人教版八年级下册第十八章 平行四边形综合与测试优秀练习题

这是一份人教版八年级下册第十八章 平行四边形综合与测试优秀练习题，共80页。试卷主要包含了如图，等内容，欢迎下载使用。
《平行四边形边、角的性质》基础训练
知识点1 平行四边形边、角的性质
1.在下列性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）
A.对边相等 B.对边平行 C.对角互补 D.内角和为
2.如图，在中，M是BC延长线上的一点.若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
3.如图，若平行四边形ABCD的周长是，△ABC的周长是，则AC的长为（ ）

A. B. C. D.
4.（1）在中，若，则______；若，则______________；
（2）已知的周长为，若，则________，_____.
5.（2019·吉林）如图，在中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于点F，连接.求证：△ABE≌△CDF.

6.（2019·广安）如图，点E是的边CD的中点，的延长线交于点，求的周长.

知识点2 平行线间的距离
7.如图，，点为垂足，则下列说法不正确的是（ ）

A.
B.
C.两点的距离就是线段AB的长度
D.a与b的距离就是线段CD的长度
8.如图，.若，则△ABD中AB边上的高等于____________.

易错点1 位置不确定，造成漏解
9.已知直线与b的距离是与c的距离是，则a与c的距离是__________.
易错点2 不注意分情况讨论，造成漏解
10.在中，的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则的周长是___________.
参考答案
1.C 2.A 3.D 4.（1）（2）
5.证明：由题意可得：，在中，.在△ABE和△CDF中，△ABE≌△CDF（SAS）.
6.解：∵四边形ABCD是平行四边形，.
又是CD的中点，△ADE≌△FCE（AAS）.，
的周长为.
7.D 8.6 9.或 10.22或20
《平行四边形边、角的性质》提升训练
1.如图，在中，的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（ ）

A.7 B.10 C.11 D.12
2.如图所示，直线是直线a上的一个定点，线段BC在直线b上移动，那么在移动过程中△ABC的面积（ ）

A.变大 B.变小 C.保持不变 D.无法确定
3.如图，将沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，DE交BC于点F，连接CE，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.（2019·梧州）如图，在中，于点于点与DF交于点H，则______________.

5.（2019·福建）在平面直角坐标系xOy中，的三个顶点坐标分别为，则其第四个顶点的坐标是____________.
6.如图，在中，于点于点N.
（1）若，求的大小；
（2）若的周长等于，求的长.

7.（原创题）已知四边形ABCD是平行四边形，的平分线相交于点P.
（1）如图1，若点P刚好落在CD边上，，求△APB的周长；
（2）如图2，若点P落在的内部，，求EF的长；
（3）若点P落在的外部，画出图形并直接写出应满足的条件.

参考答案
1.B 2.C 3.D
4. 5.
6.解：（1）.（2）
7.解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，.
.又和BP分别平分和，
.
.平分，
..同理：.
.在Rt△APB中，，
.△APB的周长为.
（2）由（1）可知，，.
又，.
（3）当满足时，点P落在的外部，如图所示.

《平行四边形对角线的性质》基础训练
知识点1 平行四边形的对角线互相平分
1.如图，在中，O是对角线的交点，下列结论错误的是（ ）

A.
B.
C.
D.
2.（教材P44练习T1变式）如图，的对角线相交于点O，已知，则△OBC的周长为（ ）

A.13
B.17
C.20
D.26
3.如图，在ABCD中，已知，则AD的长为（ ）

A.
B.
C.
D.
4.如图，若的周长为相交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长小，则_________，________.

5.在中，，对角线相交于点O，则OA的取值范围是________________.
6.如图所示，在中，对角线AC与BD相交于点O，点在对角线AC上，且，求证.

知识点2 平行四边形的面积
7.如图，在中，O是对角线的交点.若△AOD的面积是5，则的面积是（ ）

A.10
B.15
C.20
D.25
8.如图，若的面积为，则边AD与BC间的距离为_____________.

9.如图，在中，对角线相交于点O.若，，则的面积为___________.

