人教版 (2019)必修 第二册1 行星的运动导学案

这是一份人教版 (2019)必修 第二册1 行星的运动导学案，共19页。

2．明确开普勒三大定律，能应用三大定律分析问题。
3．知道开普勒第三定律中的比值与行星的质量无关，但与太阳的质量有关。
4．理解人们对行星运动的认识过程是漫长且复杂的，真理是来之不易的。
地心说和日心说 开普勒定律
1．地心说
地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、月球以及其他星体都绕地球运动。
2．日心说
太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动。
3．开普勒定律
(1)开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
(2)开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
(3)开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。其表达式为a3T2＝k，其中a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，k是一个对所有行星都相同的常量。
火星冲日，是指火星位于日、地连线上，并且和地球位于太阳的同一侧，火星冲日一般每两年零两个月左右发生一次，此时火星与地球的距离比平时近，因此探测火星的宇宙飞船每两年多才发射一次，以节省燃料和节约时间。
【问题】
(1)地球绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳所处的位置在哪里？
(2)地球经过近日点和远日点时的速率在哪点较大？
(3)已知地球的公转周期是一年，由此计算火星的公转周期还需要知道哪些数据？
提示：(1)太阳的位置在其椭圆轨道的一个焦点上。
(2)由开普勒第二定律可知，在相等的时间内，地球与太阳的连线扫过的面积相等，显然相距较近时相等时间内经过的弧长较长，因此运动速率较大。
(3)还需要知道地球、火星各自轨道的半长轴。
1．开普勒第一定律解决了行星运动的轨道问题
行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，如图所示。不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的，但所有轨道都有一个共同的焦点——太阳。开普勒第一定律又叫轨道定律。
2．开普勒第二定律比较了某个行星在椭圆轨道上不同位置的速度大小问题
(1)如图所示，在相等的时间内，面积SA＝SB，这说明离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大；离太阳越远，行星的速率越小。开普勒第二定律又叫面积定律。
(2)近日点、远日点分别是行星距离太阳最近、最远的点。同一行星在近日点时速度最大，在远日点时速度最小。
3．开普勒第三定律比较了不同行星周期的长短问题
(1)如图所示，由a3T2＝k知椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长。比值k是一个与太阳有关而与行星无关的常量。开普勒第三定律又叫周期定律。
(2)该定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动，对于地球卫星，常量k只与地球有关，而与卫星无关，也就是说k值的大小由中心天体决定。
【典例1】 火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
C [太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误；火星与木星轨道不同，在运行时速度不可能始终相等，B错误；“在相等的时间内，行星与太阳的连线扫过的面积相等”是对于同一颗行星而言的，不同的行星不具有可比性，D错误；根据开普勒第三定律，对同一中心天体来说，行星轨道的半长轴的三次方与其公转周期的平方的比值为一定值，C正确。]
开普勒行星运动定律的三点注意
(1)开普勒三大定律是通过对行星运动的观察结果总结而得出的规律，它们都是经验定律。
(2)开普勒第二定律与第三定律的区别：前者揭示的是同一行星在距太阳不同距离时的运动快慢的规律，后者揭示的是不同行星运动快慢的规律。
(3)绕同一中心天体运动的轨道分别为椭圆、圆的星体，k值相等，即r3T12＝a3T22＝k。
[跟进训练]
1．下列说法正确的是( )
A．太阳是宇宙的中心，地球、月球及其他行星都绕地球运动
B．地球是绕太阳运动的一颗行星
C．太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动
D．地心说正确反映了天体运动的规律
