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专题十八 圆锥曲线的综合运用-2021届高三《新题速递•数学》10月刊（江苏专用 适用于高考复习）
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这是一份专题十八 圆锥曲线的综合运用-2021届高三《新题速递•数学》10月刊（江苏专用 适用于高考复习），文件包含专题十八圆锥曲线的综合运用原卷版docx、专题十八圆锥曲线的综合运用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共59页， 欢迎下载使用。
专题十八 圆锥曲线的综合运用
一、单选题
1．（2020·霍邱县第二中学开学考试（理））已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，是双曲线上在第一象限内的点，直线、分别交双曲线左、右支于另一点、，，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用定义求出，，根据双曲线的对称性可得为平行四边形，从而得出，在内使用余弦定理可得出与的等量关系，从而得出双曲线的离心率.
【详解】
由题意，，，，.
连接、，根据双曲线的对称性可得为平行四边形，
，，
由余弦定理可得，，，
故选B.
【点晴】
本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式，最后解出的值.
2．（2020·霍邱县第二中学开学考试（理））过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
联立方程解得M(3，)，根据MN⊥l得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案.
【详解】
依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3.
由M在x轴的上方得M(3，)，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4
又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形
点M到直线NF的距离为
故选：C.
【点睛】
本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.
3．（2020·浙江月考）已知点是双曲线右支上一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求得直线的方程，计算出原点到直线的距离，结合双曲线的定义得到，由此求得双曲线的渐近线方程.
【详解】
如图所示，双曲线的渐近线为，
对于，，直线与直线垂直，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
设直线与直线相交于
原点到直线：的距离得，因此，
由于是线段的中点，是线段的中垂线，
则根据几何图形的性质可得，
根据双曲线的定义得，
因此可得，，则双曲线的线近线为.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.
4．（2020·广东月考）已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用勾股定理求得，进而利用公式可求得双曲线的离心率的值.
【详解】
双曲线的其中一条渐近线：，即，
由题知，，又，
，
故双曲线的离心率为.
故选：C
【点睛】
本题考查双曲线离心率的求解，考查计算能力，属于中等题.
5．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）已知椭圆的准线方程为，离心率为，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
准线方程为，离心率为得求得再求得得解.
【详解】
由解得所以，所以椭圆的标准方程为.
故选：D
【得解】
本题考查利用椭圆的离心率和准线方程求椭圆标准方程得解.属于基础题.
6．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝－，则m等于( )
A． B．2
C． D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意设出直线AB的方程，与抛物线方程联立消元后得到关于x的二次方程，然后结合根与系数的关系求出线段AB的中点坐标，代入对称轴方程y＝x＋m后可得m的值．
【详解】
∵A,B两点关于直线y＝x＋m对称，
∴可设直线AB的方程为y＝－x＋b，
由消去y整理得2x2＋x－b＝0，
∵直线AB与抛物线交于两点，
∴Δ＝1＋8b＞0，解得．
又由题意得，
∵，
∴b＝1，满足题意．
设A，B的中点为P(x0，y0)，
则，
∴，
又点在直线y＝x＋m上，
∴，解得．
故选A．
【点睛】
解决解析几何中的对称问题时要注意垂直与平分两个方面：（1）根据垂直可得两对称点所在直线的方程的斜率，进而得到过两对称点的方程，然后与曲线方程联立消元后运用根与系数的关系求解；（2）根据平分得到两对称点的中点坐标，然后根据此中点在对称轴上可得所求．
7．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）斜率为的直线与椭圆相交于两点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设直线方程与椭圆方程联解，求得弦长，化简得到最大值.
【详解】
设两点的坐标分别为，，直线的方程为，
由消去y得，
则，.
∴
，
∴当时，取得最大值，
故选:B.
【点睛】
本题考查直线与椭圆关系求弦长最值问题，属于基础题.
8．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）设双曲线 (a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
【答案】C
【解析】
由题意知2b=2,2c=2,
∴b=1,c=,a2=c2-b2=2,a=,
∴渐近线方程为y=±x=±x=±x.故选C.
9．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M点到y轴的距离是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】
【分析】
求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可．
【详解】
抛物线的焦点，准线为，由M到焦点的距离为10，
可知M到准线的距离也为10，故到M到的距离是9，故选C．
【点睛】
本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．
10．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）椭圆的焦距为2，则m的值等于（ ）
A．5 B．3 C．5或3 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆方程的标准形式，求出a，b，c的值，即可列出方程，从而求得m的值．
【详解】
由题意知椭圆焦距为2，即c＝1，
当焦点在x轴上时，则，，即，
当焦点在y轴上时，则，，即，
m的值为5或3.
故选：C.
【点睛】
本题考查椭圆标准方程的理解，属于基础题.
11．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）已知离心率为的双曲线：的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于、两点．若的面积为2，则实数的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，根据离心率为，求出双曲线的渐近线，然后得到为等腰直角三角形，根据其面积为，得到的值，再得到的值.
【详解】
因为双曲线的离心率为，所以，
所以得到，所以
所以双曲线：的渐近线为
取，倾斜角为，
为直径，所以，所以为等腰直角三角形
所以，解得
所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查根据双曲线的离心率求渐近线方程，双曲线的几何性质，属于简单题.
12．（2020·霍邱县第二中学月考（文））椭圆C：的焦点在x轴上，其离心率为则椭圆C的长轴长为（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆的离心率，即可求出，进而求出长轴长.
【详解】
由椭圆的性质可知，
椭圆的离心率为，则，即
所以椭圆C的长轴长为．
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的几何性质，属于基础题.
13．（2020·霍邱县第二中学月考（文））已知直线与双曲线C：的一条渐近线交于点P，，分别是C的左，右焦点，且则C的离心率为（ ）
A．3 B．2或3 C．4 D．4或
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意知，点P的坐标为，在中，由余弦定理可得，进一步可求出离心率.
【详解】
由题意知，点P的坐标为，
在中，由余弦定理可知，，
代入整理得．
所以．解得或．
又由题意可知为锐角，所以，.
故选：C．
【点睛】
本题考查双曲线离心率的求法，属于中档题.