易错点 考虑不全面而致错
10.如图，在中，对角线AC与BD相交于点于点于点F，则图中全等三角形共有（ ）

A.7对
B.6对
C.5对
D.4对
参考答案
1.C 2.B 3.A 4. 5.
6.证明：四边形ABCD是平行四边形，，
.在△BOM和△DON中，
△BOM≌△DON(SAS).
7.C 8.4 9.12 10.A
《平行四边形对角线的性质》提升训练
1.【整体思想】如图，的对角线相交于点O，且，△OCD的周长为23，则的两条对角线的和是（ ）

A.18
B.28
C.36
D.46
2.如图，的对角线AC的长为的长为，则的面积为（ ）

A.
B.
C.
D.
3.（2019·遂宁）如图，在中，对角线相交于点交AD于点E，连接BE.若的周长为28，则△ABE的周长为（ ）

A.28
B.24
C.21
D.14
4.如图，在中，为对角线，边上的高为4，则阴影部分的面积为___________.

5.（2018·福建改编）（1）如图1，的对角线相交于点O，过点O作直线EF分别交于点.求证；
（2）如图2，在中，若过点O的直线与的延长线分别交于点，能得到（1）中的结论吗？由此你能得到什么样的一般性结论？

6.（2019·荆门）如图，已知在中，.
（1）求的面积；
（2）求证：.

7.如图，在中，对角线AC与BD相交于点，将△ABC沿AC所在直线翻折.若点B的落点记为，则的长为___________.

参考答案
1.C 2.B 3.D 4.12
5.解：（1）证明：四边形ABCD为平行四边形，.
.△AEO≌△CFO（AAS）. .
（2）能得到（1）中的结论.证明如下：四边形ABCD为平行四边形，
.△AEO≌△CFO（AAS）. .一般性结论是：过平行四边形对角线的交点O作一条直线与平行四边形相对的两边或其延长线相交于两点，则.
6.解：（1）作交AB的延长线于点E.设，在Rt△CEB中，①，在Rt△CEA中，②，联立①②，解得，
的面积为.
（2）证明：作，垂足为.四边形ABCD是平行四边形，..又，△ADF≌△BCE（AAS）. ，
.在Rt△DFB中，，.
..
7.
《平行四边形的判定1》基础训练
平行四边形的判定定理1：
已知：四边形ABCD, AB=CD，AD=BC
A
B
C
D
求证：四边形ABCD是平行四边形








平行四边形的判定定理2：A
B
C
D

已知：四边形ABCD, ∠A=∠C，∠B=∠D
求证：四边形ABCD是平行四边形




平行四边形的判定定理3
已知：四边形ABCD, AC、BD交于点O且OA=OC，OB=OD
A
C
D
B
O
求证：四边形ABCD是平行四边形






例题解析
例：已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且OE=OF。
求证：四边形BFDE是平行四边形。













随堂练习
1.根据下列条件,不能判定一个四边形为平行四边形的是( )
(A)两组对边分别相等 (B)两条对角线互相平分
(C)两条对角线相等 (D)两组对边分别平行

2、请你识别下列四边形哪些是平行四边形?请说明理由？
A
B
C
D
O
5㎝
5㎝
4㎝
4㎝
A
D
C
B
110°
70°
110°






3、在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）．
（A）AB∥CD，AD=BC （B）∠A=∠B，∠C=∠D
（C）AB=CD，AD=BC （D）AB=AD，CB=CD

4、已知一个四边形的边长分别是a，b，c，d，其中a，c为对边，且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，此四边形为平行四边形吗？为什么？






5、已知：如图，□ABCD中，点M、N在对角线AC上，且AM＝CN。
A
B
D
N
M
C
求证：四边形BMDN是平行四边形。










《平行四边形的判定1》提升训练
1.如图，在四边形ABCD中，，则等于（ ）

A. B. C. D.
2.如图，在四边形ABCD中，对角线相交于点，，则四边形ABCD的面积为（ ）

A.6 B.12 C.20 D.24
3.如果一个四边形的边长依次是，且，那么这个四边形是____________.
4.如图，在中，.求证：四边形EFGH是平行四边形.

5.（2019·本溪）如图，在四边形ABCD中，，，延长CD到点E，使，连接AE.
（1）求证：；
（2）若，求四边形ABCE的面积.

