初中数学31.1 确定事件和随机事件优质课教案

这是一份初中数学31.1 确定事件和随机事件优质课教案，共171页。教案主要包含了教师准备，学生准备，师生活动，基础巩固，能力提升，拓展探究，答案与解析，专题分析等内容，欢迎下载使用。

第三十一章　随机事件的概率



1.体会有些事件的发生是确定的,有些是不确定的.在具体问题情景中,能区分必然事件、不可能事件、随机事件.
2.了解事件发生的可能性有大小之分,能对一些简单事件发生的可能性大小作定量描述.
3.通过试验,知道大量重复试验时的频率具有稳定性,用频率估计事件发生的概率.
4.能利用表格或树形图列举试验的所有可能结果,求简单事件的概率.
5.能设计简单的试验,验证对事件发生的可能性大小的直观猜想.

1.经历猜测、试验、收集与分析试验结果的过程,归纳出三种事件的各自的本质特征,抽象成数学概念.
2.通过现实生活中的问题的探究,体会运用数学知识解决实际问题的方法,感受数学知识与现实世界的联系.
3.通过直觉判断——试验——汇总试验数据——分析数据——发现规律等探究过程,让学生体会探究的乐趣,增强学习的自信心.
4.通过观察列举法的结果是否重复和遗漏,总结列举不重复不遗漏的方法,培养学生观察、归纳、分析问题的能力.
5.通过运用列表法或树形图法求事件的概率解决实际问题,提高学生解决问题的能力,发展应用意识.
6.经历运用列表法或树形图法解决概率实际问题的过程,渗透数学建模的思想,感知数学的应用价值.

1.从具体生活实例出发,观察、思考、总结,确定事件的分类,学会与他人合作交流,培养合作精神,发展随机观念.
2.体验从事物的表象到本质的探究过程,感受数学的科学严谨性及生活中丰富的数学现象.
3.通过在试验中获取数据,归纳总结试验结果,发现规律,真正做到在探索中学习,培养学生的探索精神.
4.在观察、思考、试验、归纳等数学活动中,培养学生的辩证唯物主义观点,增强学生的学科意识.
5.通过对实际问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想.
6.通过具体实际生活情景,经历用频率估计概率的过程,激发学生的学习兴趣,体验数学的应用价值.

统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,它通过对数据的收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画,来帮助人们作出合理的决策.对统计与概率知识的认识,学生在七八年级每学期都有接触,知识螺旋上升,逐步推进.现实生活中存在大量的不确定事件,在一次观察和试验中,不确定事件发生与否具有随机性,但在大量重复试验中却呈现出确定的规律性,而概率论正是研究这种不确定事件的规律性的学科.本章的内容包括认识确定事件和随机事件,理解概率的意义;初步认识频率的稳定性,用频率估计概率;用列举法求简单事件的概率.通过本章的学习,使学生初步感受随机现象,树立随机的观念,为进一步学习统计与概率的知识和方法奠定基础.
对于随机事件的认识,让学生观察、分析摸球试验,体验有些事件的发生是不确定的,从而能区分确定事件和随机事件;随机事件发生的可能性相同时,可以利用概率公式计算事件的概率;用列举法分析事件发生的所有可能情况的结果数一般有列表和画树状图两种方法;随机事件在每次试验中发生与否具有不确定性,但只要保持试验条件不变,那么这一事件出现的频率就会随着试验次数的增大而趋于稳定.这个稳定值就可以作为该事件发生概率的估计值.用等可能事件的概率公式解决一些现实问题,用频率来估计事件发生的概率在生活生产中有着广泛的应用.它有助于我们在错综复杂的情况下,分析事件的本质属性,帮助我们作出合理的判断,这是本章学习的重点.等可能事件的概率的计算往往需要学生有较强的分析和综合能力,对在保持试验条件不变的情况下,随着试验次数的增加,某事件出现的频率趋于稳定,学生较难理解,是本章教学的难点.

【重点】
理解随机事件、必然事件、不可能事件的定义,并能准确地对某一事件进行判断;理解概率的意义,会用列表法和树形图法求事件的概率,并能利用概率知识解决日常生活中的实际问题.
【难点】
理解概率的意义;会用列表法和树形图法求确定事件发生的概率,并能利用概率解决实际问题.

