2022年北师大版九年级数学中考复习《特殊三角形》综合专题训练+

这是一份2022年北师大版九年级数学中考复习《特殊三角形》综合专题训练+，共29页。试卷主要包含了如图，已知A个，如图，已知点A，在平面直角坐标系中有两点A等内容，欢迎下载使用。
2022年春北师大版九年级数学中考复习《特殊三角形》综合专题训练（附答案）
一．选择题
1．如图，已知A（2，6）、B（8，﹣2），C为坐标轴上一点，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（　　）个．

A．6 B．7 C．8 D．9
2．如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝5，点P为AB边上一动点，连接PC、PD，若△PCD为直角三角形，则满足条件的点P有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，要使△ABC为直角三角形，需满足的条件可以是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．a：b：c＝2：3：4
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝4：5：6
4．如图，已知点A（﹣6，0），B（2，0），点C在直线上，则使△ABC是直角三角形的点C的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
5．在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C有（　　）
A．6个 B．8个 C．9个 D．10个
二．填空题
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分别是边AC，BC上的两动点，将△CDE沿着直线DE翻折，点C的对应点为F，若点F落在AB边上，使△BEF为直角三角形，则BF的长度为　 　．

7．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，AD＝8，E为AB边上一点，将△BEC沿CE翻折，点B落在点F处，当△AEF为直角三角形时，AE＝　 　．

8．如图，长方形ABCD中，点E是边AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，点A落在点F处，连接CF，AB＝10，BC＝8，若△DFC是等腰三角形，则AE＝　 　．

9．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，M为边AB的中点，N为边BC上一动点（不与点B重合），将△BMN沿直线MN折叠，使点B落在点E处，连接DE、CE，当△CDE为等腰三角形时，BN的长为　 　．

10．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在y轴正半轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足条件的点P的坐标为 　 　．

三．解答题
11．如图，请在所给网格中按下列要求操作：
（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（0，2），B点坐标为（﹣2，0）；
（2）在y轴上画点C，使△ABC为直角三角形，请画出所有符合条件的点C，并直接写出相应的C点坐标．

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为A（0，2），B（8，8），点C（m，0）为x轴正半轴上一个动点．
（1）当m＝4时，写出线段AC＝　 　，BC＝　 　．
（2）求△ABC的面积．（用含m的代数式表示）
（3）当点C在运动时，是否存在点C使△ABC为直角三角形，如果存在，请求出这个三角形的面积；如果不存在，请说明理由．

13．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴相交于点C，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点C的距离之和最短时，求点P的坐标；
（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．

14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的对称轴为经过点（1，0）的直线，其图象与x轴交于点A、B，且过点C（0，﹣3），其顶点为D．
（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）在y轴上找一点P（点P与点C不重合），使得∠APD＝90°，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将△APD沿直线AD翻折得到△AQD，求点Q的坐标．

15．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0）、B（﹣4，0）两点，交y轴于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在第二象限的抛物线上，是否存在点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

16．如图，在平面直角坐标系中，△ABO为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为（3，1）．
（1）求点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，求出点P的坐标；
（3）在第四象限是否存在一点M，使得以点O，A，M为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．


17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，点F是AB延长线上一点，CB平分∠FCD．
（1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BE：CE＝1：2，求FC的长．

18．如图1，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，直线AD交y轴于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2，将△AOE沿直线AD平移得到△NMP．
①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标．
②在△NMP移动过程中，存在点M使△MBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．

19．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），点B的坐标（﹣2，0），点O为原点．
（1）求过点A，O，B的抛物线解析式；
（2）在x轴上找一点C，使△ABC为直角三角形，请直接写出满足条件的点C的坐标；
（3）将原点O绕点B逆时针旋转120°后得点O′，判断点O′是否在抛物线上，请说明理由；
（4）在x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点E，线段OE把△AOB分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形BPOE面积比为2：3，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

