2023年浙江省台州市中考数学试卷

这是一份2023年浙江省台州市中考数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，四象限D．第一，填空题等内容，欢迎下载使用。

2023年浙江省台州市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）下列各数中，最小的是（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
2．（4分）如图是由5个相同的正方体搭成的立体图形，其主视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（4分）下列无理数中，大小在3与4之间的是（　　）
A． B．2 C． D．
4．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．2（a﹣1）＝2a﹣2 B．（a+b）2＝a2+b2
C．3a+2a＝5a2 D．（ab）2＝ab2
5．（4分）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．（4分）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（　　）

A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2）
7．（4分）以下调查中，适合全面调查的是（　　）
A．了解全国中学生的视力情况
B．检测“神舟十六号”飞船的零部件
C．检测台州的城市空气质量
D．调查某池塘中现有鱼的数量
8．（4分）如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（　　）

A． B．2 C． D．
9．（4分）如图，锐角三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD．下列命题中，假命题是（　　）

A．若CD＝BE，则∠DCB＝∠EBC B．若∠DCB＝∠EBC，则CD＝BE
C．若BD＝CE，则∠DCB＝∠EBC D．若∠DCB＝∠EBC，则BD＝CE
10．（4分）抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＜0，则直线y＝ax+k一定经过（　　）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）因式分解：x2﹣3x＝　 　．
12．（5分）一个不透明的口袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球，3个白球．随机摸出一个小球，摸出红球的概率是 　 　．
13．（5分）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为 　 　．

14．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 　 　．

15．（5分）3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有 　 　人．
16．（5分）如图，点C，D在线段AB上（点C在点A，D之间），分别以AD，BC为边向同侧作等边三角形ADE与等边三角形CBF，边长分别为a，b，CF与DE交于点H，延长AE，BF交于点G，AG长为c．
（1）若四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，则a，b，c之间的等量关系为 　 　；
（2）若四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为 　 　．

三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）解方程组：．
19．（8分）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图象高度AB抽象成如图所示的△ABC，∠BAC＝90°，黑板上投影图象的高度AB＝120cm，CB与AB的夹角∠B＝33.7°，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin33.7°≈0.55，cos33.7°≈0.83，tan33.7°≈0.67）

20．（8分）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm．
（1）求h关于ρ的函数解析式；
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度ρ．

21．（10分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C，BD为对角线．
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形；
（2）已知AD＞AB，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，顶点E，F分别在边BC，AD上（保留作图痕迹，不要求写作法）．

22．（12分）为了改进几何教学，张老师选择A，B两班进行教学实验研究，在实验班B实施新的教学方法，在控制班A采用原来的教学方法．在实验开始前，进行一次几何能力测试（前测，总分25分），经过一段时间的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试（后测），得到前测和后测数据并整理成表1和表2．
表1：前测数据
测试分数x
0＜x≤5
5＜x≤10
10＜x≤15
15＜x≤20
20＜x≤25
控制班A
28
9
9
3
1
实验班B
25
10
8
2
1
表2：后测数据
测试分数x
0＜x≤5
5＜x≤10
10＜x≤15
15＜x≤20
20＜x≤25
控制班A
14
16
12
6
2
实验班B
6
8
11
18
3
（1）A，B两班的学生人数分别是多少？
（2）请选择一种适当的统计量，分析比较A，B两班的后测数据．
（3）通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价．
23．（12分）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．
（1）如图1，当AB＝6，BP长为π时，求BC的长；
（2）如图2，当，时，求的值；
（3）如图3，当，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出的值．

24．（14分）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表：
流水时间t/min
0
10
20
30
40
水面高度h/cm（观察值）
30
29
28.1
27
25.8
任务1：分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】小组讨论发现：“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
任务2：利用t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3：（1）计算任务2得到的函数解析式的w值；
（2）请确定经过（0，30）的一次函数解析式，使得w的值最小；
【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案．