1.概率内容比较抽象,试验的不确定性、概率结果的唯一性,常常使学生感到困惑.所以教学中应多选取贴近学生生活的实际问题,通过观察、分析大量学生熟悉而有趣的问题,使学生认识到不确定现象的普遍性,丰富对概率背景的认识.让学生亲身经历试验,分析试验结果,经历观察与思考、一起探究、大家谈谈等数学活动过程,调动学生的学习积极性,激发对概率学习的兴趣,培养学生的主动参与意识.
　2.在本章的教学中,教师要注重引导学生积极参与试验,并和学生小组内交流试验结果,体会随机事件在一次试验中具有不确定性,在大量试验下却呈现出确定的规律.在教学设计中,要根据现有条件,设计方便操作的试验,由于试验耗费的时间较多,可以安排学生课下进行试验,课堂上重点进行汇报试验结果、数据交流、统计分析、讨论交流.
　3.列举法计算事件的概率的教学,教师要提供不同类型的问题情景,让学生进行充分的观察思考和讨论交流,形成解决问题的策略,并对不同的观点进行辨析.同时引导学生探究计算概率的方法,特别对于两步完成的试验,可以用列表法列举试验的结果,对于两步以上完成的试验,用树形图列举试验的结果.
4.根据《数学课程标准》,“概率与统计”这块内容到这里已全部学完.应适当注意统计与概率之间的内在联系,频率作为概率的估计值就是体现两者联系的一个方面.用频率的近似值估计概率,在教学中有两点要引起重视.一是试验条件不变,二是随着试验次数的增加,频率趋于稳定,这个稳定值可作为概率的估计值.试验条件不变实际上不容易做到,有条件的话用计算机模拟试验,教学效果将更好.

31.1确定事件和随机事件
1课时
31.2随机事件的概率
2课时
31.3用频率估计概率
2课时
31.4用列举法求简单事件的概率
2课时
回顾与反思
1课时


31.1　确定事件和随机事件





1.初步认识有些事件的发生是确定的,有些事件的发生是不确定的.
2.在具体的问题情景中区分必然事件、不可能事件和随机事件,能正确地描述事件.

1.经历猜测、试验、收集与分析试验结果的过程,归纳出三种事件的各自的本质特征,抽象成数学概念.
2.通过观察一些现象,初步认识有些事件的发生是确定的,有些事件的发生是不确定的,体会数学与生活密切联系.

1.从具体生活实例出发,观察、思考、总结,确定事件的分类,学会与他人合作交流,培养合作精神,发展随机观念.
2.体验从事物的表象到本质的探究过程,感受数学的科学严谨性及生活中丰富的数学现象.

【重点】
必然事件、随机事件和不可能事件的特点.
【难点】
能够判断具体问题情景中的随机事件类型.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　预习教材P60~62.


导入一:
(课件展示)

如图所示,彩票号码摇奖器中,有10个质地、大小完全相同的球,分别标号为0,1,2,…,9.摇奖器在转动的过程中,将有一个球从下方的洞中漏出.你事先能确定这个球的号码吗?漏出球的号码有多少种可能结果?每个号码出现的可能性大小是否相同?
【师生活动】　教师展示课件,学生观察回答,教师导出本章课题——随机事件的概率.
导入二:
播放一段天气预报,引出一句古语:“天有不测风云”.
(课件展示)
请说明下列事件是否一定发生.
(1)太阳从西边落下;
(2)某人的体温是100 ℃;
(3)a2+b2=-1(其中a,b都是实数);
(4)水往低处流;
(5)酸和碱反应生成盐和水;
(6)一元二次方程x2+2x+3=0有实数解.
【师生活动】　教师展示问题,学生思考回答,教师点评并提问“上述事件是确定的吗?”,学生思考回答后,教师导出本节课课题——确定事件和随机事件.
[设计意图]　通过教材章题页中的彩票摇奖问题简要指明了本章学习的研究内容,激发学生的学习兴趣.通过学生熟知的生活常识和学科知识中生动的、有趣的实例,引出必然事件和不可能事件,很自然地进入新知识的学习和探究,同时体会数学与生活实际息息相关.

　　[过渡语]　在现实生活中,有些事情事先我们能知道它们一定发生或一定不发生,但对有些事情是否发生,我们事先不能作出肯定的回答,它们有时会发生,有时不会发生,发生与否具有随机性,让我们一起观察哪些事件是随机的,哪些事件是确定的.
观察与思考
(课件展示)
观察下列摸球试验,思考相应的问题.
试验1:A盒中有10个大小和质地都相同的红球,搅匀后从中任意摸出1个球.事先能肯定摸到的是红球吗?能摸到黄球吗?
试验2:B盒中有10个大小和质地都相同的球,其中6个是红球,4个是黄球,搅匀后从中任意摸出1个球.事先能肯定摸到的是红球吗?能肯定摸到的是黄球吗?
试验3:C盒中有10个大小和质地都相同的球,分别标号为0,1,…,9,搅匀后从中任意摸出1个球.摸到球的号码有多少种可能结果?事先能肯定摸到球的号码是几吗?