14．（2020·瑞安市上海新纪元高级中学期末）黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”.离心率的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”C：（）的左右顶点分别为A，B，“优美椭圆”C上动点P（异于椭圆的左右顶点），设直线，的斜率分别为，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设点坐标，代入椭圆方程，根据直线的斜率公式，即可求得，关系，根据椭圆的离心率公式，即可求得椭圆的离心率．
【详解】
解：设代入椭圆方程，则：，
离心率，可得，
整理得：，
又，，
所以，
故答案为：A．
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，难度中档．
15．（2020·瑞安市上海新纪元高级中学期末）椭圆的焦点坐标是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据椭圆的方程及性质求解即可.
【详解】
因为椭圆中，，所以，即，
又因为焦点在轴上，所以焦点坐标为.
故选：D.
【点睛】
本题考查根据椭圆的标准方程求解焦点坐标，属于简单题.
二、多选题
16．（2020·广东月考）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则（ ）
A．|BF|＝3 B．△ABF是等边三角形
C．点F到准线的距离为3 D．抛物线C的方程为y2＝6x
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据题意，作出示意图，结合抛物线的定义，焦半径公式，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.
【详解】
根据题意，作图如下：
因为|FA|为半径的圆交l于B，D两点，
所以，又，
所以为等边三角形，B正确；
∠ABD＝90°，，过F作FC⊥AB交于C，
则C为AB的中点，C的横坐标为，B的横坐标为，
所以A的横坐标为，
，
，所以A不正确，
焦点到准线的距离为，所以C正确；
抛物线的方程为：y2＝6x，所以D正确.
故选：BCD．
【点睛】
本题考查抛物线中的综合问题，涉及抛物线定义以及焦半径公式，属综合中档题.
17．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）若方程所表示的曲线为,则下面四个命题中错误的是（ ）
A．若为椭圆,则 B．若为双曲线,则或
C．曲线可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则
【答案】AD
【解析】
【分析】
就的不同取值范围分类讨论可得曲线表示的可能的类型.
【详解】
若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；
若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；
若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；
若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；
若，方程即为，它表示圆，
综上，选AD.
【点睛】
一般地，方程为双曲线方程等价于，若，则焦点在轴上，若，则焦点在轴上；方程为椭圆方程等价于且，若，焦点在轴上，若，则焦点在轴上；若，则方程为圆的方程.
18．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）已知双曲线C：，则( )
A．双曲线C的离心率等于半焦距的长
B．双曲线与双曲线C有相同的渐近线
C．双曲线C的一条准线被圆x2＋y2＝1截得的弦长为
D．直线y＝kx＋b(k，bR)与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，2
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据双曲线的几何性质，直线和双曲线的位置关系，直线和圆的位置关系等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
双曲线焦点在轴上，且，渐近线为，准线方程为.
对于A选项，双曲线的离心率为，所以A选项正确.
对于B选项，双曲线的渐近线为，与曲线的渐近线不相同，故B选项错误.
对于C选项，双曲线的一条准线方程为代入，解得，所以弦长为，所以C选项正确.
对于D选项，直线与双曲线的公共点个数可能为，故D选项正确.
故选：ACD
【点睛】
本小题主要考查双曲线的几何性质，考查直线和圆相交所得弦的弦长，考查直线和双曲线的位置关系，属于基础题.
19．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）设点F､直线l分别是椭圆C：(a>b>0)的右焦点､右准线，点P是椭圆C上一点，记点P到直线l的距离为d，椭圆C的离心率为e，则的充分不必要条件有（ ）
A．e(0,) B．e(,)
C．e(,) D．e(,1)
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据椭圆第二定义可得充要条件是，根据充分不必要条件关系，逐项判断即可.
【详解】
依题意，，即，
选项A，是充要条件，所以不满足；
选项B，C中的范围均是的真子集，
所以满足充分不必要条件；
选项D，既不是充分条件也不是必要条件.
故选：B，C.
【点睛】
本题考查充分不必要条件的判定，掌握椭圆第二定义是解题的关键，属于基础题.
20．（2020·江苏省江浦高级中学月考）关于双曲线与双曲线，下列说法正确的是（ ）.
A．它们有相同的渐近线 B．它们有相同的顶点
C．它们的离心率不相等 D．它们的焦距相等
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据双曲线的几何性质，逐一分析选项即可.
【详解】
双曲线的渐近线为：，双曲线的渐近线方程为：，故A错误；
双曲线的顶点坐标为，双曲线的顶点坐标为，故B错误；
双曲线的离心率，双曲线的离心率，，故C正确；
双曲线的焦距2c=10，双曲线的焦距2c=10，故D正确.
故选：CD．
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.
第II卷（非选择题）
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三、解答题
21．（2020·霍邱县第二中学开学考试（理））已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆经过点，且的面积为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设斜率为1的直线与以原点为圆心，半径为的圆交于，两点，与椭圆交于、两点，且，当取得最小值时，求直线的方程并求此时的值.
【答案】（1）；（2）取得最小值，此时直线的方程为.
【解析】
【分析】
（1）根据面积求出，得，再根据椭圆经过点，得，联立解得，，从而可得椭圆方程；
（2）设直线的方程为，利用几何方法求出，根据弦长公式求出，进而求出，根据的范围求出结果.
【详解】
（1）由的面积可得，得，
∴.①
又椭圆过点，∴.②
由①②解得，，故椭圆的标准方程为.
（2）设直线的方程为，则原点到直线的距离，
由弦长公式可得.
将代入椭圆方程，得，
由判别式，解得.
由直线和圆相交的条件可得，即，即，
综上可得的取值范围是.
设，，则，，
由弦长公式，得.
由，得.
∵，∴，则当时，取得最小值，此时直线的方程为.
【点睛】
本题考查了求椭圆的标准方程，考查了圆与椭圆的综合，考查了几何方法求圆的弦长，考查了弦长公式，考查了运算求解能力，属于中档题.
22．（2020·浙江月考）设抛物线的焦点为，点到抛物线准线的距离为，若椭圆的右焦点也为，离心率为.
（1）求抛物线方程和椭圆方程；
（2）若不经过的直线与抛物线交于两点，且（为坐标原点），直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.
【答案】（1）抛物线方程为，椭圆方程为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由点到抛物线准线的距离为可得，进而求出，再根据离心率求出，即可求出抛物线方程和椭圆方程；
（2）设直线方程为：，联立抛物线方程，利用可求出，再联立直线与椭圆，即可求出弦长表示出面积，即可求出最值.
