初中数学中考复习 2020年中考数学专题复习二次函数与图形综合培优

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题型一：坐标系中（函数图象上）动点产生三角形问题
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坐标系中（函数图象上）动点产生三角形的问题我们主要讲解3类：①因动点产生的等腰三角形问题②因动点产生的直角三角形问题③因动点产生的相似三角形问题.
一、方法与技巧：已知线段和直线，在直线上找点，使为等腰三角形．

几何法：①分别以点、为圆心，为半径作圆，找点，，，．（检验）
②作线段的垂直平分线，找点．（检验）
代数法：设点的坐标为，求出、、的长度，分类讨论：
①；②；③．求出点．（检验）
二、方法与技巧：已知线段和直线，在直线上找点，使为直角三角形．
几何法：①分别过点、作线段的垂线，找点，．（检验）
②以线段为直径作圆，利用直径所对的圆周角为，找点，．（检验）
代数法：设点的坐标为，求出、、的长度，分类讨论：
①；②；③.
求出点．（检验）
三、方法与技巧：以点、、为顶点的三角形和相似．
根据“两组角对应相等，两三角形相似．”进行分类讨论：
①，②，
③，④，
⑤，⑥.（检验）
典题精练
已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴交于点．
= 1 \* GB2 ⑴ 求此二次函数关系式和点的坐标；
= 2 \* GB2 ⑵ 在轴的正半轴上是否存在点．使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】⑴ 把点代入二次函数有：
得：
所以二次函数的关系式为：．
当时，
∴点的坐标为．
⑵ 如图：
作的垂直平分线交轴于点，连接，
则：
设，则，
在直角中，
即：
解得：
∴
所以点的坐标为：
可以把“是以为底边的等腰三角形”拓展为“是等腰三角形”.
在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数的图象交于点和点．
⑴当时，求反比例函数的解析式；
⑵要使反比例函数和二次函数都是随着的增大而增大，求应满足的条件以及的取值范围；
⑶设二次函数的图象的顶点为，当是以为斜边的直角三角形时，求的值．
【解析】⑴当时，，
∵在反比例函数图象上，
∴设反比例函数的解析式为：，
代入得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为：，
⑵∵要使反比例函数和二次函数都是随着的增大而增大，
∴，
∵二次函数，的对称轴为：直线，
要使二次函数满足上述条件，在的情况，必须在对称轴左边，
即时，才能使得随着的增大而增大，
∴综上所述，且；
⑶由⑵可得：，
∵是以为斜边的直角三角形，点与点关于原点对称，（如图是其中的一种情况）
∴原点平分，∴，作，，
∴，
∵，
∴，
解得：．
如图，在矩形中，，，沿直线折叠矩形的一边，使点B落在边上的点E处．分别以，所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线经过O，D，C三点．
⑴求的长及抛物线的解析式；
⑵一动点P从点E出发，沿以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？
【解析】⑴∵四边形为矩形，
∴，
，．
由题意得，．
∴，，．
由勾股定理易得．∴．
设，则，
由勾股定理，得．
解之得，，∴．
∵抛物线过点，∴．
∵抛物线过点，，
∴．解之得．
∴抛物线的解析式为：．
⑵∵，，
∴．
由⑴可得，，．
而，，∴．
当时，，
∴，即，解得．
当时，，
∴，即，解得．
∴当或时，以，，为顶点的三角形与相似．
题型二：坐标系中（函数图象上）动点产生四边形问题
思路导航
坐标系中（函数图象上）动点产生四边形问题：主要讲解两类问题：⑴因动点产生的平行四边形问题 ⑵因动点产生的梯形问题.