思路一
【师生活动】　学生独立思考后,小组内合作交流,小组代表回答,教师点评.
教师根据学生回答归纳:
(1)在试验1中,由于A盒中全是红球,所以摸到的肯定是红球.我们说“摸到红球”是必然发生的事情.由于A盒中没有黄球,所以肯定不会摸到黄球,即“摸到黄球”是不可能发生的事情.
(2)在试验2中,可能摸到红球,也可能摸到黄球,事先不能肯定摸到的是红球还是黄球.我们说“摸到红球”和“摸到黄球”都是随机发生的事情.
(3)在试验3中,标号为0,1,…,9的球都有可能被摸到,共有10种可能结果,但事先不能肯定哪种结果会发生.
教师提问:
1.在试验1中,“摸到红球”“摸到黄球”的事件分别是什么事件?
2.在试验2中,“摸到红球”和“摸到黄球”是什么事件?
【师生活动】　学生思考回答,师生共同归纳概念.
(课件展示)
在一定条件下,必然发生的事情叫做必然事件,不可能发生的事情叫做不可能事件,可能发生也可能不发生的事情叫做随机事件.必然事件和不可能事件统称为确定事件.
思路二
【师生活动】　学生独立思考回答试验1,学生亲自做试验2和试验3,重复试验几次,观察事件发生的情况,并回答提出的问题.
教师引导思考:
上面的事件可以分几类?各类事件有什么特点?
【师生活动】　学生观察思考后,小组合作交流,小组代表回答,教师点评,师生共同归纳有关概念.
(课件展示)
在一定条件下,必然发生的事情叫做必然事件,不可能发生的事情叫做不可能事件,可能发生也可能不发生的事情叫做随机事件.必然事件和不可能事件统称为确定事件.
追加提问:
1.在试验1中,“摸到红球”和“摸到黄球”分别是什么事件?
2.试验2中,“摸到红球”和“摸到黄球”分别是什么事件?
【师生活动】　学生思考回答,教师点评.
[设计意图]　从试验出发,学生观察、思考、归纳,体会不同类型的事件的特点,培养学生的归纳总结能力,体会数学与生活之间密切联系.
做一做
(课件展示)
【思考1】　
对于试验3,指出下列事件中,哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件.
(1)摸到球的号码不超过9;
(2)摸到球的号码为6;
(3)摸到球的号码为10;
(4)摸到球的号码为奇数.
【师生活动】　学生独立思考,小组内交流答案,小组代表回答,教师点评并给出提示.
【提示】　为方便起见,一般用大写拉丁字母A,B,C,…表示事件.例如,在试验3中,可设A=“摸到球的号码为奇数”,B=“摸到球的号码为偶数”,事件A和B都是随机事件.
【思考2】　
你能举出现实生活中有哪些随机事件的实例吗?
【师生活动】　学生思考回答,教师鼓励学生大胆发言,教师点评并课件展示生活中常见实例.
(课件展示)
(1)抛掷一枚硬币,硬币落地后,“正面朝上”和“反面朝上”都是随机事件.

(2)上学路上,小明在某个有交通信号灯的路口“遇到红灯”是随机事件.

(3)小亮拨打火车票订票电话,“线路占线”是随机事件.
(4)从一批节能灯管中任意抽查一只,“使用寿命超过3000 h”是随机事件.
[设计意图]　通过练习,进一步巩固所学知识,加深对必然事件、不可能事件、随机事件的理解.通过列举现实生活中的随机事件的实例,感受生活中处处有数学,数学来源于生活,又运用到生活中去.
[知识拓展]　必然事件与不可能事件统称为确定事件,在叙述必然事件、不可能事件和随机事件时,必须受一定条件的制约,如标准大气压下,水加热到100 ℃沸腾是必然事件,但气压高于标准大气压时,水加热到100 ℃沸腾就不是必然事件.
判断一个事件是必然事件、不可能事件还是随机事件,要从它们的定义出发,同时也要联系生活中的相关知识.

1.事件的分类:
事件
2.在一定条件下,必然发生的事情叫做必然事件,不可能发生的事情叫做不可能事件,可能发生也可能不发生的事情叫做随机事件.

　　1.(2016·漳州中考)掷一枚质地均匀的硬币10次,下列说法正确的是 (　　)
A.每2次必有1次正面向上
B.必有5次正面向上
C.可能有7次正面向上
D.不可能有10次正面向上
解析:掷一枚质地均匀的硬币10次是随机事件,正面可能朝上可能朝下,正面朝上的次数不会超过10次.故选C.
2.下列说法正确的是 (　　)
A.如果一件事情发生的机会只有十万分之一,那么它就不可能发生
B.如果一件事情发生的可能性是100%,那么它就一定会发生
C.买彩票的中奖率是1%,那么买100张彩票,就有一张中奖
D.一个口袋中有10个质地均匀的小球,其中9个白球,只有一个红球,那么从中任取一个球,一定是白球
解析:选项A中事件发生的可能性虽然很小,但也有可能发生;选项B中的事件是必然事件,所以它一定会发生;选项C中买彩票的中奖率是1%,说明中奖的可能性小,有时买100张彩票也可能不中奖;选项D中的事件是随机事件.故选B.
3.有下列事件:①今天是6月1日,明天是6月2日;②明天是阴天;③全年级370人中,至少有两个人的生日是同一天;④下个月有32天.以上事件中,确定事件有　　　　,随机事件有　　　　.(填序号) 
解析:①③是必然事件,②是随机事件,④是不可能事件,所以确定事件是①③④,随机事件是②.
答案:①③④　②
4.下列事件中,哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是随机事件?
①抛掷一块石头,石头落地;
②某人的体温是100 ℃;
③a2+b2=-1(其中a,b都是实数);
④水往低处流;
⑤酸和碱反应生成盐和水;
⑥三个人性别各不相同;
⑦一元二次方程x2+2x+3=0无实数根;
⑧经过有信号灯的十字路口,遇见红灯.
解:事件①④⑤⑦是必然事件;事件②③⑥是不可能事件;事件⑧是随机事件.