20．如图，顶点为A（﹣4，4）的二次函数图象经过原点（0，0），点P在该图象上，OP交其对称轴l于点M，点M、N关于点A对称，连接PN，ON．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点P的坐标是（﹣6，3），求△OPN的面积；
（3）当点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：
①求证：∠PNM＝∠ONM；
②若△OPN为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．


参考答案
一．选择题
1．解：分三种情况考虑：
①当A为直角顶点时，过A作AC⊥AB，交x轴于点C1，交y轴于点C2，此时满足题意的点为C1，C2；
②当B为直角顶点时，过B作BC⊥AB，交x轴于点C3，交y轴于点C4，此时满足题意的点为C3，C4；
③当C为直角顶点时，以AB为直径作圆，由A（2，6）、B（8，﹣2），可得此圆与y轴相切，
则此圆与y轴有1个交点，与x轴有2个交点，分别为C5，C6，C7．
综上，所有满足题意的C有7个．
故选：B．

2．解：过点D作DE⊥BC于点E，
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴DE＝AB＝4，BE＝AD＝2，
∴CE＝BC﹣BE＝3，
∴CD＝5；
①当∠CPD＝90°时，
则∠APD+∠BPC＝90°，
∵∠APD+∠ADP＝90°，
∴∠ADP＝∠BPC，
∵AD∥BC，∠BAD＝90°，
∴∠B＝∠A＝90°，
∴△APD∽△BCP，
∴，
设AP＝x，
则BP＝AB﹣AP＝4﹣x，
则，
此时无解；
②若∠PDC＝90°，
则PD2＝AD2+AP2＝4+x2，PC2＝PB2+BC2＝25+（4﹣x）2，
∵CD2+PD2＝PC2，
∴4+x2+25＝25+（4﹣x）2，
解得：x＝1.5．
故选：A．

3．解：由∠A：∠B：∠C＝1：2：3可设∠A＝x°，则∠B＝2x°，∠C＝3x°，
由三角形的内角和定理可得x+2x+3x＝180，
解得：x＝30，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
所以△ABC是直角三角形，
故选：A．
4．解：如图，

①当∠A为直角时，过点A作垂线与直线的交点W（﹣6，4），
②当∠B为直角时，过点B作垂线与直线的交点S（2，），
③若∠C为直角，
则点C在以线段AB为直径、AB中点E（﹣2，0）为圆心、4为半径的圆与直线的交点上．
在直线中，当x＝0时y＝2，即Q（0，2），
当y＝0时x＝6，即点P（6，0），
则PQ＝＝4，
过AB中点E（﹣2，0），作EF⊥直线l于点F，
则∠EFP＝∠QOP＝90°，
∵∠EPF＝∠QPO，
∴△EFP∽△QOP，
∴＝，即＝，
解得：EF＝4，
∴以线段AB为直径、E（﹣2，0）为圆心的圆与直线恰好有一个交点．
所以直线上有一点C满足∠ACB＝90°．
综上所述，使△ABC是直角三角形的点C的个数为3，
故选：C．
5．解：由题意可知：以AC、AB为腰的三角形有4个；
以AC、BC为腰的三角形有1个；
以BC、AB为腰的三角形有4个．
故选：C．
二．填空题
6．解：如图，当∠EFB＝90°时，

∵将△CDE沿着直线DE翻折，
∴AC＝AF＝6，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴BF＝AB﹣AF＝10﹣6＝4，
当∠FEB＝90°时，

设EF＝CE＝x，则BE＝8﹣x，
∵FE⊥BC，AC⊥BC，
∴EF∥AC，
∴△FEB∽△ACB，
∴，
∴，
∴x＝，
∴BE＝，
∴BF＝＝．
故答案为：或4．
7．解：①如图，若∠AEF＝90°，

∵∠B＝∠BCD＝90°＝∠AEF，
∴四边形BCFE是矩形，
∵将△BEC沿着CE翻折，
∴CB＝CF，
∴四边形BCFE是正方形，
∴BE＝BC＝AD＝8，
∴AE＝AB﹣BE＝15﹣8＝7；
②如图，若∠AFE＝90°，

