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专题七 三角函数的概念、图像和性质-2021届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏专用 适用于高考复习）
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这是一份专题七 三角函数的概念、图像和性质-2021届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏专用 适用于高考复习），文件包含专题七三角函数的概念原卷版docx、专题七三角函数的概念解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共84页， 欢迎下载使用。
专题七 三角函数的概念、图像和性质
一、单选题
1．（2020·安徽高三月考（文））达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角、间的圆弧长为，嘴角间的距离为，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则、和所满足的恒等关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由三角函数定义得、、三者之间关系，另有弧长公式，两式相除即可.
【详解】
设该圆弧所对应的圆的半径为，则，，两式相除得
故选：.
【点睛】
本题主要考查扇形弧长公式.
2．（2020·甘肃高一期末）已知扇形AOB的圆心角为，半径长为6，则扇形AOB的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先将扇形AOB的圆心角画为弧度制，再根据半径长为6，由求解.
【详解】
因为扇形AOB的圆心角为，即为：，
又半径长为6，
所以扇形AOB的面积是
故选：C
【点睛】
本题主要考查扇形的面积公式以及弧度制与角度制的互化，属于基础题
3．（2020·大连海湾高级中学高一月考）若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
不妨设等边的外接圆的半径为2，根据图形所作的辅助线，可求出边长，再根据弧长公式即可求出答案．
【详解】
不妨设等边的外接圆的半径为2，
取的中点，连接，，则．
由垂径定理的推论可知，，
在中，，，边长．
设该圆弧所对圆心角的弧度数为，
则由弧长公式可得．
故选：C
【点睛】
本题考查了圆的内接正三角形的边长与半径的关系及弧长公式，理解以上知识和计算方法是解决问题的关键．
4．（2020·赤峰二中高三三模（理））《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，矢为4的弧田，按照上述方法计算出其面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据在直角三角形的边角关系求出弦心距,弦长及“矢”的大小，结合弧田面积公式进行计算即可.
【详解】
设半径为,圆心到弦的距离为,则,
所以弦长为,
弧田面积为.
故选:D.
【点睛】
本题考查新定义的面积公式,考查学生分析问题的能力和计算能力,难度较易.
5．（2020·河南项城市第三高级中学高一月考）设是第一象限角，且，则是第（ ）象限角
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【解析】
【分析】
计算得到，，再根据得到答案.
【详解】
∵是第一象限角，∴，，
∴，，
∴为第一象限角或第二象限角或终边在轴正半轴上的轴线角，
∵，∴，∴是第二象限角.
故选：.
【点睛】
本题考查了角度所在象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.
6．（2020·河南项城市第三高级中学高一月考）一扇形的中心角为，对应的弧长为，则此扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
分析：通过弧长公式求出半径，再由扇形面积公式求出结果．
详解：∵弧长 ，
由扇形的面积公式可得：
故选D．
点睛： 本题考查扇形的面积的公式以及扇形弧长的公式，属于基础题．
7．（2020·镇原中学高一期末）若，，则（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用同角三角函数关系计算得到答案.
【详解】
因为，，所以.
故选：.
【点睛】
本题考查了同角三角函数关系，属于简单题.
8．（2020·阜新市第二高级中学高一期末）若，则在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第一、四象限 D．第二、四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义判断即可
【详解】
解：设是角终边上任意一点（异于原点），，
即与同号，则在第一、三象限
故选：B
【点睛】
考查三角函数的定义，基础题.
9．（2020·阜新市第二高级中学高一期末）已知，则的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：．
考点：本题考查三角函数式求值．
点评：（1）分子分母的次数相同的分式，我们叫做齐次分式，在进行三角计算的时候，我们可以利用三角函数的商数关系把分子分母同时除以得到的式子，然后带入计算求出式子的值，1可以用平方关系代入，把式子转换成齐次分式．
10．（2020·河南林州一中高一月考）已知向量,若,则( )
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用的坐标运算列方程求出，再将变形，用表示出来，代入的值即可.
【详解】
由，得，
整理得，
所以，
故选：A.
【点睛】
本题考查数量积的坐标运算，考查正余弦齐次式的求解，是基础题.
11．（2020·河南林州一中高一月考）若为三角形的一个内角，且，，是方程的两个根，则这个三角形是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形但不是正三角形 D．钝角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
由韦达定理得出，两边平方得到三角函数乘积，再判断三角形形状.
【详解】
由韦达定理得，两边平方得，
即，又，
所以，，所以是钝角三角形.
故选：
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系、同角三角函数的性质.
12．（2020·永州市第四中学高一月考）点P从点出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义直接求点的坐标.
【详解】
由题意可知，
根据三角函数的定义可知，，
所以点的坐标是.
故选：A
【点睛】
本题考查三角函数的定义，属于基础题型.
13．（2020·山西平城�大同一中高一月考）已知第二象限角的终边上一点，则角的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
根据第二象限横纵坐标的正负值判断得再判断角的象限即可.
【详解】
因为点在第二象限，所以有所以是第三象限角.
故选：C
【点睛】
本题考查各象限三角函数值的正负.属于基础题.
14．（2020·福建高三其他（理））如图，是一种碳原子簇，它是由60个碳原子构成的，其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体，这60个原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角（）满足，式中分别为杂化轨道中轨道所占的百分数. 中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为，它表示参与杂化的轨道数之比为，由此可计算得一个中的凸32面体结构中的六边形个数和两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的正弦值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】
【分析】
设一个中的凸32面体结构中共有个五边形，个六边形，由题意得，，由此可解出，由题意得，，，代入数据即可求出答案．
【详解】
解：设一个中的凸32面体结构中共有个五边形，个六边形，
∵每个顶点都是三个面的公共点，
∴，又，解得，
∴共有20个六边形；
又由题意得，，，
∴，解得，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查同角的三角函数关系的应用，考查三角函数的实际应用，考查分析能力与计算能力，属于中档题．
15．（2020·河南项城市第三高级中学高一月考）已知是第二象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用诱导公式和同角三角函数的基本关系进行化简求值即可.
【详解】
因为，由诱导公式可得，，
因为，是第二象限角，
所以.
故选：A
【点睛】
本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系；考查运算求解能力；属于中档题.
16．（2020·辽宁高一期末）若，则的值为（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据题意得到，再解方程即可得到答案.
【详解】
因为，解得.
故选：D
【点睛】
本题主要考查同角三角函数的商数关系，属于简单题.
17．（2020·宁县第二中学高一期中）若是第三象限角，则=（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据角度范围，结合正余弦以及正切的符号，即可求得结果.
【详解】
是第三象限角，故可得，
则.
故选：.
【点睛】
本题考查三角函数在各个象限的符号，属简单题.
18．（2018·福建高二期末（文））已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用诱导公式和同角三角函数的商数关系，得，再利用化弦为切的方法，即可求得答案.
【详解】
由已知
则
故选C.
【点睛】
本题考查利用三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系化简求值，属于三角函数求值问题中的“给值求值”问题，解题的关键是正确掌握诱导公式中符号与函数名称的变换规律和化弦为切方法.