31.1　确定事件和随机事件
观察与思考
做一做

一、教材作业
【必做题】
教材第62页习题A组.
【选做题】
教材第62页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列事件是随机事件的是 (　　)
A.抛硬币,正面朝上
B.在标准大气压下,加热到100 ℃,水沸腾
C.奥运会上,百米赛跑的成绩为5秒
D.掷一枚普通骰子,朝上的一面的点数是8
2.下列成语中描述的事件必然发生的是 (　　)
A.水中捞月 B.瓮中捉鳖
C.守株待兔 D.拔苗助长
3.“a是实数,|a|≥0”这一事件是 (　　)
A.必然事件 B.不确定事件
C.不可能事件 D.随机事件
4.下列事件:①在足球赛中,弱队战胜强队;②抛掷一枚硬币,落地后正面朝上;③任取两个正整数,其和大于1;④长为3 cm,5 cm,9 cm的三条线段能围成一个三角形,其中确定事件的个数为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
5.从正五边形的五个顶点中,任取四个顶点连成四边形,对于事件M:“这个四边形是等腰梯形”,下列判断正确的是 (　　)
A.事件M是不可能事件
B.事件M是必然事件
C.事件M是随机事件
D.以上均不正确
6.“任意打开一本200页的教科书,正好是第35页”,这是　　　　事件.(填“随机”或“必然”) 
7.抛掷两个分别标有1,2,3,4的正四面体木块,写出这个试验中的一个随机事件是　　　　　　　　,写出这个试验中的一个必然事件是　　　　　　　　. 
8.袋子中装有6个红球、3个白球、2个黄球,这些球除了颜色外完全相同,将袋中球搅拌均匀.
(1)闭上眼睛从袋子中拿出一个球,拿出　　　　是可能的,　　　　　　　　是不可能的; 
(2)闭上眼睛从袋子中取出3个球,拿出的都是　　　　是不可能的,都是　　　　是可能的. 
9.按事件的确定性,将下列事件分为两类.
(1)同种电荷,相互排斥;
(2)没有水分,种子就不会发芽;
(3)掷一枚硬币,出现正面朝上;
(4)若a,b为实数,则a+b=b+a;
(5)掷一枚骰子,向上的一面是2点;
(6)若射击运动员射击一次,命中靶心.
【能力提升】
10.下列事件中是必然事件的为 (　　)
A.有两边及一角对应相等的三角形全等
B.方程x2-x+1=0有两个不相等的实数根
C.北京明天是晴天
D.圆的切线垂直于过切点的半径
11.下列事件中,哪些是必然发生的?哪些是不可能发生的?哪些是随机发生的?
(1)小明今年18岁,明年15岁;
(2)小兵期中考试,数学获得满分120分;
(3)购买一件合格率为98%的商品,买到一件次品(不合格产品);
(4)任意购买一张电影票,座位号是双号;
(5)向空中抛掷一枚硬币,硬币正面朝上;
(6)今天是10号,明天是11号.

12.如图所示的转盘被分成三个相同的扇形,指针位置固定,转动转盘后任其自由停止,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置,并相应得到一个数(指针指向两个扇形的交线时,当作指向右边的扇形).写出此情景下一个不可能发生的事件.
【拓展探究】
13.一个不透明的袋子中装有6个红球和4个白球,请根据此信息设计一个随机事件、一个必然事件和一个不可能事件.
【答案与解析】
1.A(解析:抛硬币,可能正面朝上,可能反面朝上,是随机事件;B是必然事件;C,D是不可能事件.)
2.B(解析:只有B是必然事件.)
3.A(解析:因为任何实数的绝对值都是非负数,所以|a|≥0是必然成立的.)
4.B(解析:①在足球赛中,弱队战胜强队,此事件为随机事件.②抛掷一枚硬币,落地后正面朝上,此事件为随机事件.③任取两个正整数,其和大于1,此事件为确定事件中的必然事件.④长分别为3 cm,5 cm,9 cm的三条线段能围成一个三角形,此事件为确定事件中的不可能事件.故确定事件为③和④,一共有2个确定事件.)

