专题5.1 开普勒三定律与万有引力定律-2021年高考物理一轮复习考点扫描学案

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc19015" 【考点扫描】 PAGEREF _Tc19015 1
\l "_Tc4165" 1． 开普勒行星运动定律 PAGEREF _Tc4165 1
\l "_Tc2213" 2． 牛顿得出万有引力定律的过程（三个阶段） PAGEREF _Tc2213 1
\l "_Tc2987" 3． 万有引力定律 PAGEREF _Tc2987 2
\l "_Tc7323" 4． 重力加速度 PAGEREF _Tc7323 2
\l "_Tc16503" 5. 引力加速度、重力加速度和向心加速度的区别 PAGEREF _Tc16503 2
\l "_Tc8911" 6． 球体内部万有引力的两个有用推论 PAGEREF _Tc8911 2
\l "_Tc23599" 7． 黄金代换与抛体、圆周运动的综合 PAGEREF _Tc23599 3
\l "_Tc28738" 8． 星球瓦解问题 PAGEREF _Tc28738 3
\l "_Tc3873" 【典例分析】 PAGEREF _Tc3873 3
\l "_Tc3632" 【专题精练】 PAGEREF _Tc3632 6
【考点扫描】
1． 开普勒行星运动定律
三点说明：
①开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，对于卫星绕行星运转，也遵循类似的运动规律。
②比例系数k与中心天体质量有关，与行星或卫星质量无关，是个常量，但不是恒量，在不同的星系中，k值不相同。
③行星运动近似圆处理。
2． 牛顿得出万有引力定律的过程（三个阶段）
第一阶段：行星环绕太阳运动理想化质点围绕太阳做匀速圆周运动
太阳对行星的引力是行星做匀速圆周运动的向心力，由牛顿第二定律 又因为开普勒第三定律 太阳对行星的引力是跟行星的质量成正比，跟行星到太阳的距离的二次方成反比。
第二阶段：由牛顿第三定律
行星对太阳的引力跟太阳的质量成正比，跟行星到太阳的距离的二次方成反比。即
行星与太阳间的引力大小跟这两者的质量的乘积成正比，而与它们距离 的平方成反比。即
将其写成等式，则为
第三阶段：月地检验。牛顿在研究了太阳与行星间的引力关系后认为，太阳、行星都不是特殊天体，因此他认为这一规律也应适用于其它天体间，其它物体间。
3． 万有引力定律
(1)公式：F＝Geq \f(m1m2,r2)，其中G＝6.67×10－11N·m2/kg2，叫做引力常量。
(2)适用条件：此公式适用于质点间的相互作用。当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离。
4． 重力加速度
5.引力加速度、重力加速度和向心加速度的区别
地球赤道物体：引力加速度=重力加速度+（自转）向心加速度
天上环绕星球：引力加速度=重力加速度=（公转）向心加速度
6． 球体内部万有引力的两个有用推论
(1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即ΣF引＝0.
(2)推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝Geq \f(M′m,r2).