19．（2019·伊美区第二中学高一月考）已知点在第一象限，则在内的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由第一象限点的坐标的符号列出三角函数的不等式，根据三角函数的性质求解，结合，，求出角的取值范围．
【详解】
解：由已知点在第一象限得：，，即，，
当，可得，．
当，可得或，．
或，．
当时，或．
，
或．
故选：B．
【点睛】
本题的考点是利用三角函数性质求三角函数的不等式，需要根据题意列出三角函数的不等式，再由三角函数的性质求出解集，结合已知的范围再求出交集，属于中档题．
20．（2020·大连海湾高级中学高一月考）已知，则的值是（ ）．
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据弦化切，由题中条件，得到，再由得到，再由弦化切，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，即，解得：，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查同角三角函数基本关系，根据弦化切即可求解，属于常考题型.
21．（2020·辽宁沈阳�高一期中）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知条件可求出的值，由三角函数的定义可得，从而可求出结果
【详解】
解：因为角的终边与单位圆交于点，
所以，
由题意可知
故选：B
【点睛】
此题考查三角函数的定义的应用，考查两角和的正弦公式，属于基础题
22．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）已知是第三象限角，且，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【解析】
【分析】
由是第三象限角，知在第二象限或在第四象限，再由，知，由此能判断出所在象限．
【详解】
是第三象限角，，
.
当是偶数时，设，则，
此时为第二象限角；
当是奇数时，设，则，
此时为第四象限角.
综上所述，为第二象限角或第四象限角，
，，为第二象限角．
故选：B．
【点睛】
本题考查角所在象限的判断，属于基础题，关键在于由所在的象限，得出关于的不等式，再求出的范围．
23．（2020·全国高一课时练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．因为，所以是函数的一个周期
B．因为，所以是函数的最小正周期
C．因为当时，等式成立，所以是函数的一个周期
D．因为，所以不是函数的一个周期
【答案】D
【解析】
【分析】
根据周期的定义进行判断即可
【详解】
解：周期的定义是对于函数，若存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，则为函数的周期，所以A，C不满足周期的定义，D是正确的；
对于B，我们只能得出2π是函数的一个周期，但不是最小正周期．
故选：D
【点睛】
此题考查函数的周期，利用周期的定义进行判断，属于基础题.
24．（2020·全国高三课时练习（理））若α为第四象限角，则（ ）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.
【详解】
方法一：由α为第四象限角，可得，
所以
此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以
故选：D.
方法二：当时，，选项B错误；
当时，，选项A错误；
由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；
故选：D.
【点睛】
本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
25．（2020·永州市第四中学高一月考）已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由诱导公式可知，根据特殊角的三角函数值比较大小即可.
【详解】
根据诱导公式，化简可得 ，
所以，故选A.
【点睛】
本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值，属于中档题.
26．（2020·浙江永康�高三其他）已知函数的部分图像如图所示，则下列值最符合的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据的函数值，即可判断的正负；结合五点法作图，即可判断的范围.
【详解】
由图可知，当时，，
因为，，
故可得.
又根据五点作图法：
点对应第一个点，点对应第二个点，
故当时，对应点位于第二个点和第三个点之间.
即，
结合选项，故最有可能的取值为.
故选：.
【点睛】
本题考查由三角函数图像确定参数范围，涉及五点作图法的思想，属基础题.
27．（2020·四川德阳�高三其他（理））若函数，已知函数的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据周期性，结合特殊点，利用排除求解即可.
【详解】
，排除B；
由图象可知，函数的周期满足，
，排除C、D，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查三角函数的周期性，考查了特殊与一般思想、数形结合思想的应用，属于中档题.
28．（2020·河南开封�高一期末）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.
【详解】
由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为
故选：C
【点睛】
本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
29．（2020·湖南桃江�高二期末）函数y=sin2x的图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.
详解：令，
因为，所以为奇函数，排除选项A,B;
因为时，，所以排除选项C，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
30．（2020·阜新市第二高级中学高一期末）设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是
A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称
C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减
【答案】D
【解析】
f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；
f＝cos＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；
∵f(x＋π)＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos＝0，故C正确；
由于f＝cos＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D错误．
故选D.
31．（2020·河南林州一中高一月考）已知函数的部分图象如图所示，则下列不可能是图象的对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数图象求出函数的周期，利用周期公式求出，由图象过点即可求出的值，得到函数的解析式，再根据正弦函数的对称性，得出结论．
【详解】
解：由图象可得，解得，，
又图象过点，，
则，，
，，
．
，
不可能是函数 的对称中心．
故选：．
【点睛】
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，正弦函数的对称性，考查了数形结合思想，属于中档题．
32．（2020·河南林州一中高一月考）函数的图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知中函数的解析式，可得函数f（x）为偶函数，可排除C,D，由得到答案．
【详解】
故则是偶函数，排除C、D，又当
故选：A.
【点睛】
本题主要考查函数的图象特征，函数的奇偶性的判断，结合排除特值与极限判断是常见方法，属于基础题．
33．（2020·海南枫叶国际学校高一期中）函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.
考点：三角函数图像与性质
34．（2021·江西景德镇一中高三月考（文））函数的部分图象如图所示，若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用图象求得函数的解析式，利用对称性可求得的值，由此可求得的值.
【详解】
由图象可知，，
函数的最小正周期为，，
，且函数在附近单调递增，
，可得，，，
所以，，
令，可得，
所以，函数的图象的对称轴方程为.
由于，则点与关于直线对称，
所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用图象求正弦型函数的解析式，同时也考查了利用图象的对称性求函数值，考查计算能力，属于中等题.
35．（2020·辽宁大连�高一期末）函数的图像的一条对称轴方程为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
令，得到函数的对称轴，然后选取不同的值，得到答案.
【详解】
函数
令，
则，
当时，，
故选B.
【点睛】
本题考查求余弦型函数的对称轴，属于简单题.
36．（2020·永州市第四中学高一月考）函数，的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用五点作图法，判断出正确的图像.
【详解】
当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.结合正弦函数的图像可知B正确.
故选B.
【点睛】
本小题主要考查五点作图判断三角函数图像，考查三角函数图像的识别，属于基础题.
37．（2020·昆明市官渡区第一中学高二期中（理））函数（，，为常数，，）的部分图象如图所示，则的值（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据图象有，且，即有，，得进而求得的值
【详解】
有图可知：，即；且
∵最小正周期，
∴，又即
综上，有：
∴
故选：A
【点睛】
本题考查了应用三角函数图象求解析式，根据图象显示的周期(半周期或周期)求，由最值求，最后根据最值所对应的x值求，即可得到最终解析式
38．（2020·陕西新城�西安中学高三月考（文））函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
确定函数的奇偶性排除，再求一些特殊的函数值，根据其正负排除一些选项．
【详解】
由，知为奇函数，排除D；，排除C；，排除A．
故选：B
【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过确定函数的奇偶性、单调性等性质，特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势等由排除法得出正确选项．
二、多选题
39．（2020·全国高三其他）函数的部分图象如图所示，点是图象上的最高点，点是图象与轴的交点，点在轴上.若是等腰直角三角形，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在区间上单调递增
C．的图象关于点对称
D．在区间上有个极值点
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据图象以及是等腰直角三角形，求出，计算可知A正确；当时，，可知B错误；计算可知C正确：由解得或，可知D错误.
