3.1.3 光的折射

§1.3  光的折射

1.3.1、多层介质折射

如图：多层介质折射率分别为则由折射定律得：

1.3.2、平面折射的视深

在水中深度为h处有一发光点Q，作OQ垂直于水面，求射出水面折射线的延长线与OQ交点的深度与入射角i的关系。

设水相对于空气的折射率为，由折射定律得     

令OM=x，则

于是   

上式表明，由Q发出的不同光线，折射后的延长线不再交于同一点，但对于那些接近法线方向的光线，，则，于是

这时与入射角i无关，即折射线的延长线近似地交于同一点，其深度是原光点深度的。

如图1-3-3所示，MN反射率较低的一个表面，PQ是背面镀层反射率很高的另一个表面，通常照镜子靠镀银层反射成像，在一定条件下能够看到四个反射像，其中一个亮度很底。若人离镜距离，玻璃折射率n，玻璃厚度d，求两个像间的距离。

图中S为物点，是经MN反射的像，若依次表示MN面折射，PQ面反射和MN面再折射成像，由视深公式得

，，，

故两像间距离为。

1.3.3、棱镜的折射与色散

入射光线经棱镜折射后改变了方向，出射光线与入射光线之间的夹角称为偏向角，由图1-3-4的几何关系知

其中      

①当，α很小时，即

δ=（n-1）α

厚度不计顶角α很小的三棱镜称之为光楔，对近轴光线而言，δ与入射角大小无关，各成像光线经光楔后都偏折同样的角度δ，所以作光楔折射成像光路图时可画成一使光线产生偏折角的薄平板，图1-3-5。设物点S离光楔L则像点在S的正上方。

h=lδ=（n-1）αl。

②当棱镜中折射光线相对于顶角α对称成等腰三角形时，，。

或者      

这为棱镜的最小偏向角δ，此式可用来测棱镜的折射率。

由于同一种介质对不同色光有不同的折射率，各种色光的偏折角不同，所以白光经过棱镜折射后产生色散现象。虹和霓是太阳被大气中的小水滴折射和反射形成的色散现象。阳光在水滴上经两次折射和一次反射如图1-3-6。形成内紫外红的虹；阳光经小滴两次折射和两次反射如图1-3-7，形成内红外紫的霓。由于霓经过一次反射，因此光线较弱，不容易看到。

1.3.4、费马原理

费马原理指出，光在指定的两点之间传播，实际的光程总是为最大或保持恒定，这里的光程是指光在某种均匀介质中通过的路程和该种媒质的折射率的乘积。

费马原理是几何光学中的一个十分重要的基本原理，从费马原理可以推导出几何光学中的很多重要规律。例如光的直线传播、反射定律，折射定律，都可以从光程极小推出。如果反射面是一个旋转椭球面，而点光源置于其一个焦点上，所有反射光线都经过另一个焦点，所有反射光线都经过另一个焦点，便是光程恒定的一个例子。此外，透镜对光线的折射作用，也是很典型的。

一平凸透镜的折射率为n，放置在空气中，透镜面孔的半径为R。在透镜外主光轴上取一点，（图1-3-8）。当平行光沿主光轴入射时，为使所有光线均会聚于点。试问：（1）透镜凸面应取什么形状？（2）透镜顶点A与点O相距多少？（3）对透镜的孔径R有何限制？

解:  根据费马原理，以平行光入射并会聚于的所有光线应有相等的光程，即最边缘的光线与任一条光线的光程应相等。由此可以确定凸面的方程。其余问题亦可迎刃而解。

（1）取坐标系如图，由光线和的等光程性，得

整理后，得到任一点M（x，y）的坐标x，y应满足的方程为

令，，则上式成为

这是双曲线的方程，由旋转对称性，透镜的凸面应是旋转双曲面。

（2）透镜顶点A的位置  应满足

或者   

可见，对于一定的n和，由R决定。

（3）因点在透镜外，即，这是对R的限制条件，有

即要求     

讨论  在极限情形，即 时，有如下结果：

即点A与点重合。又因

    a=0

故透镜凸面的双曲线方程变为

即       

双曲线退化成过点的两条直线，即这时透镜的凸面变成以为顶点的圆锥面，如图1-3-9所示。考虑任意一条入射光线MN，由折射定律有，由几何关系

故    ，

即所有入射的平行光线折射后均沿圆锥面到达点，此时的角θ就是全反射的临界角。

例1、半径为R的半圆柱形玻璃砖，横截面如图1-3-10所示。O为圆心。已知玻璃的折射率为。当光由玻璃射向空气时，发生全反射的临界角为45°，一束与MN平面成450的平行光束射到玻璃砖的半圆柱面上，经玻璃折射后，有部分光能从MN平面上射出。求能从MN平面射出的光束的宽度为多少？