5.B(解析:如图所示,正五边形ABCDE中,连接BE,根据正五边形ABCDE的性质得到BC=DE=CD=AB=AE,根据多边形的内角和定理得出∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠AED=108°,根据等腰三角形的性质求出∠ABE=∠AEB=36°,求出∠CBE=72°,推出BE∥CD,得到四边形BCDE是等腰梯形,所以该事件是必然事件.)
6.随机(解析:任意打开一本200页的教科书,可能是第35页,也可能不是第35页,所以是随机事件.)
7.着地点数之和为4　着地点数之和小于9(解析:写出的事件可能发生可能不发生的即为随机事
件,一定发生的为必然事件,答案不唯一.)
8.(1)红,白,黄球　红,白,黄颜色之外的颜色的球
(2)黄球　红球或者白球(解析:(1)因为袋中只有红,白,黄球,所以拿出红,白,黄球是可能的,其他颜色的球是不可能的,(2)因为袋中红,白,黄球中只有黄球少于3个,是2个,所以闭上眼睛随机从袋子中取3个球,拿出都是黄球是不可能的,都是红球或者白球是可能的.)
9.解:确定事件有:(1)(2)(4),不确定事件有:(3)(5)(6)
10.D(解析:如果是两边及一边的对角对应相等,这两个三角形就不一定全等,所以A是随机事件;根据根的判别式可得b2-4ac<0,所以方程x2-x+1=0没有实数根,所以B是不可能事件;北京明天是晴天也可能是阴天,所以C是随机事件;根据切线的性质可得圆的切线垂直于过切点的半径,所以D是必然事件.)
11.解:(1)是不可能发生的;(2)(3)(4)(5)是随机发生的;(6)是必然发生的.
12.解:如“转动一次得到数2”等.答案不唯一.
13.解:一个不透明的袋子中装有6个红球和4个白球,从中任意取出1个球是红球可能发生也可能不发生,是随机事件.一个不透明的袋子中装有6个红球和4个白球,从中摸出5个球,至少有1个球是红球一定发生,是必然事件.一个不透明的袋子中装有6个红球和4个白球,从中任意取出1个球是黑球一定不会发生,是不可能事件.(答案不唯一)


本节课通过具体的摸球试验,让学生了解必然事件、不可能事件和随机事件的概念,会正确描述事件.学生动手重复做试验,体会摸球试验中的事件可能发生,也可能不发生,通过观察、动手操作、思考、小组交流、师生共同归纳出随机事件的概念,学生在活动中思考,更好地体现数学的意义和价值.通过做一做环节,让学生体会同一试验中还有许多随机事件,进一步巩固所学概念,加深对必然事件、不可能事件、随机事件的理解.通过列举现实生活中的随机事件的实例,感受生活中处处有数学,数学来源于生活,又运用到生活中去.学生在课堂上思维活跃,亲身经历概念的形成过程,提高学生的归纳总结能力.

本节课通过试验体会事件可能发生,可能不发生,从而师生共同归纳事件的有关概念,并能够在具体生活情景中区分必然事件、不可能事件和随机事件,让学生认识到随机现象的普遍性.本课时内容简单,教师讲的还是较多,没有把课堂真正放手交给学生,教师可以让学生通过自主学习,小组合作交流,共同归纳得出事件的有关概念,让学生亲身经历概念的形成过程,更加突出课堂的主体作用.

本节课通过观察试验,在具体的生活情景中区分必然事件、不可能事件和随机事件.在教学设计中,教师以生活实际情景导入新课,激发学生的学习兴趣,然后通过试验,教师提出问题,学生观察、思考、合作、交流、归纳,得出事件的有关概念,在该环节教师要给学生充足的时间交流,体会三种事件的不同特点.在学生理解有关概念后,教师鼓励学生大胆发言,列举生活中的不同事件,并能区分必然事件、不可能事件和随机事件,在教学活动中,教师给学生活动的空间,让学生真正成为课堂的主人.


练习(教材第61页)
1.解:必然事件:(1)(2),不可能事件:(3),随机事件:(4)(5)
2.解:例如:中秋节的晚上看到圆圆的月亮;打开电视机,正在播少儿节目;小明坚持锻炼身体,长大后会成为飞行员等.
习题(教材第62页)
A组
解:(1)必然事件:A,不可能事件:B,随机事件:C和D.　(2)必然事件:G,不可能事件:E,随机事件:F.　(3)H是随机事件.
B组
1.(1)随机事件　(2)随机事件　(3)随机事件　(4)不可能事件　(5)随机事件　(6)必然事件
2.解:同时掷两枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,骰子落地后,记下朝上一面的点数,点数之和是自然数,这是必然事件;点数之和为13是不可能事件;点数之和为12,点数之和小于4,点数之积为奇数,点数之积为偶数都是随机事件.(答案不唯一)


亲身经历概念的形成过程
本节课是随机事件的概率的第一课时,主要是引入必然事件、不可能事件、 随机事件的概念,为后面事件的概率的学习做铺垫.概念的学习十分重要,随着对数学学习的深入,学生会体会越来越多.所以在本课时的教学设计中,可以让学生亲自做一做试验2和试验3,而且重复几次试验,让学生体会有些事件的发生是不确定的,有些事件的发生是确定的,然后通过小组合作交流,共同归纳事件类型的不同,从而很自然地归纳出确定事件和随机事件的有关概念,学生亲自经历知识的形成过程,体验课堂上成功的快乐,激发学好数学的自信心.为了加深学生对概念的理解和掌握,给一定的时间让学生列举现实生活中各种不同的随机现象,并指出其中的随机事件,让学生认识到随机现象的普遍性,并逐步学会正确表述随机事件,使学生对本节课概念的理解得到进一步的巩固提高.

