为，，，比较与的大小：　　．

21．（10分）如图，已知，，和相交于点．
（1）求证：；
（2）判断的形状，并说明理由．

22．（12分）新冠疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）．
参与度
人数
方式




录播
4
16
12
8
直播
2
10
16
12
（1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由．
（2）从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少？
（3）该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为，估计参与度在0.4以下的共有多少人？
23．（12分）如图，在中，，将沿直线翻折得到，连接交于点．是线段上的点，连接．是的外接圆与的另一个交点，连接，．
（1）求证：是直角三角形；
（2）求证：；
（3）当，时，在线段上存在点，使得和互相平分，求的值．

24．（14分）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为（单位：，如果在离水面竖直距离为（单位：的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）（单位：与的关系为．

应用思考：现用高度为的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高处开一个小孔．
（1）写出与的关系式；并求出当为何值时，射程有最大值，最大射程是多少？
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为，，要使两孔射出水的射程相同，求，之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离．

2020年浙江省台州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）计算的结果是　　
A．2 B． C．4 D．
【分析】根据有理数的加减法法则计算即可判断．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题主要考查了有理数的减法法则，减去一个数，等于加上这个数的相反数．
2．（4分）用三个相同的正方体搭成如图所示的立体图形，则该立体图形的主视图是　　

A． B． C． D．
【分析】从正面看所得到的图形即为主视图，因此选项的图形符合题意．
【解答】解：根据主视图的意义可知，选项符合题意，
故选：．
【点评】考查简单几何体的三视图的画法，从不同方向对问题进行正投影所得到的图形分别为主视图、左视图、俯视图．
3．（4分）计算的结果是　　
A． B． C． D．
【分析】直接利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案．
【解答】解：．
故选：．
【点评】此题主要考查了单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（4分）无理数在　　
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【分析】由可以得到答案．
【解答】解：，
故选：．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的方法是解本题的关键．
5．（4分）在一次数学测试中，小明成绩72分，超过班级半数同学的成绩，分折得出这个结论所用的统计量是　　
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
【分析】根据中位数的意义求解可得．
【解答】解：班级数学成绩排列后，最中间一个数或最中间两个分数的平均数是这组成绩的中位数，
半数同学的成绩位于中位数或中位数以下，
小明成绩超过班级半数同学的成绩所用的统计量是中位数，
故选：．
【点评】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握中位数、众数、平均数及方差的定义和意义．
6．（4分）如图，把先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到，则顶点对应点的坐标为　　

A． B． C． D．
【分析】利用平移规律进而得出答案．
【解答】解：把先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到，顶点，
，
即，
故选：．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化平移，正确得出对应点位置是解题关键．
7．（4分）如图，已知线段，分别以，为圆心，大于同样长为半径画弧，两弧交于点，，连接，，，，，则下列说法错误的是　　

A．平分 B．平分 C． D．
【分析】根据作图判断出四边形是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案．
【解答】解：由作图知，
四边形是菱形，
平分、平分、，
不能判断，
故选：．
【点评】本题主要考查作图基本作图，解题的关键是掌握菱形的判定与性质．
8．（4分）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是　　
A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出②
【分析】根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断．
【解答】解：对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，
故①②，①③错误，
故选项，，错误，
故选：．
【点评】本题考查正方形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．（4分）如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度（单位：与运动时间（单位：的函数图象如图2，则该小球的运动路程（单位：与运动时间（单位：之间的函数图象大致是　　

A． B．
C． D．
【分析】小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程是的二次函数，图象是先缓后陡，由此即可判断．
【解答】解：小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程是的二次函数，图象是先缓后陡，
在右侧上升时，情形与左侧相反，
故选：．
【点评】本题考查动点问题函数图象，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．（4分）把一张宽为的长方形纸片折叠成如图所示的阴影图案，顶点，互相重合，中间空白部分是以为直角顶点，腰长为的等腰直角三角形，则纸片的长（单位：为　　

A． B． C． D．
【分析】如图，过点作于，过点作于．想办法求出，，，，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点作于，过点作于．

由题意是等腰直角三角形，，，
四边形是矩形，
，，
是等腰直角三角形，
，，同法可证，
由题意，
，
故选：．
【点评】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形或特殊四边形解决问题．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）因式分解：　　．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式，
故答案为：．
【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
12．（5分）计算的结果是　　．
【分析】先通分，再相减即可求解．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】考查了分式加减法，把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
13．（5分）如图，等边三角形纸片的边长为6，，是边上的三等分点．分别过点，沿着平行于，方向各剪一刀，则剪下的的周长是　6　．

【分析】根据三等分点的定义可求的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．
【解答】解：等边三角形纸片的边长为6，，是边上的三等分点，
，
，，
是等边三角形，
剪下的的周长是．
故答案为：6．
【点评】考查了等边三角形的性质，平行线的性质，关键是证明是等边三角形．
14．（5分）甲、乙两位同学在10次定点投篮训练中（每次训练投8个），各次训练成绩（投中个数）的折线统计图如图所示，他们成绩的方差分别为与，则　　．（填“”、“ ”、“ ”中的一个）