分析:  如图1-3-11所示。进入玻璃中的光线①垂直半球面，沿半径方向直达球心，且入射角等于临界角，恰好在O点发生全反射，光线①左侧的光线经球面折射后，射在MN上的入射角都大于临界角，在MN上发生全反射，不能从MN射出，光线①右侧一直到与球面正好相切的光线③范围上的光线经光球面折射后，在MN面上的入射角均小于临界角，都能从MN面上射出，它们在MN上的出射宽度即是所要求的。

解:  图1-3-11中，BO为沿半径方向入射的光线，在O点正好发生全反射，入射光线③在C点与球面相切，此时入射角，折射角为r，则有

即    

这表示在C点折射的光线将垂直MN射出，与MN相交于E点。MN面上OE即是出射光的宽度。

讨论  如果平行光束是以45°角从空气射到半圆柱的平面表面上，如图1-3-12所示，此时从半圆柱面上出射的光束范围是多大？参见图1-3-13所示，由折身定律，得，，即所有折射光线与垂直线的夹角均为30°。考虑在E点发生折射的折射光线EA，如果此光线刚好在A点发生全反射，则有，而，即有，因EA与OB平行，所以，所以，即射向A点左边MA区域的折射光（）因在半圆柱面上的入射角均大于45°的临界角而发生全反射不能从半圆柱面上射出，而A点右边的光线（）则由小于临界角而能射出，随着φ角的增大，当时，将在C点再一次达到临界角而发生全反射，此时 故知能够从半圆柱球面上出射的光束范围限制在AC区域上，对应的角度为。

点评  正确作出光路图并抓住对边界光线的分析是解答问题的两个重要方向，要予以足够重视。

例2、给定一厚度为d的平行平板，其折射率按下式变化

一束光在O点由空气垂直入射平板，并在A点以角α出射（图1-3-14）。求A点的折射率nA，并确定A点的位置及平板厚度。（设）。

解:  首先考虑光的路线（图1-3-15）。对于经过一系列不同折射率的平行平板的透射光，可以应用斯涅耳定律

         ， 

更简单的形式是

这个公式对任意薄层都是成立的。在我们的情形里，折射率只沿x轴变化，即

在本题中，垂直光束从折射率为n0的点入射，即为常数，于是在平板内任一点有

  与x的关系已知，因此沿平板中的光束为

图（1-3-16）表明光束的路径是一个半径为XC=r的圆，从而有

现在我们已知道光的路径，就有可能找到问题的解答。按折射定律，当光在A点射出时，有

因为 ，故有

于是

因此         

在本题情形   

根据         

得出A点的x坐标为x=1cm。

光线的轨迹方程为

代入x=1cm，得到平板厚度为y=d=5cm

例3、图1-3-17表示一个盛有折射率为n的液体的槽，槽的中部扣着一个对称屋脊形的薄壁透明罩A，D，B，顶角为2，罩内为空气，整个罩子浸没在液体中，槽底AB的中点处有一个亮点C。请求出：位于液面上方图标平面内的眼睛从侧面观察可看到亮点的条件。

解:  本题可用图示平面内的光线进行分析，并只讨论从右侧观察的情形。如图1-3-18所示，由亮点发出的任一光线CP将经过两次折射而从液面射出。由折射定律，按图上标记的各相关角度有

            （1）

            （2）

其中

          （3）

如果液内光线入射到液面上时发生全反射，就没有从液面射出的折射光线。全反射临界角γ。应满足条件

可见光线CP经折射后能从液面射出从而可被观察到的条件为

                    （4）

或                        （5）

现在计算，利用（3）式可得

由（1）式可得

由此

又由（1）式

         （6）

由图及（1）、（2）式，或由（6）式均可看出，α越大则γ越小。因此，如果与α值最大的光线相应的γ设为，则任何光线都不能射出液面。反之，只要，这部分光线就能射出液面，从液面上方可以观察到亮点。由此极端情况即可求出本题要求的条件。