　在不透明的口袋中装有大小、质地、外形一模一样的5个红球、3个蓝球和2个白球,它们已经在口袋里被搅匀了,请判断以下是随机事件、不可能事件、还是必然事件.
(1)从口袋中一次任意取出一个球,是白球;
(2)从口袋中一次任取5个球,全是蓝球;
(3)从口袋中一次任取5个球,只有蓝球和白球,没有红球;
(4)从口袋中一次任意取出6个球,恰好红、蓝、白三种颜色的球都齐了.
解:(1)可能发生,也可能不发生,是随机事件.
(2)一定不会发生,是不可能事件.
(3)可能发生,也可能不发生,是随机事件.
(4)可能发生,也可能不发生,是随机事件.

31.2　随机事件的概率





1.认识到事件发生的可能性有大小之分,能对事件发生的可能性大小做出判断,并进行定量描述.
2.初步认识到当大量重复试验时,频率在某种程度上可以反映事件发生的可能性大小.
3.理解概率的意义,在试验结果等可能发生的条件下,会求简单事件的概率.

1.通过观察试验、分析试验结果的过程,认识到事件发生的可能性有大小之分,认识到试验在数学学习中的必要性.
2.通过直觉判断——试验——汇总试验数据——分析数据——发现规律等探究过程,让学生体会探究的乐趣,激发学习的自信心.
3.通过现实生活中的问题的探究,体会运用数学知识解决实际问题的方法,感受数学知识与现实世界的联系.

1.通过在试验中获取数据,归纳总结试验结果,发现规律,真正做到在探索中学习,培养学生的探索精神.
2.通过学生自主动手、动脑、小组合作交流,正确理解概率的有关知识,培养学生的合作意识.
3.在观察、思考、试验、归纳等数学活动中,培养学生的辩证唯物主义观点,增强学生的学科意识.

【重点】
在具体情景中了解概率的意义;会求简单事件的概率.
【难点】
理解概率的意义.
第课时



1.理解事件发生的可能性有大小之分,并能对事件发生的可能性大小做出判断.
2.初步认识大量重复试验时,频率反映事件发生的可能性大小.
3.理解概率的意义,在试验结果等可能发生的条件下,会求简单事件的概率.

1.通过现实生活中问题的探究,体会随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.
2.利用统计的定义计算实际问题中等可能事件的概率,初步掌握利用数学知识思考和解决实际问题的方法.


1.通过试验、观察、归纳,体会用随机的观点认识世界,培养辩证唯物主义思想.
2.通过在试验中获取数据,归纳总结试验结果,发现规律,真正做到在探索中学习,培养学生的探索精神.

【重点】
在具体情景中了解概率的意义;会求简单事件的概率.
【难点】
对频率和概率的初步理解.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　预习教材P63~64.


导入一:
(课件展示)
请大家帮忙:
周末市体育场有一场精彩的篮球比赛,老师手中只有一张球票,小强与小明都是班里的篮球迷,两人都想去.我很为难,真不知该把球票给谁.请大家帮我想个办法来决定把球票给谁.
【师生活动】　学生思考后回答,教师鼓励学生大胆发言,对学生的较好的想法予以肯定,并提问为什么要用抓阄、抽签、猜拳、投硬币……等等方法,然后引出本节课课题.
【导入语】　我们用抓阄、抽签、猜拳、投硬币……等等方法的原因是这样做对两个人是公平的,他们得到球票的可能性一样大,这就是我们这节课要学习的事件发生的可能性大小问题.
导入二:
(课件展示)
袋中装有4个黑球,2个白球,这些球的形状、大小、质地等完全相同,在看不到球的条件下,随机地从袋子中摸出一个球.我们把“摸到白球”记为事件A,把“摸到黑球”记为事件B.
提问:
1.事件A和事件B是随机事件吗?
2.哪个事件发生的可能性大?
【师生活动】　学生思考回答,教师点评.
[设计意图]　通过解决实际生活问题,让学生感受数学在实际问题中的应用,让学生在潜意识中开始接触概率,并激发学生的学习兴趣.以学生熟悉的摸球试验为例,让学生初步体会用数值刻画随机事件发生的可能性大小,以及用数值刻画的合理性,从定性分析到定量刻画.

　　[过渡语]　随机事件是否发生具有偶然性,但它们发生的可能性有大小之分.如何用数值刻画随机事件发生的可能性大小呢?让我们一起去探究.

大家谈谈:
(课件展示)
1.在足球比赛时,通过掷硬币,以正、反面朝向来决定谁先挑边.你认为这种方式公平吗?
2.“今天有雨”是必然事件还是随机事件?“很可能要下雨”是什么意思?

