2021年九年级中考数学复习专题：【三角形综合】培优训练（二）

这是一份2021年九年级中考数学复习专题：【三角形综合】培优训练（二），共14页。

一．选择题
1．判断下列几组数能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．8，10，7B．2，3，4C．12，15，20D．，1，2
2．在下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（ ）
A．一个锐角对应相等
B．两锐角对应相等
C．一条边对应相等
D．一条斜边和另外一条直角边对应相等
3．如图，若AC＝DF，BC＝EF，AD＝BE，∠A＝65°，∠C＝85°，则∠E的度数是（ ）
A．30°B．40°C．65°D．85°
4．如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，DE⊥AC，若CE＝1，则AE＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（ ）
A．SASB．HLC．SSSD．ASA
6．如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
7．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，M是BC边上的动点，过M作MN∥AB交AC于点N，P是MN的中点，当PA平分∠BAC时，BM＝（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（ ）
A．8.5B．15C．17D．34
9．如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，那么，按照图中所标注的数据，图中实线所围成的图形面积为（ ）
A．40.5B．48.5C．50D．52.5
10．如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．给出下列结论：
①BD＝CE；②∠ABD+∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．其中不正确的结论有（ ）个．
A．3B．2C．1D．0
二．填空题
11．已知△ABC的三边长分别是5cm，12cm，13cm，则△ABC的面积是 ．
12．如图，△ABC中，AC＝7，BC＝4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，那么△BCE的周长为 ．
13．如图，DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，若∠BAC＝110°，则∠DAE＝ °．
14．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，CD＝CB，∠ACB＝∠ACD，AE⊥BC于点E，AE交BD于点F，AC＝DF，CE＝5，BE＝12，则AE＝ ．
15．如图，在△ABC中，OA＝4，OB＝3，C点与A点关于直线OB对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是 ．
16．如图，△ABC中，D，E是AB边上两点，且∠A＝∠B＝∠DCE＝45°，若AD＝1，EB＝2，则△CDE与△ADC的面积之比为 ．
三．解答题
17．如图，△ADC中，DB是高，点E是DB上一点，AB＝DB，EB＝CB，M，N分别是AE，CD上的点，且AM＝DN．
（1）求证：△ABE≌△DBC．
（2）探索BM和BN的关系，并证明你的结论．
18．如图，在△ABC中，AB＜AC，边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角∠CAM的平分线于点D，垂足为E，DF⊥AC于点F，DG⊥AM于点G，连接CD．
（1）求证：BG＝CF；
（2）若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG的长．
19．（1）如图①，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B，C，E在一条直线上，连结BD和AE，直线BD，AE相交于点P．则线段BD与AE的数量关系为 ；BD与AE相交构成的锐角的度数为 ．
（2）如图②，点B，C，E不在同一条直线上，其它条件不变，上述的结论是否还成立？请说明理由．
（3）应用：如图③，点B，C，E不在同一条线上，其它条件依然不变，此时恰好有∠AEC＝30°．设直线AE交CD于点Q，请把图形补全．若PQ＝2，则DP＝ ．
20．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D从B点出发，沿射线CB方向以每秒3个单位长度的速度运动，射线MP⊥射线CB，且BM＝10，点Q从M点出发，沿射线MQ方向以每秒a个单位长度的速度运动，已知D，Q两点同时出发，记时间为t．
（1）当t＝10时，△DMQ是等腰三角形，求a的值；
（2）求t为何值时，△DCA为等腰三角形；
（3）若△DMQ与△ABC全等，求a的值．
21．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D是直线AB上一点（点D与点A、B不重合），以CD为直角边作等腰直角三角形DCE，使∠DCE＝90°，连结AE．