B [太阳是太阳系的中心，地球、月球及其他行星都绕太阳运动，故A错误；地球是绕太阳运动的一颗行星，还有水星、金星等，故B正确；静止是相对的，太阳在宇宙系中也是运动的，故C错误；日心说正确反映了天体运动的规律，地心说是错的，故D错误。]
2．北京冬奥会开幕式二十四节气倒计时惊艳全球，如图所示是地球沿椭圆轨道绕太阳运行时所处的不同位置对应的节气，下列说法正确的是( )
A．夏至时地球与太阳的连线在单位时间内扫过的面积最大
B．从冬至到春分的运行时间等于从春分到夏至的运行时间
C．太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上
D．若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，a3T2＝k，则地球和火星对应的k值不同
C [由开普勒第二定律可知地球与太阳的连线在单位时间内扫过的面积都相等，故A错误；地球经历春夏秋冬，由题图可知是逆时针方向运行，冬至为近日点，运行速度最大，夏至为远日点，运行速度最小，所以从冬至到春分的运行时间小于从春分到夏至的运行时间，故B错误；根据开普勒第一定律可知，太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上，故C正确；由开普勒第三定律可知地球和火星对应的k值是相同的，故D错误。]
开普勒定律的应用
行星的轨道与圆十分接近，在中学阶段的研究中我们可按圆轨道处理。这样就可以说：
1．行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。
2．对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)大小不变，即行星做匀速圆周运动。
3．所有行星轨道半径r的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，即r3T2＝k。
地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆，天文学家哈雷曾经在1682年详细观测过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球轨道半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现，哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。
【问题】
(1)哈雷彗星最近出现的时间是1986年，能否估算它下次飞近地球是哪一年？
(2)地球、火星的轨道可近似看成圆轨道，开普勒第三定律还适用吗？
提示：(1)能。因r3T2＝k，其中T为行星绕太阳公转的周期，r为轨道的半长轴，k是对太阳系中的任何行星都相同的常量，通过计算可知，哈雷彗星下一次飞近地球是2062年。
(2)对于圆轨道，开普勒第三定律仍然适用，只是a3T2＝k中的半长轴a换成圆轨道的半径r。
1．开普勒第二定律的应用
行星在近日点和远日点时，速度方向与行星和太阳的连线垂直，若行星在近日点和远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够短的时间Δt，行星与太阳的连线扫过的面积，可看作三角形，由开普勒第二定律得12vaΔt·a＝12vbΔt·b，所以vavb＝ba，即速率与行星到太阳的距离成反比。
2．开普勒第三定律的应用
(1)行星绕中心天体做椭圆运动时，其公转周期与轨道半长轴的关系满足a3T2＝k。
(2)行星绕中心天体做圆周运动时，其公转周期与轨道半径的关系满足r3T2＝k。
(3)绕同一中心天体运动的行星，有的轨迹为椭圆，有的轨迹为圆，则满足a3T2＝r3T2＝k。
开普勒第二定律的应用
【典例2】 如图所示，某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时行星的速率为( )
A．vb＝bava B．vb＝abva
C．vb＝abvaD．vb＝bava
C [如图所示，若行星从轨道上的A点经足够短的时间t运动到A′点，则与太阳的连线扫过的面积可看作三角形，其面积SA＝a·vat2；若行星从轨道上的B点也经时间t运动到B′点，则与太阳的连线扫过的面积SB＝b·vt2，根据开普勒第二定律，得a·vat2＝b·vt2，即vb＝abva，故C正确。]
开普勒第三定律的应用
【典例3】 地球到太阳的距离为水星到太阳距离的2.6 倍，那么地球和水星绕太阳运转的线速度之比为多少？
[思路点拨] 由开普勒第三定律先求出周期之比，然后由圆周运动有关公式计算。
[解析] 设地球和水星到太阳的距离分别为R1、R2，运行周期分别为T1、T2，线速度分别为v1、v2。根据开普勒第三定律有R13T12＝R23T22①
可认为地球和水星均绕太阳做匀速圆周运动，故有
T1＝2πR1v1②