7． 黄金代换与抛体、圆周运动的综合
①黄金代换（g为星球表面重力加速度）
②自由落体运动;
③竖直上抛上升时间；上升高度
④平抛运动水平射程
⑤竖直面单层轨道通过最高点的临界速度
8． 星球瓦解问题
重力是万有引力的一个分力，地球赤道上物体的重力mg＝－mRω自2，假设地球自转加快，即ω自变大物体的重力将变小。当=mRω自2时，mg=0，此时地球赤道上的物体无重力，要开始“飘”起来了，若自转继续加快，星球即将瓦解。可求得：
①瓦解临界角速度ω瓦==；
②瓦解临界周期T瓦=；
③瓦解临界密度ρ瓦= 。
【典例分析】
【例1】（2020·新课标Ⅰ卷）火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为（ ）
A. 0.2B. 0.4C. 2.0D. 2.5
【答案】B
【解析】设物体质量为m，则在火星表面有，在地球表面有，由题意知有，，故联立以上公式可得，故选B。
【例2】（2018·新课标全国II卷）2018年2月，我国500 m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T=5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】在天体中万有引力提供向心力，即，天体的密度公式，结合这两个公式求解。设脉冲星值量为M，密度为，根据天体运动规律知：，，代入可得：，故C正确；故选C。
【例3】【2019·全国卷Ⅱ】2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图象是( )

【答案】 D
【解析】 由万有引力公式F＝Geq \f(Mm,R＋h2)可知，探测器与地球表面距离h越大，F越小，排除B、C；而F与h不是一次函数关系，排除A。故选D。
【例4】如图为人造地球卫星的轨道示意图，LEO是近地轨道，MEO是中地球轨道，GEO是地球同步轨道，GTO是地球同步转移轨道。已知地球的半径R＝6 400 km，该图中MEO卫星的周期约为(图中数据为卫星近地点、远地点离地面的高度)( )
A．3 h B．8 h C．15 h D．20 h
【答案 】A
【解析】根据题图中MEO卫星距离地面高度为4 200 km，可知轨道半径约为R1＝10 600 km，同步轨道上GEO卫星距离地面高度为36 000 km，可知轨道半径约为R2＝42 400 km，为MEO卫星轨道半径的4倍，即R2＝4R1。地球同步卫星的周期为T2＝24 h，运用开普勒第三定律，eq \f(R\\al(3,1),R\\al(3,2))＝eq \f(T\\al(2,1),T\\al(2,2))，解得T1＝3 h，选项A正确。
【例4】(2020·合肥一中等六校联考)科学家计划在2025年将首批宇航员送往火星进行考察。假设在火星两极宇航员用弹簧测力计测得一质量为m的物体的重力为F1，在火星赤道上宇航员用同一把弹簧测力计测得该物体的重力为F2。通过天文观测测得火星的自转角速度为ω，已知引力常量为G，将火星看成是质量分布均匀的球体，则火星的密度和半径分别为( )
A．eq \f(3F1ω2,4πGF1－F2)，eq \f(F1－F2,mω2) B．eq \f(3ω2,4πG)，eq \f(F1F2,mω2)
C．eq \f(3F1ω2,4πGF1－F2)，eq \f(F1＋F2,mω2) D．eq \f(3ω2,4πG)，eq \f(F1－F2,ω2)
【答案】A
【解析】在两极万有引力等于重力，Geq \f(Mm,R2)＝F1；在赤道上万有引力提供重力及向心力，Geq \f(Mm,R2)－F2＝mω2R，联立解得R＝eq \f(F1－F2,mω2)；由Geq \f(Mm,R2)＝F1，且M＝eq \f(4,3)πR3ρ，解得ρ＝eq \f(3F1ω2,4πGF1－F2)，故A正确。
【例5】(多选)如图甲所示，假设某星球表面上有一倾角为θ的固定斜面，一质量为m的小物块从斜面底端沿斜面向上运动，其速度—时间图象如图乙所示。已知小物块与斜面间的动摩擦因数为μ＝eq \f(\r(3),9)，该星球半径为R＝6×104 km，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，π取3.14，则下列说法正确的是( )
甲 乙
A．该星球的第一宇宙速度v1＝3.0×104 m/s B．该星球的质量M＝8.1×1026 kg
C．该星球的自转周期T＝1.3×104 s D．该星球的密度ρ＝896 kg/m3
【答案】ABD
