2021年九年级中考数学复习专题：【三角形综合】培优训练（一）

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2021年九年级中考数学复习专题：【三角形综合】
培优训练（一）

一．选择题
1．下列四组线段中，能构成直角三角形的是（　　）
A．2cm、4cm、5cm B．15cm、20cm、25cm
C．0.2cm、0.3cm、0.4cm D．1cm、2cm、2.5cm
2．下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（　　）
A．两条直角边对应相等
B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等
D．两个锐角对应相等
3．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠C＝30°，则∠D的度数是（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
4．已知在含有30°角的直角三角形中，斜边长为8cm，则这个三角形的最短边长为（　　）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
5．如图，公园里有一座假山，要测假山两端A，B的距离，先在平地上取一个可直接到达A和B的点C，分别延长AC，BC到D，E，使CD＝CA，CE＝CB，连接DE．这样就可利用三角形全等，通过量出DE的长得到假山两端A，B的距离．其中说明两个三角形全等的依据是（　　）

A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，则BD的长度为（　　）

A． B．2 C． D．3
7．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE＝45°．其中正确结论的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，已知AD为△ABC的高线，AD＝BC，以AB为底边作等腰Rt△ABE，连接ED，EC，延长CE交AD于F点，下列结论：①∠DAE＝∠CBE；②CE⊥DE；③BD＝AF；④△AED为等腰三角形；⑤S△BDE＝S△ACE，其中正确的有（　　）

A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③⑤

二．填空题
11．在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则△ABC的面积为＝　 　．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝26cm，BC的垂直平分线交AB于点D，则点C与点D的距离是　 　cm．

13．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点O．若∠B＝35°，则∠AOC＝　 　°．

14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．AB＝5，AC＝13，BC＝12，∠BAC与∠ACB的角平分线相交于点D，点M、N分别在边AB、BC上，且∠MDN＝45°，连接MN，则△BMN的周长为　 　．

15．如图，在△ABC中，OA＝4，OB＝3，C点与A点关于直线OB对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是　 　．

16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P是BC上的一点，连接AP，作∠APD＝∠B，交AC于点D，且∠PDC＝∠BAP，作AE⊥BC于点E．
（1）∠EAP的大小＝　 　（度）；
（2）已知AP＝6，
①△APC的面积＝　 　；
②AB•PE的值＝　 　．


三．解答题
17．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，作∠EAB＝∠BAD，AE边交CB的延长线于点E，延长AD到点F，使AF＝AE，连结CF．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若∠ACF＝100°，求∠BAD的度数．


18．如图，在△ABC中，AB＜AC，边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角∠CAM的平分线于点D，垂足为E，DF⊥AC于点F，DG⊥AM于点G，连接CD．
（1）求证：BG＝CF；
（2）若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG的长．



19．如图1，△ABC中，CD⊥AB于点D，且BD：AD：CD＝2：3：4．
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC＝90cm2，如图2，动点P从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点Q从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点P运动的时间为t（秒），
①若△DPQ的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点P运动的过程中，△PDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．



20．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10．
（1）如图1，求点C到边AB距离；
（2）点M是AB上一动点．
①如图2，过点M作MN⊥AB交AC于点N，当MN＝CN时，求AM的长；
②如图3，连接CM，当AM为何值时，△BCM为等腰三角形？




21．思维启迪：
（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝100米，那么A，B间的距离是　 　米．
思维探索：
（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A逆时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点M是线段BD的中点，连接MC，ME．
①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：MC与ME的数量关系和位置关系分别是　 　；
②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断MC与ME的数量关系和位置关系，并证明你的结论．




22．在平面直角坐标系中，点C的坐标为（3，3）．
（1）如图1，若点B在x轴正半轴上，点A（1，﹣1），AB＝BC，AB⊥BC，则点B坐标为　 　．
（2）如图2，若点B在x轴负半轴上，CE⊥x轴于点E，CF⊥y轴于点F，∠BFN＝45°，NF交直线CE于点N，若点B（﹣1，0），BN＝5，求点N坐标．
（3）如图3，若点B，F分别在x，y轴的正半轴上，CF＝BF，连接CB，点P、Q是BC上的两点，设∠PFQ＝θ（0°＜θ＜45°），∠BFC＝2∠PFQ，则以线段CP、PQ、BQ长度为边长的三角形的形状为　 　（①钝角三角形 ②直角三角形 ③锐角三角形 ④随线段的长度而定），请选择，并给出证明．