∵将△BEC沿着CE翻折，
∴CB＝CF＝8，∠B＝∠EFC＝90°，BE＝EF，
∵∠AFE+∠EFC＝180°，
∴点A，点F，点C三点共线，
∴AC＝＝＝17，
∴AF＝AC﹣CF＝9，
∵AE2＝AF2+EF2，
∴AE2＝81+（15﹣AE）2，
∴AE＝，
③若∠EAF＝90°，
∵CD＝15＞CF＝BC＝8，
∴点F不可能落在直线AD上，
∴不存在∠EAF＝90°，
综上所述：AE＝7或．
故答案为：7或．
8．解：由翻折可得△AED≌△FED，
∴AD＝DF，AE＝EF，
∵AB＝10，BC＝8，
∴AD＝DF＝8，CD＝10，
∵△DFC是等腰三角形，
①当CD＝CF＝10时，如图1，
过点F作MN∥AD交AB于M，交CD于N，作CG⊥DF交DF于G，
∴DG＝FG＝4，
∴CG＝2，
∴×DF×CG＝×CD×FN，
∴8×2＝10FN，
∴FN＝，
∴MF＝8﹣，
在Rt△DFN中，DN＝，
∴EM＝﹣AE，
在Rt△EMF中，EF2＝EM2+MF2，
∴AE2＝（﹣AE）2+（8﹣）2，
∴AE＝20﹣4；
②当DF＝CF＝8时，如图2，
过点F作MN∥AD交AB于M，交CD于N，
∵FN⊥CD，
∴DN＝CD＝5，
∴FN＝，
∴MF＝8﹣，
∵AM＝DN＝5，
∴EM＝5﹣AE，
在Rt△EFM中，EF2＝EM2+MF2，
∴AE2＝（5﹣AE）2+（8﹣）2，
∴AE＝﹣；
综上所述：若△DFC是等腰三角形，AE为20﹣4或﹣；
故答案为：20﹣4或﹣．

9．解：分两种情况：
①当DE＝DC时，连接DM，作DG⊥BC于G，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD＝BC＝2，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DCG＝∠B＝60°，∠A＝120°，
∴DE＝AD＝2，
∵DG⊥BC，
∴∠CDG＝90°﹣60°＝30°，
∴CG＝CD＝1，
∴DG＝CG＝，BG＝BC+CG＝3，
∵M为AB的中点，
∴AM＝BM＝1，
由折叠的性质得：EN＝BN，EM＝BM＝AM，∠MEN＝∠B＝60°，
在△ADM和△EDM中，，
∴△ADM≌△EDM（SSS），
∴∠A＝∠DEM＝120°，
∴∠MEN+∠DEM＝180°，
∴D、E、N三点共线，
设BN＝EN＝x，则GN＝3﹣x，DN＝x+2，
在Rt△DGN中，由勾股定理得：（3﹣x）2+（）2＝（x+2）2，
解得：x＝，即BN＝；
②当CE＝CD时，CE＝CD＝AD，此时点E与A重合，N与点C重合，如图2所示：
CE＝CD＝DE＝DA，△CDE是等边三角形，BN＝BC＝2（含CE＝DE这种情况）；
综上所述，当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为或2；
故答案为：或2．

10．解：如图，过B作BP⊥AB，交y轴于P，过B作BD⊥CP于D，则∠ABP＝90°，BD＝1，

∵点A（﹣1，0）和点B（1，2），
∴直线AB的表达式为y＝x+1，
令x＝0，则y＝1，
∴C（0，1），即OC＝1＝OA，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO＝45°＝∠BCP，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴CP＝2BD＝2，
∴OP＝1+2＝3，
∴P（0，3）；
如图，当∠APB＝90°时，△ABP是直角三角形，

