2020-2021学年【新教材】人教版（2019）高中物理必修一 专题：牛顿运动定律综合应用（传送带问题）

牛顿运动定律综合应用

水平传送带问题

水平传送带

1. 传送带的基本类型

一个物体以初速度v0（v0≥0）在另一个匀速运动的物体上运动的力学系统可看成传送带模型。传送带模型按放置方向分为水平传送带和倾斜传送带两种，如图所示。

2. 水平传送带

（1）当传送带水平转动时，应特别注意摩擦力的突变和物体运动状态的变化。

（2）求解的关键在于对物体所受的摩擦力进行正确的分析判断。静摩擦力达到最大值，是物体恰好保持相对静止的临界状态；滑动摩擦力只存在于发生相对运动的物体之间，因此两物体的速度相同时，滑动摩擦力要发生突变。

如图所示，水平传送带以不变的速度v＝10m/s向右运动，将工件轻轻放在传送带的左端，由于摩擦力的作用，工件做匀加速运动，经过时间t＝2s，速度达到v；再经过时间t′＝4 s，工件到达传送带的右端，g取10 m/s2，求：

（1）工件在水平传送带上滑动时的加速度的大小；

（2）工件与水平传送带间的动摩擦因数；

（3）工件从水平传送带的左端到达右端通过的距离。

【答案】（1）5 m/s2　（2）0.5　（3）50 m

【解析】（1）工件的加速度a＝

解得a＝5 m/s2

（2）设工件的质量为m，则由牛顿第二定律得：

μmg＝ma

所以动摩擦因数μ＝＝＝0.5

（3）工件加速运动距离x1＝t

工件匀速运动距离x2＝vt′

工件从左端到达右端通过的距离x＝x1＋x2

联立解得x＝50 m。

1. 水平传送带解题关键：先根据初始条件找出摩擦力的方向，进而得出加速度的方向，再根据传送带的长度判断物体的运动情况。

2. 在匀速运动的水平传送带上，只要物体和传送带不共速，两者之间就有滑动摩擦力。两者共速时，滑动摩擦力消失，物体与传送带一起匀速运动。

3. 解题时注意，公式中涉及到的加速度、位移等都是相对于地面的。

（答题时间：30分钟）

1. 如图所示，物块m在传送带上向右运动，两者保持相对静止。则下列关于m所受摩擦力的说法中正确的是（　　）

A. 皮带传送速度越大，m受到的摩擦力越大

B. 皮带传送的加速度越大，m受到的摩擦力越大

C. 皮带速度恒定，m质量越大，所受摩擦力越大

D. 无论皮带做何种运动，m都一定受摩擦力作用

2. 如图所示，一水平方向足够长的传送带以恒定的速度v1沿顺时针方向运动，一物体以水平速度v2从右端滑上传送带后，经过一段时间又返回光滑水平面，此时速率为v2′，则下列说法正确的是（　　）

A. 若v1＜v2，则v2′＝v1

B. 若v1＞v2，则v2′＝v2

C. 不管v2多大，总有v2′＝v2

D. 只有v1＝v2时，才有v2′＝v2

3. 如图所示，水平传送带以v＝12 m/s的速度顺时针做匀速运动，其上表面的动摩擦因数μ1＝0.1，把质量m＝20 kg的行李包轻放上传送带，释放位置距传送带右端4.5 m处。平板车的质量M＝30 kg，停在传送带的右端，水平地面光滑，行李包与平板车上表面间的动摩擦因数μ2＝0.3，平板车长10 m，行李包从传送带滑到平板车过程速度不变，行李包可视为质点。（g＝10 m/s2）求：

（1）行李包在平板车上相对于平板车滑行的时间是多少？

（2）要想行李包不从平板车滑出，求行李包释放位置应满足什么条件？

4. 如图所示，水平传送带正在以v＝4.0 m/s的速度匀速顺时针转动，质量为m＝1 kg的某物块（可视为质点）与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.1，将该物块从传送带左端无初速度地轻放在传送带上（g取10 m/s2）。

（1）如果传送带长度L＝4.5 m，求经过多长时间物块将到达传送带的右端；

（2）如果传送带长度L＝20 m，求经过多长时间物块将到达传送带的右端。

5.如图所示，水平绷紧的传送带AB长L＝6 m，始终以恒定速率v1＝4 m/s运行。初速度大小为v2＝6 m/s的小物块（可视为质点）从与传送带等高的光滑水平地面上经A点滑上传送带。小物块质量m＝1 kg，小物块与传送带间动摩擦因数μ＝0.4，g取10 m/s2。下列说法正确的是（　　）