【详解】
由题意可得，则,
该函数的最小正周期，则.
又点在的图像上，所以，，
则，所以，所以，A正确；
当时，，单调递减，B错误；
，所以的图像关于点对称，C正确：
令，则，，即，.
又，则或，即在区间上有个极值点，D错误.
故选：AC.
【点睛】
本题考查了由图象求解析式，考查了三角函数的单调性、对称性，考查了函数极值，属于中档题.
第II卷（非选择题）
三、解答题
40．（2020·云南省下关第一中学高二月考（理））如图，已知扇形的圆心角∠AOB＝，半径为，若点C是上的一动点(不与点A，B重合).
(1)若弦，求的长；
(2)求四边形OACB面积的最大值.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）在三角形中，利用余弦定理求得的余弦值，进而求得的大小，再利用弧长公式计算出的长.
（2）设，利用三角形和三角形的面积表示出四边形的面积，利用三角恒等变换进行化简，结合三角函数最值的求法，求得四边形的面积的最大值.
【详解】
(1)在△OBC中，BC＝4(－1)，OB＝OC＝，
所以由余弦定理得cos∠BOC＝，
所以∠BOC＝，
于是的长为×＝.
(2)设∠AOC＝θ，θ∈，则∠BOC＝－θ，
S四边形OACB＝S△AOC＋S△BOC＝××sin θ＋××·sin＝24sin θ＋cos θ＝，由于θ∈，所以，当θ＝时，四边形OACB的面积取得最大值16.
【点睛】
本小题主要考查余弦定理解三角形，考查四边形面积的最大值的求法，考查弧长公式，考查三角恒等变换，考查三角函数最值的求法，属于中档题.
41．（2020·永昌县第四中学高一期末） 如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积．
【答案】
【解析】
试题分析：
角度制转化为弧度制，，据此可得弧长为，由扇形面积公式求得扇形的面积为，由几何关系可得△ABO的面积为，据此可知弓形ACB的面积为.
试题解析：
∵120°＝π＝π，
∴l＝6×π＝4π，
∴的长为4π.
∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，
如图所示，作OD⊥AB，有S△OAB＝×AB×OD＝×2×6cos 30°×3＝9.
∴S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.
∴弓形ACB的面积为12π－9.
点睛：在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
42．（2020·山东潍坊�高一期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边经过点，其中.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）用三角函数的定义；
（2）先求正切值，再把弦化切.
【详解】
（1）由题意知，，
因为，
所以.
解得，
所以.
（2）当时，，
所以.
【点睛】
本题为基础题，考查三角函数的定义及同角三角函数的关系.
43．（2020·全国高三三模（文））已知中，角，，所对的边分别为，，，且，.
（1）若，求的面积；
（2）若点是线段上靠近的三等分点，且，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）首先根据同角三角函数的基本关系求出，再由正弦定理求出，再由勾股定理求出，从而求出三角形的面积；
（2）设，则，由诱导公式可得，利用余弦定理得到方程求出，即可得解；
【详解】
解：（1）依题意，，又，
解得，
由正弦定理，即，所以，所以
所以
所以
（2）设，则，因为，所以
由
所以
解得，则
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，以及同角三角函数基本关系的应用，属于中档题.
44．（2020·全国高一课时练习）定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】
由函数周期性和奇偶性可得，而当时，，从而可求出答案
【详解】
解：因为的最小正周期是，且为偶函数，
所以，
因为当时，，
所以，
所以
【点睛】
此题考查了利用函数的周期性和奇偶性求值，属于基础题.
45．（2020·永州市第四中学高一月考）已知是第四象限角，.
（1）化简.
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用诱导公式以及同角三角函数关系式化简即可；
（2）先将已知条件化简，然后代入化简后的结论即可．
【详解】
（1）．
．
（2）因为
，
所以．
因为是第四象限角，
所以，
所以．
【点睛】
本题主要考查三角函数的诱导公式、同角三角函数基本关系式的运用，属于基础题．
46．（2020·江西省铜鼓中学高一期末）已知.
（1）化简；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）-2.
【解析】
【分析】
(1)由诱导公式进行化简，即可求得；
(2)由，代入即可求值.
【详解】
（1);
（2)由，可得.
【点睛】
本题考查了三角函数的化简与求值，主要考查了同角三角函数之间的关系以及诱导公式，考查了运算能力，属于中档题.
47．（2020·永昌县第四中学高一期末）已知角α终边上一点P(－4，3)，求的值.
【答案】.
【解析】
【分析】
由题可知，利用诱导公式将化简得，代入的值即可.
【详解】
因为P(－4，3)是角α终边上一点，所以tan α＝－，
原式＝＝tan α＝－.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查三角函数诱导公式的应用，涉及到三角函数的定义，考查学生的运算能力，是一道容易题.
48．（2020·宁县第二中学高一期中）请完成下列小题:
（1）若，求，的值；
（2）化简：.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用同角三角函数关系，列出方程组，求解即可；
（2）利用诱导公式化简，即可求得结果.
【详解】
（1）∵，
∴是第二或第四象限角.由，可得 .
当是第二象限角时， ，；
当是第四象限角时， .
（2）
.
【点睛】
本题考查诱导公式的使用，以及用诱导公式进行化简求值，属综合基础题.
49．（2020·武威第六中学高一期末）已知α是第三象限角，.
(1)化简；
(2)若，求的值；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
【详解】
第一问利用
第二问∵∴从而，从而得到三角函数值．
解：（1）
（2）∵
∴从而
又为第三象限角
∴
即的值为
50．（2020·全国高三其他）已知函数，．
（1）求曲线的对称中心；
（2）在锐角三角形中，，，分别是内角，，的对边，且．若恒成立，求实数的最小值．
【答案】（1），；（2）2．
【解析】
【分析】
（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，由正弦函数的性质求解即可；
（2）由求出，利用正弦定理得出，由结合正弦函数的性质得出实数的最小值.
【详解】
（1）由题意，得．
令，，得，
∴曲线的对称中心为，．
（2），即
是锐角三角形的内角，∴，∴．
由正弦定理得
．
在锐角三角形中，，解得，
∴，∴．
得，∴，即实数的最小值为2．
【点睛】
本题考查三角函数的图象与性质及利用正弦定理解三角形，属于中档题.
51．（2020·镇原中学高一期末）已知函数，在一周期内，当时，取得最大值3，当时，取得最小值，求
（1）函数的解析式；
（2）求出函数的单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标；
（3）当时，求函数的值域.