6.如图，在中，，点分别在的延长线上，且.
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若去掉已知条件的“”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

参考答案
1.C 2.D 3.平行四边形
4.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，.又.在△AEF和△CGH中，
△AEF≌△CGH（SAS）. .同理可证：.四边形EFGH是平行四边形.
5.解：（1）证明：.
又.
又，四边形ABCE是平行四边形..
（2）∵四边形ABCE是平行四边形，.
.
6.解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，，.
，，△AED，△CFB是等边三角形.
.四边形AFCE是平行四边形.
（2）上述结论还成立.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，，..，，

即.又.四边形AFCE是平行四边形.
《平行四边形的判定2》基础训练
知识点1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1.如图，可判定四边形ABCD是平行四边形的依据是（ ）

A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.一组对边相等、另一组对边平行的四边形是平行四边形
D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2.如图，在四边形ABCD中，E是BC延长线上的点，.求证：四边形ABCD是平行四边形.

3.（2019·淮安）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点分别是边的中点.求证：.

4.如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形.

知识点2 平行四边形判定方法的灵活选用
5.下列条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的个数是（ ）
①；②；
③；④.
A.1 B.2 C.3 D.4
6.（2019·湘潭）如图，在四边形ABCD中，若，则添加一个条件_________，能得到平行四边形ABCD.（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可）

7.如图，已知四边形ABCD中，AC与BD相交于点O.若，则当____________，_____________时，四边形ABCD是平行四边形.

8.如图，在四边形ABCD中，M是边BC的中点，互相平分并相交于点O.求证：且.

易错点 对平行四边形的判定方法掌握不牢导致判断错误
9.在四边形ABCD中，给出下列条件：①；②；③；④，选其中两个条件就能判断四边形ABCD是平行四边形的选法有_________种.
参考答案
1.D
2.证明：.又四边形ABCD是平行四边形.
3.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，.∵点分别是边的中点，..又四边形BFDE是平行四边形..
4.证明：∵四边形AEFD是平行四边形，.又∵四边形EBCF是平行四边形，四边形ABCD是平行四边形.
5.A 6.（答案不唯一） 7.5 3
8.证明：连接互相平分并相交于点O，即四边形ABMD为平行四边形.，为BC的中点，.四边形AMCD为平行四边形. .且.
9.4
《平行四边形的判定2》提升训练
1.如图，在平面直角坐标系中，以为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点的坐标的是（ ）

A. B. C. D.
2.（2019·威海）如图，E是边AD延长线上一点，连接交CD于点F.添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（ ）

A. B.
C. D.
3.如图，在中，点E在CD的延长线上，，则AB的长是__________.

4.（2019·遂宁）如图，在四边形ABCD中，，延长BC到E，使，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点.求证：
（1）△ADF≌△ECF；
（2）四边形ABCD是平行四边形.

5.如图，将的AD边延长至点E，使，连接是BC边的中点，连接FD.
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若，求CE的长.

6.如图所示，在四边形ABCD中，，点P从点A向点D以的速度运动，到点D即停止.点Q从点C向点B以的速度运动，到点B即停止.直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当两点同时出发，几秒后所截得的两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
参考答案
1.B 2.C 3.2
4.证明：（1）.∵点F是CD的中点，.
在△ADF和△ECF中，△ADF≌△ECF（AAS）.
（2）∵△ADF≌△ECF，.四边形ABCD是平行四边形.
5.解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，是BC边的中点，四边形CEDF是平行四边形.
（2）.
6.解：当两点同时出发或后，所截得的两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形.
《三角形的中位线》基础训练
知识点 三角形的中位线
1.（2019·盐城）如图，点分别是△ABC边的中点，，则DE的长为（ ）

A.2 B. C.3 D.
2.如图，在△ABC中，点分别是的中点，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
3.如图，在△ABC中，点分别是边的中点.若△DBE的周长是6，则
△ABC的周长是（ ）

A.8 B.10 C.12 D.14
4.如图，以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.（2019·河池）如图，在△ABC中，分别是的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（ ）

A. B. C. D.
6.（2019·长沙）如图，要测量池塘两岸相对的两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接分别取的中点，测得，则AB的长是______________.

7.如图，CD是△ABC的中线，点分别是的中点，，则___________.

8.如图，在Rt△ABC中，分别为边的中点.
（1）求的度数；
（2）求EF的长.

9.如图，在△ABC中，分别为边的中点.求证：四边形DECF是平行四边形.