【师生活动】　学生独立思考后,小组内合作交流答案,学生回答后,教师点评,并指出掷一枚质地均匀的硬币,落地后“正面朝上”和“反面朝上”都是随机事件,它们发生的可能性相同.“今天有雨”是随机事件,“很可能要下雨”是说事件“今天有雨”发生的可能性较大.
[设计意图]　通过简单常见的生活实际问题,初步体会生活中事件的可能性是不同的,为进一步学习可能性事件的大小做好准备,并体会表示可能性大小的常用语言.
一起探究一
(课件展示)
袋子中有大小、质地完全相同的5个球,其中3个是红球,2个是黄球.从中任意摸出1个球,事件A=“摸到红球”,B=“摸到黄球”.

思路一
(课件展示)
1.直观猜测:
事件A和B发生的可能性大小相同吗?
2.动手试验:
分组做摸球试验,每摸出1个球,记下球的颜色后放回袋子中,搅匀后再进行下一次摸球.每组重复20次试验,记录事件A和B发生的次数.
3.汇总数据:
汇总各组的摸球结果并填写下表:
事件
A=“摸
到红球”
B=“摸
到黄球”
合计
发生的次数



占试验总次数的百分比



　　4.分析数据:
思考:事件A和B发生的次数占试验总次数百分比的大小有什么规律?
5.发现规律:
思考:能用两个数分别刻画事件A和B发生的可能性大小吗?
【师生活动】　学生根据教师提出的思考、操作的步骤,思考后,小组内交流答案,小组内进行摸球试验,并记录结果,小组内成员通过合作完成试验过程及归纳结论.小组代表发言,其他学生提出质疑,师生共同归纳有关概念及结论.
(课件展示)
做n次重复试验,如果事件A发生了m次,那么数m叫做事件A发生的频数,比值叫做事件A发生的频率.
事件发生的频率,在某种程度上反映了事件发生的可能性大小.
思路二
【师生活动】　学生自主学习教材第63~64页.教师提示:在自主学习的过程中,小组内进行摸球试验,并完成教材中的表格的填写,小组内合作交流教师提出的问题.教师在巡视过程中帮助有困难的学生.
思考:
1.根据所填数据,计算事件A发生的次数与试验总次数的百分比是多少.
2.根据所填数据,计算事件B发生的次数与试验总次数的百分比是多少.
3.事件A和B发生的可能性大小相同吗?
4.什么叫频数?什么叫频率?
5.事件A和B的频率分别是多少?
6.事件发生的频率,某种程度上能反映事件的可能性大小吗?
【师生活动】　小组代表回答教师提出的问题,教师点评,课件展示结论.
(课件展示)
做n次重复试验,如果事件A发生了m次,那么数m叫做事件A发生的频数,比值叫做事件A发生的频率.
事件发生的频率,在某种程度上反映了事件发生的可能性大小.
[设计意图]　摸球试验操作方便、简单且可重复,又为学生所熟知,学生做起来比较方便,易激发学生的学习兴趣.让学生通过动手操作获得正确结论,初步感受事件发生的可能性大小是客观存在的,培养学生的辩证唯物主义观点.
一起探究二
思路一
(课件展示)
思考:
1.在上面“一起探究”的摸球试验中,任意摸出1个球,有几种可能的结果?摸到每个球的可能性大小是否相同?能不能用数值刻画摸到每个球的可能性大小?
2.你能用数值刻画摸到红球的可能性大小吗?
3.你能用数值刻画摸到黄球的可能性大小吗?
4.请你归纳如何用数值描述事件发生的可能性大小.
【师生活动】　学生独立思考后,小组内交流答案,学生代表回答,教师在巡视中帮助理解有困难的学生,课件展示概率的概念.
(课件展示)
我们用一个数刻画随机事件A发生的可能性大小,这个数叫做事件A的概率,记作P(A).
如果一个试验有n种等可能的结果,事件A包含其中的k种结果,那么事件A发生的概率为P(A)=.
追加思考:
必然事件的概率是多少?不可能事件的概率是多少?随机事件的概率呢?
【师生活动】　学生思考回答,教师点评.
(课件展示)
任何一个事件A都满足0≤P(A)≤1.必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.
思路二
学生自主学习教材第64页,思考下列问题:
(课件展示)
1.什么是事件的概率?
2.事件的概率是用数值刻画事件的什么的量?
3.必然事件、不可能事件的概率是多少?随机事件的概率呢?
4.求出一起探究试验中,摸到红球、摸到黄球的概率分别是多少?
【师生活动】　学生自主学习教材,教师课件展示提出的问题,学生独立思考后,小组内合作交流,小组代表发言,教师点评后用课件展示结论.
(课件展示)
我们用一个数刻画随机事件A发生的可能性大小,这个数叫做事件A的概率,记作P(A).
如果一个试验有n种等可能的结果,事件A包含其中的k种结果,那么事件A发生的概率为P(A)=.
任何一个事件A都满足0≤P(A)≤1.必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.
[设计意图]　学生在教师问题的引导下,思考用数值定量描述事件发生的可能性大小,从而归纳概率的定义,正确理解频率与概率的区别和联系,降低学生学习的难度,提高学生分析问题的能力.
例题讲解
(课件展示)
　(教材第64页例1)有10张正面分别写有1,2,…,10的卡片,背面图案相同.将卡片背面朝上充分混匀后,从中随机抽取1张卡片,得到一个数.设A=“得到的数是5”,B=“得到的数是偶数”,C=“得到的数能被3整除”,求事件A,B,C发生的概率.
教师引导分析:
1.随机抽取1张卡片,有　　　　种等可能的结果,等可能的结果分别为　　　　. 
2.事件A包括　　　　种可能的结果,根据概率计算公式,可得事件A的概率是　　　　. 
3.事件B包括　　　　种可能的结果,根据概率计算公式,可得事件B的概率是　　　　. 
4.事件C包括　　　　种可能的结果,根据概率计算公式,可得事件C的概率是　　　　. 
5.你能归纳利用定义求概率的一般步骤吗?
(首先列举出事件中所有等可能的结果,再列举出所求事件中包含的结果,最后代入概率公式求解.)
【师生活动】　学生独立思考后,小组内交流答案,小组代表展示结果,教师点评归纳.
(课件展示)
解:试验共有10种可能结果,每个数被抽到的可能性相等,则A包含1种可能结果,B包含5种可能结果,C包含3种可能结果.
所以P(A)=,P(B)==,P(C)=.
[设计意图]　在教师问题的引导下求解简单事件的概率,并归纳总结利用概率的定义求解概率的一般步骤,让学生进一步理解概率的意义,培养学生的归纳总结能力,提高学生参与课堂的意识.
[知识拓展]　1.随机事件发生的可能性有大小之分,可以分为可能性极小、不太可能、可能、很可能、可能性极大.
2.当A是必然发生的事件时,其发生的可能性是100%,P(A)=1.当A是不可能发生的事件时,其发生的可能性是0,P(A)=0.随机事件发生的概率P的取值范围为0
3.概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性大小,概率大,并不能说明事件一定发生,只是发生的可能性大;反之,概率小,并不能说明事件不发生,只是发生的可能性小.