【答案】（1）；（2）增区间为，对称轴方程为，，对称中心为（）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据正弦函数的性质先求出最值和周期，最后代入特殊值计算的值即可；（2）根据正弦函数的性质，整体代入求单调区间，对称轴，对称中心，解出即可；（3）求出整体的范围，代入正弦型函数中计算，可求出值域.
【详解】
(1)由题设知，，
周期，，由得.
所以.
又因为时，取得最大值3，
即，，解得，又，
所以，所以.
(2)由，得.
所以函数的单调递增区间为.
由，，得，.
对称轴方程为，..
由，得（）.
所以，该函数的对称中心为（）.
(3)因为，所以，则，
所以.所以值域为：.
所以函数的值域为.
【点睛】
本题考查由三角函数特殊点的取值求三角函数解析式，考查求正弦型函数的单调区间，对称轴，对称中心以及值域，数学正弦函数的性质是解题的关键，属于基础题.
52．（2020·河南开封�高一期末）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点和点，，且，其中O为坐标原点．
（1）若，设点D为线段OA上的动点，求的最小值；
（2）若，向量，，求的最小值及对应的x值．
【答案】（1）；（2）的最小值为，此时.
【解析】
【分析】
（1）设D（t，0）（0≤t≤1），利用二次函数的性质求得它的最小值．
（2）由题意得1sin（2x），再利用正弦函数的定义域和值域 求出它的最小值．
【详解】
解：（I）设，又
所以
所以
所以当时，最小值为．
（II）由题意得，
则
因为，所以
所以当时，即时，取得最大值1
所以时，取得最小值
所以的最小值为，此时
【点睛】
本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
53．（2020·河南林州一中高一月考）设平面向量，，函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）当时，求函数的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）最大值，最小值
【解析】
【分析】
（1）本题首先可根据题意得出，然后通过三角恒等变换得出，最后根据周期计算公式即可得出结果；
（2）本题可根据得出，然后根据正弦函数性质即可得出结果.
【详解】
（1）因为，，
所以
故函数的最小正周期，
（2）因为，所以，
故当，即时，函数取最大值，，
当，即时，函数取最小值，.
【点睛】
本题考查求三角函数的最小正周期以及最值，考查三角恒等变换以及正弦函数的相关性质，考查三角函数的周期计算公式，考查向量的坐标运算，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.
54．（2020·永州市第四中学高一月考）若 的最小值为 .
（1）求 的表达式；
（2）求能使 的值，并求当 取此值时，的最大值.
【答案】（1）；（2）的最大值为
【解析】
试题分析：（1）通过同角三角函数关系将化简，再对函数配方，然后讨论对称轴与区间的位置关系，从而求出的最小值；（2）由，则根据的解析式可知只能在内解方程，从而求出的值，即可求出的最大值.
试题解析：（1）
若，即，则当时，有最小值，；
若，即，则当时，有最小值，
若，即，则当时，有最小值，
所以；
（2）若，由所求的解析式知或
由或（舍）；由（舍）
此时，得，所以时，，此时的最大值为.
55．（2020·河南信阳�高一期末）已知向量，，函数.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若方程在上有解，求实数的取值范围；
（3）设，已知区间（，且）满足：在上至少含有50个零点，在所有满足上述条件的中求的最小值.
【答案】（1），（2）；（3）
【解析】
【分析】
结合平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式和辅助角公式将函数化简为
（1）令，解不等式可求出函数递减区间；
（2）由，可得，利用正弦函数的图像可得函数的值域；
（3）令，结合正弦函数的图像，解得或，即函数的零点间隔依次为和，若最小，则均为零点，于是可得答案
【详解】
解：因为，，函数，
所以
（1）令，则，
所以函数的单调递减区间为，
（2）因为，所以，
所以，即，
因为方程在上有解，
所以实数的取值范围为，
（3）令，则，
所以或，，
所以或，，
所以函数的零点间隔依次为和，
若最小，则均为零点，
因为在上至少含有50个零点，
所以
【点睛】
此题考查平面向量数量积的运算、三角函数与三角恒等变换的综合运用，考查推理能力和运算能力，属于中档题
56．（2020·湖北黄冈�高一月考）已知函数，其中，其中.
（1）判断并证明函数在上的单调性；
（2）求的值
（3）是否存在这样的负实数，使对一切恒成立，若存在，试求出取值的集合；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）利用减函数的定义可证明为上的减函数.
（2）可证对任意的恒成立，从而可得所求的值.
（3）利用的单调性和奇偶性可把原不等式转化为对任意的均成立，参变分离后可求实数的取值范围.
【详解】
（1），为减函数.
设任意，则，
因为，故
所以
故即，
所以，因此在上为减函数.
（2）,
,
故.
（3）因为，故，
故，而，该定义域关于原点对称，故为奇函数.
故等价于.
由（1）可知在上为减函数，
故，
所以对任意均成立，
故即.
故的取值集合为.
【点睛】
本题考查对数型函数的奇偶性、单调性以及这些性质在函数不等式中的应用，解函数不等式时，注意利用单调性和奇偶性去掉对应法则，注意定义域的要求，本题属于中档题.
四、填空题
57．（2020·湖南娄星�娄底一中高一期末）函数在区间上的值域为________.
【答案】
【解析】
【分析】
令，根据同角的三角函数关系式求出关于的表达式，最后利用二次函数的单调性求出函数的值域.
【详解】
令.
.
所以.
，
当，所以有，
所以函数的值域为.
故答案为：
【点睛】
本题考查了求函数的值域，考查了换元法，考查了二次函数的单调性，属于基础题.
58．（2020·全国高三课时练习（理））关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．
②f（x）的图像关于原点对称．
③f（x）的图像关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
【解析】
【分析】
利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误.
故答案为：②③.
【点睛】
本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
59．（2020·永州市第四中学高一月考）给出下列4个命题：
①函数的最小正周期是；
②直线是函数的一条对称轴；
③若，且为第二象限角，则；
④函数在区间上单调递减，
其中正确的是_____.（写出所有正确的序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】
①根据函数的最小正周期得出函数的最小正周期；
②当时函数取得最小值，判断是函数的一条对称轴；
③根据，且为第二象限角，求出的值；
④根据的取值范围，结合余弦函数的单调性，求出函数的单调性．
【详解】
解：对于①，函数的最小正周期是，
函数的最小正周期是，①正确；
对于②，时，为最小值，
直线是函数的一条对称轴，②正确；
对于③，若，则，
，
又为第二象限角，，
，
，，，③正确；
对于④，，时，，
由，，
根据余弦函数的图象与性质知，函数在，上不单调，④错误．
综上，①②③正确．
故答案为：①②③．
【点睛】
本题以三角函数性质为载体考查了三角函数的周期性、单调性、对称性以及同角三角函数的关系的应用，是综合题．
60．（2020·江西省铜鼓中学高一期末）已知函数是定义在R上的奇函数，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简，根据正弦型函数为奇函数可构造方程求得，进而得到解析式，代入即可求得结果.