参考答案
1.D 2.C 3.C 4.C 5.B 6.100 7.2
8.解：（1）.（2）.
9.证明：分别为的中点，为△ABC的中位线.
四边形DECF是平行四边形.
《三角形的中位线》提升训练
1.如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点分别是边的中点，量得米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是（ ）

A.15米 B.20米 C.25米 D.30米
2.（2019·铜仁）如图，D是△ABC内一点，，分别是的中点，则四边形EFGH的周长为（ ）

A.12 B.14 C.24 D.21
3.（2019·达州）如图，的对角线相交于点O，点E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为______________.


4.如图，在四边形ABCD中，点分别是边的中点，顺次连接，得到的四边形EFGH叫中点四边形.求证：四边形EFGH是平行四边形.

5.（2019·广元）如图，在△ABC中，，延长BA到点D，使，
分别是边的中点.求证：.

6.（1）如图1，在四边形ABCD中，分别是的中点，连接FE并延长，分别与的延长线交于点，若，求证：；（提示：取BD的中点H，连接）
（2）如图2，在△ABC中，O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G.若，求OE的长度.

微专题1 利用“角平分线+垂直”构造三角形的中位线
【例】点M为△ABC的边BC的中点，于点D，连接DM.
（1）如图1，若AD为的平分线，则_________；
（2）如图2，若AD为的外角平分线，则___________.

【变式】如图，在Rt△ABC中，为△ABC外一点，使，E为BD的中点.若，则__________.

参考答案
1.C 2.A 3.16
4.证明：连接分别是的中点，是△ABD的中位线.
.同理.四边形EFGH是平行四边形.
5.证明：分别是边的中点，，
，，
.在△DAF和△EFC中，，，△DAF≌△EFC（SAS）..又.
6.解：（1）证明：连接BD，取DB的中点H，连接分别是的中点，，，
...
（2）连接BD，取DB的中点H，连接.同（1）可得，，
..
△OEH是等边三角形..
微专题1
【例】（1）3（2）15
【变式】
《矩形的性质》基础训练
知识点1 矩形的性质
1.（2019·十堰）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A.对边相等 B.对角相等
C.对角线相等 D.对角线互相平分
2.如图，在矩形ABCD中，对角线相交于点，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
3.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，且.当时，AB等于（ ）

A. B. C. D.
4.如果矩形的一边长为6，一条对角线的长为10，那么这个矩形的另一边长是__________，面积是________________.
5.（2019·徐州）如图，矩形ABCD中，交于点分别为的中点.若，则AC的长为_____________.

6.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，图中和相等的角有几个？并说明理由.

7.如图，己知矩形ABCD，过点C作交AB的延长线于点E.求证：.

知识点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
8.（2018·福建）如图，在Rt△ABC中，，点D是AB的中点，则_________________.

9.如图，在Rt△ABC中，是斜边AB上的中线.若，则__________________.

10.如图，已知为AB的中点，求证：△ECD是等腰三角形.

参考答案
1.C 2.B 3.B 4.8 48 5.16
6.解：与相等的角有3个.理由如下：∵四边形ABCD是矩形，，，
.
7.证明：∵四边形ABCD是矩形，.又四边形DBEC是平行四边形..
8.3 9.
10.证明：.又E为AB的中点，
.△ECD是等腰三角形.
《矩形的性质》提升训练
1.如图，已知在矩形ABCD中，对角线相交于点于点E.若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
2.如图，在△ABC中，平分，点E为AC的中点，连接DE.若△CDE的周长为21，则BC的长为（ ）

A.6 B.9 C.10 D.12
3.（2019·眉山）如图，在矩形ABCD中，，过对角线交点O作交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（ ）

A.1 B. C.2 D.

4.（2018·连云港）如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，延长交于点F，连接.
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）当CF平分时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由.

5.（2019·大庆）如图，在矩形ABCD中，在对角线AC上，且分别是的中点.
（1）求证：△ABM≌△CDN；
（2）点G是对角线AC上的点，，求AG的长.

微专题2 遇直角三角形斜边的中点构造斜边上的中线
模型构建：
直角三角形中遇到斜边的中点时，常作斜边上的中线，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得来解题.有时有中点无直角，要寻找直角，可简记为“直角+中点，等腰必呈现”.
此模型作用：①证明线段相等或求线段长；②构造角相等进行等量代换.

针对训练
如图，在四边形ABCD中，分别是的中点，，则EF的长为_____________.