自C点发出的α值最大的光线是极靠近CD的光线，它被DB面折射后进入液体，由（6）式可知与之相应的；

能观察到亮点的条件为

即      

上式可写成

取平方

化简后得

故    

平方并化简可得

这就是在液面上方从侧面适当的方向能看到亮点时n与φ之间应满足条件。

例4、如图1-3-19所示，两个顶角分别为和的棱镜胶合在一起（）。折射率由下式给出：

      ；

其中

1、确定使得从任何方向入射的光线在经过AC面时不发生折射的波长。确定此情形的折射率和。

2、画出入射角相同的、波长为、 和的三种不同光线的路径。

3、确定组合棱镜的最小偏向角。

4、计算平行于DC入射且在离开组合棱镜时仍平行于DC的光线的波长。

解:  1、如果，则从不同方向到达AC面的波长为的光线就不折射，即

因而       

在此情形下 。

2、对波长比长的红光，和均小于1.5。反之，对波长比短的蓝光，两个折射率均比1.5要大。现在研究折射率在AC面上如何变化。我们已知道，对波长为的光，。

如果考虑波长为而不是的光，则由于，所以 。同理，对蓝光有。现在我们就能画出光线穿过组合棱镜的路径了（图1-3-20）。

3、对波长为的光，组合棱镜可看作顶角为30°、折射率为n=1.5的单一棱镜。

我们知道，最小偏向在对称折射时发生，即在图1-3-21中的α角相等时发生。

根据折射定律，

        因而     

偏向角为

4、利用图1-3-22中的数据，可以写出

     ；

消去α后得

经变换后得

这是的二次方程。求解得出

例5、玻璃圆柱形容器的壁有一定的厚度，内装一种在紫外线照射下会发出绿色荧光的液体，即液体中的每一点都可以成为绿色光源。已知玻璃对绿光的折射率为，液体对绿光的折射率为。当容器壁的内、外半径之比r：R为多少时，在容器侧面能看到容器壁厚为零？

分析:  所谓“从容器侧面能看到容器壁厚为零”，是指眼在容器截面位置看到绿光从C点处沿容器外壁的切线方向射出，即本题所描述为折射角为90°的临界折射。因为题中未给出、的大小关系，故需要分别讨论。

解:  （1）当时，因为是要求r：R的最小值，所以当时，应考虑的是图1-3-23中ABCD这样一种临界情况，其中BC光线与容器内壁相切，CD光线和容器外壁相切，即两次都是临界折射，此时应该有

设此时容器内壁半径为，在直角三角形BCO中，。当时，C处不可能发生临界折射，即不可能看到壁厚为零；当时，荧光液体中很多点发出的光都能在C处发生临界折射，所以只要满足

即可看到壁厚为零。

（2）当时

此时荧光液体发出的光线将直接穿过容器内壁，只要在CD及其延长线上有发光体，即可看到壁厚为零，因此此时应满足条件仍然是。

（3）当时

因为，所以荧光液体发出的光在容器内壁上不可能发生折射角为90°的临界折射，因此当时，所看到的壁厚不可能为零了。当时，应考虑的是图1-3-24中ABCD这样一种临界情况，其中AB光线的入射角为90°，BC光线的折射角为，此时应该有

在直角三角形OBE中有

因为图1-3-23和图1-3-24中的角是相同的，所以 ，即

将代入，可得当

时，可看到容器壁厚度为零。

上面的讨论，图1-3-23和图1-3-24中B点和C点的位置都是任意的，故所得条件对眼的所有位置均能成立（本段说明不可少）。

例6、有一放在空气中的玻璃棒，折射率n=1.5，中心轴线长L=45cm，一端是半径为=10cm的凸球面。

（1）要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远处物成像于主光轴上无限远处的望远系统），取中心轴为主光轴，玻璃棒另一端应磨成什么样的球面？

（2）对于这个玻璃棒，由无限远物点射来的平行入射光束与玻璃棒的主光轴成小角度时，从棒射出的平行光束与主光轴成小角度，求（此比值等于此玻璃棒的望远系统的视角放大率）。

分析:  首先我们知道对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处物点发出的入射光线为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，然后我们再运用正弦定理、折射定律及的小角度近似计算，即可得出最后结果。