【解析】物块上滑过程中，根据牛顿第二定律，在沿斜面方向上有μmgcs θ＋mgsin θ＝ma1，下滑过程中，在沿斜面方向上有mgsin θ－μmgcs θ＝ma2，又知v­t图象的斜率表示加速度，则上滑和下滑过程中物块的加速度大小分别为a1＝eq \f(6－0,0.6) m/s2＝10 m/s2，a2＝eq \f(2,0.4) m/s2＝5 m/s2，联立解得g＝15 m/s2，该星球的第一宇宙速度为v1＝eq \r(gR)＝eq \r(15×6×104×103) m/s＝3.0×104 m/s，故选项A正确；根据黄金代换式GM＝gR2可得该星球的质量为M＝eq \f(gR2,G)＝eq \f(15×6×104×1032,6.67×10－11) kg＝8.1×1026 kg，故选项B正确；根据所给条件无法计算出该星球的自转周期，故选项C错误；该星球的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(8.1×1026,\f(4,3)×π×6×104×1033) kg/m3＝896 kg/m3，故选项D正确。
【专题精练】
1．(2020·哈尔滨三中一模)下列关于天体运动的相关说法中，正确的是( )
A．地心说的代表人物是哥白尼，他认为地球是宇宙的中心，其他星球都在绕地球运动
B．牛顿由于测出了引力常量而成为第一个计算出地球质量的人
C．所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的焦点上
D．地球绕太阳公转时，在近日点附近的运行速度比较慢，在远日点附近的运行速度比较快
【答案】C
【解析】本题考查开普勒定律及物理学史。地心说的代表人物是托勒密，他认为地球是宇宙的中心，其他星球都在绕地球运动，故A错误；卡文迪许由于测出了引力常量而成为第一个计算出地球质量的人，故B错误；根据开普勒第一定律，所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上，故C正确；对同一个行星而言，太阳与行星的连线在相同时间内扫过的面积相等，地球绕太阳公转时，在近日点附近运行的速度比较快，在远日点附近运行的速度比较慢，故D错误。
2．(多选)(2020·山东师大附中二模)在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，可以求出( )
A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的eq \f(1,602)
B．月球绕地球公转的加速度约为地球表面物体落向地面加速度的eq \f(1,602)
C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的eq \f(1,6)
D．地球表面近地卫星的角速度平方约是月球绕地球公转角速度平方的603倍
【答案】BD
【解析】根据万有引力F＝eq \f(GMm,r2)可知，由于月球和苹果的质量不等，所以地球对月球和对苹果的吸引力之比不等于eq \f(1,602)，故A错误；根据万有引力提供向心力，即eq \f(GMm,r2)＝ma，得向心加速度与距离的平方成反比，所以月球绕地球公转的加速度与地球表面物体落向地面的加速度之比为eq \f(a月,a物)＝eq \f(R2,60R2)＝eq \f(1,602)，故B正确；根据eq \f(GMm,r2)＝mg，由于地球与月球的质量未知，地球与月球的半径未知，所以无法比较在月球表面的加速度和在地球表面的加速度的大小关系，故C错误；万有引力提供向心力，可知eq \f(GMm,r2)＝mω2r，解得ω2＝eq \f(GM,r3)，地球表面近地卫星的角速度平方与月球绕地球公转角速度平方之比为eq \f(ω\\al(2,近),ω\\al(2,月))＝eq \f(60R3,R3)＝603，故D正确。
3．(2020·山东聊城一模)嫦娥四号探测器平稳落月，全国人民为之振奋．已知嫦娥四号探测器在地球上受到的重力为G1，在月球上受到月球的引力为G2，地球的半径为R1，月球的半径为R2，地球表面处的重力加速为g.则下列说法正确的是( )
A．月球表面处的重力加速度为eq \f(G1,G2)g
B．月球与地球的质量之比为eq \f(G1Req \\al(2,2),G2Req \\al(2,1))
C．若嫦娥四号在月球表面附近做匀速圆周运动，周期为2πeq \r(\f(R2G1,gG2))
D．月球与地球的第一宇宙速度之比为 eq \r(\f(G1R2,G2 R1))
【答案】C.
