（人教版）数学中考总复习27中考总复习：特殊三角形(基础)珍藏版

中考总复习：特殊三角形—知识讲解（基础）

【考纲要求】

【高清课堂：等腰三角形与直角三角形   考纲要求】

1.了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定；

2.能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题；

3.会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题．

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、等腰三角形

1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

2.性质：
　　(1)具有三角形的一切性质.
　　(2)两底角相等(等边对等角)
　　(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)
　　(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.
3.判定：
　　(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；
　　(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
　　(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
　要点诠释：
　　(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；
　　(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.
考点二、直角三角形

1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.

2性质：
　(1)直角三角形中两锐角互余.
　(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.
　(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.
　(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.
　(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

3．判定：
　　(1)有两内角互余的三角形是直角三角形.
　　(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形.
　　(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.

【典型例题】

类型一、等腰三角形

1．如图，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于(    )
　　A.顶角的2倍 　　　B.顶角的一半 　　　C.顶角 　　　D.底角的一半
　　　　　

【思路点拨】等角的余角相等.

【答案】B.

【解析】如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，所以∠ABC=∠C，∠BDC=90°，所以∠DBC=90°-∠C=

90°-(180-∠A)= ∠A，

【总结升华】本题适用于任何一种等腰三角形,可以试着证明在钝角三角形中结论一样成立；总结规律，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于顶角的一半.

举一反三：

【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（   ）A．5个 　　　B．4个　　　 C．3个　　　 D．2个

【答案】A．

2．如图,已知AB=AC，BD、CE分别是∠B、∠C的平分线，AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N，

求证：ΔAMN是等腰三角形.

【思路点拨】证明等腰三角形两个思路，一是证明有两个等角，二是证明有两个等边，结合条件考虑选择哪种方式.

【答案与解析】

∵AB=AC.

∴∠ABC=∠ACB;

又BD和CE均为角平分线.

∴∠ABD=∠ACE;又AB=AC,∠BAD=∠CAE.

∴△BAD≌△CAE(ASA),AE=AD;∠AEC=∠ADB.

又∠ANE=∠AMD=90°.

∴△ANE≌△AMD(AAS)

即AN=AM.

【总结升华】证明等腰三角形可以证明两边相等，也可以证明两底角相等.

类型二、直角三角形

3．将一张矩形纸片如图所示折叠，使顶点落在点.已知，，则折痕的长为(   )

 A. 　　　B.　　　 C. 　　　D.
　　　　　　　

【思路点拨】直角三角形是常见的几何图形，在习题中比较多的利用数形结合解决相应的问题.常用的是两锐角互余，三边满足勾股定理和直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半.

【答案】C.

【解析】由折叠可知，∠CED=∠C′ED =30°，因为在矩形ABCD中，∠C等于90°，CD=AB=2，
　　　　所以在Rt△DCE中，DE=2CD=4.故选C.　　

【总结升华】折叠题型一定要注意对应的边相等，对应的角相等.

【变式】 如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm，BC=8cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为(   )．　

A.　　　 B. 　　　C.　　　 D.5
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【答案】B.
解析：由折叠可知，AD=BD，DE⊥AB， ∴BE=AB
　　　 设BD为x，则CD=8-x
　　　 ∵∠C=90°，AC=4，BC=8，∴AC2+BC2=AB2
　　 　∴AB2=42+82=80，∴AB=，∴BE=
　　　在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2 ，∴42+(8-x)2=x2，解得x=5
　　　在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD2，即()2+DE2=52，∴DE=， 故选B.

4．已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D.
　　(1)若∠BAC=30°，求证: AD=BD；
　　(2)若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数.
　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　图1 　　　　　　　　　图2

【思路点拨】(1)利用直角三角形两锐角互余，求得∠ABD=∠A=30°，得出AD=BD.
　　　      (2)利用三角形内角和及角平分线定义或利用三角形外角性质.

【答案与解析】

　(1)证明：∵∠BAC=30°，∠C=90°，∴∠ABC=60°
　　　　　　 又∵ BD平分∠ABC， ∴∠ABD=30°，∴ ∠BAC =∠ABD，∴BD=AD；
  (2)解法一： ∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°
　　　　　　∴=45°
　　　　　　∵ BD平分∠ABC，AP平分∠BAC
　　　　　  　∠BAP=，∠ABP=
　　　　　　　　即∠BAP+∠ABP=45°
　　　　　 ∴∠APB=180°-45°=135°
　解法二： ∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°
　　　　　 ∴=45°
　　　　　 ∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC
　　　　　　　∠DBC=，∠PAC=
　　　　　∴∠DBC+∠PAD=45°
　　　　　∴∠APB=∠PDA+∠PAD =∠DBC+∠C+∠PAD=∠DBC+∠PAD+∠C=45°+90°=135°.

 【总结升华】本题利用了：1、直角三角形的性质，两锐角互余，2、角的平分线的性质，3、三角形的外角与内角的关系．

类型三、综合运用

5 . 已知ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5.

    （1）k为何值时，ΔABC是以BC为斜边的直角三角形？

    （2）k为何值时，ΔABC是等腰三角形？并求出ΔABC的周长。

【思路点拨】△ABC的两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，应该想到一元二次方程中根与系数的关系.

【答案与解析】(1)∵AB、ACAB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,

          ∴AB+AC=2k+3,AB×AC= k2+3k+2

          又∵ΔABC是以BC为斜边的直角三角形，BC=5

          ∴

          ∴

          即

          ∴

          当k=-5时，方程为

          解得（不合题意，舍去）

          当k=2时，方程为

          解得

         ∴当k=2时，ΔABC是以BC为斜边的直角三角形.

(2)当ΔABC是等腰三角形时，则有①AB=AC,②AB=BC,③AB=BC三种情况：

∵△==1>0

∴AB≠AC,故第一种情况不成立；

当AB=BC或AC=BC时，5是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的根

∴

当k=3时，，

∴

∴等腰三角形的边长分别是5,5,4.周长为14；

当k=4时，，

∴

所以等腰三角形的边长是5,5,6，周长是16.

【总结升华】当三角形是等腰三角形并且未明确哪两边为腰时,要注意分类讨论.

【变式】已知等腰三角形三边的长为a、b、c且a=c，若关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0的两根之差为，则等腰三角形的一个底角是（   ）.

       A. 150           B. 300             C. 450         D. 600

【答案】B.

6．已知，如图，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝24°. 求的度数．

【思路点拨】直接求很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与全等的三角形，从而使其换个位置，看看会不会容易求．

【答案与解析】将沿AB翻折，得到，连结CE，

则，

∴∠1＝∠5＝12°.

∴60°

∵48°∴．

又∵∠2＝36°，72°，

∴

∴BE＝BC

∴为等边三角形.

∴

又垂直平分BC．

∴AE平分．

∴30°

∴∠ADB＝30°

【总结升华】不规则图形题求解时，运用翻折，平移，旋转是主要的思路.

【高清课堂：等腰三角形与直角三角形   例6】

【变式】如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC交AC的延长线于M，连接CD，给出四个结论：①∠ADC=45°；②BD=AE；③AC+CE=AB；④ AB-BC=2MC；其中正确的结论有(    ) A.1个     B.2个     C.3个      D.4个

【答案】D.