【详解】
，
为上的奇函数，，解得：，
又，，，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查根据正弦型函数的奇偶性求解参数值、已知解析式求解三角函数值的问题；关键是能够通过辅助角公式将函数化简为正弦型函数，进而利用奇偶性构造方程求得参数.
专题七 三角函数的概念、图像和性质
一、单选题
1．（2020·安徽高三月考（文））达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角、间的圆弧长为，嘴角间的距离为，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则、和所满足的恒等关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由三角函数定义得、、三者之间关系，另有弧长公式，两式相除即可.
【详解】
设该圆弧所对应的圆的半径为，则，，两式相除得
故选：.
【点睛】
本题主要考查扇形弧长公式.
2．（2020·甘肃高一期末）已知扇形AOB的圆心角为，半径长为6，则扇形AOB的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先将扇形AOB的圆心角画为弧度制，再根据半径长为6，由求解.
【详解】
因为扇形AOB的圆心角为，即为：，
又半径长为6，
所以扇形AOB的面积是
故选：C
【点睛】
本题主要考查扇形的面积公式以及弧度制与角度制的互化，属于基础题
3．（2020·大连海湾高级中学高一月考）若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
不妨设等边的外接圆的半径为2，根据图形所作的辅助线，可求出边长，再根据弧长公式即可求出答案．
【详解】
不妨设等边的外接圆的半径为2，
取的中点，连接，，则．
由垂径定理的推论可知，，
在中，，，边长．
设该圆弧所对圆心角的弧度数为，
则由弧长公式可得．
故选：C
【点睛】
本题考查了圆的内接正三角形的边长与半径的关系及弧长公式，理解以上知识和计算方法是解决问题的关键．
4．（2020·赤峰二中高三三模（理））《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，矢为4的弧田，按照上述方法计算出其面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据在直角三角形的边角关系求出弦心距,弦长及“矢”的大小，结合弧田面积公式进行计算即可.
【详解】
设半径为,圆心到弦的距离为,则,
所以弦长为,
弧田面积为.
故选:D.
【点睛】
本题考查新定义的面积公式,考查学生分析问题的能力和计算能力,难度较易.
5．（2020·河南项城市第三高级中学高一月考）设是第一象限角，且，则是第（ ）象限角
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【解析】
【分析】
计算得到，，再根据得到答案.
【详解】
∵是第一象限角，∴，，
∴，，
∴为第一象限角或第二象限角或终边在轴正半轴上的轴线角，
∵，∴，∴是第二象限角.
故选：.
【点睛】
本题考查了角度所在象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.
6．（2020·河南项城市第三高级中学高一月考）一扇形的中心角为，对应的弧长为，则此扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
分析：通过弧长公式求出半径，再由扇形面积公式求出结果．
详解：∵弧长 ，
由扇形的面积公式可得：
故选D．
点睛： 本题考查扇形的面积的公式以及扇形弧长的公式，属于基础题．
7．（2020·镇原中学高一期末）若，，则（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用同角三角函数关系计算得到答案.
【详解】
因为，，所以.
故选：.
【点睛】
本题考查了同角三角函数关系，属于简单题.
8．（2020·阜新市第二高级中学高一期末）若，则在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第一、四象限 D．第二、四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义判断即可
【详解】
解：设是角终边上任意一点（异于原点），，
即与同号，则在第一、三象限
故选：B
【点睛】
考查三角函数的定义，基础题.
9．（2020·阜新市第二高级中学高一期末）已知，则的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：．
考点：本题考查三角函数式求值．
点评：（1）分子分母的次数相同的分式，我们叫做齐次分式，在进行三角计算的时候，我们可以利用三角函数的商数关系把分子分母同时除以得到的式子，然后带入计算求出式子的值，1可以用平方关系代入，把式子转换成齐次分式．
10．（2020·河南林州一中高一月考）已知向量,若,则( )
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用的坐标运算列方程求出，再将变形，用表示出来，代入的值即可.
【详解】
由，得，
整理得，
所以，
故选：A.
【点睛】
本题考查数量积的坐标运算，考查正余弦齐次式的求解，是基础题.
11．（2020·河南林州一中高一月考）若为三角形的一个内角，且，，是方程的两个根，则这个三角形是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形但不是正三角形 D．钝角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
由韦达定理得出，两边平方得到三角函数乘积，再判断三角形形状.
【详解】
由韦达定理得，两边平方得，
即，又，
所以，，所以是钝角三角形.
故选：
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系、同角三角函数的性质.
12．（2020·永州市第四中学高一月考）点P从点出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义直接求点的坐标.
【详解】
由题意可知，
根据三角函数的定义可知，，
所以点的坐标是.
故选：A
【点睛】
本题考查三角函数的定义，属于基础题型.
13．（2020·山西平城�大同一中高一月考）已知第二象限角的终边上一点，则角的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
根据第二象限横纵坐标的正负值判断得再判断角的象限即可.
【详解】
因为点在第二象限，所以有所以是第三象限角.
故选：C
【点睛】
本题考查各象限三角函数值的正负.属于基础题.
14．（2020·福建高三其他（理））如图，是一种碳原子簇，它是由60个碳原子构成的，其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体，这60个原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角（）满足，式中分别为杂化轨道中轨道所占的百分数. 中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为，它表示参与杂化的轨道数之比为，由此可计算得一个中的凸32面体结构中的六边形个数和两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的正弦值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】
【分析】
设一个中的凸32面体结构中共有个五边形，个六边形，由题意得，，由此可解出，由题意得，，，代入数据即可求出答案．
【详解】
解：设一个中的凸32面体结构中共有个五边形，个六边形，
∵每个顶点都是三个面的公共点，
∴，又，解得，
∴共有20个六边形；
又由题意得，，，
∴，解得，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查同角的三角函数关系的应用，考查三角函数的实际应用，考查分析能力与计算能力，属于中档题．
15．（2020·河南项城市第三高级中学高一月考）已知是第二象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用诱导公式和同角三角函数的基本关系进行化简求值即可.
【详解】
因为，由诱导公式可得，，
因为，是第二象限角，
所以.
故选：A
【点睛】
本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系；考查运算求解能力；属于中档题.
16．（2020·辽宁高一期末）若，则的值为（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据题意得到，再解方程即可得到答案.
【详解】
因为，解得.
故选：D
【点睛】
本题主要考查同角三角函数的商数关系，属于简单题.
17．（2020·宁县第二中学高一期中）若是第三象限角，则=（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据角度范围，结合正余弦以及正切的符号，即可求得结果.
【详解】
是第三象限角，故可得，
则.
故选：.
【点睛】
本题考查三角函数在各个象限的符号，属简单题.
18．（2018·福建高二期末（文））已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用诱导公式和同角三角函数的商数关系，得，再利用化弦为切的方法，即可求得答案.
【详解】
由已知
则
故选C.
【点睛】
本题考查利用三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系化简求值，属于三角函数求值问题中的“给值求值”问题，解题的关键是正确掌握诱导公式中符号与函数名称的变换规律和化弦为切方法.
