（人教版）数学中考总复习34总复习：特殊的四边形（提高）珍藏版

中考总复习：特殊的四边形—知识讲解（提高）

【考纲要求】

1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形；

2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题．

3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题．

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、几种特殊四边形性质、判定

【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质.

考点二、中点四边形相关问题

1. 中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．
2. 若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；
   若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；
   若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等．

【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．
考点三、重心
1.线段的中点是线段的重心；

三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心；三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍.
平行四边形对角线的交点是平行四边形的重心。

【典型例题】

类型一、特殊的平行四边形的应用

1.（2012•湛江）如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对角线AE为边作笫三个正方形AEGH，如此下去…．若正方形ABCD的边长记为a1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，则an=___________．

【思路点拨】求a2的长即AC的长，根据直角△ABC中AB2+BC2=AC2可以计算，同理计算a3、a4．由求出的a2=a1，a3=a2…，an=an-1=（）n-1，可以找出规律，得到第n个正方形边长的表达式．

【答案】（）n-1.

【解析】∵a2=AC，且在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∴a2=a1=，同理a3=a2=2，,
a4=a3=2，…
由此可知：an=an-1=（）n-1

故答案为：（）n-1.

【总结升华】考查了正方形的性质，以及勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到an的规律是解题的关键．

举一反三：

 【高清课堂: 多边形与特殊平行四边形  例4】

【变式】(2011德州)长为1，宽为a的矩形纸片（），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为­­­­________．

【答案】或.

2．O是△ABC所在平面内一动点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，如果DEFG能构成四边形，
(1)如图，当O点在△ABC内部时，判断四边形DEFG是什么特殊的四边形，并证明．

(2)若四边形DEFG为矩形，O点所在位置应满足什么条件？画出图形并说明理由．

(3)若四边形DEFG为菱形，O点所在位置应满足什么条件？画出图形并说明理由．
【思路点拨】（2）分析：四边形DEFG是平行四边形．若要四边形DEFG为矩形，需要EF⊥FG．

（3）分析：四边形DEFG是平行四边形．若要四边形DEFG为菱形，需要EF=FG．

【答案与解析】（1）四边形DEFG是平行四边形．
　　

证明：∵D、G分别是AB、AC的中点，
　　　　　∴，且．
　　　　　同理，，且．
　　　　　∴，且．
　　　　　∴四边形DEFG是平行四边形．
　（2）

　解：当AO⊥BC时，四边形DEFG是矩形．
　　　连接OA，易知，．
　　　所以AO⊥BC时，EF⊥FG，此时平行四边形DEFG为矩形．
（3）　　　　　　　　　　　

　　解：当AO=BC时，四边形DEFG是菱形．
　　　　连接OA，可知，．
　　　　所以当AO=BC时，EF=FG，此时平行四边形DEFG是菱形．

【总结升华】重点考查了特殊平行四边形的判定.

类型二、梯形的应用

3．（2011•资阳）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC上任取一点E，连接DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F．
（1）若点F与B重合，求CE的长；
（2）若点F在线段AB上，且AF=CE，求CE的长；
（3）设CE=x，BF=y，写出y关于x的函数关系式（直接写出结果可）．

【思路点拨】（1）先证明四边形ABED为矩形，CE=BC-AD，继而即可求出答案；
（2）设AF=CE=x，则HE=x-3，BF=7-x，再通过证明△BEF∽△HDE，根据对应边成比例，然后代入求解即可；
（3）综合（1）（2）两种情况，然后代入求出解析式即可．

【答案与解析】（1）∵F与B重合，且EF⊥DE，∴DE⊥BC，
∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=∠B=90°，
∴四边形ABED为矩形，
∴BE=AD=9，
∴CE=12-9=3．
 

（2）作DH⊥BC于H，则DH=AB=7，CH=3．
设AF=CE=x，
∵F在线段AB上，
∴点E在线段BH上，CH=3，CE=x，
∴HE=x-3，BF=7-x，
∵∠BEF+90°+∠HED=180°，∠HDE+90°+∠HED=180°，
∴∠BEF=∠HDE，
又∵∠B=∠DHE=90°，
∴△BEF∽△HDE
∴=，
∴=，
整理得x2-22x+85=0，
（x-5）（x-17）=0，
∴x=5或17，
经检验，它们都是原方程的解，但x=17不合题意，舍去．
∴x=CE=5．
（3）作DH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12， CE=x，BF=y，
∴则HE=x-3，BF=y，
当3≤x≤12时，
易证△BEF∽△HDE，
∴=，
∴y=-x2+x-，
当0≤x＜3，
易证△BEF∽△HDE，
则HE=3-x，BF=y，
∴=，
∴y=x2－x＋．

【总结升华】本题考查直角梯形的知识，同时考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，是一道小的综合题，注意对这些知识的熟练掌握并灵活应用．

举一反三：

【变式】（2011•台湾）如图为菱形ABCD与正方形EFGH的重迭情形，其中E在CD上，AD与GH相交于I点，且AD∥HE．若∠A=60°，且AB=7，DE=4，HE=5，则梯形HEDI的面积为（　　）.　