参考答案
1.C 2.D 3.B
4.解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，是AD的中点，.又△FAE≌△CDE（ASA）.
.又四边形ACDF是平行四边形.
（2）.理由：∵CF平分，△CDE是等腰直角三角形. 是AD的中点，.
.
5.解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，..
在△ABM和△CDN中，△ABM≌△CDN（SAS）.
（2）AG的长为1或4.
微专题2 4

《矩形的判定》基础训练
知识点1 有一个角是直角的平行四边形是矩形
1.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（ ）

A. B. C. D.
2.如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根皮筋.若改变框架的形状，则也随之变化，两条对角线的长度也在发生改变.当________________时，两条对角线的长度相等.

3.如图，在△ABC中，是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形，求证：四边形ADBE是矩形.

知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形
4.在中，是对角线，如果添加一个条件，即可推出是矩形，那么这个条件是（ ）
A. B. C. D.
5.用一把刻度尺来判定一个四边形零件是矩形的方法是先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等，这样做的依据是_____________.
6.（2019·江西）如图，四边形ABCD中，，，对角线相交于点O，且求证：四边形ABCD是矩形.

7.已知，如图，是矩形ABCD的两条对角线，.求平行四边形是矩形.

知识点3 有三个角是直角的四边形是矩形
8.如图，在四边形ABCD中，，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是___________（写出一种情况即可）.

9.已知：如图，在中，分别是的平分线.求证：四边形EFGH为矩形.


易错点 对矩形的判定方法理解错误导致出错
10.（2019·重庆）下列命题正确的是（ ）
A.有一个角是直角的平行四边形是矩形
B.四条边相等的四边形是矩形
C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D.对角线相等的四边形是矩形
参考答案
1.C 2.
3.证明：是BC边上的中线，..又∵四边形ADBE是平行四边形，四边形ADBE是矩形.
4.B 5.对角线相等的平行四边形是矩形
6.证明：∵四边形ABCD中，四边形ABCD是平行四边形.
四边形ABCD是矩形.
7.证明：∵四边形ABCD是矩形，.
.四边形EFGH是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）. ，即四边形EFGH是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
8.（答案不唯一）
9.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，分别平分，.
.
同理可得：四边形EFGH是矩形.
10.A
《矩形的判定》提升训练
1.（2019·临沂）如图，在平行四边形ABCD中，是BD上两点，，连接添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（ ）

A. B.
C. D.
2.在中，，当的面积最大时，下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ）
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
3.如图，在四边形ABCD中，对角线，垂足为O，点分别为边的中点.若，则四边形EFGH的面积为_____________.

4.（2019·安顺）如图，在Rt△ABC中，，且，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作于点于点N，连接MN，则线段MN的最小值为_____________.

5.（原创题）如图，在Rt△ABC中，分别是的中点，连接.
（1）求证：四边形DEFC是矩形；
（2）小明连接交于点O，作射线BO，他说“BO就是的平分线”，你能说明理由吗？

6.如图，将的边AB延长至点E，使，连接交BC于点O.
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）若，求证：四边形BECD是矩形.

7.（2019·青岛）如图，在中，对角线AC与BD相交于点O，点分别为的中点，延长AE至G，使，连接CG.
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由.

参考答案
1.A 2.B 3.12 4.
5.解：（1）证明：分别是的中点，.
四边形DEFC是平行四边形.又，四边形DEFC是矩形.
（2）理由：.又是AB的中点，.四边形DEFC是矩形，平分.
6.证明：（1）在中，.在△ABD和
△BEC中，△ABD≌△BEC（SAS）.
（2）在中，，且四边形BECD为平行四边形，，
且四边形BECD是矩形.
7.解：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，，，，.点分别为的中点，，.在△ABE和△CDF中，
△ABE≌△CDF（SAS）.
（2）当时，四边形EGCF是矩形.理由略.

《菱形的性质》基础训练
知识点1 菱形的性质
1.（2018·十堰）菱形不具备的性质是（ ）
A.四条边都相等
B.对角线一定相等
C.是轴对称图形
D.是中心对称图形
2.（2019·河北）如图，在菱形ABCD中，，则=（ ）

A. B. C. D.
3.（2019·贵阳）如图，菱形ABCD的周长是，，那么这个菱形的对角线AC的长是（ ）

A. B. C. D.
4.（2019·呼和浩特）已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为（ ）
A. B. C. D.
5.（2019·赤峰）如图，菱形ABCD周长为20，对角线相交于点是CD的中点，则OE的长是（ ）

A.2.5 B.3 C.4 D.5
6.（2019·衢州）已知：如图，在菱形ABCD中，点分别在边上，且，连接.求证：.