参考答案
一．选择题
1．解：A、∵22+42≠52，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
B、∵152+202＝252，∴此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意；
C、∵0.22+0.32≠0.42，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
D、∵12+22≠2.52，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．解：A、根据SAS定理可知，两条直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
B、根据AAS定理可知，斜边和一锐角对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
C、根据HL定理可知，斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
D、两个锐角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项符合题意；
故选：D．
3．解：在△AOD与△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴∠D＝∠C，
∵∠C＝30°，
∴∠D＝30°，
故选：A．
4．解：在含有30°角的直角三角形中，斜边长为8cm，
∴这个三角形的最短边长为×8＝4（cm）．
故选：B．
5．解：根据题意可得：
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS），
∴AB＝DE，
∴依据是SAS，
故选：D．
6．解：设CD＝x，
∵在△ACB中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝30°，
∴∠B＝∠BAD，
∴AD＝BD，
∵在△ACD中，∠C＝90°，∠CAD＝30°，
∴AD＝2CD＝2x，
即BD＝AD＝2x，
∵BC＝3＝BD+CD＝2x+x，
解得：x＝1，
即BD＝2x＝2，
故选：B．
7．解：过E作EM⊥BC，交FD于点N，
∵DF∥BC，
∴EN⊥DF，
∴EN∥HG，
∴∠DEN＝∠DHG，∠END＝∠HGD，
∴△END∽△HGD，
∴＝，
∵E为HD中点，
∴＝，
∴＝，即HG＝2EN，
∴∠DNM＝∠NMC＝∠C＝90°，
∴四边形NMCD为矩形，
∴MN＝DC＝2，
∵BE平分∠ABC，EA⊥AB，EM⊥BC，
∴EM＝AE＝3，
∴EN＝EM﹣MN＝3﹣2＝1，
则HG＝2EN＝2．
故选：B．

8．解：作DE⊥OB于E，如图，
∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DE⊥OB，
∴DE＝DP＝4，
∴S△ODQ＝×3×4＝6．
故选：D．

9．解：如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，设AD交EF于O．

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴EC＝BD，∠BDA＝∠AEC，故①正确
∵∠DOF＝∠AOE，
∴∠DFO＝∠EAO＝90°，
∴BD⊥EC，故②正确，
∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC，
∴AM＝AN，
∴FA平分∠EFB，
∴∠AFE＝45°，故④正确，
若③成立，则∠EAF＝∠BAF，
∵∠AFE＝∠AFB，
∴∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，推出AB＝AD，由题意知，AB不一定等于AD，
所以AF不一定平分∠CAD，故③错误，
故选：C．
10．解：①∵AD为△ABC的高线，
∴∠CBE+∠ABE+∠BAD＝90°，
∵Rt△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ABE＝∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝45°，AE＝BE，
∴∠CBE+∠BAD＝45°，
∴∠DAE＝∠CBE，
故①正确
②在△DAE和△CBE中，
，
∴△ADE≌△BCE（SAS）；
∴∠EDA＝∠ECB，
∵∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠EDC+∠ECB＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴CE⊥DE；
故②正确；
③∵∠BDE＝∠ADB+∠ADE，∠AFE＝∠ADC+∠ECD，
∴∠BDE＝∠AFE，
∵∠BED+∠BEF＝∠AEF+∠BEF＝90°，
∴∠BED＝∠AEF，
在△AEF和△BED中，
，
∴△AEF≌△BED（AAS），
∴BD＝AF；
故③正确；
④∵AE≠DE，
∴△ADE不是等腰三角形，
⑤∵AD＝BC，BD＝AF，
∴CD＝DF，
∵AD⊥BC，
∴△FDC是等腰直角三角形，
∵DE⊥CE，
∴EF＝CE，
∴S△AEF＝S△ACE，
∵△AEF≌△BED，
∴S△AEF＝S△BED，
∴S△BDE＝S△ACE．
故⑤正确；
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．解：在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，
∴AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴△ABC的面积＝，
故答案为：30．
12．解：连接CD，
∵BC的垂直平分线交AB于点D，
∴DC＝DB，
∴∠DCB＝∠B，
∵∠B+∠A＝90°，∠DCA+∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠DCA，
∴DC＝DA，
∴CD＝AB＝13（cm），
故答案为：13．