【详解】
（1）由已知得，，，
所以抛物线方程为，椭圆方程为.
（2）设直线方程为：，
由消去得，，
设，则
因为
所以或（舍去），所以直线方程为：.
由消去得，.
设，则
所以
.
令，则，
所以，
当且仅当时，即时，取最大值.
【点睛】
本题考查抛物线方程和椭圆方程的求法，考查三角形面积的最值问题，属于较难题.
23．（2020·广东月考）已知椭圆短轴长为2，是的左焦点，是上关于轴对称的两点，周长的最大值为8．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）斜率为且不经过原点的直线与椭圆交于两点，若直线的斜率分别为，且，求直线的斜率，并判断的值是否为定值？若为定值，试求出此定值；否则，说明理由．
【答案】（1）；（2），是定值，定值为5.
【解析】
【分析】
（1）由题意可知,当过右焦点时.周长取最大值，求得,且，
从而得出椭圆的标准方程；
（2）设直线的方程为，与椭圆联立方程组，消元后得到关于的一元二次方程,根据韦达定理求出，. 结合公式即可得出斜率和定值.
【详解】
解:（1）设与轴的交点为，右焦点为.
由题意，则，
当过右焦点时，周长取最大值，且，
椭圆的标准方程为；
（2）设直线的方程为，，，
由，得，
，.
由题知，
，，
此时，，
则
，
故直线的斜率为，.
【点睛】
此题考查求椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,利用了根与系数的关系和弦长公式,考查了学生的计算能力,属于中档题.
24．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）已知双曲线：（，）的离心率为，虚轴长为4.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线：与双曲线相交于，两点，为坐标原点，的面积是，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，解方程组即可得到，，进而得到双曲线的方程；
（2）将直线l的方程代入双曲线方程并整理，根据l与双曲线交于不同的两点A、B，进而可求得m的范围，设，，运用韦达定理和弦长公式，以及求出O点到直线AB的距离公式，最后由三角形的面积求得m，进而可得直线方程.
【详解】
解：（1）由题可得 ，
解得，，，
故双曲线的标准方程为；
（2）由得，
由得 ，
设， ，
则 ，
O点到直线l的距离 ，
，
或
或
故所求直线方程为：或
【点睛】
本题考查了双曲线的方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查三角形的面积的求法，注意运用联立直线方程和双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题.
25．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）抛物线的顶点在原点，它的焦点与椭圆的一个焦点重合，若抛物线与椭圆的一个交点是，求抛物线与椭圆的标准方程．
【答案】抛物线的标准方程为，椭圆方程为．
【解析】
试题分析：已知抛物线过点，且焦点的位置也已经确定要，可设其标准方程为，代入已知点坐标可得，这样可得焦点也是椭圆的焦点，于是椭圆标准方程为关系确定，再把点坐标代入可求得．
试题解析：由题意可设抛物线方程为，
∵点在抛物线上，∴，
∴，∴抛物线的标准方程为
∴抛物线的焦点为，从而椭圆的一个焦点为，∴，
∴椭圆方程为，∵点在椭圆上，
∴，解之得或（舍去）
∴椭圆的标准方程为
考点：抛物线与椭圆的标准方程．
26．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）在①离心率，②椭圆过点，③面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.
设椭圆C：（）的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线交椭圆于两点，已知椭圆的短轴长为，________.
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段的中垂线与x轴交于点N，求证：为定值.
【答案】（1）选①，；选②; 选③（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）选①，由题可得：，解得，得到椭圆C的方程；
（1）选②，由题可得：，解得，得到椭圆C的方程；
（1）选③，由题可得：，解得，得到椭圆C的方程；
（2）线段的中垂线与x轴交于点N，
讨论（i）当时，易得，，求得
（ii）当时，设直线的方程为，联解得：，求得，，
；利用中垂线方程求得，得到，从而得解.
【详解】
（1）选①，由题意可得：，解得，所以所求椭圆C的方程为；
（1）选②，由题可得：，解得，得到椭圆C的方程；
（1）选③，由题可得：，解得，得到椭圆C的方程；
（2）（i）当时，，，
（ii）当时，由题意可得：.
设直线的方程为，设，，
由整理得：
显然，且，，
所以
所以线段的中点，
则线段的中垂线方程为，
令，可得，即，又，
所以，所以，即.
【点睛】
本题属于开放性题，任选一个条件补充完整题干再作答，考查椭圆的标准方程及直线与椭圆关系求定值问题，属于中档题.
27．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）已知命题“存在”，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题
（1）若“且”是真命题，求的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）若p为真：△≥0；若q为真：则，若“p且q”是真命题，求其交集即可得出；（2）由q是r的必要不充分条件，则可得（t，t+1）⊊（-1，2），解出即可得出
试题解析：（1）若为真：
解得
若为真：则
解得
若“且”是真命题，则
解得
（2）由是的必要不充分条件，则可得
即 （等号不同时成立）
解得
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假
28．（2020·霍邱县第二中学月考（文））如图，抛物线的顶点在原点，圆的圆心恰是抛物线的焦点.
（1）求抛物线的方程；
（2）一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于、、、四点，求的值.
【答案】（1）圆 的圆心坐标为，
即抛物线的焦点为,……………………3分
∴ ∴抛物线方程为……………………6分
1. 由题意知直线AD的方程为…………………7分即代入得=0
设，则，
……………………11分
∴
【解析】
【分析】
（1）设抛物线方程为,由题意求出其焦点坐标，进而可求出结果；
（2）先由题意得出直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出，再由为圆的直径，即可求出结果.
【详解】
（1）设抛物线方程为，
圆的圆心恰是抛物线的焦点，∴．
抛物线的方程为：；
（2）依题意直线的方程为
设，，则，得，
，．
．
【点睛】
本题主要考查抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系；由抛物线的焦点坐标可直接求出抛物线的方程；联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和抛物线定义可求出弦长，进而可求出结果，属于常考题型.