∵点A（﹣1，0），点B（1，2），点C（0，1），
∴C为AB的中点，AB＝2，
∴CP＝AB＝，
∴OP＝1+，
∴P（0，1+），
综上所述，点P的坐标为（0，3）或（0，1+）．
故答案为：（0，3）或（0，1+）．
三．解答题
11．解：（1）如图所示：

（2）满足条件的点有2个，C（0，﹣2）或（0，0）．
12．解：（1）如图，过点B作BE⊥x轴于E，

∵点A（0，2），点B（8，8），点C（4，0）
∴BE＝8，OE＝8，AO＝2，OC＝4，
∴CE＝4，
∴AC＝＝＝2，BC＝＝4，
故答案为：2，4；
（2）当点C在OE上时，
∵点A（0，2），点B（8，8），点C（m，0）
∴BE＝8，OE＝8，AO＝2，OC＝m，
∴S△ABC＝×（AO+BE）×OE﹣×AO×OC﹣×BE×CE，
∴S△ABC＝×（2+8）×8﹣×2×m﹣×8×（8﹣m）＝8+3m；
当点C在线段OE的延长线上时，
∵S△ABC＝×（AO+BE）×OE+×BE×CE﹣×AO×OC
∴S△ABC＝×（2+8）×8+×8×（m﹣8）﹣×2×m＝3m+8，
综上所述：S△ABC＝3m+8；
（3）当∠BAC＝90°时，BC2＝AB2+AC2，
则64+（8﹣m）2＝64+（8﹣2）2+4+m2，
解得m＝，
∴S△ABC＝3×+8＝；
当∠ACB＝90°时，AB2＝AC2+BC2，
则64+（8﹣2）2＝4+m2+64+（8﹣m）2，
解得m＝4，
∴S△ABC＝3×4+8＝20；
当∠ABC＝90°时，AC2＝AB2+BC2，
则4+m2＝64+（8﹣2）2+64+（8﹣m）2，
解得m＝14，
∴S△ABC＝3×14+8＝50；
综上所述：存在m的值为或4或14，使△ABC为直角三角形，面积为或20或50．
13．解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
（2）如图1，∵点A，B关于直线l对称，
∴连接BC交直线l于点P，
由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴直线l：x＝1，C（0，﹣3），
∵B（3，0），
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
当x＝1时，y＝﹣2，
∴P（1，﹣2），
（3）设点M（1，m），
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴AC2＝10，AM2＝m2+4，CM2＝（m+3）2+1＝m2+6m+10，
∵△MAC为直角三角形，
∴当∠ACM＝90°时，∴AC2+CM2＝AM2，
∴10+m2+6m+10＝m2+4，
∴m＝﹣，
∴M（1，﹣）
当∠CAM＝90°时，∴AC2+AM2＝CM2，
∴10+m2+4＝m2+6m+10，
∴m＝，
∴M（1，）
当∠AMC＝90°时，AM2+CM2＝AC2，
∴m2+4+m2+6m+10＝10，
∴m＝﹣1或m＝﹣2，
∴M（1，﹣1）或（1，﹣2），
即：满足条件的点M的坐标为（1，﹣）或（1，）或（1，﹣1）或（1，﹣2）．