19．（2019·伊美区第二中学高一月考）已知点在第一象限，则在内的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由第一象限点的坐标的符号列出三角函数的不等式，根据三角函数的性质求解，结合，，求出角的取值范围．
【详解】
解：由已知点在第一象限得：，，即，，
当，可得，．
当，可得或，．
或，．
当时，或．
，
或．
故选：B．
【点睛】
本题的考点是利用三角函数性质求三角函数的不等式，需要根据题意列出三角函数的不等式，再由三角函数的性质求出解集，结合已知的范围再求出交集，属于中档题．
20．（2020·大连海湾高级中学高一月考）已知，则的值是（ ）．
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据弦化切，由题中条件，得到，再由得到，再由弦化切，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，即，解得：，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查同角三角函数基本关系，根据弦化切即可求解，属于常考题型.
21．（2020·辽宁沈阳�高一期中）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知条件可求出的值，由三角函数的定义可得，从而可求出结果
【详解】
解：因为角的终边与单位圆交于点，
所以，
由题意可知
故选：B
【点睛】
此题考查三角函数的定义的应用，考查两角和的正弦公式，属于基础题
22．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）已知是第三象限角，且，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【解析】
【分析】
由是第三象限角，知在第二象限或在第四象限，再由，知，由此能判断出所在象限．
【详解】
是第三象限角，，
.
当是偶数时，设，则，
此时为第二象限角；
当是奇数时，设，则，
此时为第四象限角.
综上所述，为第二象限角或第四象限角，
，，为第二象限角．
故选：B．
【点睛】
本题考查角所在象限的判断，属于基础题，关键在于由所在的象限，得出关于的不等式，再求出的范围．
23．（2020·全国高一课时练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．因为，所以是函数的一个周期
B．因为，所以是函数的最小正周期
C．因为当时，等式成立，所以是函数的一个周期
D．因为，所以不是函数的一个周期
【答案】D
【解析】
【分析】
根据周期的定义进行判断即可
【详解】
解：周期的定义是对于函数，若存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，则为函数的周期，所以A，C不满足周期的定义，D是正确的；
对于B，我们只能得出2π是函数的一个周期，但不是最小正周期．
故选：D
【点睛】
此题考查函数的周期，利用周期的定义进行判断，属于基础题.
24．（2020·全国高三课时练习（理））若α为第四象限角，则（ ）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.
【详解】
方法一：由α为第四象限角，可得，
所以
此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以
故选：D.
方法二：当时，，选项B错误；
当时，，选项A错误；
由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；
故选：D.
【点睛】
本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
25．（2020·永州市第四中学高一月考）已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由诱导公式可知，根据特殊角的三角函数值比较大小即可.
【详解】
根据诱导公式，化简可得 ，
所以，故选A.
【点睛】
本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值，属于中档题.
26．（2020·浙江永康�高三其他）已知函数的部分图像如图所示，则下列值最符合的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据的函数值，即可判断的正负；结合五点法作图，即可判断的范围.
【详解】
由图可知，当时，，
因为，，
故可得.
又根据五点作图法：
点对应第一个点，点对应第二个点，
故当时，对应点位于第二个点和第三个点之间.
即，
结合选项，故最有可能的取值为.
故选：.
【点睛】
本题考查由三角函数图像确定参数范围，涉及五点作图法的思想，属基础题.
27．（2020·四川德阳�高三其他（理））若函数，已知函数的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据周期性，结合特殊点，利用排除求解即可.
【详解】
，排除B；
由图象可知，函数的周期满足，
，排除C、D，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查三角函数的周期性，考查了特殊与一般思想、数形结合思想的应用，属于中档题.
28．（2020·河南开封�高一期末）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.
【详解】
由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为
故选：C
【点睛】
本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
29．（2020·湖南桃江�高二期末）函数y=sin2x的图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.
详解：令，
因为，所以为奇函数，排除选项A,B;
因为时，，所以排除选项C，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
30．（2020·阜新市第二高级中学高一期末）设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是
A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称
C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减
【答案】D
【解析】
f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；
f＝cos＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；
∵f(x＋π)＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos＝0，故C正确；
由于f＝cos＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D错误．
故选D.
31．（2020·河南林州一中高一月考）已知函数的部分图象如图所示，则下列不可能是图象的对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数图象求出函数的周期，利用周期公式求出，由图象过点即可求出的值，得到函数的解析式，再根据正弦函数的对称性，得出结论．
【详解】
解：由图象可得，解得，，
又图象过点，，
则，，
，，
．
，
不可能是函数 的对称中心．
故选：．
【点睛】
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，正弦函数的对称性，考查了数形结合思想，属于中档题．
32．（2020·河南林州一中高一月考）函数的图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知中函数的解析式，可得函数f（x）为偶函数，可排除C,D，由得到答案．
【详解】
故则是偶函数，排除C、D，又当
故选：A.
【点睛】
本题主要考查函数的图象特征，函数的奇偶性的判断，结合排除特值与极限判断是常见方法，属于基础题．
33．（2020·海南枫叶国际学校高一期中）函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.
考点：三角函数图像与性质
34．（2021·江西景德镇一中高三月考（文））函数的部分图象如图所示，若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用图象求得函数的解析式，利用对称性可求得的值，由此可求得的值.
【详解】
由图象可知，，
函数的最小正周期为，，
，且函数在附近单调递增，
，可得，，，
所以，，
令，可得，
所以，函数的图象的对称轴方程为.
由于，则点与关于直线对称，
所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用图象求正弦型函数的解析式，同时也考查了利用图象的对称性求函数值，考查计算能力，属于中等题.
35．（2020·辽宁大连�高一期末）函数的图像的一条对称轴方程为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
令，得到函数的对称轴，然后选取不同的值，得到答案.
【详解】
函数
令，
则，
当时，，
故选B.
【点睛】
本题考查求余弦型函数的对称轴，属于简单题.
36．（2020·永州市第四中学高一月考）函数，的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用五点作图法，判断出正确的图像.
【详解】
当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.结合正弦函数的图像可知B正确.
故选B.
【点睛】
本小题主要考查五点作图判断三角函数图像，考查三角函数图像的识别，属于基础题.
37．（2020·昆明市官渡区第一中学高二期中（理））函数（，，为常数，，）的部分图象如图所示，则的值（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据图象有，且，即有，，得进而求得的值
【详解】
有图可知：，即；且
∵最小正周期，
∴，又即
综上，有：
∴
故选：A
【点睛】
本题考查了应用三角函数图象求解析式，根据图象显示的周期(半周期或周期)求，由最值求，最后根据最值所对应的x值求，即可得到最终解析式
38．（2020·陕西新城�西安中学高三月考（文））函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
确定函数的奇偶性排除，再求一些特殊的函数值，根据其正负排除一些选项．
【详解】
由，知为奇函数，排除D；，排除C；，排除A．
故选：B
【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过确定函数的奇偶性、单调性等性质，特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势等由排除法得出正确选项．
二、多选题
39．（2020·全国高三其他）函数的部分图象如图所示，点是图象上的最高点，点是图象与轴的交点，点在轴上.若是等腰直角三角形，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在区间上单调递增
C．的图象关于点对称
D．在区间上有个极值点
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据图象以及是等腰直角三角形，求出，计算可知A正确；当时，，可知B错误；计算可知C正确：由解得或，可知D错误.