29．（2020·江苏省江浦高级中学月考）已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，，点P为坐标平面内的一点，且，，O为坐标原点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M为椭圆C的左顶点，A，B是椭圆C上两个不同的点，直线，的倾斜角分别为，，且证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（1）（2）证明见解析，该点坐标,
【解析】
【分析】
（1）设，，，运用两点的距离公式和向量数量积的坐标表示，以及椭圆的离心率公式，解方程可得，，进而得到椭圆方程；
（2）设,，,，判断直线的斜率不存在不成立，设直线的方程为，联立椭圆方程，运用判别式大于0，以及韦达定理，结合直线的斜率公式，化简整理，结合直线方程和恒过定点的求法，可得所求．
【详解】
（1）设，，，
由，可得，，，，
即有，即，又，可得，，
则椭圆的方程为；
（2）证明：设，，,，由题意可得，
若直线的斜率不存在，即，，由题意可得直线，的斜率大于0，即，矛盾；
因此直线的斜率存在，设其方程为．联立椭圆方程，
化为：，
△，
化为：．
，．
由，可得，
，
，化为：，
，
化为，解得，或．
直线的方程可以表示为（舍去），或，
则直线恒过定点,．
【点睛】
本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线恒过定点的求法，主要考查化简运算能力，属于中档题．
30．（2020·瑞安市上海新纪元高级中学期末）已知椭圆过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过作斜率分别为的两条直线，分别交椭圆于点，且，证明：直线过定点．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)把代入中，求出，再根据离心率为和可解.
(2) 直线斜率不存在时，容易求出方程；当直线斜率存在时，设直线方程为，联立直线方程和椭圆方程，表示出两根之和与两根之积，利用，找到，代入到原直线方程中，利用分离参数法，可求定点.
【详解】
解:（1）由题意，椭圆过点，即，解得，
由离心率为，又由，解得，所求椭圆方程为：.
（2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，
则，所以，解得，
直线方程为
当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立方程组，得，
设，则（*），
则，
将*式代入化简可得：，即，
时，或与重合，不符合题意，所以，
代入直线方程，得，
即，联立方程组，解得，恒过定点
显然也通过.
所以直线过定点．
【点睛】
考查求椭圆的标准方程以及直线过定点问题，难题.
31．（2020·江西南康中学月考（文））已知圆：．
（1）过点向圆引切线，求切线的方程；
（2）过点任作一条直线交圆于、两点，问在轴上是否存在点，使得？若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 或；(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)通过直线与圆的位置关系相切，建立方程计算得到直线方程；
（2）将角度相等问题转化为斜率和为0，从而直曲联立，建立韦达定理得到N的坐标.
【详解】
解：（1）设切线的方程为，∵与圆相切，
∴，解得或．∴的方程为或；
（2）假设存在，当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，代入，得，
设，，∴，．
∵，
而
，
∵，
∴，即，得．
当直线与轴垂直时，也成立．故存在点，使得．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，将角度相等问题转化为斜率和为0问题是解决本题的关键，意在考查学生的计算能力及划归能力.
32．（2020·湖北十堰·其他（理））如图，为坐标原点，椭圆的右顶点和上顶点分别为，，，的面积为1．
（1）求的方程；
（2）若，是椭圆上的两点，且，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出后可得的方程.
（2）设直线的方程，设，，用此两点的坐标表示，联立直线的方程和椭圆的方程后消去，利用韦达定理可证为定值.也可以设，求出的方程后再求出后可证为定值.
【详解】
（1）解：由题意知，
由于，解得，，故的方程为．
（2）证明：由(1)得，，直线的斜率为．
（方法一）因为，故可设的方程为．
设，，
联立消去，得，
所以，从而．
直线的斜率，直线的斜率，
所以
．故为定值．
（方法二）设，．
因为，所以的方程为，
联立消去，得，
解得（舍去）或，
所以点的坐标为，
则，即为定值．
【点睛】
求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.
四、填空题
33．（2020·霍邱县第二中学开学考试（理））设椭圆与双曲线有公共焦点，过它们的右焦点作轴的垂线与曲线，在第一象限分别交于点，，若（为坐标原点），则与的离心率之比为________.
【答案】
【解析】
【分析】
设右焦点为，可得得，，，根据面积比可得，根据离心率公式可得解.
【详解】
设右焦点为，根据椭圆和双曲线方程可得得，，，
若，则，即，即，
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了椭圆和双曲线的离心率公式，属于基础题.
34．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）已知P是抛物线y2＝2x上动点，A，若点P到y轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，则d1＋d2的最小值是________.
【答案】
【解析】
【分析】
由抛物线的方程及点A的坐标可判断点A在抛物线的外部。由抛物线的定义可得d1＝PF－，进而可得d1＋d2＝PF＋PA－，由图可知当三点P、F、A共线时，取最小值即为AF－，再由两点间的距离公式可求得结果。
【详解】
因为，所以点A在抛物线的外部。因为点P在抛物线上，所以d1＝PF－ (其中点F为抛物线的焦点)，则d1＋d2＝PF＋PA－≥AF－＝，当且仅当点P是线段AF与抛物线的交点时取等号.
【点睛】
本题主要考查抛物线的方程与定义，考查分析求解、转化能力，属于基础题。在求抛物线上的点到准线的距离时，注意其与抛物线上的点到焦点距离的互相转化。
五、双空题
35．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）已知椭圆()的焦点为，，如果椭圆C上存在一点P，使得，且的面积等于4，则实数b的值为_______，实数a的取值范围为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义以及勾股定理、面积即可求解出的值；再根据以及椭圆中的取值范围即可求解出的范围.
【详解】
因为，所以，
又因为，所以，所以，
又因为，所以；
又因为，设且，
所以，所以，
所以，所以，
又因为且，所以，
所以.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查椭圆的焦点三角形的面积求解以及根据椭圆方程中的范围求解参数范围，难度一般.其实，椭圆上任意一点（非左右顶点）与两焦点围成的焦点三角形的面积等于.
36．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）设过双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点F(c，0)的直线l与其一条渐近线垂直相交于点A，则点A的横坐标可用a，c表示为____________；若l与另一条渐近线交于点B，且，则C的离心率为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
设双曲线的一条渐近线方程为： ，根据直线l与之垂直，设直线方程为 ，联立，解得A的坐标，联立，解得B的坐标，然后根据求解.