（1）如图①，当点D在线段AB上，点E与点A在CD同侧．求证：AE＝BD．
（2）如图②，当点D在AB的延长线上，点E与点A在CD同侧．若AE＝1，AB＝4，则AD＝ ．
（3）如图③，当点D在BA的延长线上，点E与点A在CD的两侧时，直接写出线段AB、AD、AE三者之间的数量关系： ．
22．在平面直角坐标系中，B（2，2），以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）．
（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．
①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；
②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；
（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．
参考答案
一．选择题
1．解：A、82+72≠102，故不能作为直角三角形三边长；
B、22+32≠42，故不能作为直角三角形三边长；
C、122+152≠202，故不能作为直角三角形三边长；
D、（）2+12＝22，故能作为直角三角形三边长；
故选：D．
2．解：A、一个锐角对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
B、两锐角对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
C、一条边对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
D、一条斜边和另外一条直角边对应相等能判定两直角三角形全等，故此选项符合题意；
故选：D．
3．解：∵AD＝BE，
∴AB＝DE，且AC＝DF，BC＝EF，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠A＝∠FDE＝65°，∠C＝∠F＝85°，
∴∠E＝180°﹣∠FDE﹣∠F＝30°，
故选：A．
4．解：∵△ABC是等边三角形，AD为中线，DE⊥AC，
∴∠DAC＝30°，∠C＝60°，∠ADC＝90°，∠DEC＝90°，
∴∠CDE＝30°，
∵CE＝1，
∴CD＝2，
∴AC＝4，
∴AE＝AC﹣CE＝4﹣1＝3，
故选：C．
5．解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：D．
6．解：∵在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，
∴∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∵∠AFB＝90°，EF＝2，
∴AE＝2EF＝4，
∵点E为AD的中点，
∴DE＝AE＝4，
∵∠C＝60°，∠BFC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠EBD＝30°，
∴BE＝2DE＝8，
∴BF＝BE+EF＝8+2＝10，
故选：D．
7．解：作PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，MF⊥AB于F，
由勾股定理得，AB＝＝5，
∵PA平分∠BAC，PD⊥AC，PE⊥AB，
∴PD＝PE，
∵PE⊥AB，MF⊥AB，MN∥AB，
∴四边形PMFE为矩形，
∴PE＝MF，
设PD＝PE＝MF＝3x，
∵∠B＝∠B，∠BFM＝∠BCA，
∴△BMF∽△BAC，
∴＝，即＝，
解得，BM＝5x，
∵PD∥BC，P是MN的中点，
∴BC＝6x+5x＝11x，
由题意得，11x＝4，
解得，x＝，
∴BM＝5x＝，
故选：A．
8．解：∵点O为△ABC的两条角平分线的交点，
∴点O到△ABC各边的距离相等，
而OD⊥BC，OD＝4，
∴点O到△ABC各边的距离为4，
∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，
∴×AB×4+×AC×4+×BC×4＝34，
∴AB+AC+BC＝17，
即△ABC的周长为17．
故选：C．
9．解：∵AE⊥AB，EF⊥AF，BG⊥AG，
∴∠F＝∠AGB＝∠EAB＝90°，
∴∠FEA+∠EAF＝90°，∠EAF+∠BAG＝90°，
∴∠FEA＝∠BAG，
在△FEA和△GAB中
∵，
∴△FEA≌△GAB（AAS），
∴AG＝EF＝6，AF＝BG＝2，
同理CG＝DH＝3，BG＝CH＝2，
∴FH＝2+6+3+2＝13，
∴梯形EFHD的面积是×（EF+DH）×FH＝×（6+3）×13＝，
∴阴影部分的面积是S梯形EFHD﹣S△EFA﹣S△ABC﹣S△DHC
＝﹣×6×2﹣×（6+3）×2﹣×3×2
＝40.5．
故选：A．
10．解：∵∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ECA，故①结论正确，
∴∠ABD+∠ECB＝∠ECA+∠ECB＝∠ACB＝45°，故②结论正确，
∵∠ECB+∠EBC＝∠ABD+∠ECB+∠ABC＝45°+45°＝90°，
∴∠CEB＝90°，即BD⊥CE，故③结论正确，
∴BE2＝BC2﹣EC2＝2AB2﹣（CD2﹣DE2）＝2AB2﹣CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．故④结论正确，