知识点2 菱形的面积
7.（2018·徐州）若菱形两条对角线的长分别是和，则其面积为_________.
8.（教材P56例3变式）如图，四边形ABCD是菱形，对角线相交于点O，且，求菱形ABCD的面积.

易错点 点的位置不确定导致漏解
9.四边形ABCD是菱形，，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上.若，则CE的长为______________.
参考答案
1.B 2.D 3.A 4.C 5.A
6.证明：∵四边形ABCD是菱形，，
△ABE≌△ADF（SAS）..
7.24 8.解： 9.或

《菱形的性质》提升训练
1.（2019·泸州）一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（ ）
A.8 B.12 C.16 D.32
2.如图，在菱形ABCD中，点分别在上，且与AC交于点O，连接BO.若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
3.（2019·绵阳）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，，
，则对角线交点E的坐标为（ ）

A. B. C. D.
4.（2019·广西）如图，在菱形ABCD中，对角线交于点O，过点A作
于点H，已知，则________________.

5.（2019·百色）如图，在菱形ABCD中，作，分别交的延长线于点.
（1）求证：；
（2）若点E恰好是AD的中点，，求BD的值.

6.如图，在菱形ABCD中，对角线相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若，求△ADE的周长

7.如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为，E为AB的中点.若P为对角线BD上一动点，则的最小值为______________.




8.（2019·宁波）如图，矩形EFGH的顶点分别在菱形ABCD的边上，顶点在菱形ABCD的对角线BD上.
（1）求证：；
（2）若E为AD中点，，求菱形ABCD的周长.

微专题3 对角线互相垂直的四边形的面积
我们已经知道：菱形的面积等于对角线乘积的一半，那么，如果是对角线互相垂直的任意一个四边形，还有这样的结论吗？
如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，其中对角线BD长为15，AC长为20，垂足为O，求四边形ABCD的面积.（请写出求解过程）

结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于________________.
参考答案
1.C 2.C 3.D 4.
5.解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，.
.△AEB≌△BFC（AAS）.
.
（2）∵点E是AD的中点，且直线BE为AD的垂直平分线.
.
6.解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，.
又.四边形ACDE是平行四边形.
（2）∵四边形ABCD是菱形，，，
.∵四边形ACDE是平行四边形，，.
7.
8.解：（1）证明：∵四边形EFGH是矩形，..
.∵四边形ABCD是菱形，.△BGF≌△DEH（AAS）..
（2）菱形ABCD的周长为8.
微专题 3
解：
，.
两条对角线乘积的一半.

《菱形的判定》基础训练
知识点1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1.如图，若要使成为菱形，则可添加的条件是（ ）

A. B. C. D.
2.如图，在△ABC中，AD是的平分线，交AB于点交AC于点F，求证：四边形AEDF是菱形.

知识点2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3.如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足，请你添加一个适当的条件__________，使四边形ABCD成为菱形.（只需添加一个即可）

4.（2018·遂宁）如图，在中，点分别是上的点，且，.求证：四边形AECF是菱形.

知识点3 四条边相等的四边形是菱形
5.（2019·兰州）如图，，分别以为圆心，以5为半径作弧，两条弧分别相交于点.依次连接，连接BD交AC于点O.
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）求BD的长.

6.如图，在四边形ABCD中，依次是的中点.求证：四边形EFGH是菱形.

易错点 对菱形的判定方法掌握不透导致出错
7.下列命题：
①四边都相等的四边形是菱形；
②两组邻边分别相等的四边形是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
④对角线相等的四边形是菱形；
⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.其中正确的是______.（填序号）
参考答案
1.C
2.证明：四边形AEDF为平行四边形，.
是的平分线，.四边形AEDF是菱形.
3.（答案不唯一）
4.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，，
，即四边形AECF是平行四边形.
又，四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.
5.解：（1）四边形ABCD为菱形，理由如下：由作法得，四边形ABCD为菱形.
（2）.
6.证明：分别是线段的中点，分别是
△ABD，△BCD的中位线，分别是△ABC，△ACD的中位线.
.又.
四边形EFGH是菱形.
7.①③⑤

《菱形的判定》提升训练
1.（2019·宁夏）如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分.添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）

A. B.
C. D.
2.（2019·永州）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点.若，则四边形ABCD的面积为（ ）

A.40 B.24 C.20 D.15
3.如图，在四边形ABCD中，相交于点O，点E在AO上，且.
（1）求证：；
（2）连接，判断四边形BCDE的形状，并说明理由.