A. 小物块可以到达B点

B. 小物块不能到达B点，但可返回A点，返回A点速度为6 m/s

C. 小物块向左运动速度减为0时相对传送带滑动的距离达到最大

D. 小物块相对传送带滑动的最大位移为12.5 m

1. 【答案】B

【解析】物块若加速运动，其合外力由传送带给它的摩擦力来提供，故加速度大，摩擦力大，B正确；当物块匀速运动时，物块不受摩擦力，故A、C、D错误。

2. 【答案】AB

【解析】由于传送带足够长，物体减速向左滑行，直到速度减为零，然后物体会在滑动摩擦力的作用下向右加速，分三种情况讨论：①如果v1＞v2，物体会一直加速，当速度大小增大到等于v2时，物体恰好离开传送带，有v2′＝v2；②如果v1＝v2，物体同样会一直加速，当速度大小增大到等于v2时，物体恰好离开传送带，有v2′＝v2；③如果v1＜v2，物体会先在滑动摩擦力的作用下加速，当速度增大到等于传送带速度时，物体还在传送带上，之后不受摩擦力，故物体与传送带一起向右匀速运动，有v2′＝v1；故选AB。

3. 【答案】（1）0.6s　（2）x<50m

【解析】（1）行李包放上传送带做匀加速直线运动

a1＝μ1g

v＝2a1x1

解得：v1＝3m/s

因v1＝3m/s<12 m/s，符合题意

行李包滑上平板车后，行李包减速，平板车加速。设此时行李包的加速度大小为a2，平板车的加速度大小为a3

a2＝μ2g＝3 m/s2

a3＝＝2m/s2

v1－a2t＝a3t

解得：t＝0.6s

相对位移x2＝v1t－a2t2－a3t2＝0.9m<10 m，符合题意。

（2）当行李包刚好滑到平板车右端时，行李包与平板车相对位移等于车长。设行李包刚滑上平板车时速度为v0，则v0－a2t1＝a3t1

v0t1－a2t－a3t＝L

解得v0＝10m/s<12 m/s

行李包在传送带做匀加速直线运动

v＝2a1x2

解得：x2＝50m

所以释放位置距离传送带右端应小于50 m。

4. 【答案】（1）3 s　（2）7 s

【解析】物块放到传送带上后，在滑动摩擦力的作用下先向右做匀加速运动。

由μmg＝ma得a＝μg，

若传送带足够长，匀加速运动到与传送带同速后再与传送带一同向前做匀速运动。

物块匀加速时间t1＝＝＝4s

物块匀加速位移x1＝at＝μgt＝8m

（1）因为4.5 m<8 m，所以物块一直加速，

由L＝at2得t＝3 s

（2）因为20 m>8 m，所以物块速度达到传送带的速度后，摩擦力变为0，此后物块与传送带一起做匀速运动，

物块匀速运动的时间t2＝＝s＝3s

故物块到达传送带右端的时间t′＝t1＋t2＝7 s

5. 【答案】D

【解析】小物块在水平方向受到摩擦力的作用，Ff＝μmg，产生的加速度：a＝＝＝μg＝0.4×10m/s2＝4m/s2。若小物块从右端滑上传送带后一直做匀减速运动，速度减为零时的位移是x，则，－2ax＝0－v，得：x＝＝m＝4.5 m<6 m，所以小物块不能到达B点，速度减为零后反向做匀加速运动，当速度等于传送带速度v1后匀速运动，返回A点速度4 m/s。故A、B错误；小物块速度减为零后反向做匀加速运动的过程，相对于传送带继续向左运动，所以小物块向左运动速度减为0时相对传送带滑动的距离没有达到最大，故C错误；小物块向右加速的过程中的位移：x′＝＝m＝2 m，当速度等于传送带速度v1时，经历的时间：t＝＝s＝2.5 s，该时间内传送带的位移：x″＝v1t＝4×2.5 m＝10 m，所以小物块相对于传送带的位移：Δx＝x″＋（x－x′）＝10＋（4.5－2）m＝12.5 m，故D正确。

倾斜传送带问题

倾斜传送带

1. 对于倾斜传送带，除了要注意摩擦力的突变和物体运动状态的变化外，还要注意物体与传送带之间的动摩擦因数与传送带倾角的关系。①若μ≥tanθ，且物体能与传送带共速，则共速后物体做匀速运动；②若μ<tan θ，且物体能与传送带共速，则共速后物体相对于传送带做匀变速运动。

2. 求解的关键在于根据物体和传送带之间的相对运动情况，确定摩擦力的大小和方向。当物体的速度与传送带的速度相等时，物体所受的摩擦力有可能发生突变。

如图所示，A、B间的距离l＝3.25 m，传送带与水平面成θ＝30°角，轮子转动方向如图所示，传送带始终以2 m/s的速度运行。将一物体无初速度地放到传送带上的A处，物体与传送带间的动摩擦因数μ＝，求物体从A运动到B所需的时间。（g取10 m/s2）