【详解】
设双曲线C：的一条渐近线方程为： ，
因为过右焦点F(c，0)的直线l与之垂直，设直线为 ，
联立，解得 ，
所以，
联立，解得，
所以，
因为，
所以，
化简得：，
所以，
解得或（舍去），
解得，
故答案为：①；②
【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质以及向量共线的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
专题十八 圆锥曲线的综合运用
一、单选题
1．（2020·霍邱县第二中学开学考试（理））已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，是双曲线上在第一象限内的点，直线、分别交双曲线左、右支于另一点、，，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用定义求出，，根据双曲线的对称性可得为平行四边形，从而得出，在内使用余弦定理可得出与的等量关系，从而得出双曲线的离心率.
【详解】
由题意，，，，.
连接、，根据双曲线的对称性可得为平行四边形，
，，
由余弦定理可得，，，
故选B.
【点晴】
本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式，最后解出的值.
2．（2020·霍邱县第二中学开学考试（理））过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
联立方程解得M(3，)，根据MN⊥l得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案.
【详解】
依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3.
由M在x轴的上方得M(3，)，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4
又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形
点M到直线NF的距离为
故选：C.
【点睛】
本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.
3．（2020·浙江月考）已知点是双曲线右支上一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求得直线的方程，计算出原点到直线的距离，结合双曲线的定义得到，由此求得双曲线的渐近线方程.
【详解】
如图所示，双曲线的渐近线为，
对于，，直线与直线垂直，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
设直线与直线相交于
原点到直线：的距离得，因此，
由于是线段的中点，是线段的中垂线，
则根据几何图形的性质可得，
根据双曲线的定义得，
因此可得，，则双曲线的线近线为.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.
4．（2020·广东月考）已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用勾股定理求得，进而利用公式可求得双曲线的离心率的值.
【详解】
双曲线的其中一条渐近线：，即，
由题知，，又，
，
故双曲线的离心率为.
故选：C
【点睛】
本题考查双曲线离心率的求解，考查计算能力，属于中等题.
5．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）已知椭圆的准线方程为，离心率为，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
准线方程为，离心率为得求得再求得得解.
【详解】
由解得所以，所以椭圆的标准方程为.
故选：D
【得解】
本题考查利用椭圆的离心率和准线方程求椭圆标准方程得解.属于基础题.
6．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝－，则m等于( )
A． B．2
C． D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意设出直线AB的方程，与抛物线方程联立消元后得到关于x的二次方程，然后结合根与系数的关系求出线段AB的中点坐标，代入对称轴方程y＝x＋m后可得m的值．
【详解】
∵A,B两点关于直线y＝x＋m对称，
∴可设直线AB的方程为y＝－x＋b，
由消去y整理得2x2＋x－b＝0，
∵直线AB与抛物线交于两点，
∴Δ＝1＋8b＞0，解得．
又由题意得，
∵，
∴b＝1，满足题意．
设A，B的中点为P(x0，y0)，
则，
∴，
又点在直线y＝x＋m上，
∴，解得．
故选A．
【点睛】
解决解析几何中的对称问题时要注意垂直与平分两个方面：（1）根据垂直可得两对称点所在直线的方程的斜率，进而得到过两对称点的方程，然后与曲线方程联立消元后运用根与系数的关系求解；（2）根据平分得到两对称点的中点坐标，然后根据此中点在对称轴上可得所求．
7．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）斜率为的直线与椭圆相交于两点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设直线方程与椭圆方程联解，求得弦长，化简得到最大值.
【详解】
设两点的坐标分别为，，直线的方程为，
由消去y得，
则，.
∴
，
∴当时，取得最大值，
故选:B.
【点睛】
本题考查直线与椭圆关系求弦长最值问题，属于基础题.
8．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）设双曲线 (a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
【答案】C
【解析】
由题意知2b=2,2c=2,
∴b=1,c=,a2=c2-b2=2,a=,
∴渐近线方程为y=±x=±x=±x.故选C.
9．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M点到y轴的距离是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】
【分析】
求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可．
【详解】
抛物线的焦点，准线为，由M到焦点的距离为10，
可知M到准线的距离也为10，故到M到的距离是9，故选C．
【点睛】
本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．
10．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）椭圆的焦距为2，则m的值等于（ ）
A．5 B．3 C．5或3 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆方程的标准形式，求出a，b，c的值，即可列出方程，从而求得m的值．
【详解】
由题意知椭圆焦距为2，即c＝1，
当焦点在x轴上时，则，，即，
当焦点在y轴上时，则，，即，
m的值为5或3.
故选：C.
【点睛】
本题考查椭圆标准方程的理解，属于基础题.
11．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）已知离心率为的双曲线：的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于、两点．若的面积为2，则实数的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，根据离心率为，求出双曲线的渐近线，然后得到为等腰直角三角形，根据其面积为，得到的值，再得到的值.
【详解】
因为双曲线的离心率为，所以，
所以得到，所以
所以双曲线：的渐近线为
取，倾斜角为，
为直径，所以，所以为等腰直角三角形
所以，解得
所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查根据双曲线的离心率求渐近线方程，双曲线的几何性质，属于简单题.
12．（2020·霍邱县第二中学月考（文））椭圆C：的焦点在x轴上，其离心率为则椭圆C的长轴长为（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆的离心率，即可求出，进而求出长轴长.
【详解】
由椭圆的性质可知，
椭圆的离心率为，则，即
所以椭圆C的长轴长为．
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的几何性质，属于基础题.
13．（2020·霍邱县第二中学月考（文））已知直线与双曲线C：的一条渐近线交于点P，，分别是C的左，右焦点，且则C的离心率为（ ）
A．3 B．2或3 C．4 D．4或
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意知，点P的坐标为，在中，由余弦定理可得，进一步可求出离心率.
【详解】
由题意知，点P的坐标为，
在中，由余弦定理可知，，
代入整理得．
所以．解得或．
又由题意可知为锐角，所以，.
故选：C．
【点睛】
本题考查双曲线离心率的求法，属于中档题.
14．（2020·瑞安市上海新纪元高级中学期末）黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”.离心率的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”C：（）的左右顶点分别为A，B，“优美椭圆”C上动点P（异于椭圆的左右顶点），设直线，的斜率分别为，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设点坐标，代入椭圆方程，根据直线的斜率公式，即可求得，关系，根据椭圆的离心率公式，即可求得椭圆的离心率．
【详解】
解：设代入椭圆方程，则：，
离心率，可得，
整理得：，
又，，
所以，
故答案为：A．
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，难度中档．
15．（2020·瑞安市上海新纪元高级中学期末）椭圆的焦点坐标是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据椭圆的方程及性质求解即可.