【解析】：嫦娥四号绕月球表面飞行时受到月球的引力为G2，由G2＝mg′，解得月球表面的重力加速度为：g′＝eq \f(G2,m)＝eq \f(G2,G1)g，故A错误；嫦娥四号的质量为：m＝eq \f(G1,g)，根据万有引力等于重力得：Geq \f(M地m,Req \\al(2,1))＝mg，解得地球质量为：M地＝eq \f(gReq \\al(2,1),G)，月球对飞船的引力为：G2＝Geq \f(M月m,Req \\al(2,2))，解得月球的质量为：M月＝eq \f(G2Req \\al(2,2),Gm)＝eq \f(G2Req \\al(2,2)g,GG1)，则月球与地球质量之比为：eq \f(M月,M地)＝eq \f(G2Req \\al(2,2),G1Req \\al(2,1))，故B错误；根据G2＝meq \f(4π2,T2)R2得探测器沿月球表面轨道上做匀速圆周运动的周期为：T＝2πeq \r(\f(R2G1,gG2))，故C正确；根据Geq \f(Mm,R2)＝mg得第一宇宙速度为：v＝eq \r(gR)，则月球与地球的第一宇宙速度之比为eq \f(v月,v地)＝eq \f(\r(g′R2),\r(gR1))＝eq \r(\f(G2R2,G1R1))，故D错误．
4.(2020·丽水月考)若在某行星和地球上相对于各自水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶eq \r(7).已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R.由此可知，该行星的半径为( )
A.eq \f(1,2)R B.eq \f(7,2)R
C．2R D.eq \f(\r(7),2)R
【答案】C.
【解析】：由平抛运动规律：x＝v0t，h＝eq \f(1,2)gt2得x＝v0eq \r(\f(2h,g))，两种情况下，抛出的速度相同，高度相同，故eq \f(g行,g地)＝eq \f(7,4)；由Geq \f(Mm,R2)＝mg可得g＝Geq \f(M,R2)，故eq \f(g行,g地)＝eq \f(\f(M行,Req \\al(2,行)),\f(M地,Req \\al(2,地)))＝eq \f(7,4)，解得R行＝2R，选项C正确．
5.若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体。“蛟龙”号下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为( )
A．eq \f(R－d,R＋h) B．eq \f(R－d2,R＋h2)
C．eq \f(R－dR＋h2,R3) D．eq \f(R－dR＋h,R2)
【答案】C
【解析】设地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g＝Geq \f(M,R2)，由于地球的质量为：M＝ρ·eq \f(4,3)πR3，所以重力加速度的表达式可写成：g＝eq \f(GM,R2)＝eq \f(G·ρ\f(4,3)πR3,R2)＝eq \f(4,3)πGρR。根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙”号的重力加速度g′＝eq \f(4,3)πGρ(R－d)，所以有eq \f(g′,g)＝eq \f(R－d,R)。根据万有引力提供向心力G＝eq \f(Mm,R＋h2)＝ma，“天宫一号”所在处的重力加速度为a＝eq \f(GM,R＋h2)，所以eq \f(a,g)＝eq \f(R2,R＋h2)，eq \f(g′,a)＝eq \f(R－dR＋h2,R3)，故C正确，A、B、D错误。
6.(2020·泰安一模)某一行星表面附近有颗卫星做匀速圆周运动，其运行周期为T，假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N，则这颗行星的半径为( )
A．eq \f(NT2,4π2m) B．eq \f(NT4,4π2m) C．eq \f(4π2m,NT2) D．eq \f(4π2m,NT4)
【答案】A
【解析】对物体：N＝mg，且Geq \f(Mm,R2)＝mg；对绕行星表面附近做匀速圆周运动的卫星：Geq \f(Mm′,R2)＝m′eq \f(4π2,T2)R；联立解得R＝eq \f(NT2,4π2m)，故选项A正确。
7.(2020·广州天河区二模)假定太阳系一颗质量均匀且可看成球体的小行星，起初自转可以忽略。现若该行星自转加快，当其自转的角速度增加为ω时，该行星表面“赤道”上的物体对星球的压力减小至原来的eq \f(2,3)。已知引力常量G，则该星球密度ρ为( )