【详解】
由题意可得，则,
该函数的最小正周期，则.
又点在的图像上，所以，，
则，所以，所以，A正确；
当时，，单调递减，B错误；
，所以的图像关于点对称，C正确：
令，则，，即，.
又，则或，即在区间上有个极值点，D错误.
故选：AC.
【点睛】
本题考查了由图象求解析式，考查了三角函数的单调性、对称性，考查了函数极值，属于中档题.
第II卷（非选择题）
三、解答题
40．（2020·云南省下关第一中学高二月考（理））如图，已知扇形的圆心角∠AOB＝，半径为，若点C是上的一动点(不与点A，B重合).
(1)若弦，求的长；
(2)求四边形OACB面积的最大值.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）在三角形中，利用余弦定理求得的余弦值，进而求得的大小，再利用弧长公式计算出的长.
（2）设，利用三角形和三角形的面积表示出四边形的面积，利用三角恒等变换进行化简，结合三角函数最值的求法，求得四边形的面积的最大值.
【详解】
(1)在△OBC中，BC＝4(－1)，OB＝OC＝，
所以由余弦定理得cos∠BOC＝，
所以∠BOC＝，
于是的长为×＝.
(2)设∠AOC＝θ，θ∈，则∠BOC＝－θ，
S四边形OACB＝S△AOC＋S△BOC＝××sin θ＋××·sin＝24sin θ＋cos θ＝，由于θ∈，所以，当θ＝时，四边形OACB的面积取得最大值16.
【点睛】
本小题主要考查余弦定理解三角形，考查四边形面积的最大值的求法，考查弧长公式，考查三角恒等变换，考查三角函数最值的求法，属于中档题.
41．（2020·永昌县第四中学高一期末） 如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积．
【答案】
【解析】
试题分析：
角度制转化为弧度制，，据此可得弧长为，由扇形面积公式求得扇形的面积为，由几何关系可得△ABO的面积为，据此可知弓形ACB的面积为.
试题解析：
∵120°＝π＝π，
∴l＝6×π＝4π，
∴的长为4π.
∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，
如图所示，作OD⊥AB，有S△OAB＝×AB×OD＝×2×6cos 30°×3＝9.
∴S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.
∴弓形ACB的面积为12π－9.
点睛：在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
42．（2020·山东潍坊�高一期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边经过点，其中.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）用三角函数的定义；
（2）先求正切值，再把弦化切.
【详解】
（1）由题意知，，
因为，
所以.
解得，
所以.
（2）当时，，
所以.
【点睛】
本题为基础题，考查三角函数的定义及同角三角函数的关系.
43．（2020·全国高三三模（文））已知中，角，，所对的边分别为，，，且，.
（1）若，求的面积；
（2）若点是线段上靠近的三等分点，且，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）首先根据同角三角函数的基本关系求出，再由正弦定理求出，再由勾股定理求出，从而求出三角形的面积；
（2）设，则，由诱导公式可得，利用余弦定理得到方程求出，即可得解；
【详解】
解：（1）依题意，，又，
解得，
由正弦定理，即，所以，所以
所以
所以
（2）设，则，因为，所以
由
所以
解得，则
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，以及同角三角函数基本关系的应用，属于中档题.
44．（2020·全国高一课时练习）定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】
由函数周期性和奇偶性可得，而当时，，从而可求出答案
【详解】
解：因为的最小正周期是，且为偶函数，
所以，
因为当时，，
所以，
所以
【点睛】
此题考查了利用函数的周期性和奇偶性求值，属于基础题.
45．（2020·永州市第四中学高一月考）已知是第四象限角，.
（1）化简.
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用诱导公式以及同角三角函数关系式化简即可；
（2）先将已知条件化简，然后代入化简后的结论即可．
【详解】
（1）．
．
（2）因为
，
所以．
因为是第四象限角，
所以，
所以．
【点睛】
本题主要考查三角函数的诱导公式、同角三角函数基本关系式的运用，属于基础题．
46．（2020·江西省铜鼓中学高一期末）已知.
（1）化简；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）-2.
【解析】
【分析】
(1)由诱导公式进行化简，即可求得；
(2)由，代入即可求值.
【详解】
（1);
（2)由，可得.
【点睛】
本题考查了三角函数的化简与求值，主要考查了同角三角函数之间的关系以及诱导公式，考查了运算能力，属于中档题.
47．（2020·永昌县第四中学高一期末）已知角α终边上一点P(－4，3)，求的值.
【答案】.
【解析】
【分析】
由题可知，利用诱导公式将化简得，代入的值即可.
【详解】
因为P(－4，3)是角α终边上一点，所以tan α＝－，
原式＝＝tan α＝－.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查三角函数诱导公式的应用，涉及到三角函数的定义，考查学生的运算能力，是一道容易题.
48．（2020·宁县第二中学高一期中）请完成下列小题:
（1）若，求，的值；
（2）化简：.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用同角三角函数关系，列出方程组，求解即可；
（2）利用诱导公式化简，即可求得结果.
【详解】
（1）∵，
∴是第二或第四象限角.由，可得 .
当是第二象限角时， ，；
当是第四象限角时， .
（2）
.
【点睛】
本题考查诱导公式的使用，以及用诱导公式进行化简求值，属综合基础题.
49．（2020·武威第六中学高一期末）已知α是第三象限角，.
(1)化简；
(2)若，求的值；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
【详解】
第一问利用
第二问∵∴从而，从而得到三角函数值．
解：（1）
（2）∵
∴从而
又为第三象限角
∴
即的值为
50．（2020·全国高三其他）已知函数，．
（1）求曲线的对称中心；
（2）在锐角三角形中，，，分别是内角，，的对边，且．若恒成立，求实数的最小值．
【答案】（1），；（2）2．
【解析】
【分析】
（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，由正弦函数的性质求解即可；
（2）由求出，利用正弦定理得出，由结合正弦函数的性质得出实数的最小值.
【详解】
（1）由题意，得．
令，，得，
∴曲线的对称中心为，．
（2），即
是锐角三角形的内角，∴，∴．
由正弦定理得
．
在锐角三角形中，，解得，
∴，∴．
得，∴，即实数的最小值为2．
【点睛】
本题考查三角函数的图象与性质及利用正弦定理解三角形，属于中档题.
51．（2020·镇原中学高一期末）已知函数，在一周期内，当时，取得最大值3，当时，取得最小值，求
（1）函数的解析式；
（2）求出函数的单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标；
（3）当时，求函数的值域.
【答案】（1）；（2）增区间为，对称轴方程为，，对称中心为（）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据正弦函数的性质先求出最值和周期，最后代入特殊值计算的值即可；（2）根据正弦函数的性质，整体代入求单调区间，对称轴，对称中心，解出即可；（3）求出整体的范围，代入正弦型函数中计算，可求出值域.
