（人教版）数学中考总复习28总复习：特殊三角形（提高）珍藏版

中考总复习：特殊三角形—知识讲解（提高）

【考纲要求】

【高清课堂：等腰三角形与直角三角形   考纲要求】

1．了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定．

2. 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题．

3. 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题．

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、等腰三角形

1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

2．性质：
　　(1)具有三角形的一切性质；
　　(2)两底角相等(等边对等角)；
　　(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)；
　　(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°．
　要点诠释：等边三角形中高线，中线，角平分线三线合一，共有三条.

3．判定：
　　(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；
　　(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
　　(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
　要点诠释：
　　(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；
　　(2)等边三角形是特殊的等腰三角形．

考点二、直角三角形

1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．

2．性质：
　(1)直角三角形中两锐角互余；
　(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半；
　(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；
　(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；
　(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；
　(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

要点诠释：

（1）直角三角形中，SRt△ABC=ch=ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；

（2）圆内接三角形，当一条边为直径时，该三角形是直角三角形．

3．判定：
　　(1)两内角互余的三角形是直角三角形；
　　(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形；
　　(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边．

【典型例题】

类型一、等腰三角形

1．六边形ABCDEF的每个内角都为120°,且AB=1，BC=9，CD=6，DE=8.求六边形ABCDEF的周长．

【思路点拨】考虑到每个内角为120°,则每个外角均为60°,可通过构造等边三角形来求边长及面积．

【答案与解析】

延长BC、ED交于M，DE、AF交于N，FA、CB交于P．

∵∠EDC=∠DCB=120° ∴∠DCM=∠CDM=60°，

∴△MDC为等边三角形∠M=60°，

同理△BAP，△EFN均为等边三角形．

∠M=∠N=60° ∴△MNP为等边三角形，

MD=MC=6，PB=PA=1，

NE=NF=EF，

MP=6+9+1=16=MN=NP，

EF=NF=NE=MN-ME=16-（6+8）=2．

FA=NP-NF-PA=16-1-2=13，

∴周长为1+9+6+8+2+13=39．

【总结升华】考点是多边形外角和内角的关系.

举一反三：

【变式】把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是________．
　　　　　　　
 

【答案】.

2．已知: 如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF．
　　(1)求证:AE=AF．
　　(2)若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．
 

【思路点拨】菱形的定义和性质.

【答案与解析】

(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD,∠B=∠D ，
　　　　　　　　　　又∵BE=DF，∴≌ ．
　　　　　　　　　　∴AE=AF．
　　　　　　　　 (2)连接AC, ∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，

∴AB=AC=AD，
　　　　　　　　　∵AB=BC=CD=DA ,

∴△ABC和△ACD都是等边三角形．
　　　　　　　　　∴, ．
　　　　　　　　　∴．
　　　　　　　　　又∵AE=AF ∴是等边三角形．

【总结升华】此题涉及到三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质.

举一反三：【高清课堂：等腰三角形与直角三角形   例4】

【变式】如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE. 求证：CE=DE.

【答案】延长BD到F，使DF＝BC，连接EF，

∵等边△ABC，

∴AB＝BC＝AC，∠B＝60．

∵BF＝BD+DF，BE＝AB+AE，AE＝BD，BC＝DF，

∴BF＝BE，

∴等边△BEF，

∴EF＝BE，∠F＝∠B，

∴△BCE≌△FDE（SAS）．

∴CE＝DE．

类型二、直角三角形

3．△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，，D为AB边上一点．
　 　　求证：(1)△ACE≌△BCD； (2)．
　　　　　　　　　　　
　　　　

【思路点拨】判定两个三角形全等时，首先要根据条件判断运用哪个判定定理.

【答案与解析】(1) ∵ ，
　　　　　　∴ ，
　　　　　　即 ．
　　　　　　 　　∵ ，
　　　　　　 　　∴ △BCD≌△ACE．
　　　　　　 (2) ∵ ，
　　　　　　 　　∴ ．
　　　　　　　　 ∵ △BCD≌△ACE，
　　　　　　 　　∴ ，
　　　　　　 　　∴ ．
　　　　　　 　　∴ ．

【总结升华】该题涉及到的知识点有全等三角形的判定及勾股定理.

4．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE，AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由．
　　　　　　　　　　　　

【思路点拨】△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,为证明全等提供了等线段的条件.

【答案与解析】猜测 AE＝BD，AE⊥BD.
　　　　　　理由如下：
　　　　　　∵∠ACD＝∠BCE＝90°，
　　　　　　∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即∠ACE＝∠DCB．
　　　　　　∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
　　　　　　∴AC＝CD，CE＝CB．
　　　　　　∴△ACE≌△DCB（SAS）．
　　　　　　∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB．
　　　　　　∵∠AFC＝∠DFH，
　　　　　　∴∠DHF＝∠ACD＝90°，
　　　　　　∴AE⊥BD．

【总结升华】两条线段的关系包括数量关系和位置关系两种.

举一反三：

【变式】 .以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn=________.

【答案】.

类型三、综合运用

5 .（2012•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：

如图①，连接AP．

∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，

∴=AB•PE，=AC•PF，=AB•CH．

又∵，

∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．

（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：

（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=______.点P到AB边的距离PE=________.

【思路点拨】运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．

【答案与解析】

（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：

∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，

∴=AB•PE，=AC•PF，=AB•CH，

∵=+，

∴AB•PE=AC•PF+AB•CH，

又∵AB=AC，

∴PE=PF+CH；

（2）∵在△ACH中，∠A=30°，

∴AC=2CH．

∵=AB•CH，AB=AC，

∴×2CH•CH=49，

∴CH=7．

分两种情况：

①P为底边BC上一点，如图①．

∵PE+PF=CH，

∴PE=CH-PF=7-3=4；

②P为BC延长线上的点时，如图②．

∵PE=PF+CH，

∴PE=3+7=10．

故答案为7；4或10．

【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中.

6．在△ＡＢＣ中，AC=BC，，点D为AC的中点．
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作 ，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
　　　　　　　　
【思路点拨】根据条件判断FH=FC,要证FH=FC一般就要证三角形全等.

【答案与解析】（1）FH与FC的数量关系是：．
　　　　　     　

延长交于点G，
　　　　　　　　由题意，知 ∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF．
　　　　　　　　∴DG∥CB．
　　　　　　　　∵点D为AC的中点，
　　　　　　　　∴点G为AB的中点，且．
　　　　　　　　∴DG为的中位线．
　　　　　　　　∴．
　　　　　　　　∵AC=BC，
　　　　　　　　∴DC=DG．
　　　　　　　　∴DC- DE =DG- DF．
　　　　　　　　即EC =FG．
　　　　　　　　∵∠EDF =90°，，
　　　　　　　　∴∠1+∠CFD =90°，∠2+∠CFD=90°．
　　　　　　　 ∴∠1 =∠2．
　　　　　　　　∵与都是等腰直角三角形，
　　　　　　　　∴∠DEF =∠DGA = 45°．
　　　　　　　 ∴∠CEF =∠FGH = 135°．
　　　　　　　 ∴△CEF ≌△FGH．
　　　　　　　　∴ FH=FC．
　　       （2）FH与FC仍然相等．

【总结升华】对于特殊三角形的判定及性质要记住并能灵活运用，注重积累解题思路和运用数学思想和方法解决问题的能力和培养.

举一反三：

【高清课堂：等腰三角形与直角三角形   例7】

【变式】如图， △ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=;  ②S⊿ABC+S⊿CDE≥S⊿ACE ; ③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（    ）A.1个     B.2个    C.3个    D.4个

【答案】D.