A．eq \f(9ω2,8πG) B．eq \f(9ω2,4πG) C．eq \f(3ω2,2πG) D．eq \f(ω2,3πG)
【答案】B
【解析】本题考查行星密度的求解问题。忽略行星的自转影响时，该行星表面的物体受到的万有引力等于重力，即Geq \f(Mm,r2)＝mg，自转不可忽略时，万有引力提供重力及物体随行星自转的向心力，则自转角速度为ω时有Geq \f(Mm,r2)＝eq \f(2,3)mg＋mω2r，行星的密度为ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πr3)，解得ρ＝eq \f(9ω2,4πG)，故选B。
8.（2018·新课标全国III卷）为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为
A．2:1 B．4:1 C．8:1 D．16:1
【答案】C
【解析】设地球半径为R，根据题述，地球卫星P的轨道半径为RP=16R，地球卫星Q的轨道半径为RQ=4R，根据开普勒定律，==64，所以P与Q的周期之比为TP∶TQ=8∶1，选项C正确。
9.(2019·河南省郑州市一模)“玉兔号”月球车与月球表面的第一次接触实现了中国人“奔月”的伟大梦想。“玉兔号”月球车在月球表面做了一个自由下落试验，测得物体从静止自由下落h高度的时间为t，已知月球半径为R，自转周期为T，引力常量为G。求：
(1)月球表面的重力加速度；
(2)月球的质量和月球的第一宇宙速度；
(3)月球同步卫星离月球表面的高度。
【答案】 (1)eq \f(2h,t2) (2)eq \f(2R2h,Gt2) eq \r(\f(2hR,t2)) (3) eq \r(3,\f(T2R2h,2π2t2))－R
【解析】 (1)由自由落体运动规律有：h＝eq \f(1,2)gt2，
可得：g＝eq \f(2h,t2)。
(2)在月球表面的物体受到的重力近似等于其受到的万有引力，即m1g＝eq \f(GMm1,R2)，
所以M＝eq \f(2R2h,Gt2)，
月球的第一宇宙速度为近月卫星的运行速度，根据重力提供向心力有m2g＝m2eq \f(v\\al(2,1),R)，
所以v1＝eq \r(gR)＝eq \r(\f(2hR,t2))。
(3)月球同步卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，eq \f(GMm3,R＋h2)＝m3eq \f(4π2,T2)(R＋h)，
解得h＝ eq \r(3,\f(T2R2h,2π2t2))－R。
10.如图所示，在某星球表面轻绳约束下的质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，小球在最低点与最高点所受轻绳的拉力之差为ΔF，假设星球是均匀球体，其半径为R，已知万有引力常量为G，不计一切阻力．
(1)求星球表面重力加速度；
(2)求该星球的密度；
(3)如图所示，在该星球表面上，某小球以大小为v0的初速度平抛，恰好能击中倾角为θ的斜面，且位移最短，试求该小球平抛的时间．
【答案】：(1)eq \f(ΔF,6m) (2)eq \f(ΔF,8mπGR) (3)eq \f(12mv0,ΔF·tan θ)
【解析】：(1)设小球在最高点受到绳子的拉力为F1，速率为v1，则有F1＋mg＝meq \f(v12,R)
设小球在最低点受到绳子拉力为F2，速率为v2，则有F2－mg＝meq \f(v22,R)
小球从最高点到最低点的过程中应用动能定理可得
mg·2R＝eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)mv12
而ΔF＝F2－F1，故有g＝eq \f(ΔF,6m)
(2)对星球表面上的物体Geq \f(Mm,R2)＝mg
星球体积V＝eq \f(4,3)πR3，故星球的密度为ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(ΔF,8mπGR)
(3)根据题意可知，tan θ＝eq \f(x,y)，x＝v0t，y＝eq \f(1,2)gt2，联立可得t＝eq \f(12mv0,ΔF·tan θ)
轨道定律
面积定律：v1r1=v2r2
周期定律：a3/T2=k
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
地面
天上
地下
两极(或不计自转)
赤道
=
g=
=
g= －Rω自2