14．解：（1）由题意得二次函数图象的对称轴x＝1，则﹣＝1，b＝﹣2．
又二次过点C（0，﹣3），
∴﹣3＝c，c＝﹣3．
即二次函数解析式为：y＝x2﹣2x﹣3
由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，得
顶点坐标D为：（1，﹣4）；
（2）（2）解法一：设P（0，m）
由题意，得PA＝，PD＝，AD＝2，
∵∠APD＝90°，∴PA2+PD2＝AD2，即（）2+（）2＝（2 ）2
解得m1＝﹣1，m2＝﹣3（不合题意，舍去）．
∴P（0，﹣1）；
解法二：
如图，作DE⊥y轴，垂足为点E，
则由题意，得 DE＝1，OE＝4…（1分）
由∠APD＝90°，得∠APO+∠DPE＝90°，
由∠AOP＝90°，得∠APO+∠OAP＝90°，
∴∠OAP＝∠EPD
又∠AOP＝∠OED＝90°，
∴△OAP∽△EPD
∴＝，
设OP＝m，PE＝4﹣m
则＝，
解得m1＝1，m2＝3（不合题意，舍去），
∴P（0，﹣1）；
（3）解法一：
如图，作QH⊥x轴，垂足为点H，易得PA＝AQ＝PD＝QD＝，∠PAQ＝90°，
∴四边形APDQ为正方形．
由∠QAP＝90°，得∠HAQ+∠OAP＝90°，由∠AOP＝90°，得∠APO+∠OAP＝90°，
∴∠OPA＝∠HAQ，又∠AOP＝∠AHQ＝90°，PA＝QA
∴△AOP≌△AHQ，
∴AH＝OP＝1，QH＝OA＝3．
∴Q（4，﹣3）；
解法二：
设Q（m，n），
则AQ＝＝，QD＝＝，
解得，（不合题意，舍去），
∴Q（4，﹣3）．

15．解：（1）将A（2，0）、B（﹣4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，解得，
∴y＝﹣x2﹣2x+8；
（2）存在，理由如下：
如图1，过点P作PF⊥x轴交BC于点F，
设BC的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴y＝2x+8，
设P（t，﹣t2﹣2t+8），则F（t，2t+8），
∴PF＝﹣t2﹣4t，
∴S△PBC＝×4×（﹣t2﹣4t）＝﹣2（t+2）2+8，
∴当t＝﹣2时，S△PBC的面积有最大值8，
此时P（﹣2，8）；
（3）存在，理由如下：
令x＝0，则y＝8，
∴C（0，8），
∴OC＝8，
∵A（2，0），
∴AO＝2，
设Q（﹣1，m），
①如图2，当∠CAQ＝90°时，
过点Q作QG⊥x轴交于点G，
∵∠CAO+∠GAQ＝90°，∠CAO+∠OCA＝90°，
∴∠GAQ＝∠ACO，
∵tan∠OCA＝，
∴＝＝，
∴m＝﹣，
∴Q（﹣1，﹣）；
②如图3，当∠ACQ＝90°时，
过点Q作QH⊥y轴交于点H，
∵∠QCH+∠OCA＝90°，∠QCH+∠CQH＝90°，
∴∠OCA＝∠CQH，
∵tan∠OCA＝，
∴＝＝，
∴m＝，
∴Q（﹣1，）；
③如图4，当∠CQA＝90°时，
∵A（2，0），C（0，8），
∴AC＝2，AC的中点N（1，4），
∴QN＝，
∴＝，
∴m＝4+或m＝4﹣，
∴Q（﹣1，4+）或Q（﹣1，4﹣）；
综上所述：Q点坐标为（﹣1，﹣）或（﹣1，）或（﹣1，4+）或（﹣1，4﹣）．