4.（2019·宿迁）如图，矩形ABCD中，，点分别在上，且.
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）求线段EF的长.

5.（2019·滨州）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作交BE于点G，连接CG.
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若，求四边形CEFG的面积.

参考答案
1.C 2.B
3.解：（1）证明：在△ADC和△ABC中，△ADC≌△ABC（SSS）. .
（2）四边形BCDE是菱形.理由：垂直平分BD.
，四边形DEBC是平行四边形. ，四边形DEBC是菱形.
4.解：（1）证明：∵在矩形ABCD中，，，..，
..四边形AECF是菱形.
（2）过点F作于点H，则四边形AHFD是矩形，，
.
5.解：（1）证明：由题意得△BCE≌△BFE，，.
...四边形CEFG是平行四边形.又，四边形CEFG是菱形.
（2）

《正方形》基础训练
知识点1 正方形的性质
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.对角线互相垂直平分且相等
2.如图，正方形ABCD的对角线相交于点，则此正方形的面积为（ ）

A.3 B.12 C.18 D.36
3.（2019·鄂尔多斯）如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ABE，则为（ ）

A. B. C. D.
4.（2018·吉林）如图，在正方形ABCD中，点分别在上，且，求证：△ABE≌△BCF.

【拓展设问】若AE与BF相交于点O，求的度数.
知识点2 正方形的判定
5.下列判断中，正确的是（ ）
A.四边相等的四边形是正方形
B.四角相等的四边形是正方形
C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
6.如图，在正方形ABCD中，分别是边，上的点，且.求证：四边形EFGH是正方形.

7.已知：如图，点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，垂足分别是，且.
求证：四边形AEDF是正方形.

参考答案
1.A 2.C 3.C
4.证明：∵四边形ABCD是正方形，.在△ABE和△BCF中，△ABE≌△BCF（SAS）.
【拓展设问】解：已证△ABE≌△BCF，.∵四边形ABCD为正方形，..
.
5.D
6.证明：四边形ABCD是正方形，，
..
△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE（SAS）.，
...
四边形EFGH是正方形.
7.证明：.四边形AEDF是矩形. 为BC的中点，.在Rt△BFD和Rt△CED中，Rt△BFD≌Rt△CED（HL）..四边形AEDF是正方形.
《正方形》提升训练
1.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了（ ）
A.1次 B.2次 C.3次 D.4次
2.（2019·扬州）如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接分别是的中点，连接MN.若，，则_______________.

3.（2019·菏泽）如图，是正方形ABCD的对角线AC上的两点，，，则四边形BEDF的周长是______________.

4.（2019·深圳）如图，在正方形ABCD中，，将BC沿CE翻折，使B点对应点刚好落在对角线AC上，将AD沿AF翻折，使D点对应点刚好落在对角线AC上，则_____________.

5.已知：如图，四边形ABCD中，是对角线BD上一点，且.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果，且，求证：四边形ABCD是正方形.




6.如图，在Rt△ABC中，，过点C的直线为AB边上一点，过点D作，交直线MN于点E，垂足为F，连接.
（1）求证：；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？请说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由.

参考答案
1.B 2. 3. 4.
5.证明：（1）在△ADE和△CDE中，△ADE≌△CDE（SSS）.
....
.四边形ABCD为平行四边形. ，四边形ABCD是菱形.
（2），
.∵四边形ABCD是菱形，.
.四边形是正方形.
6.解：（1）证明：.又，.
.又，即，四边形ADEC是平行四边形.
.
（2）四边形BECD是菱形.理由略.
（3）当时，四边形BECD是正方形.理由略.

章末复习（三） 平行四边形
分点突破
知识点1 平行四边形的性质与判定
1.平行四边形具有的特征是（ ）
A.四个角都是直角
B.对角线相等
C.对角线互相平分
D.四边相等
2.如图，在四边形ABCD中，相交于点是AC的中点，.求证：四边形ABCD是平行四边形.

知识点2 三角形的中位线、直角三角形斜边上的中线
3.（2019·梧州）如图，已知在△ABC中，分别是的中点，分别是的中点，且，则BC的长度是____________.