【答案】1.25 s

【解析】刚将物体无初速度地放上传送带时，物体做加速运动，受力如图甲所示，由牛顿第二定律得

x轴方向上：mgsin 30°＋Ff＝ma1

y轴方向上：FN－mgcos 30°＝0

又Ff＝μFN

联立解得a1＝g（sin 30°＋μcos 30°）＝8.0 m/s2

物体加速到与传送带速度相等所用的时间为t1＝＝0.25 s

位移为x1＝＝0.25 m

mgsin 30°>μmgcos 30°，故物体仍会继续加速下滑，而摩擦力方向变为沿传送带向上，受力如图乙所示，由牛顿第二定律可得

x轴方向上：mgsin 30°－Ff′＝ma2

y轴方向上：FN－mgcos 30°＝0

又Ff′＝μFN

联立解得a2＝g（sin 30°－μcos 30°）＝2.0 m/s2

所以物体以初速度v＝2 m/s和加速度a2＝2.0 m/s2做匀加速运动，位移为x2＝l－x1＝3.0 m

由位移公式得x2＝vt2＋a2t22

解得t2＝1 s，t2＝－3 s（舍去）

故所用总时间为t＝t1＋t2＝0.25 s＋1 s＝1.25 s。

1. 对倾斜传送带来说，求解的关键还是在于根据物体和传送带之间的相对运动情况，确定摩擦力的大小和方向．当物体的速度与传送带的速度相等时，物体所受的摩擦力有可能发生突变．

2. 对于倾斜传送带，解题时要特别注意mgsinθ与μmgcosθ的大小和方向的关系，即要注意物体与传送带之间的动摩擦因数与传送带倾角的关系．①若μ≥tanθ，且物体能与传送带共速，则共速后物体做匀速运动；②若μ<tan θ，且物体能与传送带共速，则共速后物体做匀变速运动。

（答题时间：30分钟）

1. 如图所示，传送带与水平面的夹角为θ，且tanθ>μ，皮带不动时，物块由皮带顶端A从静止开始下滑到皮带底端B用的时间是t，则（　　）

A. 当皮带逆时针运动时，物块由A滑到B的时间一定大于t

B. 当皮带逆时针转动时，物块由A滑到B的时间一定等于t

C. 当皮带顺时针转动时，物块由A滑到B的时间可能等于t

D. 当皮带顺时针转动时，物块由A滑到B的时间可能大于t

2. 如图所示，物块在静止的足够长的传送带上以速度v0匀速下滑时，传送带突然启动，方向如图中箭头所示，在此传送带的速度由零逐渐增加到2v0后匀速运动的过程中，下列分析正确的是（　　）

A. 物块下滑的速度不变

B. 物块开始在传送带上加速到2v0后匀速

C. 物块先向下匀速运动，后向下加速，最后沿传送带向下匀速运动

D. 物块受的摩擦力方向始终沿斜面向上

3. 如图所示，倾斜的传送带始终以恒定速率v2运动。一小物块以v1的初速度冲上传送带。小物块从A到B的过程中一直做减速运动，则（　　）

A. 如果v1＞v2，小物块到达B端的速度可能等于0

B. 如果v1＜v2，小物块到达B端的速度可能等于0

C. 如果v1＞v2，减小传送带的速度，物块到达B端的时间可能增长

D. 如果v1＜v2，增大传送带的速度，物块到达B端的时间可能变短

4. 如图甲所示，倾角为θ的足够长的传送带以恒定的速率v0沿逆时针方向运动。t＝0时将质量m＝1 kg的物体（可视为质点）轻放在传送带上，物体相对地面的v－t图像如图乙所示。设沿传送带向下为正方向，取重力加速度g＝10 m/s2。则（　　）

A. 传送带的速率v0＝10 m/s

B. 传送带的倾角θ＝30°

C. 物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.5

D. 1.0～2.0 s物体不受摩擦力

5. 如图所示，传送带与水平面的夹角θ＝37°，并以v＝10 m/s的速率逆时针转动，在传送带的A端轻轻地放一小物体。若已知物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.5，传送带A端到B端的距离L＝16 m，则小物体从A端运动到B端所需的时间为多少？（g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8）