T2＝2πR2v2③
由①②③式联立解得
v1v2＝R2R1＝12.6＝6513。
[答案] 6513
[跟进训练]
3．(多选)一颗卫星绕地球做椭圆运动，如图所示，运动周期为T，图中虚线为卫星的运行轨迹，A、B、C、D是轨迹上的四个位置，其中A距离地球最近，C距离地球最远。B和D点是弧线ABC和ADC的中点。下列说法正确的是( )
A．卫星在C点的速度最大
B．卫星在C点的速度最小
C．卫星从A经D到C点的运动时间为T2
D．卫星从B经A到D点的运动时间为T2
BC [根据开普勒第二定律可知，卫星在A点的速度最大，在C点的速度最小，故A错误，B正确；根据开普勒第二定律可推知，卫星从A经D到C点的运动时间为T2，卫星从B经A到D点的运动时间小于T2，故C正确，D错误。]
4．阋神星是现已知太阳系中第二大的矮行星。若将地球和阋神星绕太阳的运动看作匀速圆周运动，它们的运行轨道如图所示。已知阋神星绕太阳运行一周的时间约为557年，设地球绕太阳运行的轨道半径为R，则阋神星绕太阳运行的轨道半径约为( )
A．3557R B．2557R
C．35572RD．25572R
C [由开普勒第三定律R地3T地2＝r阋3T阋2，解得r阋＝35572R，故C正确。]
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．太阳系中的八大行星有一个共同的轨道焦点
B．行星的运动方向总是沿着轨道的切线方向
C．行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直
D．太阳是静止不动的
AB [太阳系中八大行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，而太阳位于八大行星椭圆轨道的一个共同焦点上，故A正确；行星的运动轨道为椭圆，即行星做曲线运动，速度方向沿轨道的切线方向，故B正确；椭圆上某点的切线并不一定垂直于此点与太阳的连线，故C错误；太阳并非静止，它围绕银河系的中心不断转动，故D错误。]
2．下列关于开普勒行星运动定律的说法正确的是( )
A．所有行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳处于圆心位置
B．在相同时间内，行星A与太阳的连线扫过的面积等于行星B与太阳的连线扫过的面积
C．所有行星轨道半径与公转周期的比值都相等
D．任意一行星绕太阳公转时，离太阳越近，线速度越大
D [由开普勒第一定律可知，所有行星绕太阳运动的轨道为椭圆，太阳处于椭圆轨道的一个焦点上，A错误；由开普勒第二定律可知，在相同时间内，不是同一个行星，扫过的面积不相等，B错误；由开普勒第三定律可知，所有行星轨道的半长轴的三次方与公转周期的二次方的比都相等，C错误；由开普勒第二定律可知，任意一行星绕太阳公转时，速率与行星到太阳的距离成反比，即靠近太阳的过程，线速度变大，D正确。]
3．墨子号是由中国自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，标志着中国在量子通信技术方面走在了世界前列。其运行轨道为如图所示的绕地球E运动的椭圆轨道，地球E位于椭圆的一个焦点上。轨道上标记了墨子卫星经过相等时间间隔Δt=T14，T为轨道周期的位置。则下列说法正确的是( )
A．面积S1>S2
B．卫星在轨道A点的速度小于其在B点的速度
C．T2＝Ca3，其中C为常数，a为椭圆半长轴
D．T2＝C′b3，其中C′为常数，b为椭圆半短轴
C [根据开普勒第二定律可知，卫星与地球的连线在相同时间内扫过的面积相等，故S1＝S2，A错误；设卫星在A点、B点经过相同很短的时间Δt，卫星与地球连线扫过的面积SA＝SB，由于时间Δt很短，则这两个图形均可看作三角形，则根据开普勒第二定律，12vAΔt·rA＝12vBΔt·rB，且知rAvB，B错误；根据开普勒第三定律：所有行星轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等，即a3T2＝k，整理可得T2＝1ka3＝Ca3，其中C＝1k，为常数，a为椭圆半长轴，故C正确，D错误。]
4．我国于1970年4月发射的第一颗人造卫星东方红一号还在运行，东方红一号运行的轨道是椭圆，近地点A点距地面的高度是h1，远地点距地面的高度为h2，若地球的半径为R，地球同步轨道卫星距地面的高度为6R，则“东方红一号”与地球同步卫星绕地球运行的周期之比为( )
A．h1+h26R23B．h1+h2R32
C．h1+h2+2R12R32D．h1+h2+2R14R32
D [东方红一号卫星的轨道半长轴为a＝h1+h2+2R2，地球同步卫星的轨道半径为r＝R＋6R＝7R，设东方红一号卫星的周期为T1，地球同步卫星的周期为T2，根据开普勒第三定律得a3T12＝r3T22，联立可得T1T2＝h1+h2+2R14R32，故D正确，A、B、C错误。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．开普勒定律的内容是什么？