4.（2019·黄石）如图，在△ABC中，于点和的平分线相交于点为边AC的中点，，则（ ）

A. B. C. D.
知识点3 矩形的性质与判定
5.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点，则（ ）

A.5 B.4 C.3.5 D.3
6.（2019·云南）如图，在四边形ABCD中，对角线相交于点，，且.
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若，求的度数.

知识点4 菱形的性质与判定
7.（2019·天津）如图，四边形ABCD为菱形，两点的坐标分别是，点在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（ ）

A. B. C. D.20
8.如图，四边形ABCD是菱形，点分别在上，且，，点分别在上，MG与NF相交于点E.求证：四边形AMEN是菱形.

知识点5 正方形的性质与判定
9.（2019·河池）如图，在正方形ABCD中，点分别在上，，则图中与相等的角的个数是（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4
10.的对角线AC与BD相交于点O，且，请添加一个条件：_____________，使得为正方形.

易错题集训
11.如图，在正方形ABCD外取一点E，连接，过A作AE的垂线交ED于点P.若，下列结论：①△APD≌△AEB；②；
③，其中正确结论的序号是（ ）

A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
12.用直角边分别为3和4的两个直角三角形拼成一个平行四边形（非矩形），所得的平行四边形的周长是________________.
13.（2019·云南）在中，，则的面积等于_____________.
14.在菱形ABCD中，，点P是菱形ABCD内一点，，则AP的长为______________.
15.如图是一张矩形纸片ABCD，若为AB上的点，，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在矩形ABCD的某一条边上，则等
腰三角形AEP的底边长是______________.

常考题型演练
16.（2019·大庆）下列说法中不正确的是（ ）
A.四边相等的四边形是菱形
B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C.菱形的对角线互相垂直且相等
D.菱形的邻边相等
17.（2019·苏州）如图，菱形ABCD的对角线交于点，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△.当点与点C重合时，点A与点之间的距离为（ ）

A.6 B.8 C.10 D.12
18.（2019·安徽）如图，在正方形ABCD中，点将对角线AC三等分，且，点P在正方形的边上，则满足的点P的个数是（ ）

A.0 B.4 C.6 D.8
19.（2019·北京）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2、图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为_______.

20.（2019·龙东）如图，矩形ABCD中，，点P是矩形ABCD内一动点，且，则的最小值为_____________.

21.（2019·湖州）如图，已知在△ABC中，分别是的中点，连接.
（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；
（2）若，求四边形BEFD的周长.

22.（2019·黄冈）如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作，垂足分别为.求证：.

23.（2019·连云港）如图，在△ABC中，.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O.
（1）求证：△OEC为等腰三角形；
（2）连接，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形？并说明理由.

核心素养专练
24.（原创题）如图1，有一张矩形纸片，点分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM.
（1）求证：四边形CMPN是菱形；
（2）当重合时，如图2，求MN的长；
（3）设△PQM的面积为S，求S的取值范围.

参考答案
1.C
2.证明：是AC的中点，.在△AOD和△COB中，△AOD≌△COB（AAS）..
又，四边形ABCD是平行四边形.
3.8 4.C 5.B
6.解：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形.
.
四边形ABCD是矩形.
（2）.
7.C
8.证明：，四边形AMEN是平行四边形.∵四边形ABCD是菱形，，即.四边形AMEN是菱形.
9.C 10.答案不唯一，如：. 11.A 12.16或18
13.或 14.或 15.5或或 16.C
17.C 18.D 19.12 20.
21.解：（1）证明：分别是的中点，.
四边形BEFD是平行四边形.
（2）12
22.证明：∵四边形ABCD是正方形，.，
.，
.在△BAF和△ADG中，
△BAF≌△ADC（AAS）.. ，
.
23.解：（1）证明：.∵△ABC平移得到△DEF，
.，即△OEC为等腰三角形.
（2）当E为BC的中点时，四边形AECD是矩形.理由：为BC的中点，.∵△ABC平移得到△DEF，.
.四边形AECD是平行四边形. 四边形点AECD是矩形.

24.解：（1）证明：.，
，，四边形CMPN是平行四边形. ，四边形CMPN是菱形.
（2）当点P与点A重合时，设，则.在Rt△ABN中，，即，解得.∵四边形CMPN是菱形，，
.
（3）.