13．解：连接BO并延长，点D在BO的延长线上
∵线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点O，
∴OA＝OB，OC＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC，
∴∠AOD＝2∠ABO，∠COD＝2∠CBO，
∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝2（∠ABO+∠CBO）＝70°，
故答案为：70．

14．解：过D点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，如图，
∵DA平分∠BAC，
∴DE＝DH，
同理可得DF＝DH，
∴DE＝DF，
∵∠DEB＝∠B＝∠DFB＝90°，
∴四边形BEDF为正方形，
∴BE＝BF＝DE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△ADH中
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），
∴AE＝AH，
同理可得Rt△CDF≌Rt△CDH（HL），
∴CF＝CH，
设正方形BEDF的边长为x，则AE＝AH＝5﹣x，CF＝CH＝12﹣x，
∵AH+CH＝AC，
∴5﹣x+12﹣x＝13，解得x＝2，
即BE＝2，
在FC上截取FP＝EM，如图，
∵DE＝DF，∠DEM＝∠DFP，EM＝FP，
∴△DEM≌△DFP（SAS），
∴DM＝DP，∠EDM＝∠FDP，
∴∠MDP＝∠EDF＝90°，
∵∠MDN＝45°，
∴∠PDN＝45°，
在△DMN和△DPN中，
，
∴△DMN≌△DPN（SAS），
∴MN＝NP＝NF+FP＝NF+EM，
∴△BMN的周长＝MN+BM+BN＝EM+BM+BN+NF＝BE+BF＝2+2＝4．
故答案为4．

15．解：∵OA＝8，OB＝6，C点与A点关于直线OB对称，
∴BC＝AB＝＝5，
分为3种情况：
①当PB＝PQ时，
∵C点与A点关于直线OB对称，
∴∠BAO＝∠BCO，
∵∠BPQ＝∠BAO，
∴∠BPQ＝∠BCO，
∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ＝∠BCO+∠CBP，
∴∠APQ＝∠CBP，
在△APQ与△CBP中，
，
∴△APQ≌△CBP（AAS），
∴PA＝BC，
此时OP＝5﹣4＝1；
②当BQ＝BP时，
∠BPQ＝∠BQP，
∵∠BPQ＝∠BAO，
∴∠BAO＝∠BQP，
根据三角形外角性质得：∠BQP＞∠BAO，
∴这种情况不存在；
③当QB＝QP时，
∠QBP＝∠BPQ＝∠BAO，
∴PB＝PA，
设OP＝x，则PB＝PA＝8﹣x
在Rt△OBP中，PB2＝OP2+OB2，
∴（4﹣x）2＝x2+32，
解得：x＝；
∵点P在AC上，
∴点P在点O左边，
此时OP＝．
∴当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是1或．
故答案为：1或．
16．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠B+∠BAP+∠APB＝180°，∠APD+∠DPC+∠APB＝180°，∠B＝∠APD，
∴∠BAP＝∠DPC，
∵∠BAP＝∠PDC，
∴∠DPC＝∠PDC，
∵∠C＝45°，
∴∠DPC＝∠PDC＝67.5°，
∵∠B＝∠APD＝45°，∠PDC＝∠APD+∠PAC，
∴∠PAC＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠BAC＝×90°＝45°，
∴∠EAP＝∠EAC﹣∠PAC＝45°﹣22.5°＝22.5°；
故答案为：22.5；
（2）①过点C作CG⊥AP交AP延长线于G，过点B作BH⊥AP于H，过点P作PF⊥AC于F，如图所示：

