2021年中考数学一轮复习课时训练：第14课时 二次函数的应用

第14课时　二次函数的应用

【考点训练】

1.如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m．若水面下降1 m，则水面宽度为（　　）

A．2 m    B．2 m    C． m    D． m

2.（2019·百色适应性演练）已知矩形的对角线长为5，设矩形面积为S，当S2取最大值时，矩形边长为（　　）

A．和    B．和

C．3和4    D．和

3.（2019·河池中考）如图，△ABC为等边三角形，点P从点A出发，沿A→B→C→A做匀速运动，则线段AP的长度y与运动时间x之间的函数关系大致是（　　）

4从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：

①小球在空中经过的路程是40 m；

②小球抛出3 s后，速度越来越快；

③小球抛出3 s时速度为0；

④小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s.

其中正确的是（　　）

A．①④    B．①②    C．②③④    D．②③

5.（2020·连云港中考）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝－0.2x2＋1.5x－2，则最佳加工时间为　　min.

6（2020·益阳中考）某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是　 　元．

7.行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，某种型号汽车“刹车距离”s（m）与刹车时的速度v（km/h）有如下的函数关系：s＝0.002v2－0.01v.试求当刹车时的速度v分别是10 km/h，60 km/h时，“刹车距离”s分别是 　　，　　 .

8某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30－x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为　　元．

9.（2020·仙桃中考）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为　 　元．

10.如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为　　．

11以菱形ABCD的对角线交点O为坐标原点，AC所在的直线为x轴，已知A（－4，0），B（0，－2），M（0，4），P为折线BCD上一动点，作PE⊥y轴于点E，设点P的纵坐标为a.

（1）求BC边所在直线的表达式；

（2）设y＝MP2＋OP2，求y关于a的函数关系式；

（3）当△OPM为直角三角形时，求点P的坐标．

【解答】解：（1）∵A（－4，0），B（0，－2），

12.（2020·百色中考）如图，抛物线的顶点为A（0，2） 且经过点B（2，0），以坐标原点O为圆心的圆半径r＝，OC⊥AB于点C.

（1）求抛物线的表达式； 

（2）求证：直线AB与⊙O相切；

（3）已知点P为抛物线上一动点，线段PO交⊙O于点M，以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长．

答案

第14课时　二次函数的应用

【考点训练】

1.如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m．若水面下降1 m，则水面宽度为（　A　）

A．2 m    B．2 m    C． m    D． m

2.（2019·百色适应性演练）已知矩形的对角线长为5，设矩形面积为S，当S2取最大值时，矩形边长为（　A　）

A．和    B．和

C．3和4    D．和

3.（2019·河池中考）如图，△ABC为等边三角形，点P从点A出发，沿A→B→C→A做匀速运动，则线段AP的长度y与运动时间x之间的函数关系大致是（　B　）

4从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：

①小球在空中经过的路程是40 m；

②小球抛出3 s后，速度越来越快；

③小球抛出3 s时速度为0；

④小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s.

其中正确的是（　D　）

A．①④    B．①②    C．②③④    D．②③

5.（2020·连云港中考）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝－0.2x2＋1.5x－2，则最佳加工时间为　3.75　min.

6（2020·益阳中考）某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是　1 800 　元．

7.行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，某种型号汽车“刹车距离”s（m）与刹车时的速度v（km/h）有如下的函数关系：s＝0.002v2－0.01v.试求当刹车时的速度v分别是10 km/h，60 km/h时，“刹车距离”s分别是 　0.1 m　，　6.6 m　 .

8某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30－x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为　25　元．

9.（2020·仙桃中考）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为　 70　元．

10.如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为　y＝2x2－4x＋4　．

11以菱形ABCD的对角线交点O为坐标原点，AC所在的直线为x轴，已知A（－4，0），B（0，－2），M（0，4），P为折线BCD上一动点，作PE⊥y轴于点E，设点P的纵坐标为a.

（1）求BC边所在直线的表达式；

（2）设y＝MP2＋OP2，求y关于a的函数关系式；

（3）当△OPM为直角三角形时，求点P的坐标．

【解答】解：（1）∵A（－4，0），B（0，－2），

∴OA＝4，OB＝2.

∵四边形ABCD是菱形，

∴OC＝OA＝4，OD＝OB＝2.∴C（4，0），D（0，2）.

设BC边所在直线的表达式为y＝kx－2，则

4k－2＝0，∴k＝.

∴BC边所在直线的表达式为y＝x－2；

（2）由（1）知，C（4，0），D（0，2）.

∴直线CD的表达式为y＝－x＋2.

由（1）知，直线BC的表达式为y＝x－2.

当点P在BC边上时，∵点P的纵坐标为a，

∴P（2a＋4，a）（－2≤a≤0）.

∵M（0，4），∴y＝MP2＋OP2＝（2a＋4）2＋（a－4）2＋（2a＋4）2＋a2＝10a2＋24a＋48；

当点P在CD边上时，∵点P的纵坐标为a，

∴P（4－2a，a）（0＜a≤2）.

∵M（0，4），∴y＝MP2＋OP2＝（4－2a）2＋（a－4）2＋（4－2a）2＋a2＝10a2－40a＋48.

综上所述，y＝

（3）①当点P与点C重合时，∠MOP＝90°，此时点P的坐标为（4，0）；

②当∠OPM＝90°时，点P在CD边上，此时OM2＝MP2＋OP2，

由（2）知，MP2＋OP2＝10a2－40a＋48（0<a<2）.

∵M（0，4），∴OM2＝16.∴10a2－40a＋48＝16.

∴a＝2－或2＋（舍去）.

∴P.

综上所述，点P的坐标为（4，0）或.

12.（2020·百色中考）如图，抛物线的顶点为A（0，2） 且经过点B（2，0），以坐标原点O为圆心的圆半径r＝，OC⊥AB于点C.

（1）求抛物线的表达式； 

（2）求证：直线AB与⊙O相切；

（3）已知点P为抛物线上一动点，线段PO交⊙O于点M，以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长．

（1）解：由抛物线的顶点为A（0，2），

可设抛物线的表达式为y＝ax2＋2.

又抛物线经过点B（2，0），

∴4a＋2＝0.解得a＝－.

∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2；

（2）证明：在Rt△OAB中， OA＝OB＝2，

∴∠OAB＝45°.

∵OC⊥AB，

∴sin ∠OAB＝，即＝.

∴OC＝＝r.

∴直线AB与⊙O相切；

（3）解：∵点P在抛物线y＝－x2＋2上，

∴可设P.

以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，若AC为其对角线，则点M在抛物线顶点A上方，故AC只能为该平行四边形的边．

∴AC＝OM＝，AC∥OM.

此时直线OM与⊙O有两个交点，且与抛物线也有两个交点．

∵点C是AB的中点，∴C（1，1）.

又∵A（0，2），O（0，0），AC OM，

∴M1（1，－1），M2（－1，1）.

设直线OM的表达式为y＝kx，则k＝－1.

∴y＝－x.

令－x2＋2＝－x.

解得 x1＝1＋，x2＝1－.

∴P1（1＋，－1－），P2（1－，－1）.

∴OP1＝＝＝（1＋）＝＋.

∴ P1M1＝OP1－OM1＝＋－＝；

同理可得OP2＝－.

∴ P2M2＝OP2－OM2＝－－＝－2.

综上所述，PM的长是或－2.

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