⑴因动点产生的平行四边形问题的方法与技巧：
已知以点、点为顶点的四边形为平行四边形，寻找平行四边形的另外两个顶点．
①为边：平移型，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形．
②为对角线：旋转型，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形．
⑵因动点产生的梯形问题的方法与技巧：
如图，已知和直线，在直线上找点，使以点、、、为顶点的四边形为梯形．
①分别过点、、作、、的平行线与直线相交．
②检验以点、、、为顶点的四边形是否为平行四边形．
典题精练
在平面直角坐标系中，以点为圆心、半径为的圆与轴相交于点、（点在点的左边），与轴相交于点、（点在点的下方）．
⑴求以直线为对称轴，且经过点、的抛物线的解析式；
⑵若为这条抛物线对称轴上的点，则在抛物线上是否存在这样的点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
⑴如图，∵圆以点为圆心，半径为5，
∴此圆与轴交于点，．
连接OD在中，，
∵，，∴．∴点的坐标为．
设抛物线的解析式为，
∵抛物线经过点，，
且对称轴为，∴
解得，，．
∴抛物线的解析式为 ．
⑵存在符合条件的点F，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．
情况1：当为平行四边形的一边时，∵，
∴．
设点，，，将点、分别代入抛物线的解析式，
得，．
情况2：当为平行四边形的对角线时，，
又∵点在抛物线上，
∴点必为抛物线的顶点．
∴．
综上所述，，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．
抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为．
⑴求此抛物线的解析式；
⑵试判断的形状，并证明你的结论；
⑶在坐标轴上是否存在点使得以点、、、为顶点的四边形是梯形．若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
⑴∵直线与坐标轴的两个交点坐标分别为，
又抛物线经过这两个点，
则可得，解得，
∴此抛物线的解析式为．
⑵由⑴可知：点坐标为，顶点的坐标为，
过点作轴于，
可知，∴，
∵，∴，
∴，
∴是直角三角形．
⑶分以下三种情况讨论：
①若为底，则与轴交于点，
由易知，直线的解析式为，
∴直线的解析式为，∴．
②若为底，则与轴交于点，
由易知，直线的解析式为，
∴直线的解析式为，∴．
③若为底，则与轴、轴分别交于，
已知直线的解析式为，
∴直线的解析式为，∴．
综上所述，满足以为顶点的四边形是梯形的点坐标为，，，．
如图，已知抛物线：的顶点为，与轴相交于两点（点在点的左边），点的横坐标是．
y
x
A
O
B
P
M
图1
C1
C2
C3
图⑴
y
x
A
O
P
P
N
图2
C1
C4
Q
E
F
图⑵
⑴求点坐标及的值；
⑵如图⑴，抛物线与抛物线关于轴对称，将抛物线向右平移，平移后的抛物线记为，的顶点为，当点关于点成中心对称时，求的解析式；
⑶如图⑵，点是轴正半轴上一点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线．抛物线的顶点为，与轴相交于两点（点在点的左边），当以点为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标．
y
x
A
O
B
P
M
图⑴
C1
C2
C3
H
G
⑴由抛物线：得顶点的坐标为
∵点在抛物线上，∴，解得．
⑵连接，作轴于，作轴于
∵点关于点成中心对称，
∴过点，且
∴，∴，
∴顶点的坐标为
y
x
A
O
B
P
N
图⑵
Q
E
F
H
G
K
抛物线关于轴对称得到，再平移得到
∴抛物线的解析式为
⑶∵抛物线由绕着轴上的点旋转得到
∴顶点关于点成中心对称
由⑵得点的纵坐标为，设点坐标为
作轴于，作轴于，作于
∵旋转中心在轴上，∴，
∴，点坐标为，坐标为，坐标为，
根据勾股定理得，，
，
①当时，，解得，∴点坐标为
②当时，，解得，∴点坐标为
③∵，∴
综上，当点坐标为或时，以点为顶点的三角形是直角三角形．
复习巩固
题型一 坐标系中（函数图象上）动点产生三角形问题 巩固练习
如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点右侧），过点的直线交抛物线于另一点，点的坐标为．
⑴求的值及直线的函数关系式；
⑵是线段上一动点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，
交轴于点．
①求线段长度的最大值；
②在抛物线上是否存在这样的点，使得与相似？如
果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由．
⑴由题意得，∴
∴抛物线的函数解析式为，与轴交于、
设直线的解析式为，则有，解得，
∴直线的解析式为
⑵ ①设的横坐标为，则，
∴
∴当时，的最大值为．
②；
提示：通过观察容易得到，需要计算过点且与垂直的直线与抛物线的交点，比较复杂；亦或过作的垂线，垂足为，则，得到，设点的横坐标为，通过点坐标与线段的转化，利用比例关系求出，进一步求出点坐标．
题型二 坐标系中（函数图象上）动点产生四边形问题 巩固练习
已知：如图所示，关于的抛物线与轴交于点、点，与轴交于点．
⑴求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
⑵在抛物线上有一点，使四边形为等腰梯形，写出点的坐标，并求出直线的
解析式；
⑶在⑵的条件下直线交抛物线的对称轴于点，抛物线上有一动点，轴上有一动点，是否存在以、、、为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
⑴根据题意，得，解得
∴抛物线的解析式为，顶点坐标是．
⑵
设直线的解析式为
∵直线经过点，点
∴，解得，∴．
⑶存在．，，，．
在平面直角坐标系中，以点为圆心、半径为的圆与轴相交于点、（点在点的左边），与轴相交于点、（点在点的下方）．
⑴求以直线为对称轴，且经过点、的抛物线的解析式；
⑵若点是该抛物线对称轴上的一个动点，求的取值范围；
⑶若为这个抛物线对称轴上的点，则在抛物线上是否存在这样的点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
⑴由的圆心为，半径为，及各点的位置可知
，
∵抛物线的对称轴是，且经过点，∴该抛物线一定经过点，
∴设抛物线解析式为，代入，可得
，解得，∴抛物线解析式为．
⑵由两点关于对称轴对称，则连结与对称轴交于一点，
此时最小，又知，
∴的取值范围是．
⑶①若，则点横坐标为或，
这两点关于对称轴对称，∴，
∴点的坐标为．
②若互相平分，则点在对称轴上，
∴点坐标为．
∴存在点，坐标为．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为点，与x轴的交点为点A，过点作轴的平行线，交抛物线于点，连接．现有两动点，分别从，两点同时出发，点以每秒4个单位的速度沿向终点移动，点以每秒1个单位的速度沿向点移动，点停止运动时，点也同时停止运动，线段，相交于点，过点作，交于点，射线交轴于点．设动点，移动的时间为（单位：秒）
⑴求，，三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；
⑵当为何值时，四边形为平行四边形?请写出计算过程；
⑶当时，的面积是否总为定值?若是，求出此定值，若不是，请说明理由；
⑷当为何值时，为等腰三角形?请写出解答过程.