解:  （1）对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，如图1-3-25所示，图中为左端球面的球心。

由正弦定理、折射定律和小角度近似得

     ①

即                               ②

光线射至另一端面时，其折射光线为平行于主光轴的光线，由此可知该端面的球心一定在端面顶点B的左方，B等于球面的半径，如图1-3-25所示。

仿照上面对左端球面上折射的关系可得

      ③

又有                    ④

由②③④式并代入数值可得

                     ⑤

即右端应为半径等于5cm的向外凸面球面。

（2）设从无限远处物点射入的平行光线用a、b表示，令a过，b过A，如图1-3-26所示，则这两条光线经左端球面折射后的相交点M，即为左端球面对此无限远物点成的像点。现在求M点的位置。在中

            ⑥

又                              ⑦

已知、均为小角度，则有

                       ⑧

与②式比较可知，，即M位于过  垂直于主光轴的平面上。上面已知，玻璃棒为天文望远系统，则凡是过M点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是相互平行的光线。容易看出，从M射向的光线将沿原方向射出，这也就是过M点的任意光线（包括光些a、b）从玻璃棒射出的平行光线的方向。此方向与主光轴的夹角即为。

           ⑨

由②③式可得 

则                       ⑩

例7、在直立的平面镜前放置一个半径为R的球形玻璃鱼缸，缸壁很薄，其中心离镜面为3R，缸中充满水。远处一观察者通过球心与镜面垂直的方向注视鱼缸，一条小鱼在离镜面最近处以速度v沿缸壁游动。求观察者看到鱼的两个像的相对速度。水的折射率n=4/3。见图1-3-27和图1-3-28。

解:  鱼在1秒钟内游过的距离为v。我们把这个距离当作物，而必须求出两个不同的像。在计算中，我们只考虑近轴光线和小角度，并将角度的正弦角度本身去近似。

在点游动的鱼只经过一个折射面就形成一个像（图1-3-27）。从点以角度发出的光线，在A点的水中入射角为v，在空气中的折射角为，把出射光线向相反方向延长给出虚像位置。显然

从三角形，有

利用通常的近似

    ，

于是 

所以这个虚像与球心的距离为

水的折射率n=4/3，从而。若折射率大于2，则像是实像。由像距与物距之商得到放大率为

对水来说，放大率为2。

以与速度v相应的线段为物，它位于在E处平面镜前距离为2R处，它在镜后2R远的处形成一个与物同样大小的虚像离球心的距离为5R。在一般情形中，我们设。的虚像是我们通过球作为一个透镜观察时的（虚）物。因此，我们只要确定的实像而无需再去考虑平面镜。

我们需要求出以γ角度从发出的光线在C点的入射角ε，其中在三角形中

     ，

玻璃中的折射角为

需要算出角。因为

而且与C点和D点的两角之和相加，或与和之和相加，两种情况下都等于180°，因此

即       

从三角形，有

此外

因此像距为

若k=5，n=4/3，得

放大率为

若把k=5，n=4/3代入，则放大率为2/3。

综合以上结果，如鱼以速度v向上运动，则鱼的虚像以速度2v向上运动，而鱼的实像以速度向下运动。两个像的相对速度为

是原有速度的8/3倍。

我们还必须解决的最重要的问题是：从理论上已经知道了像是如何运动的，但是观察者在作此实验时，他将看到什么现象呢？

两个像的速度与鱼的真实速度值，从水中的标尺上的读数来看，是一致的。实际上观察到两个反方向的速度，其中一个速度是另一个速度的三倍，一个像是另一个像的三倍。我们应当在远处看，因为我们要同时看清楚鱼缸后远处的一个像和鱼缸前的另一个像。两个像的距离为8.33R。用肉眼看实像是可能的，只要我们比明视距离远得多的地方注视它即可。题目中讲到“在远处的观察者”，是指他观察从两个不同距离的像射来的光线的角度变化。只要观察者足够远，尽管有距离差，但所看到的速度将逐渐增加而接近于8/3。他当然必须具有关于鱼的实际速度（v）的一些信息。

两个像的相对速度与物的原始速度之比的普遍公式为

用一个充满水的圆柱形玻璃缸，一面镜子和一支杆，这个实验很容易做到。沿玻璃缸壁运动的杆代表一条鱼。