【分析】利用折线统计图可判断乙同学的成绩波动较大，然后根据方差的意义可得到甲、乙的方差的大小．
【解答】解：由折线统计图得乙同学的成绩波动较大，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．也考查了方差的意义．
15．（5分）如图，在中，是边上的一点，以为直径的交于点，连接．若与相切，，则的度数为　　．

【分析】由直径所对的圆周角为直角得，由切线的性质可得，然后由同角的余角相等可得．
【解答】解：为的直径，
，
；
与相切，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了切线的性质、圆的相关概念及性质及互余关系等知识点，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．
16．（5分）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为，小正方形地砖面积为，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形．则正方形的面积为　　．（用含，的代数式表示）

【分析】如图，连接，，证明即可解决问题．
【解答】解：如图，连接，，

，
，
，，
，
，
，
正方形的面积．
故答案为．
【点评】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，图形的拼剪等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）
17．（8分）计算：．
【分析】直接利用绝对值的性质和二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：原式
．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简二次根式是解题关键．
18．（8分）解方程组：
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
则该方程组的解为
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19．（8分）人字折叠梯完全打开后如图1所示，，是折叠梯的两个着地点，是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，，，，求点离地面的高度．（结果精确到；参考数据，，，

【分析】过点作于点，根据等腰三角形的三线合一性质得的度数，进而得的度数，再解直角三角形得结果．
【解答】解：过点作于点，则，
，
，，
，
．

答：点离地面的高度约为．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，关键是构造直角三角形求得的度数．
20．（8分）小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间（单位：秒）与训练次数（单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当的值为6，8，10时，对应的函数值分别为，，，比较与的大小：　　．

【分析】（1）设与之间的函数关系式为：，把代入即可得到结论，
（2）把，8，10分别代入得到求得，，值，即可得到结论．
【解答】解：（1）设与之间的函数关系式为：，
把代入得，，
解得：，
与之间的函数关系式为；
（2）把，8，10分别代入得，，，，
，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．
21．（10分）如图，已知，，和相交于点．
（1）求证：；
（2）判断的形状，并说明理由．

【分析】（1）由“”可证；
（2）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，可求，可得，即可得结论．
【解答】证明：（1），，，
；
（2）是等腰三角形，
理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质是本题的关键．
22．（12分）新冠疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）．
参与度
人数
方式




录播
4
16
12
8
直播
2
10
16
12
（1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由．
（2）从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少？
（3）该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为，估计参与度在0.4以下的共有多少人？
【分析】（1）根据表格数据得出两种教学方式参与度在0.6以上的人数，比较即可作出判断；
（2）用表格中“直播”教学方式学生参与度在0.8以上的人数除以被调查的总人数即可估计对应概率；
（3）先根据“录播”和“直播”的人数之比为及该校学生总人数求出“直播”、“录播”人数，再分别乘以两种教学方式中参与度在0.4以下人数所占比例求出对应人数，再相加即可得出答案．
【解答】解：（1）“直播”教学方式学生的参与度更高：
理由：“直播”参与度在0.6以上的人数为28人，“录播”参与度在0.6以上的人数为20人，参与度在0.6以上的“直播”人数远多于“录播”人数，
所以“直播”教学方式学生的参与度更高；

（2），
答：估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是；

（3）“录播”总学生数为（人，“直播”总学生数为（人，
所以“录播”参与度在0.4以下的学生数为（人，
“直播”参与度在0.4以下的学生数为（人，
所以参与度在0.4以下的学生共有（人．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
23．（12分）如图，在中，，将沿直线翻折得到，连接交于点．是线段上的点，连接．是的外接圆与的另一个交点，连接，．
（1）求证：是直角三角形；
（2）求证：；
（3）当，时，在线段上存在点，使得和互相平分，求的值．

【分析】（1）想办法证明即可解决问题（也可以利用圆内接四边形的性质直接证明）．
（2）根据两角对应相等两三角形相似证明．
（3）证明四边形是平行四边形，推出，，由，可得，由，可得，由，推出，由此构建方程求解即可．
【解答】（1）证明：，，
，
，
是直角三角形．

（2）证明：，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．

（3）解：设交于．连接．
与互相平分，
四边形是平行四边形，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得（负根已经舍弃）．

【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
24．（14分）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为（单位：，如果在离水面竖直距离为（单位：的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）（单位：与的关系为．

应用思考：现用高度为的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高处开一个小孔．
（1）写出与的关系式；并求出当为何值时，射程有最大值，最大射程是多少？
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为，，要使两孔射出水的射程相同，求，之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离．
【分析】（1）将写成顶点式，按照二次函数的性质得出的最大值，再求的算术平方根即可；
（2）设存在，，使两孔射出水的射程相同，则，利用因式分解变形即可得出答案；
（3）设垫高的高度为，写出此时关于的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1），
当时，，
当时，有最大值400，
当时，有最大值．
当为何值时，射程有最大值，最大射程是；
（2），
设存在，，使两孔射出水的射程相同，则有：
，
，
，
，
，
，或，
或；
（3）设垫高的高度为，则，
当时，，
，此时．
垫高的高度为，小孔离水面的竖直距离为．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．