2023年浙江省台州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）下列各数中，最小的是（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【分析】正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小；据此进行判断即可．
【解答】解：∵|﹣1|＝1，|﹣2|＝2，1＜2，
∴﹣1＞﹣2，
则2＞1＞﹣1＞﹣2，
那么最小的数为：﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查有理数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．（4分）如图是由5个相同的正方体搭成的立体图形，其主视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形进行判断即可．
【解答】解：从正面看该组合体，其主视图是．
故选：C．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的前提．
3．（4分）下列无理数中，大小在3与4之间的是（　　）
A． B．2 C． D．
【分析】一个正数越大，其算术平方根越大；据此进行无理数的估算进行判断即可．
【解答】解：∵4＜7＜8＜9＜13＜16＜17，
∴＜＜＜＜＜＜，
即2＜＜2＜3＜＜4＜，
那么在3和4之间，
故选：C．
【点评】本题考查无理数的估算，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．2（a﹣1）＝2a﹣2 B．（a+b）2＝a2+b2
C．3a+2a＝5a2 D．（ab）2＝ab2
【分析】根据去括号法则，完全平方公式，合并同类项法则，积的乘方法则将各项计算后进行判断即可．
【解答】解：A．2（a﹣1）
＝2a﹣2×1
＝2a﹣2，
则A符合题意；
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2，
则B不符合题意；
C．3a+2a
＝（3+2）a
＝5a，
则C不符合题意；
D．（ab）2＝a2b2，
则D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
5．（4分）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接解一元一次不等式，再将解集在数轴上表示即可．
【解答】解：x+1≥2，
解得：x≥1，
在数轴上表示，如图所示：
．
故选：B．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式，正确解不等式是解题关键．
6．（4分）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（　　）

A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2）
【分析】直接利用“車”位于点（﹣2，2），得出原点的位置，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：“炮”所在位置的坐标为：（3，1）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
7．（4分）以下调查中，适合全面调查的是（　　）
A．了解全国中学生的视力情况
B．检测“神舟十六号”飞船的零部件
C．检测台州的城市空气质量
D．调查某池塘中现有鱼的数量
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
【解答】解：A．了解全国中学生的视力情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B．检测“神舟十六号”飞船的零部件，适合普查，故本选项符合题意；
C．检测台州的城市空气质量，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D．调查某池塘中现有鱼的数量，适合抽样调查，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
8．（4分）如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（　　）

A． B．2 C． D．
【分析】如图，由三角形三边关系分析可得当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为OB﹣AB，以此即可求解．
【解答】解：如图，点B为⊙O上一点，点D为正方形上一点，连接BD，OC，OA，AB，

由三角形三边关系可得，OB﹣OD＜BD，
OB是圆的半径，为定值，当点D在A时，取得最大值，
∴当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为OB﹣AB，
由题意可得，AC＝4，OB＝4，
∵点O为正方形的中心，
∴OA⊥OC，OA＝OC，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴OA＝＝＝，
∴圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为OB﹣AB＝4﹣．
故选：D．
【点评】本题主要考查正方形的性质、利用三角形三边关系求最值问题，利用三角形三边关系分析得出当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值是解题关键．
9．（4分）如图，锐角三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD．下列命题中，假命题是（　　）

A．若CD＝BE，则∠DCB＝∠EBC B．若∠DCB＝∠EBC，则CD＝BE
C．若BD＝CE，则∠DCB＝∠EBC D．若∠DCB＝∠EBC，则BD＝CE
【分析】由AB＝AC，得∠ABC＝∠ACB，而BC＝BC，∠DCB＝∠EBC，可得△DCB≌△EBC（ASA），故CD＝BE，判断选项B是真命题；BD＝CE，判断选项D是真命题；根据BC＝BC，∠ABC＝∠ACB，BD＝CE，得△DCB≌△EBC（SAS），有∠DCB＝∠EBC，判断选项C是真命题；不能证明CD＝BE时，∠DCB＝∠EBC，可判断选项A是假命题．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BC＝BC，∠DCB＝∠EBC，
∴△DCB≌△EBC（ASA），
∴CD＝BE，故选项B是真命题，不符合题意；
BD＝CE，故选项D是真命题，不符合题意；
∵BC＝BC，∠ABC＝∠ACB，BD＝CE，
∴△DCB≌△EBC（SAS），
∴∠DCB＝∠EBC，故选项C是真命题，不符合题意；
不能证明CD＝BE时，∠DCB＝∠EBC，故选项A是假命题，符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查命题与定理，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质及应用，解题的关键是掌握全等三角形判定定理．
10．（4分）抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＜0，则直线y＝ax+k一定经过（　　）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
【分析】根据已知条件可得出ax2﹣kx﹣a＝0，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
∴kx＝ax2﹣a，
∴ax2﹣kx﹣a＝0，
∴，
∴，
当a＞0，k＜0时，直线y＝ax+k经过第一、三、四象限，
当a＜0，k＞0时，直线y＝ax+k经过第一、二、四象限，
综上，直线y＝ax+k一定经过一、四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）因式分解：x2﹣3x＝　x（x﹣3）　．
【分析】提取公因式x即可．
【解答】解：原式＝x•x﹣x•3
＝x（x﹣3），
故答案为：x（x﹣3）．
【点评】本题考查提公因式法因式分解，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12．（5分）一个不透明的口袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球，3个白球．随机摸出一个小球，摸出红球的概率是 　　．
【分析】利用红球的个数÷球的总个数可得红球的概率．
【解答】解：∵一个口袋里有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球，3个白球，
∴摸到红球的概率是．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率公式，关键是掌握概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（5分）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为 　140°　．