16．解：（1）过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵点A的坐标为（3，1），
∴OC＝3，AC＝1，
又∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°，
∴∠OAC+∠AOC＝90°，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝∠BOD，
又∵AO＝BO，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴OC＝BD＝3，AC＝OD＝1，
∴点B的坐标为（﹣1，3）；
（2）如图2，作点B关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点P，连接BP，
由对称性可知BP＝B'P，
∴AP+BP＝AP+B'P≥AB'，
∴当A、B'、P三点共线时PA+PB的值最小，
连接BB'交x轴于点E，则E（﹣1，0），
∵点B与B'关于x轴对称，
∴点B'的坐标为（﹣1，﹣3），
设直线AB'的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣2，
∴P（2，0）；
（3）存在一点M，使得以点O，A，M为顶点的三角形是等腰直角三角形，理由如下：
①当∠AOM＝90°时，AO＝OM，
如图3，过点A作AF⊥y轴交于点F，过点M作ME⊥y轴交于点E，
∵∠FOA+∠FAO＝90°，∠FOA+∠EOM＝90°，
∴∠FAO＝∠EOM，
∵AO＝OM，
∴△FAO≌△EOM（AAS），
∴OF＝EM，OE＝FA，
∵A（3，1），
∴AF＝3，OF＝1，
∴M（1，﹣3）；
②如图4，当∠OAM＝90°时，OA＝AM，
过点A作AF⊥y轴交于F点，过点M作MG⊥AF交于点G，
∵∠FAO+∠FOA＝90°，∠FAO+∠GAM＝90°，
∴∠AFO＝∠GAM，
∴△FAO≌△GMA（AAS），
∴AF＝GM，OF＝AF，
∵A（3，1），
∴AF＝3，OF＝1，
∴M（4，﹣2）；
③如图5，当∠OMA＝90°时，OM＝AM，
过点M作MQ⊥y轴交于Q点，过点A作AP⊥QM交于P点，
∵∠OMQ+∠QOM＝90°，∠OMQ+∠AM＝90°，
∴∠QOM＝∠AMP，
∴△OQM≌△MPA（AAS），
∴OQ＝MP，QM＝AP，
∵A（3，1），
∴QM+MP＝3，1+QO＝QM，
∴1+QO+OQ＝3，
∴QO＝1，
∴M（2，﹣1）；
综上所述：M点坐标为（1，﹣3）或（4，﹣2）或（2，﹣1）．


17．（1）证明：如图，连接OC，AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠OCB+∠OCA＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠OCB+∠OAC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCE+∠OBC＝90°，
∵∠OAC+∠OBC＝90°，
∴∠OAC＝∠BCE，
∵CB平分∠FCD，
∴∠BCF＝∠BCE，
∴∠OAC＝∠BCF，
∴∠OCB+∠BCF＝90°，
∴OC⊥CF，
∴FC是⊙O的切线；
（2）解∵∠BEC＝∠BCA＝90°，∠CBE＝∠ABC，
∴△BCE∽△BAC，
∴＝＝，
设BC＝x（x＞0），则AC＝2x，
在Rt△ABC中，∵BC2+AC2＝AB2，
∴x2+（2x）2＝102，
解得：x＝2，
∴BC＝2，
∵BE：CE＝1：2，
∴CE＝2BE，
在Rt△BCE中，∵BE2+CE2＝BC2，
∴BE2+（2BE）2＝（2）2，
解得：BE＝2，
∴CE＝4，OE＝3，
∵∠OEC＝∠OCF＝90°，∠COE＝∠FOC，
∴△OCE∽△OFC，
∴＝，即＝，
∴CF＝．

18．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣6）＝a（x2﹣4x﹣12）＝ax2﹣4ax﹣12a，
即：﹣12a＝6，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6，
令y＝0，解得：x＝4或﹣2，故点A（﹣2，0），
函数的对称轴为：x＝2，故点D（2，8）；
（2）由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝2x+4，
设点N（n，2n+4），
∵MN＝OA＝2，则点M（n+2，2n+4），
①将点M的坐标代入抛物线表达式得：2n+4＝﹣（n+2）2+2（n+2）+6，
解得：n＝﹣2±2，
故点M的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）；
②点M（n+2，2n+4），点B、D的坐标分别为（6，0）、（2，8），
则BD2＝（6﹣2）2+82，MB2＝（n﹣4）2+（2n+4）2，MD2＝n2+（2n﹣4）2，
当∠BMD为直角时，
由勾股定理得：（6﹣2）2+82＝（n﹣4）2+（2n+4）2+n2+（2n﹣4）2，
解得：n＝；
当∠MBD为直角时，
同理可得：n＝﹣4，
当∠MDB为直角时，
同理可得：n＝，
故点M的坐标为：（﹣2，﹣4）或（，）或（，）或（，）．
19．解：（1）设y＝ax2+bx+c，根据题意得
，
解得，
所以y＝x2+x．
（2）C（1，0）或C（2，0）
（3）由题意得O′（﹣3，），将O′（﹣3，）代入y＝x2+x，左边＝右边
∴点O′在函数图象上．
（4）点P坐标为（﹣，﹣）．
∵A的坐标为（1，），点B的坐标（﹣2，0），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有