Ａ．　　　Ｂ．　　　Ｃ．10-　　　Ｄ．10+　　

【答案】B.

类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用

【高清课堂: 多边形与特殊平行四边形  例7】

4. 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，为CD边上的点，=3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点处，点A的对应点为，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．

   （1）求BN的长；（2）求四边形ABNM的面积.

【思路点拨】（1）根据折叠的性质得出AM=A′M，BN=B′N，BN=B′N=x，则CN=9-x，再利用勾股定理

求出即可；（2）首先求出NC的长，即可得出BN，利用角相等三角函数值就相等，即可求出AM，即可

得出答案．

【答案与解析】

如图．（1）由题意，点A与点A′，点B与点B′分别关于直线MN对称，
∴AM=A′M，BN=B′N．
设BN=B′N=x，则CN=9-x．
∵正方形ABCD，∴∠C=90°．
∴CN2+B′C2=B′N2．
∵B′C=3，
∴（9-x）2+32=x2．
解得x=5,∴BN=5．
（2）∵正方形ABCD，
∴AD∥BC，∠A=90°．
∵点M，N分别在AD，BC边上，
∴四边形ABNM是直角梯形．
∵BN=B′N=5，BC=9，
∴NC=4．
∴sin∠1=，tan∠1=．
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠1．
∴sin∠3=sin∠1=，
在Rt△DB′P中，

∵∠D=90°，DB′=DC-B′C=6，sin∠3==，
∴PB′=，
∵A′B′=AB=9，
∴A′P=A′B′-PB′=，
∵∠4=∠3，
∴tan∠4=tan∠3=，
在Rt△A′MP中，∵∠A′=∠A=90°，A′P=，tan∠4==，
∴A'M=2．
∴S梯形ABNM=（AM+BN）×AB=×（2+5）×9=．

【总结升华】此题主要考查了折叠问题与解直角三角形以及正方形的知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，以及解直角三角形时相等的角三角函数值相等．

5．（2012•自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

【思路点拨】（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；
（2）根据△ABE≌△ACF可得=,故根据S四边形AECF =+=+=即可解题；当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据=S四边形AECF-，则△CEF的面积就会最大．

【答案与解析】（1）证明：连接AC，如下图所示，
 

∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，
∴∠1=∠3，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠4=60°，AC=AB，
∴在△ABE和△ACF中，，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE=CF；
（2）解：四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化．
理由：由（1）得△ABE≌△ACF，
则S△ABE=S△ACF，
故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，
作AH⊥BC于H点，则BH=2，
S四边形AECF=S△ABC=BC•AH=BC•=，
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，
又S△CEF=S四边形AECF-S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大．
∴S△CEF=S四边形AECF-S△AEF=-××=．

【总结升华】考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证△ABE≌△ACF是解题的关键，有一定难度．

6.（2012•苏州）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD．已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG，GH的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x≤2.5．
（1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y=3时相应x的值；
（2）记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1-S2是常数；
（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长．

【思路点拨】（1）根据题意表示出AG、GD的长度，再由△GCD∽△APG，利用对应边成比例可解出x的值．
（2）利用（1）得出的y与x的关系式表示出S1、S2，然后作差即可．
（3）延长PD交AC于点Q，然后判断△DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的长度．

【答案与解析】（1）∵CG∥AP，∴△GCD∽△APG，
∴=，
∵GF=4，CD=DA=1，AF=，
∴GD=3-，AG=4-，
∴=，即y=，
∴y关于x的函数关系式为y=，
当y=3时，=3，解得x=2.5，
经检验的x=2.5是分式方程的根．故x的值为2.5；
（2）∵S1=GP•GD=••（3-）=，
S2=GD•CD=（3-x）×1=，
∴S1-S2=-=

即为常数；
（3）延长PD交AC于点Q．
 

∵正方形ABCD中，AC为对角线，
∴∠CAD=45°，
∵PQ⊥AC，
∴∠ADQ=45°，
∴∠GDP=∠ADQ=45°．
∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP，
∴3-x=，
化简得：x2-5x+5=0．
解得：x=，
∵0≤x≤2.5，
∴x=，
在Rt△DGP中，PD==（3-x）=．

【总结升华】此题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质及解直角三角形的知识，解答本题的关键是用移动的时间表示出有关线段的长度，然后运用所学知识进行求解．

举一反三：

【变式】如图，E是矩形ABCD边BC的中点，P是AD边上一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H．
（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？请予以证明；
（2）在（1）中，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？
 

【答案】（1）AD=2AB．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD；
∵E是BC的中点，
∴AB=BE=EC=CD；
则△ABE、△DCE是等腰Rt△；
∴∠AEB=∠DEC=45°；
∴∠AED=90°；
四边形PFEH中，∠PFE=∠FEH=∠EHP=90°，故四边形PFEH是矩形；
（2）点P是AD的中点时，矩形PHEF变为正方形；理由如下：
由（1）可得∠BAE=∠CDE=45°；
∴∠FAP=∠HDP=45°；
又∵∠AFP=∠PHD=90°，AP=PD，
∴Rt△AFP≌Rt△DHP；
∴PF=PH；
在矩形PFEH中，PF=PH，故PFEH是正方形．.