⑴∵，令，得，，
∴或，∴；
在中，令，得，即；
由于，故点的纵坐标为，
由，得或
即，且易求出顶点坐标为，
于是，，顶点坐标为．
⑵若四边形为平行四边形，
由于．故只要即可，
而，故，得；
⑶设点运动秒，则，，
说明在线段上，且不与点、重合，
由于知，故，
∴，∴．
又点到直线的距离，
∴，
于是的面积总为．
⑷由⑶知，．
构造直角三角形后易得，
．
①若，即，故，
∵，∴，∴．
②若，即，无的满足条件；
③若，即，得，
∴或都不满足，故无的满足方程；
综上所述：当时，是等腰三角形．
如图，抛物线与轴分别相交于点、，它的顶点为，连接，把所在的直线沿轴向上平移，使它经过原点，得到直线，设是直线上一动点.
⑴求点的坐标；
⑵以点、、、为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、
直角梯形，请分别直接写出这些特殊四边形的顶点的坐标；
⑶设以点、、、为顶点的四边形的面积为，点的横
坐标为，当时，求的取值范围.
⑴由，知点的坐标为．
⑵ ①如图2，菱形的顶点的坐标为．
②如图3，等腰梯形的顶点的坐标为．
③如图4，直角梯形的顶点的坐标为，
直角梯形的顶点的坐标为．

⑶ 直线的解析式为，那么点的坐标可表示为．
的面积．
① 当在轴上方时，．
解不等式组，得．
② 当在轴下方时，与是同底等高的三角形，面积相等．
因此．
解不等式组，得．
综上所述，的取值范围.是或
课后测
【测试1】点在轴的负半轴上，，.将绕坐标原点顺时针旋转，得到，再继续旋转，得到.抛物线经过、两点.
= 1 \* GB2 ⑴ 求抛物线的解析式；
= 2 \* GB2 ⑵ 点是否在此抛物线上，请说明理由；
= 3 \* GB2 ⑶ 在该抛物线上找一点，使得是以为底的等腰三角形，求出所有符合条件的点的坐标；
= 4 \* GB2 ⑷ 在该抛物线上，是否存在两点、，使得原点是线段中点，若存在，直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】⑴ 过点作于点，
∵，∴．
又，∴．
∴．∴，．
∵抛物线经过、两点，
∴ 解得．
∴抛物线的解析式为．
⑵ ∵当时，，
∴点不在此抛物线上．
⑶ 点应在线段的垂直平分线上，由题意可知，且平分，
∴点在直线上．
可求得所在直线的解析式为．
又点是直线与抛物线的交点，
由，解得，．
∴符合条件的点有两个，即点和．
⑷ 存在．和．
第十七种品格：成就
消除自身压力，给成功留点空间
加拿大魁北克有一条南北走向的山谷。山谷没有什么特别之处，唯一能引人注意的是它的西坡长满松、柏、女贞等树，而东坡却只有雪松。这一奇异景色之谜，许多人不知所以，然而揭开这个谜的，竟是一对夫妇。
那是1993年的冬天，这对夫妇的婚姻正濒于破裂的边缘，为了找回昔日的爱情，他们打算做一次浪漫之旅，如果能找回就继续生活，否则就友好分手。他们来到这个山谷的时候，下起了大雪，他们支起帐篷，望着满天飞舞的大雪，发现由于特殊的风向，东坡的雪总比西坡的大且密。不一会儿，雪松上就落了厚厚的一层雪。不过当雪积到一定程度，雪松那富有弹性的枝丫就会向下弯曲，直到雪从枝上滑落。这样反复地积，反复地积，反复地弯，反复地落，雪松完好无损。可其它的树，却因没有这个本领，树枝被压断了。妻子发现了这一景观，对丈夫说：“东坡肯定也长过杂树，只是不会弯曲才被大雪摧毁了。”少顷，两人突然明白了什么，拥抱在一起。
生活中我们承受着来自各方面的压力，积累着终将让我们难以承受。这时候，我们需要象雪松那样弯下身来。释下重负，才能够重新挺立，避免压断的结局。弯曲，并不是低头或失败，而是一种弹性的生存方式，是一种生活的艺术。
今天我学到了