∴不正确的结论有0个．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．解：∵△ABC的三边长分别是5cm，12cm，13cm，
∴52+122＝132，
∴△ABC是直角三角形，直角边为5cm和12cm，
∴△ABC的面积为cm×12cm＝30cm2，
故答案为：30cm2．
12．解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△BCE的周长＝BC+BE+EC＝BC+EA+EC＝BC+AC＝11，
故答案为：11．
13．解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣110°＝70°，
∵DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝70°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝40°，
故答案为：40．
14．解：∵CD＝CB，∠ACB＝∠ACD，CA＝CA，
∴△CAB≌△CAD（SAS），
∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD＝90°，
∴∠DAC＝∠BAC＝45°，
∵CD＝CB，AD＝AB，
∴AC垂直平分线段BD，
∴DG＝BG＝AG，
∵AC＝DF，
∴CG＝GF，设CG＝GF＝x，AG＝BG＝DG＝y．
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝∠BGC＝∠AGF＝90°，
∴∠BCG+∠CBG＝90°，∠BCG+∠FAG＝90°，
∴∠CBG＝∠FAG，∵BG＝AG，
∴△BGC≌△AGF（ASA），
∴AF＝BC＝CE+BE＝5+12＝17，
则有x2+y2＝172①，
由△BEF∽△AGF，可得＝，
∴＝，
∴12×17＝y（y﹣x） ②，
①×12得到：172×12＝12x2+12y2，
②×17得到172×12＝17y2﹣17xy，
∴12x2+12y2＝17y2﹣17xy，
∴12x2+17xy﹣5y2＝0，
∴（3x+5y）（4x﹣y）＝0，
∵3x+5y≠0
∴y＝4x，
∴12×17＝4x×3x，
∴x2＝17，连接CF，可得CF2＝2x2＝34，
∴EF＝＝＝3，
∴AE＝EF+AF＝3+17＝20，
故答案为20．
15．解：∵OA＝8，OB＝6，C点与A点关于直线OB对称，
∴BC＝AB＝＝5，
分为3种情况：
①当PB＝PQ时，
∵C点与A点关于直线OB对称，
∴∠BAO＝∠BCO，
∵∠BPQ＝∠BAO，
∴∠BPQ＝∠BCO，
∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ＝∠BCO+∠CBP，
∴∠APQ＝∠CBP，
在△APQ与△CBP中，
，
∴△APQ≌△CBP（AAS），
∴PA＝BC，
此时OP＝5﹣4＝1；
②当BQ＝BP时，
∠BPQ＝∠BQP，
∵∠BPQ＝∠BAO，
∴∠BAO＝∠BQP，
根据三角形外角性质得：∠BQP＞∠BAO，
∴这种情况不存在；
③当QB＝QP时，
∠QBP＝∠BPQ＝∠BAO，
∴PB＝PA，
设OP＝x，则PB＝PA＝8﹣x
在Rt△OBP中，PB2＝OP2+OB2，
∴（4﹣x）2＝x2+32，
解得：x＝；
∵点P在AC上，
∴点P在点O左边，
此时OP＝．
∴当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是1或．
故答案为：1或．
16．解：∵∠A＝∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝90°，
把△ADC逆时针旋转90°得到△BCF，如图所示：
则CD＝CF，BF＝AD＝1，∠DCF＝90°，∠CBF＝∠A＝45°，
∵∠DCE＝45°，
∴∠FCE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DCE＝∠FCE，
在△DCE和△FCE中，，
∴△DCE≌△FCE（SAS），
∴DE＝FE，
在△BEF中，
∵∠ABC＝45°，∠CBF＝45°，
∴∠EBF＝90°，
∴EF＝＝＝，
∴DE＝，
∴△CDE与△ADC的面积之比＝＝＝；
故答案为：．
三．解答题（共6小题）
17．（1）证明：∵DB是高，
∴∠ABE＝∠DBC＝90°．
在△ABE和△DBC中，，
∴△ABE≌△DBC．
（2）解：BM＝BN，MB⊥BN．
证明如下：
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAM＝∠BDN．
在△ABM 和△DBN 中，
∴△ABM≌△DBN（SAS）．
∴BM＝BN，∠ABM＝∠DBN．
∴∠DBN+∠DBM＝∠ABM+∠DBM＝∠ABD＝90°．
∴MB⊥BN．
18．（1）证明：连接BD，
∵DE垂直平分BC，
∴BD＝CD，
∵AD平分∠CAM，DF⊥AC，DG⊥AM，
∴DG＝DF，
在Rt△BDG和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDG≌Rt△CDF（HL），
∴BG＝CF；