【分析】利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解．
【解答】解：如图，标注三角形的三个顶点A、B、C．
∠2＝∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB．
∵图案是由一张等宽的纸条折成的，
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
又∵纸条的长边平行，
∴∠ABC＝∠1＝20°，
∴∠2＝∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2∠1＝180°﹣2×20°＝140°．
故答案为：140°．

【点评】本题比较简单，主要考查了平行线的性质的运用．
14．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 　　．

【分析】根据矩形的性质可得出∠AEB＝∠FBC，结合已知BE＝BC，利用AAS证得△ABE和△FCB全等，得出FC＝AB＝4，再根据矩形的性质得到BC＝AD＝6，从而在Rt△FCB中利用勾股定理求出BF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠AEB＝∠FBC，
∵CF⊥BE，
∴∠CFB＝90°，
∴∠CFB＝∠A，
在△ABE和△FCB中，
，
∴△ABE≌△FCB（AAS），
∴FC＝AB＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝6，
在Rt△FCB中，由勾股定理得，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，熟知矩形的对边平行且相等，四个角都是直角．
15．（5分）3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有 　3　人．
【分析】可设第一组有x人，则第二组有（x+6）人，根据两组平均每人植树的棵数相等，列出方程计算即可求解．
【解答】解：设第一组有x人，则第二组有（x+6）人，依题意有：
＝，
解得x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解．
故第一组有3人．
故答案为：3．
【点评】本题考查了应用类问题，关键是根据两组平均每人植树的棵数相等找到等量关系．
16．（5分）如图，点C，D在线段AB上（点C在点A，D之间），分别以AD，BC为边向同侧作等边三角形ADE与等边三角形CBF，边长分别为a，b，CF与DE交于点H，延长AE，BF交于点G，AG长为c．
（1）若四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，则a，b，c之间的等量关系为 　5a+5b＝7c　；
（2）若四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为 　a2+b2＝c2　．

【分析】（1）由△ADE和△CBF是等边三角形，可得△CDH和△ABG是等边三角形，DE∥BG，CF∥AG，即知EG＝AG﹣AE＝c﹣a，GF＝BG﹣BF＝c﹣b，根据四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，有2[（c﹣a）+（c﹣b）]＝3（a+b﹣c），故5a+5b＝7c；
（2）由S四边形EHFG＝S△ABG﹣S△BCF﹣S△ADE+S△CDH，四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，可得S△ABG＝S△BCF+S△ADE，即c2＝a2+b2，从而可得a2+b2＝c2．
【解答】解：（1）∵△ADE和△CBF是等边三角形，
∴∠A＝∠ADE＝∠B＝∠BCF＝60°，
∴△CDH和△ABG是等边三角形，DE∥BG，CF∥AG，
∴四边形EHFG是平行四边形，AB＝AG＝BG＝c，CH＝DH＝CD＝AD+BC﹣AB＝a+b﹣c，
∴EG＝AG﹣AE＝c﹣a，GF＝BG﹣BF＝c﹣b，
∵四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，
∴2[（c﹣a）+（c﹣b）]＝3（a+b﹣c），
整理得：5a+5b＝7c，
故答案为：5a+5b＝7c；
（2）∵S四边形EHFG＝S△ABG﹣S△BCF﹣S△ADE+S△CDH，四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，
∴S△ABG﹣S△BCF﹣S△ADE+S△CDH＝S△CDH，
∴S△ABG＝S△BCF+S△ADE，
∵△ABG，△ADE和△CBF是等边三角形，
∴c2＝a2+b2，
∴c2＝a2+b2，
故答案为：a2+b2＝c2．
【点评】本题考查等边三角形的性质及应用，解题的关键是用含a，b，c的代数式表示相关线段的长度．
三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）
17．（8分）计算：．
【分析】根据有理数的乘方，绝对值的性质，算术平方根进行计算即可．
【解答】解：22+|﹣3|﹣
＝4+3﹣
＝4+3﹣5
＝7﹣5
＝2．
【点评】本题考查实数的运算，实数的相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
18．（8分）解方程组：．
【分析】利用加减消元法求解即可．
【解答】解：，
①+②得3x＝9，
解得x＝3，
把x＝3代入①，得3+y＝7，
解得y＝4，
∴方程组的解是．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
19．（8分）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图象高度AB抽象成如图所示的△ABC，∠BAC＝90°，黑板上投影图象的高度AB＝120cm，CB与AB的夹角∠B＝33.7°，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin33.7°≈0.55，cos33.7°≈0.83，tan33.7°≈0.67）