【详解】
因为椭圆中，，所以，即，
又因为焦点在轴上，所以焦点坐标为.
故选：D.
【点睛】
本题考查根据椭圆的标准方程求解焦点坐标，属于简单题.
二、多选题
16．（2020·广东月考）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则（ ）
A．|BF|＝3 B．△ABF是等边三角形
C．点F到准线的距离为3 D．抛物线C的方程为y2＝6x
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据题意，作出示意图，结合抛物线的定义，焦半径公式，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.
【详解】
根据题意，作图如下：
因为|FA|为半径的圆交l于B，D两点，
所以，又，
所以为等边三角形，B正确；
∠ABD＝90°，，过F作FC⊥AB交于C，
则C为AB的中点，C的横坐标为，B的横坐标为，
所以A的横坐标为，
，
，所以A不正确，
焦点到准线的距离为，所以C正确；
抛物线的方程为：y2＝6x，所以D正确.
故选：BCD．
【点睛】
本题考查抛物线中的综合问题，涉及抛物线定义以及焦半径公式，属综合中档题.
17．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）若方程所表示的曲线为,则下面四个命题中错误的是（ ）
A．若为椭圆,则 B．若为双曲线,则或
C．曲线可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则
【答案】AD
【解析】
【分析】
就的不同取值范围分类讨论可得曲线表示的可能的类型.
【详解】
若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；
若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；
若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；
若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；
若，方程即为，它表示圆，
综上，选AD.
【点睛】
一般地，方程为双曲线方程等价于，若，则焦点在轴上，若，则焦点在轴上；方程为椭圆方程等价于且，若，焦点在轴上，若，则焦点在轴上；若，则方程为圆的方程.
18．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）已知双曲线C：，则( )
A．双曲线C的离心率等于半焦距的长
B．双曲线与双曲线C有相同的渐近线
C．双曲线C的一条准线被圆x2＋y2＝1截得的弦长为
D．直线y＝kx＋b(k，bR)与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，2
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据双曲线的几何性质，直线和双曲线的位置关系，直线和圆的位置关系等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
双曲线焦点在轴上，且，渐近线为，准线方程为.
对于A选项，双曲线的离心率为，所以A选项正确.
对于B选项，双曲线的渐近线为，与曲线的渐近线不相同，故B选项错误.
对于C选项，双曲线的一条准线方程为代入，解得，所以弦长为，所以C选项正确.
对于D选项，直线与双曲线的公共点个数可能为，故D选项正确.
故选：ACD
【点睛】
本小题主要考查双曲线的几何性质，考查直线和圆相交所得弦的弦长，考查直线和双曲线的位置关系，属于基础题.
19．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）设点F､直线l分别是椭圆C：(a>b>0)的右焦点､右准线，点P是椭圆C上一点，记点P到直线l的距离为d，椭圆C的离心率为e，则的充分不必要条件有（ ）
A．e(0,) B．e(,)
C．e(,) D．e(,1)
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据椭圆第二定义可得充要条件是，根据充分不必要条件关系，逐项判断即可.
【详解】
依题意，，即，
选项A，是充要条件，所以不满足；
选项B，C中的范围均是的真子集，
所以满足充分不必要条件；
选项D，既不是充分条件也不是必要条件.
故选：B，C.
【点睛】
本题考查充分不必要条件的判定，掌握椭圆第二定义是解题的关键，属于基础题.
20．（2020·江苏省江浦高级中学月考）关于双曲线与双曲线，下列说法正确的是（ ）.
A．它们有相同的渐近线 B．它们有相同的顶点
C．它们的离心率不相等 D．它们的焦距相等
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据双曲线的几何性质，逐一分析选项即可.
【详解】
双曲线的渐近线为：，双曲线的渐近线方程为：，故A错误；
双曲线的顶点坐标为，双曲线的顶点坐标为，故B错误；
双曲线的离心率，双曲线的离心率，，故C正确；
双曲线的焦距2c=10，双曲线的焦距2c=10，故D正确.
故选：CD．
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.
第II卷（非选择题）
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三、解答题
21．（2020·霍邱县第二中学开学考试（理））已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆经过点，且的面积为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设斜率为1的直线与以原点为圆心，半径为的圆交于，两点，与椭圆交于、两点，且，当取得最小值时，求直线的方程并求此时的值.
【答案】（1）；（2）取得最小值，此时直线的方程为.
【解析】
【分析】
（1）根据面积求出，得，再根据椭圆经过点，得，联立解得，，从而可得椭圆方程；
（2）设直线的方程为，利用几何方法求出，根据弦长公式求出，进而求出，根据的范围求出结果.
【详解】
（1）由的面积可得，得，
∴.①
又椭圆过点，∴.②
由①②解得，，故椭圆的标准方程为.
（2）设直线的方程为，则原点到直线的距离，
由弦长公式可得.
将代入椭圆方程，得，
由判别式，解得.
由直线和圆相交的条件可得，即，即，
综上可得的取值范围是.
设，，则，，
由弦长公式，得.
由，得.
∵，∴，则当时，取得最小值，此时直线的方程为.
【点睛】
本题考查了求椭圆的标准方程，考查了圆与椭圆的综合，考查了几何方法求圆的弦长，考查了弦长公式，考查了运算求解能力，属于中档题.
22．（2020·浙江月考）设抛物线的焦点为，点到抛物线准线的距离为，若椭圆的右焦点也为，离心率为.
（1）求抛物线方程和椭圆方程；
（2）若不经过的直线与抛物线交于两点，且（为坐标原点），直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.
【答案】（1）抛物线方程为，椭圆方程为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由点到抛物线准线的距离为可得，进而求出，再根据离心率求出，即可求出抛物线方程和椭圆方程；
（2）设直线方程为：，联立抛物线方程，利用可求出，再联立直线与椭圆，即可求出弦长表示出面积，即可求出最值.
【详解】
（1）由已知得，，，
所以抛物线方程为，椭圆方程为.