提示：(1)开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
(2)开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
(3)开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。因此有a3T2＝k，式中的k是对绕太阳运动的所有行星都相同的常量。
2．当把行星运动看成圆周运动时，公式a3T2＝k中的a指的是什么？
提示：轨道半径。
课时分层作业(八)
题组一 对开普勒定律的理解
1．关于行星运动的规律，下列说法正确的是( )
A．开普勒在牛顿运动定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒行星运动定律仅适用于行星绕太阳运动
B [开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，但并没有找出其中的原因，A、C错误，B正确；开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运动，还适用于宇宙中其他卫星绕行星的运动，D错误。]
2．关于行星绕太阳的运动，下列说法正确的是( )
A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动
B．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处
C．离太阳越近的行星公转周期越小
D．离太阳越近的行星公转周期越大
C [根据开普勒第一定律，行星在各自的椭圆轨道上绕太阳运动，太阳位于椭圆的一个焦点上，故A、B错误；根据开普勒第三定律，行星绕太阳运动的周期的平方与轨道半长轴的立方成正比，且离太阳越近的行星半长轴越短，所以离太阳越近的行星公转周期越小，故C正确，D错误。]
3．如图所示，S1、S2、S3为火星与太阳连线在相等时间内扫过的任意三个面积，由开普勒行星运动定律可知( )
A．S1C．S1＝S2D [根据开普勒第二定律可知，行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积相等，则有S1＝S2＝S3，故D正确。]
4．(多选)(2020·江西南昌实验中学月考)以下关于开普勒行星运动的公式a3T2＝k的理解正确的是( )
A．k是一个与环绕天体无关的量
B．T表示行星运动的自转周期
C．T表示行星运动的公转周期
D．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为a地，周期为T地；月球绕地球运转轨道的半长轴为a月，周期为T月，则a地3T地2＝a月3T月2
AC [公式a3T2＝k中的k与中心天体有关，与环绕天体无关，中心天体不一样时，k值不一样，地球公转的中心天体是太阳，月球公转的中心天体是地球，故A正确，D错误；T表示行星运动的公转周期，故B错误，C正确。]
题组二 开普勒定律的应用
5．(多选)如图所示，围绕地球的两个轨道P、Q，轨道P是半径为4R的圆轨道，轨道Q是椭圆轨道，其近地点a与地心的距离为2R，远地点b与地心的距离为10R。假设卫星在圆轨道上运行的周期为T1，在椭圆轨道运行的周期为T2，在近地点a的速度为va ，在远地点b的速度为vb，则下列判断正确的是( )
A．T1>T2 B．T1C．vavb
BD [因为轨道P的半径小于轨道Q的半长轴，则根据开普勒第三定律a3T2＝k得，T16．某人造地球卫星运行时，其轨道半径为月球轨道半径的1/3，已知月球环绕地球的运行周期为27天，则此卫星运行周期大约是( )
A．3～5天 B．5～7天
C．7～9天D．大于9天
B [月球绕地球运行的周期约为27天，根据开普勒第三定律a3T2＝k得，r3T2＝r月3T月2，则T＝33(天)≈5.2(天)，故B正确。]
7．地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。天文学家曾经跟踪过一颗彗星，假设这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的9倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会再次出现。
(1)若这颗彗星在近日点的线速度为v1，在远日点的线速度为v2，则哪个线速度大？
(2)如果这颗彗星最近出现的时间是2020年，它下次飞近地球大约是哪一年？
[解析] (1)根据开普勒第二定律可知，近日点的线速度较大，即有v1>v2。
(2)由开普勒第三定律知r3T2＝k，得r彗星r地3＝T彗星T地2
解得T彗星＝93T地＝27年，即下次飞近地球大约为(2020＋27)年＝2047年。