【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝120cm，∠BAC＝90°，∠B＝33.7°，
∴tanB＝，
∴AC＝AB•tan33.7°≈120×0.67＝80.4≈80（cm），
∴AC的长约为80cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20．（8分）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm．
（1）求h关于ρ的函数解析式；
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度ρ．

【分析】（1）设h关于ρ的函数解析式为 ，把ρ＝1，h＝20代入解析式，解方程即可得到结论；
（2）把 h＝25 代入 ，求得ρ＝0.8，于是得到结论．
【解答】解：（1）设h关于ρ的函数解析式为 ，
把ρ＝1，h＝20代入解析式，得k＝1×20＝20，
∴h关于ρ的函数解析式为 ；
（2）把 h＝25 代入 ，得 ，
解得：ρ＝0.8，
答：该液体的密度ρ为 0.8g/cm3．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
21．（10分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C，BD为对角线．
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形；
（2）已知AD＞AB，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，顶点E，F分别在边BC，AD上（保留作图痕迹，不要求写作法）．

【分析】（1）证明AB∥CD，可得结论；
（2）作线段BD的垂直平分线交AD与点F交BC与点E即可．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，∠A＝∠C，
∴180°﹣（∠ADB+∠A）＝180°﹣（∠CBD+∠C），
即∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）解：如图，四边形BEDF就是所求作的菱形．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（12分）为了改进几何教学，张老师选择A，B两班进行教学实验研究，在实验班B实施新的教学方法，在控制班A采用原来的教学方法．在实验开始前，进行一次几何能力测试（前测，总分25分），经过一段时间的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试（后测），得到前测和后测数据并整理成表1和表2．
表1：前测数据
测试分数x
0＜x≤5
5＜x≤10
10＜x≤15
15＜x≤20
20＜x≤25
控制班A
28
9
9
3
1
实验班B
25
10
8
2
1
表2：后测数据
测试分数x
0＜x≤5
5＜x≤10
10＜x≤15
15＜x≤20
20＜x≤25
控制班A
14
16
12
6
2
实验班B
6
8
11
18
3
（1）A，B两班的学生人数分别是多少？
（2）请选择一种适当的统计量，分析比较A，B两班的后测数据．
（3）通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价．
【分析】（1）将表格中A、B班各等级人数分别相加即可得出答案；
（2）分别计算出A、B班级成绩的平均数，再从平均数、中位数和百分率方面求解即可；
（3）计算出前测A、B班级成绩的平均数，再与后测的平均数、中位数及百分率分析求解即可．
【解答】解：（1）A班的人数：28+9+9+3+1＝50（人），
B班的人数：25+10+8+2+1＝46（人），
答：A，B两班的学生人数分别是50人，46人．

（2）＝＝9.1，
＝≈12.9，
从平均数看，B班成绩好于A班成绩．
从中位数看，A班中位数在5＜x≤10这一范围，B班中位数在10＜x≤15这一范围，B班成绩好于A班成绩．
从百分率看，A班15分以上的人数占16%，B班15分以上的人数约占46%，B班成绩好于A班成绩．