∴∠BHA＝∠AGC＝90°，
∵∠BAH+∠GAC＝90°，∠ACG+∠GAC＝90°，
∴∠BAH＝∠ACG，
在△ABH和△CAG中，，
∴△ABH≌△CAG（AAS），
∴AH＝CG，
∵∠BAP＝67.5°，∠APB＝180°﹣∠APD﹣∠DPC＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠BAP＝∠APB，
∴AB＝BP，
∵BH⊥AP，
∴AH＝PH＝AP＝×6＝3，
∴CG＝AH＝3，
∴S△APC＝AP•CG＝×6×3＝9，
故答案为：9；
②∵S△APC＝AC•PF，
∴AC•PF＝18，
∵∠EAP＝∠CAP＝22.5°，PF⊥AC，PE⊥AE，
∴PE＝PF，
∵AB＝AC，
∴AB•PE＝AC•PF＝18．
故答案为：18．
三．解答题（共6小题）
17．（1）证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴∠CAD＝∠BAD．
又∵∠EAB＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠EAB．
在△ACF和△ABE中，
，
∴△ACF≌△ABE（SAS）．
∴BE＝CF．
（2）解：∵△ACF≌△ABE．
∴∠ABE＝∠ACF＝100°，
∴∠ABC＝80°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝20°，
∵∠CAD＝∠BAD，
∴∠BAD＝10°．
18．（1）证明：连接BD，

∵DE垂直平分BC，
∴BD＝CD，
∵AD平分∠CAM，DF⊥AC，DG⊥AM，
∴DG＝DF，
在Rt△BDG和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDG≌Rt△CDF（HL），
∴BG＝CF；
（2）解：在Rt△ADG和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADG≌Rt△ADF（HL），
∴AG＝AF，
∵AC＝AF+CF，BG＝AB+AG，BG＝CF，
∴AC＝AF+AB+AG，
∴AC＝2AG+AB，
∵AB＝10cm，AC＝14cm，
∴AG＝＝2cm．
19．解：（1）设BD＝2x，则AD＝3x，CD＝4x，
∴AB＝BD+AD＝5x，
由勾股定理得，AC＝＝5x，
∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形；
（2）∵S△ABC＝90cm2，
∴×5x×4x＝90，
解得，x＝3，
∴BD＝6m，AD＝9m，CD＝12m，
由题意得，BP＝t，AQ＝t，
则AP＝15﹣t，
当DQ∥BC时，∠ADQ＝∠ABC，∠AQD＝∠ACB，
∴∠ADQ＝∠AQD，
∴AQ＝AD＝9，即t＝9，
当PQ∥BC时，∠APQ＝∠ABC，∠AQP＝∠ACB，
∴∠APQ＝∠AQP，
∴AP＝AQ，即15﹣t＝t，
解得，t＝7.5，
综上所述，当△DPQ的边与BC平行，t的值为9或7.5；
（3）在Rt△CDA中，点E是AC的中点，
∴DE＝AC＝AE＝7.5，
∴当点P与点A重合时，△PDE为等腰三角形，此时t＝15，
如图3，当DP＝DE＝7.5时，BP＝BD+DP＝13.5，此时t＝13.5，
如图4，当PD＝PE时，△PDE为等腰三角形，
作EH⊥AB于H，
∵ED＝EA，
∴DH＝DA＝4.5，
设DP＝EP＝x，
由勾股定理得，EH＝＝6，
∴PH＝x﹣6，
在Rt△EHP中，EP2＝EH2+PH2，即x2＝62+（x﹣4.5）2，
解得，x＝，
则BP＝6+＝，
综上所述，当△PDE为等腰三角形时，t的值为15或13.5或．


20．解：（1）如图1，过点C作CD⊥AB于点D，

在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即82+BC2＝102，
解得，BC＝6，
∵，
∴10CD＝6×8，
∴CD＝，
∴点C到边AB的距离为；
（2）①连接BN，如图2所示：

∵MN⊥AB，
∴∠BMN＝90°，
∴∠BMN＝∠ACB＝90°，
在Rt△BCN与Rt△BMN中，

∴Rt△BCN≌Rt△BMN（HL），
∴BC＝BM，
∴AM＝AB﹣BM＝10﹣6＝4，
∴AM的长为4cm；
②当AM为5、4或时，△BCM为等腰三角形．
当BM＝CM时，△BCM为等腰三角形，如图3所示：