[答案] (1)v1 (2)2047年
8．我国古代人根据天地运行规律来确定四季循环的起点与终点，并划分为二十四节气。二十四节气，代表着地球在公转轨道上的二十四个不同的位置。如图所示，从天体物理学可知地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处的四个位置，分别对应我国的四个节气。以下说法正确的是( )
A．地球绕太阳做匀速率椭圆轨道运动
B．地球从冬至至春分的时间小于地球公转周期的四分之一
C．地球绕太阳运行方向(正对纸面)是顺时针
D．秋分时地球公转速度最大
B [根据开普勒第二定律可知，近日点速率最大，远日点速率最小，冬至时地球公转速度最大，所以地球绕太阳做变速率的椭圆轨道运动，则A、D错误；地球从冬至至夏至的时间为地球公转周期的二分之一，由于近日点速率最大，远日点速率最小，所以地球从冬至至春分的时间小于地球公转周期的四分之一，则B正确；地球绕太阳运行方向(正对纸面)是逆时针，C错误。]
9．如图所示，B为绕地球沿椭圆轨道运行的卫星，椭圆的半长轴为a，运行周期为TB；C为绕地球沿圆周运动的卫星，圆周的半径为r，运行周期为TC。下列说法或关系式正确的是( )
A．地球位于B卫星轨道的一个焦点上，位于C卫星轨道的圆心上
B．卫星B和卫星C运动的速度大小均不变
C．a3TB3＝r3TC3，该比值的大小与地球有关
D．a3TB3≠r3TC3，该比值的大小不仅与地球有关，还与太阳有关
A [由开普勒第一定律可知地球位于B卫星轨道的一个焦点上，位于C卫星轨道的圆心上，A正确；由开普勒第二定律可知，B卫星绕地球转动时速度大小在不断变化，C卫星绕地球做匀速圆周运动，B错误；由开普勒第三定律可知a3TB2＝r3TC2＝k，该比值的大小仅与地球有关，则a3TB3≠r3TC3，该比值大小和地球、轨道半径都有关，中心天体是地球，比值与太阳无关，C、D错误。]
10．太阳系中的八大行星的轨道均可以近似看成圆轨道。下列四幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像。图中坐标系的横轴是lg TT0，纵轴是lg RR0；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。如图所示的四幅图中，正确的是( )
A B
C D
B [根据开普勒第三定律，公转周期的二次方与轨道半径的三次方成正比，可得R3＝kT2，R03＝kT02，两式相除后取对数，得lgR3R03＝lgT2T02，整理得3lg RR0＝2lg TT0，故B正确。]
11．如图所示，地球卫星P绕地球做匀速圆周运动，地球相对卫星的张角为θ＝2α；另一卫星Q(图中未画出)的张角为4α。则P与Q的周期之比为( )
A．sin3αsin22αB．sin32αsin3α
C．sin3αsin32αD．sin32αsin3α
D [设地球半径为R，根据几何关系可知，卫星P的轨道半径r1＝RsinαQ的轨道半径r2＝Rsin2α，根据开普勒第三定律r3T2＝k，可知P与Q的周期之比为T1T2＝sin32αsin3α，故D正确。]
12．天问一号探测器由长征五号运载火箭直接送入地火转移轨道，成为一颗人造行星，与地球、火星共同绕太阳公转，并逐渐远离地球，飞向火星，其运动轨道如图所示。若地球到太阳的平均距离为1Au(天文单位)，火星到太阳的平均距离为1.5 Au，则天问一号在地火转移椭圆轨道上运动的周期约为( )
A．0.8年 B．1.4年
C．2.2年D．2.6年
B [天问一号做椭圆运动的半长轴为r天＝12×(1＋1.5)Au＝1.25 Au，根据开普勒第三定律，可得r地3T地2＝r天3T天2，地球公转周期为T地＝1年，解得T天≈1.4年，故B正确。]
13．飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T。如果飞船要返回地面，可在轨道上某点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切，如图所示。如果地球半径为R0，求：
(1)飞船由A点运动到B点所需要的时间；
(2)飞船在半径为R的圆周轨道与椭圆轨道上运行时的周期之比。
[解析] (1)飞船沿椭圆轨道返回地面，由题图可知，飞船由A点到B点所需要的时间刚好是沿题图中整个椭圆运动周期的一半，椭圆轨道的半长轴为R+R02，设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T′
根据开普勒第三定律有R3T2＝R+R023T'2
解得T′＝TR+R02R3＝R+R0T2RR+R02R
所以飞船由A点到B点所需要的时间为
t＝T'2＝R+R0T4RR+R02R。
(2)由R3T2＝k知
周期之比TT'＝R3R+R023＝8R3R+R03。
[答案] (1)R+R0T4RR+R02R (2)8R3R+R03