（3）前测结果中：
，
．4，
从平均数看，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．
从中位数看，两班前测中位数均在0＜x≤5这一范围，后测A班中位数在5＜x≤10这一范围，B班中位数在10＜x≤15这一范围，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．
从百分率看，A班15分上的人数增加了100%，B班15分以上的人数增加了600%，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．
【点评】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握加权平均数、中位数的定义和意义．
23．（12分）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．
（1）如图1，当AB＝6，BP长为π时，求BC的长；
（2）如图2，当，时，求的值；
（3）如图3，当，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出的值．

【分析】（1）连接OP，设∠BOP的度数为n，可得＝π，n＝60，即∠BOP＝60°，故∠BAP＝30°，而直线l是⊙O的切线，有∠ABC＝90°，从而BC＝＝2；
（2）连接BQ，过点C作CF⊥AD于点F，求出cos∠BAQ＝＝，由＝，得∠BAC＝∠DAC，有CF＝BC，证明∠FCD＝∠BAQ，即得＝，故＝；
（3）连接BQ，证明△APQ∽△ADC，得＝①，证明△APB∽△ABC，得 ②，由BC＝CD，将①②两式相除得：＝，故＝．
【解答】解：（1）如图，连接OP，

设∠BOP的度数为n°，
∵AB＝6，长为π，
∴＝π，
∴n＝60，即∠BOP＝60°，
∴∠BAP＝30°，
∵直线l是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
∴BC＝＝2；
（2）如图，连接BQ，过点C作CF⊥AD于点F，

∵AB为⊙O直径，
∴∠BQA＝90°，
∴cos∠BAQ＝＝，
∵＝，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵CF⊥AD，AB⊥BC，
∴CF＝BC，
∵∠BAQ+∠ADB＝90°，∠FCD+∠ADB＝90°，
∴∠FCD＝∠BAQ，
∴cos∠FCD＝cos∠BAQ＝，
∴＝，
∴＝；
（3）如图，连接BQ，

∵AB⊥BC，BQ⊥AD，
∴∠ABQ＝90°﹣∠QBD＝∠ADC，
∵∠ABQ＝∠APQ，
∴∠APQ＝∠ADC，
∵∠PAQ＝∠DAC，
∴△APQ∽△ADC，
∴＝①，
∵∠ABC＝90°＝∠APB，∠BAC＝∠PAB，
∴△APB∽△ABC，
∴②，
由BC＝CD，将①②两式相除得：
＝，
∵cos∠BAQ＝＝，
∴＝．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，圆的切线等知识，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质及应用．
24．（14分）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表：
流水时间t/min
0
10
20
30
40
水面高度h/cm（观察值）
30
29
28.1
27
25.8
任务1：分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】小组讨论发现：“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
任务2：利用t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3：（1）计算任务2得到的函数解析式的w值；
（2）请确定经过（0，30）的一次函数解析式，使得w的值最小；
【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案．

【分析】任务1：依表计算即可；
任务2：根据待定系法确定关系式即可；
任务3：（1）根据题意计算即可；（2）设h＝kt+30，代入w计算化简，利用二次函数性质求w的最小值即可；
任务4：按照上一问题中的结论设计即可．
【解答】解：任务1：
变化量分别为：29﹣30＝﹣1（cm）；28.1﹣29＝﹣0.9（cm）；27﹣28.1＝﹣1.1（cm）；25.8﹣27＝﹣1.2（cm），
∴每隔10min水面高度观察值的变化量为：﹣1，﹣0.9，﹣1.1，﹣1.2．
任务2：
设水面高度h与流水时间t的函数解析式为h＝kt+b，
∵t＝0 时，h＝30；t＝10时，h＝29；
∴，
解得：，
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为h＝﹣0.1t+30；
任务3：
（1）w＝（30﹣30）²+（29﹣29）2+（28﹣28.1）2+（27﹣27）2+（26﹣25.8）2
＝0.05．
（2）w＝（10k+30﹣30）2+（10k+30﹣29）2+（10k+30﹣28.1）2+（10k+30﹣27）2+（10k+30﹣25.8）2
＝3000（k+0.102）2﹣0.038，
∴当k＝﹣0.102时，w的最小值为0.038．
任务4：
在容器外壁每隔1.02cm标记一次刻度，这样水面每降低一个刻度，就代表时间经过了10分钟．
【点评】本题考查了一次函数的应用，充分理解题意是解题关键．
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