（2）设直线方程为：，
由消去得，，
设，则
因为
所以或（舍去），所以直线方程为：.
由消去得，.
设，则
所以
.
令，则，
所以，
当且仅当时，即时，取最大值.
【点睛】
本题考查抛物线方程和椭圆方程的求法，考查三角形面积的最值问题，属于较难题.
23．（2020·广东月考）已知椭圆短轴长为2，是的左焦点，是上关于轴对称的两点，周长的最大值为8．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）斜率为且不经过原点的直线与椭圆交于两点，若直线的斜率分别为，且，求直线的斜率，并判断的值是否为定值？若为定值，试求出此定值；否则，说明理由．
【答案】（1）；（2），是定值，定值为5.
【解析】
【分析】
（1）由题意可知,当过右焦点时.周长取最大值，求得,且，
从而得出椭圆的标准方程；
（2）设直线的方程为，与椭圆联立方程组，消元后得到关于的一元二次方程,根据韦达定理求出，. 结合公式即可得出斜率和定值.
【详解】
解:（1）设与轴的交点为，右焦点为.
由题意，则，
当过右焦点时，周长取最大值，且，
椭圆的标准方程为；
（2）设直线的方程为，，，
由，得，
，.
由题知，
，，
此时，，
则
，
故直线的斜率为，.
【点睛】
此题考查求椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,利用了根与系数的关系和弦长公式,考查了学生的计算能力,属于中档题.
24．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）已知双曲线：（，）的离心率为，虚轴长为4.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线：与双曲线相交于，两点，为坐标原点，的面积是，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，解方程组即可得到，，进而得到双曲线的方程；
（2）将直线l的方程代入双曲线方程并整理，根据l与双曲线交于不同的两点A、B，进而可求得m的范围，设，，运用韦达定理和弦长公式，以及求出O点到直线AB的距离公式，最后由三角形的面积求得m，进而可得直线方程.
【详解】
解：（1）由题可得 ，
解得，，，
故双曲线的标准方程为；
（2）由得，
由得 ，
设， ，
则 ，
O点到直线l的距离 ，
，
或
或
故所求直线方程为：或
【点睛】
本题考查了双曲线的方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查三角形的面积的求法，注意运用联立直线方程和双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题.
25．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）抛物线的顶点在原点，它的焦点与椭圆的一个焦点重合，若抛物线与椭圆的一个交点是，求抛物线与椭圆的标准方程．
【答案】抛物线的标准方程为，椭圆方程为．
【解析】
试题分析：已知抛物线过点，且焦点的位置也已经确定要，可设其标准方程为，代入已知点坐标可得，这样可得焦点也是椭圆的焦点，于是椭圆标准方程为关系确定，再把点坐标代入可求得．
试题解析：由题意可设抛物线方程为，
∵点在抛物线上，∴，
∴，∴抛物线的标准方程为
∴抛物线的焦点为，从而椭圆的一个焦点为，∴，
∴椭圆方程为，∵点在椭圆上，
∴，解之得或（舍去）
∴椭圆的标准方程为
考点：抛物线与椭圆的标准方程．
26．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）在①离心率，②椭圆过点，③面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.
设椭圆C：（）的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线交椭圆于两点，已知椭圆的短轴长为，________.
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段的中垂线与x轴交于点N，求证：为定值.
【答案】（1）选①，；选②; 选③（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）选①，由题可得：，解得，得到椭圆C的方程；
（1）选②，由题可得：，解得，得到椭圆C的方程；
（1）选③，由题可得：，解得，得到椭圆C的方程；
（2）线段的中垂线与x轴交于点N，
讨论（i）当时，易得，，求得
（ii）当时，设直线的方程为，联解得：，求得，，
；利用中垂线方程求得，得到，从而得解.
【详解】
（1）选①，由题意可得：，解得，所以所求椭圆C的方程为；
（1）选②，由题可得：，解得，得到椭圆C的方程；
（1）选③，由题可得：，解得，得到椭圆C的方程；
（2）（i）当时，，，
（ii）当时，由题意可得：.
设直线的方程为，设，，
由整理得：
显然，且，，
所以
所以线段的中点，
则线段的中垂线方程为，
令，可得，即，又，
所以，所以，即.
【点睛】
本题属于开放性题，任选一个条件补充完整题干再作答，考查椭圆的标准方程及直线与椭圆关系求定值问题，属于中档题.
27．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）已知命题“存在”，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题
（1）若“且”是真命题，求的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）若p为真：△≥0；若q为真：则，若“p且q”是真命题，求其交集即可得出；（2）由q是r的必要不充分条件，则可得（t，t+1）⊊（-1，2），解出即可得出
试题解析：（1）若为真：
解得
若为真：则
解得
若“且”是真命题，则
解得
（2）由是的必要不充分条件，则可得
即 （等号不同时成立）
解得
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假
28．（2020·霍邱县第二中学月考（文））如图，抛物线的顶点在原点，圆的圆心恰是抛物线的焦点.
（1）求抛物线的方程；
（2）一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于、、、四点，求的值.
【答案】（1）圆 的圆心坐标为，
即抛物线的焦点为,……………………3分
∴ ∴抛物线方程为……………………6分
1. 由题意知直线AD的方程为…………………7分即代入得=0
设，则，
……………………11分
∴
【解析】
【分析】
（1）设抛物线方程为,由题意求出其焦点坐标，进而可求出结果；
（2）先由题意得出直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出，再由为圆的直径，即可求出结果.
【详解】
（1）设抛物线方程为，
圆的圆心恰是抛物线的焦点，∴．
抛物线的方程为：；
（2）依题意直线的方程为
设，，则，得，
，．
．
【点睛】
本题主要考查抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系；由抛物线的焦点坐标可直接求出抛物线的方程；联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和抛物线定义可求出弦长，进而可求出结果，属于常考题型.