【详解】
(1)由题设知，，
周期，，由得.
所以.
又因为时，取得最大值3，
即，，解得，又，
所以，所以.
(2)由，得.
所以函数的单调递增区间为.
由，，得，.
对称轴方程为，..
由，得（）.
所以，该函数的对称中心为（）.
(3)因为，所以，则，
所以.所以值域为：.
所以函数的值域为.
【点睛】
本题考查由三角函数特殊点的取值求三角函数解析式，考查求正弦型函数的单调区间，对称轴，对称中心以及值域，数学正弦函数的性质是解题的关键，属于基础题.
52．（2020·河南开封�高一期末）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点和点，，且，其中O为坐标原点．
（1）若，设点D为线段OA上的动点，求的最小值；
（2）若，向量，，求的最小值及对应的x值．
【答案】（1）；（2）的最小值为，此时.
【解析】
【分析】
（1）设D（t，0）（0≤t≤1），利用二次函数的性质求得它的最小值．
（2）由题意得1sin（2x），再利用正弦函数的定义域和值域 求出它的最小值．
【详解】
解：（I）设，又
所以
所以
所以当时，最小值为．
（II）由题意得，
则
因为，所以
所以当时，即时，取得最大值1
所以时，取得最小值
所以的最小值为，此时
【点睛】
本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
53．（2020·河南林州一中高一月考）设平面向量，，函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）当时，求函数的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）最大值，最小值
【解析】
【分析】
（1）本题首先可根据题意得出，然后通过三角恒等变换得出，最后根据周期计算公式即可得出结果；
（2）本题可根据得出，然后根据正弦函数性质即可得出结果.
【详解】
（1）因为，，
所以
故函数的最小正周期，
（2）因为，所以，
故当，即时，函数取最大值，，
当，即时，函数取最小值，.
【点睛】
本题考查求三角函数的最小正周期以及最值，考查三角恒等变换以及正弦函数的相关性质，考查三角函数的周期计算公式，考查向量的坐标运算，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.
54．（2020·永州市第四中学高一月考）若 的最小值为 .
（1）求 的表达式；
（2）求能使 的值，并求当 取此值时，的最大值.
【答案】（1）；（2）的最大值为
【解析】
试题分析：（1）通过同角三角函数关系将化简，再对函数配方，然后讨论对称轴与区间的位置关系，从而求出的最小值；（2）由，则根据的解析式可知只能在内解方程，从而求出的值，即可求出的最大值.
试题解析：（1）
若，即，则当时，有最小值，；
若，即，则当时，有最小值，
若，即，则当时，有最小值，
所以；
（2）若，由所求的解析式知或
由或（舍）；由（舍）
此时，得，所以时，，此时的最大值为.
55．（2020·河南信阳�高一期末）已知向量，，函数.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若方程在上有解，求实数的取值范围；
（3）设，已知区间（，且）满足：在上至少含有50个零点，在所有满足上述条件的中求的最小值.
【答案】（1），（2）；（3）
【解析】
【分析】
结合平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式和辅助角公式将函数化简为
（1）令，解不等式可求出函数递减区间；
（2）由，可得，利用正弦函数的图像可得函数的值域；
（3）令，结合正弦函数的图像，解得或，即函数的零点间隔依次为和，若最小，则均为零点，于是可得答案
【详解】
解：因为，，函数，
所以
（1）令，则，
所以函数的单调递减区间为，
（2）因为，所以，
所以，即，
因为方程在上有解，
所以实数的取值范围为，
（3）令，则，
所以或，，
所以或，，
所以函数的零点间隔依次为和，
若最小，则均为零点，
因为在上至少含有50个零点，
所以
【点睛】
此题考查平面向量数量积的运算、三角函数与三角恒等变换的综合运用，考查推理能力和运算能力，属于中档题
56．（2020·湖北黄冈�高一月考）已知函数，其中，其中.
（1）判断并证明函数在上的单调性；
（2）求的值
（3）是否存在这样的负实数，使对一切恒成立，若存在，试求出取值的集合；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）利用减函数的定义可证明为上的减函数.
（2）可证对任意的恒成立，从而可得所求的值.
（3）利用的单调性和奇偶性可把原不等式转化为对任意的均成立，参变分离后可求实数的取值范围.
【详解】
（1），为减函数.
设任意，则，
因为，故
所以
故即，
所以，因此在上为减函数.
（2）,
,
故.
（3）因为，故，
故，而，该定义域关于原点对称，故为奇函数.
故等价于.
由（1）可知在上为减函数，
故，
所以对任意均成立，
故即.
故的取值集合为.
【点睛】
本题考查对数型函数的奇偶性、单调性以及这些性质在函数不等式中的应用，解函数不等式时，注意利用单调性和奇偶性去掉对应法则，注意定义域的要求，本题属于中档题.
四、填空题
57．（2020·湖南娄星�娄底一中高一期末）函数在区间上的值域为________.
【答案】
【解析】
【分析】
令，根据同角的三角函数关系式求出关于的表达式，最后利用二次函数的单调性求出函数的值域.
【详解】
令.
.
所以.
，
当，所以有，
所以函数的值域为.
故答案为：
【点睛】
本题考查了求函数的值域，考查了换元法，考查了二次函数的单调性，属于基础题.
58．（2020·全国高三课时练习（理））关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．
②f（x）的图像关于原点对称．
③f（x）的图像关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
【解析】
【分析】
利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误.
故答案为：②③.
【点睛】
本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
59．（2020·永州市第四中学高一月考）给出下列4个命题：
①函数的最小正周期是；
②直线是函数的一条对称轴；
③若，且为第二象限角，则；
④函数在区间上单调递减，
其中正确的是_____.（写出所有正确的序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】
①根据函数的最小正周期得出函数的最小正周期；
②当时函数取得最小值，判断是函数的一条对称轴；
③根据，且为第二象限角，求出的值；
④根据的取值范围，结合余弦函数的单调性，求出函数的单调性．
【详解】
解：对于①，函数的最小正周期是，
函数的最小正周期是，①正确；
对于②，时，为最小值，
直线是函数的一条对称轴，②正确；
对于③，若，则，
，
又为第二象限角，，
，
，，，③正确；
对于④，，时，，
由，，
根据余弦函数的图象与性质知，函数在，上不单调，④错误．
综上，①②③正确．
故答案为：①②③．
【点睛】
本题以三角函数性质为载体考查了三角函数的周期性、单调性、对称性以及同角三角函数的关系的应用，是综合题．
60．（2020·江西省铜鼓中学高一期末）已知函数是定义在R上的奇函数，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简，根据正弦型函数为奇函数可构造方程求得，进而得到解析式，代入即可求得结果.
【详解】
，
为上的奇函数，，解得：，
又，，，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查根据正弦型函数的奇偶性求解参数值、已知解析式求解三角函数值的问题；关键是能够通过辅助角公式将函数化简为正弦型函数，进而利用奇偶性构造方程求得参数.
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