∵BM＝CM，
∴∠BCM＝∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠BCM+∠ACM＝90°，
∴∠A＝∠ACM，
∴AM＝CM，
∴AM＝BM＝AB，
∴AM＝5；
当BM＝BC＝6时，△BCM为等腰三角形，如图4所示：

AM＝AB﹣BM＝4；
当BC＝CM＝6时，△BCM为等腰三角形，如图5所示，过点C作CD⊥AB于点D，

在Rt△BDC中，由勾股定理得：
BD2+CD2＝BC2，
∴BD 2+（）2＝62，
∴BD＝，
∵BC＝CM，CD⊥AB，
∴DM＝BD＝，
∴AM＝AB﹣BD﹣DM＝．
21．解：（1）∵CD∥AB，
∴∠C＝∠B，
在△CPD和△BPA中，
，
∴△CPD≌△BPA（ASA），
∴AB＝CD＝100（米），
故答案为：100；
（2）如图2，延长EM交BC于F，
∵∠ACB＝∠AED＝90°，
∴∠ACB＝∠CED＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠MDE＝∠MBF，
在△MED和△MFB中，
，
∴△MED≌△MFB（ASA）
∴EM＝FM，DE＝BF，
∵DE＝AE，
∴EA＝FB，
∵CA＝CB，
∴CA﹣EA＝CB﹣FB，即CE＝CF，
∵EM＝FM，
∴MC＝ME，MC⊥ME，
故答案为：MC＝ME，MC⊥ME；
（3）MC＝ME，MC⊥ME，
理由如下：如图3，延长EM至H，使MH＝EM，连接BH、CE、CH，
在△MDE和△MBH中，
，
∴△MDE≌△MBH（SAS），
∴BH＝DE＝AE，∠MDE＝∠MBH，
∵∠MDE＝135°，∠ABC＝45°，
∴∠CBH＝90°，
在△CAE和△CBH中，
，
∴△CAE≌△CBH（SAS），
∴CE＝CH，
∵ME＝MH，
∴MC＝ME，MC⊥ME．


22．解：（1）如图1，过点C作CD⊥OB于D，过点A作AH⊥OB于H，

∵点C的坐标为（3，3），点A（1，﹣1），
∴CD＝OD＝3，OH＝AH＝1，
∵AB⊥BC，CD⊥OB，AH⊥OB，
∴∠ABC＝∠AHB＝∠CDB＝90°，
∴∠ABH+∠CBD＝∠ABH+∠HAB＝90°，
∴∠CBD＝∠HAB，
又∵AB＝BC，
∴△ABH≌△BCD（AAS），
∴BD＝AH＝1，
∴BO＝4，
∴点B（4，0），
故答案为：（4，0）；
（2）∵点C的坐标为（3，3），点B（﹣1，0），
∴CE＝CF＝OE＝3，BO＝1，
∴BE＝4，
∴EN＝＝＝3，
∴点N（3，﹣3）；
（3）如图3，将△CPF绕点F顺时针旋转2θ，得到△BGF，

∴△CPF≌△BGF，
∴FG＝FP，BG＝CP，∠CFP＝∠BFG，∠C＝∠FBG，
∵∠BFC＝2∠PFQ，
∴∠CPF+∠BFQ＝∠PFQ，
∴∠BFG+∠BFQ＝∠PFQ，
又∵FG＝PF，FQ＝FQ，
∴△PFQ≌△GFQ（SAS），
∴GQ＝PQ，
∴以线段CP、PQ、BQ长度为边长的三角形就是以线段BQ，GQ，GB长度为边长的△BGQ，
∵∠PFQ＝θ（0°＜θ＜45°），
∴∠BFC＝2∠PFQ＜90°，
∴∠C+∠FBC＞90°，
∴∠GBF+∠FBC＞90°，
∴△BGQ是钝角三角形，
∴以线段CP、PQ、BQ长度为边长的三角形是钝角三角形，
故答案为①．