29．（2020·江苏省江浦高级中学月考）已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，，点P为坐标平面内的一点，且，，O为坐标原点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M为椭圆C的左顶点，A，B是椭圆C上两个不同的点，直线，的倾斜角分别为，，且证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（1）（2）证明见解析，该点坐标,
【解析】
【分析】
（1）设，，，运用两点的距离公式和向量数量积的坐标表示，以及椭圆的离心率公式，解方程可得，，进而得到椭圆方程；
（2）设,，,，判断直线的斜率不存在不成立，设直线的方程为，联立椭圆方程，运用判别式大于0，以及韦达定理，结合直线的斜率公式，化简整理，结合直线方程和恒过定点的求法，可得所求．
【详解】
（1）设，，，
由，可得，，，，
即有，即，又，可得，，
则椭圆的方程为；
（2）证明：设，，,，由题意可得，
若直线的斜率不存在，即，，由题意可得直线，的斜率大于0，即，矛盾；
因此直线的斜率存在，设其方程为．联立椭圆方程，
化为：，
△，
化为：．
，．
由，可得，
，
，化为：，
，
化为，解得，或．
直线的方程可以表示为（舍去），或，
则直线恒过定点,．
【点睛】
本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线恒过定点的求法，主要考查化简运算能力，属于中档题．
30．（2020·瑞安市上海新纪元高级中学期末）已知椭圆过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过作斜率分别为的两条直线，分别交椭圆于点，且，证明：直线过定点．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)把代入中，求出，再根据离心率为和可解.
(2) 直线斜率不存在时，容易求出方程；当直线斜率存在时，设直线方程为，联立直线方程和椭圆方程，表示出两根之和与两根之积，利用，找到，代入到原直线方程中，利用分离参数法，可求定点.
【详解】
解:（1）由题意，椭圆过点，即，解得，
由离心率为，又由，解得，所求椭圆方程为：.
（2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，
则，所以，解得，
直线方程为
当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立方程组，得，
设，则（*），
则，
将*式代入化简可得：，即，
时，或与重合，不符合题意，所以，
代入直线方程，得，
即，联立方程组，解得，恒过定点
显然也通过.
所以直线过定点．
【点睛】
考查求椭圆的标准方程以及直线过定点问题，难题.
31．（2020·江西南康中学月考（文））已知圆：．
（1）过点向圆引切线，求切线的方程；
（2）过点任作一条直线交圆于、两点，问在轴上是否存在点，使得？若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 或；(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)通过直线与圆的位置关系相切，建立方程计算得到直线方程；
（2）将角度相等问题转化为斜率和为0，从而直曲联立，建立韦达定理得到N的坐标.
【详解】
解：（1）设切线的方程为，∵与圆相切，
∴，解得或．∴的方程为或；
（2）假设存在，当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，代入，得，
设，，∴，．
∵，
而
，
∵，
∴，即，得．
当直线与轴垂直时，也成立．故存在点，使得．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，将角度相等问题转化为斜率和为0问题是解决本题的关键，意在考查学生的计算能力及划归能力.
32．（2020·湖北十堰·其他（理））如图，为坐标原点，椭圆的右顶点和上顶点分别为，，，的面积为1．
（1）求的方程；
（2）若，是椭圆上的两点，且，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出后可得的方程.
（2）设直线的方程，设，，用此两点的坐标表示，联立直线的方程和椭圆的方程后消去，利用韦达定理可证为定值.也可以设，求出的方程后再求出后可证为定值.
【详解】
（1）解：由题意知，
由于，解得，，故的方程为．
（2）证明：由(1)得，，直线的斜率为．
（方法一）因为，故可设的方程为．
设，，
联立消去，得，
所以，从而．
直线的斜率，直线的斜率，
所以
．故为定值．
（方法二）设，．
因为，所以的方程为，
联立消去，得，
解得（舍去）或，
所以点的坐标为，
则，即为定值．
【点睛】
求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.
四、填空题
33．（2020·霍邱县第二中学开学考试（理））设椭圆与双曲线有公共焦点，过它们的右焦点作轴的垂线与曲线，在第一象限分别交于点，，若（为坐标原点），则与的离心率之比为________.
【答案】
【解析】
【分析】
设右焦点为，可得得，，，根据面积比可得，根据离心率公式可得解.
【详解】
设右焦点为，根据椭圆和双曲线方程可得得，，，
若，则，即，即，
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了椭圆和双曲线的离心率公式，属于基础题.
34．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）已知P是抛物线y2＝2x上动点，A，若点P到y轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，则d1＋d2的最小值是________.
【答案】
【解析】
【分析】
由抛物线的方程及点A的坐标可判断点A在抛物线的外部。由抛物线的定义可得d1＝PF－，进而可得d1＋d2＝PF＋PA－，由图可知当三点P、F、A共线时，取最小值即为AF－，再由两点间的距离公式可求得结果。
【详解】
因为，所以点A在抛物线的外部。因为点P在抛物线上，所以d1＝PF－ (其中点F为抛物线的焦点)，则d1＋d2＝PF＋PA－≥AF－＝，当且仅当点P是线段AF与抛物线的交点时取等号.
【点睛】
本题主要考查抛物线的方程与定义，考查分析求解、转化能力，属于基础题。在求抛物线上的点到准线的距离时，注意其与抛物线上的点到焦点距离的互相转化。
五、双空题
35．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）已知椭圆()的焦点为，，如果椭圆C上存在一点P，使得，且的面积等于4，则实数b的值为_______，实数a的取值范围为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义以及勾股定理、面积即可求解出的值；再根据以及椭圆中的取值范围即可求解出的范围.
【详解】
因为，所以，
又因为，所以，所以，
又因为，所以；
又因为，设且，
所以，所以，
所以，所以，
又因为且，所以，
所以.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查椭圆的焦点三角形的面积求解以及根据椭圆方程中的范围求解参数范围，难度一般.其实，椭圆上任意一点（非左右顶点）与两焦点围成的焦点三角形的面积等于.
36．（2020·江苏沛县·歌风中学月考）设过双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点F(c，0)的直线l与其一条渐近线垂直相交于点A，则点A的横坐标可用a，c表示为____________；若l与另一条渐近线交于点B，且，则C的离心率为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
设双曲线的一条渐近线方程为： ，根据直线l与之垂直，设直线方程为 ，联立，解得A的坐标，联立，解得B的坐标，然后根据求解.
【详解】
设双曲线C：的一条渐近线方程为： ，
因为过右焦点F(c，0)的直线l与之垂直，设直线为 ，
联立，解得 ，
所以，
联立，解得，
所以，
因为，
所以，
化简得：，
所以，
解得或（舍去），
解得，
故答案为：①；②
【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质以及向量共线的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
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