解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝x+
假设存在这样的点P，它的横坐标为h，则点P坐标为（h，h2+h），
点E坐标为（h，h+），分两种情况：
①△OBE的面积：四边形BPOE面积＝2：3，
则[×2×（h+）]：[×2×（h+）+×2×（﹣h2﹣h）]＝2：3，
解得h＝﹣，此时点P坐标为（﹣，﹣）；
②△AOE的面积：四边形BPOE面积＝2：3，
则[﹣×2×（h+）]：[×2×（h+）+×2×（﹣h2﹣h）]＝2：3，
解得：h＝﹣，或h＝﹣2（不合题意，舍去），
此时点P坐标为（﹣，﹣）．
综上所述：点P坐标为（﹣，﹣）．

20．（1）解：设二次函数的表达式为y＝a（x+4）2+4，
把点（0，0）代入表达式，解得．
∴二次函数的表达式为，
即；
（2）解：设直线OP为y＝kx（k≠0），
将P（﹣6，3）代入y＝kx，解得，
∴．
当x＝﹣4时，y＝2．
∴M（﹣4，2）．
∵点M、N关于点A对称，
∴N（﹣4，6）．
∴MN＝4．
∴S△PON＝S△OMN+S△PMN＝12；
（3）①证明：设点P的坐标为，
其中t＜﹣4，
设直线OP为y＝k′x（k′≠0），
将P代入y＝k′x，解得．
∴．
当x＝﹣4时，y＝t+8．
∴M（﹣4，t+8）．
∴AN＝AM＝4﹣（t+8）＝﹣t﹣4．
设对称轴l交x轴于点B，作PC⊥l于点C，
则B（﹣4，0），C．
∴OB＝4，NB＝4+（﹣t﹣4）＝﹣t，PC＝﹣4﹣t，
NC＝＝．
则，．
∴．
又∵∠NCP＝∠NBO＝90°，
∴△NCP∽△NBO．
∴∠PNM＝∠ONM．
②△OPN能为直角三角形，理由如下：
解：分三种情况考虑：
（i）若∠ONP为直角，由①得：∠PNM＝∠ONM＝45°，
∴△PCN为等腰直角三角形，
∴CP＝NC，即m﹣4＝m2﹣m，
整理得：m2﹣8m+16＝0，即（m﹣4）2＝0，
解得：m＝4，
此时点A与点P重合，故不存在P点使△OPN为直角三角形；
（ii）若∠PON为直角，根据勾股定理得：OP2+ON2＝PN2，
∵OP2＝m2+（﹣m2﹣2m）2，ON2＝42+m2，AN2＝（m﹣4）2+（﹣m2﹣2m+m）2，
∴m2+（﹣m2﹣2m）2+42+m2＝（m﹣4）2+（﹣m2﹣2m+m）2，
整理得：m（m2﹣8m﹣16）＝0，
解得：m＝0或m＝﹣4﹣4或﹣4+4（舍去），
当m＝0时，P点与原点重合，故∠PON不能为直角，
当m＝﹣4﹣4，即P（﹣4﹣4，4）时，N为第四象限点，成立，故∠PON能为直角；
（iii）若∠NPO为直角，可得∠NPM＝∠OBM＝90°，且∠PMN＝∠BMO，
∴△PMN∽△BMO，
又∵∠MPN＝∠OBN＝90°，且∠PNM＝∠OND，
∴△PMN∽△BON，
∴△PMN∽△BMO∽△BON，
∴＝，即＝，
整理得：（m﹣4）2＝0，
解得：m＝4，
此时A与P重合，故∠NPO不能为直角，
综上，点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，△OPN能为直角三角形，当m＝4+4，即P（）时，N为第四象限的点成立．