（2）解：在Rt△ADG和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADG≌Rt△ADF（HL），
∴AG＝AF，
∵AC＝AF+CF，BG＝AB+AG，BG＝CF，
∴AC＝AF+AB+AG，
∴AC＝2AG+AB，
∵AB＝10cm，AC＝14cm，
∴AG＝＝2cm．
19．解：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AB＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD＝AE，∠AEC＝∠BDC，
由三角形的外角性质，∠DPE＝∠AEC+∠BDC，
∠DCE＝∠BDC+∠DBC，
∴∠DPE＝∠DCE＝60°；
故答案为：相等，60°；
（2）成立．
证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AB＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD＝AE，∠AEC＝∠BDC，
又∵∠DNA＝∠ENC，
∴∠DPE＝∠DCE＝60°．
（3）补全图形如图③，
由（1）（2）可知△AEC≌△BDC，
∴∠AEC＝∠BDC＝30°，
∵△DEC为等边三角形，
∴∠DEC＝∠EDC＝60°，
∴∠DEP＝∠DEC﹣∠CEP＝60°﹣30°＝30°，
∠PDE＝∠BDC+∠EDC＝60°+30°＝90°，
∴∠DPQ＝60°，
∴∠DQP＝90°，
∵PQ＝2，
∴DP＝2PQ＝2×2＝4．
故答案为：4．
20．解：（1）当t＝10时，DB＝30，
∵BM＝10，
∴DM＝20，
∵△DMQ是等腰三角形，∠DMQ＝90°，
∴DM＝MQ，
即20＝10a，
∴a＝2；
（2）①当AC＝AD时，△DCA为等腰三角形，
∵AB⊥CD，
∴BD＝BC＝3，
∴t＝1，
②当AC＝CD＝5时，△DCA为等腰三角形，
∵BC＝3，
∴BD＝1，
∴t＝，
③当AD＝CD＝3+3t时，△DCA为等腰三角形，
∵∠ABD＝90°，
∴AB2+BD2＝AD2，
即42+（3t）2＝（3+3t）2，
∴t＝，
综上所述：t＝1，，时，△DCA为等腰三角形；
（3）当△DMQ与△ABC全等，
①△DMQ≌△ABC，
∴MQ＝BC＝3，DM＝AB＝4，
∵BM＝10，
∴BD＝6或BD＝14，
∴t＝2或t＝，
∴a＝，a＝；
②△DMQ≌△CBA，
∴DM＝BC＝3，MQ＝AB＝4，
∴BD＝7或13，
∴t＝或，
∴a＝或，
综上所述：当△DMQ与△ABC全等时，a＝，，，．
21．（1）证明：如图①，∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠ACE+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE＝BD；
（2）解：如图②，∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°，
∴∠BCD+∠BCE＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE＝BD，
∴AD＝AB+BD＝AB+AE＝5，
故答案为：5；
（3）解：同（2）的证明方法可得，△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE＝BD，
∴AB+BD＝BD＝AE，
故答案为：AB+AD＝AE．
22．（1）①证明：∵△OAB和△ACD是等边三角形，
∴BO＝AO＝AB，AC＝AD，∠OAB＝∠CAD＝60°，
∴∠BAD＝∠OAC，
在△ABD和△AOC中，，
∴△ABD≌△AOC（SAS），
∴∠ABD＝∠AOC＝90°，
∴AB⊥BD；
②解：存在两种情况：
当点D落在第二象限时，如图1所示：
作BM⊥OA于M，
∵B（2，2），
∴OM＝2，BM＝2，
∵△OAB是等边三角形，
∴AO＝2OM＝4，
同①得：△ABD≌△AOC（SAS），
∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，
若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，
∴OC＝AB＝OA＝4，
∴C（0，﹣4）；
当点D落在第一象限时，如图1﹣1所示：
作BM⊥OA于M，
∵B（2，2），
∴OM＝2，BM＝2，
∵△OAB是等边三角形，
∴AO＝2OM＝4，
同①得：△ABD≌△AOC（SAS），
∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，
若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，
∴OC＝AB＝OA＝4，
∴C（0，4）；
综上所述，若△ABD是等腰三角形，点C的坐标为（0，﹣4）或（0，4）；
（2）解：作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，如图2所示：
∵△OAB是等边三角形，ON'⊥AB，FB是OA边上的中线，
∴AN'＝AB＝2，BF⊥OA，BF平分∠ABO，
∵ON'⊥AB，MN⊥OB，
∴MN＝MN'，
∴N'和N关于BF对称，此时OM+MN的值最小，
∴OM+MN＝OM+MN'＝ON，
∵ON＝＝＝2，
∴OM+MN＝2；
即OM+NM的最小值为2．