1.【答案】B

【解析】皮带不动物块下滑时，物块受到的摩擦力向上，故加速度a＝gsinθ－μgcosθ；当皮带逆时针运动时，摩擦力一定也向上，而摩擦力的大小不变，故a不变，所以物块运动到B的时间不变，故A错误，B正确；当皮带顺时针转动时，在刚开始时，由于物块的速度小于皮带的速度，所以物块相对皮带向上运动，所以物块受到沿皮带向下的摩擦力，此时加速度相比皮带静止时变大，如果物块在下滑到底端之前，速度仍旧没有达到皮带的速度大小，则一直做加速运动，并且加速度a′＝gsinθ＋μgcosθ，此种情况下，物块由A滑到B的时间小于t，如果物块下滑到底端前，速度已经达到皮带的速度，则速度相等之后，由于重力沿皮带向下的分力大于摩擦力，所以物块仍旧会加速下滑，但是相比于前一段位移，加速度减小，等于皮带静止时的加速度，综合起来，整个过程中的平均加速度大于皮带静止时的加速度，所以此种情况下，物块由A滑到B的时间小于t，综上所述，当皮带顺时针转动时，物块由A滑到B的时间一定小于t，C、D错误。

2. 【答案】C

【解析】在传送带的速度由零逐渐增加到v0的过程中，物块相对于传送带下滑，故物块受到的滑动摩擦力仍然向上，故这段过程中物块继续匀速下滑，在传送带的速度由v0逐渐增加到2v0过程中，物块相对于传送带上滑，物块受到的滑动摩擦力沿传送带向下，物块加速下滑，当物块的速度达到2v0时，物块相对传送带静止，随传送带匀速下滑，故选项C正确。

3. 【答案】ABC

【解析】（1）如果v1＞v2，小物块的加速度开始时为gsinθ＋μgcosθ；当速度减为v2后，重力沿皮带的分量可能大于向上的摩擦力，这样合力方向向下，加速度变为gsinθ－μgcosθ，物块继续减速，到达顶端时，速度有可能正好减为零，故A正确；若减小传送带的速度，作出两种情况下的图像如图所示；由图可知，传送带速度减小后的图像如虚线所示，要达到相同的位移，用时要长，故C正确；

（2）如果v1＜v2，重力沿皮带的分量可能大于向上的摩擦力，这样合力方向向下，物块一直减速，到达顶端时，速度有可能正好减为零，故B正确；增大传送带速度后，物体的加速度不变，位移不变，到达B端的时间不变，故D错误。

4.【答案】AC

【解析】由图可知当物体速度达到v0＝10 m/s前，物体沿斜面向下的加速度为10 m/s2；速度在10 m/s到12 m/s时的加速度为2 m/s2；物体沿斜面的受力为重力沿斜面的分力、传送带对物体的摩擦力，当物体速度小于传送带的速度时物体受到传送带向下的摩擦力，当物体速度等于传送带的速度后物体受到的传送带的摩擦力方向发生变化，物体向下的加速度发生变化；由上述分析可知物体速度达到v0＝10 m/s时加速度变小是由于物体速度与传送带速度相同摩擦力方向变化，故传送带的速率为v0＝10 m/s，即A正确，D错误；设物体速度达到v0＝10 m/s前的加速度为a1，物体速度达到v0＝10 m/s后的加速度为a2，则有mgsinθ＋μmgcosθ＝ma1①，mgsinθ－μmgcosθ＝ma2②，由图可知a1＝10 m/s2，a2＝2 m/s2，联立①②可得sinθ＝0.6，即θ＝37°，μ＝0.5，故B错误，C正确。

5.【答案】2  s

【解析】设小物体的质量为m，小物体被轻轻地放在传送带A端，小物体沿传送带方向速度为零，但传送带的运动速率为v＝10 m/s，二者速率不相同，它们之间必然存在相对运动。传送带对小物体有沿传送带斜向下的滑动摩擦力作用，小物体的受力情况如图所示。

设小物体的加速度为a1，则由牛顿第二定律有

mgsinθ＋Ff1＝ma1①

FN＝mgcosθ②

Ff1＝μFN③

联立①②③式并代入数据解得a1＝10 m/s2

小物体速度大小达到传送带速率v＝10 m/s时，所用的时间t1＝＝1 s

在1 s内小物体沿传送带的位移x1＝＝5 m

小物体的速度大小与传送带速率相同的时刻，若要跟随传送带一起运动，即相对传送带静止，它必须受到沿传送带向上的摩擦力Ff＝mgsinθ＝6m的作用，但是此时刻它受到的摩擦力是Ff2＝μmgcosθ＝4m，小于Ff。因此，小物体与传送带仍有相对滑动，设小物体的加速度为a2，这时小物体的受力情况如图所示。由牛顿第二定律有

mgsinθ－μmgcosθ＝ma2，解得a2＝2 m/s2。

设小物体速度大小达到10 m/s后又运动时间t2才到达B端，则有x2＝L－x1＝vt2＋

代入数据解得t2＝1 s，t2′＝－11 s（舍去）

小物体从A端运动到B端所需的时间t＝t1＋t2＝2 s。