1.一般地,随机事件发生的可能性有大有小,不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性大小.
2.频率的定义:做n次重复试验,如果事件A发生了m次,那么数m叫做事件A发生的频数,比值叫做事件A发生的频率.事件发生的频率,在某种程度上反映了事件发生的可能性大小.
3.概率的定义:我们用一个数刻画随机事件A发生的可能性大小,这个数叫做事件A的概率,记作P(A).
4.计算概率的公式:如果一个试验有n种等可能的结果,事件A包含其中的k种结果,那么事件A发生的概率为P(A)=.
5.任何一个事件A都满足0≤P(A)≤1.必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.

　　1.(2016·常德中考)下列说法正确的是 (　　)
A.袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球,从中随机抽出一个球,一定是红球
B.天气预报“明天降水概率10%”,是指明天有10%的时间会下雨
C.某地发行一种福利彩票,中奖率是千分之一,那么,买这种彩票1000张,一定会中奖
D.连续掷一枚均匀硬币,若5次都是正面朝上,则第六次仍然可能正面朝上
解析:袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球,从中随机抽出一个球,是红球的概率为,故A选项错误;天气预报“明天降水概率10%”,是指明天有10%的概率会下雨,故B选项错误;某地发行一种福利彩票,中奖率是千分之一,那么,买这种彩票1000张,可能会中奖,故C选项错误;连续掷一枚均匀硬币,若5次都是正面朝上,则第六次仍然可能正面朝上,故D选项正确.故选D.
2.事件A:打开电视,它正在播广告;事件B:抛掷一枚质地均匀的骰子,朝上的点数小于7;事件C:在标准大气压下,温度低于0 ℃时冰融化.三个事件的概率分别记为P(A),P(B),P(C),则P(A),P(B),P(C)的大小关系正确的是 (　　)
A.P(C) B.P(C) C.P(C) D.P(A) 解析:由题意可知事件A是随机事件,∴ 0 3.在一个不透明的口袋中,装有5个红球,3个白球,它们除颜色外都相同,从中任意摸出一个球,摸到红球的概率为　　　　. 
解析:一共有8个球,其中有5个红球,则P(摸到红球)=.故填.
4.抛一个普通的正方体骰子,观察向上一面的点数,求下列事件的概率.
(1)点数为6;(2)点数小于3;(3)点数为质数.
解析:抛一个普通的正方体骰子,向上一面的点数可能是1,2,3,4,5,6,共6种可能.
解:(1)向上一面点数是6的可能有1种,所以P(点数为6)=.
(2)向上一面点数小于3的可能有1,2,共2种,所以P(点数小于3)=.
(3)向上一面点数是质数的可能有2,3,5,共3种,所以P(点数是质数)=.

第1课时
一起探究一
一起探究二
例题讲解

一、教材作业
【必做题】
教材第65页习题A组的1,2,3,4,5题.
【选做题】
教材第66页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.气象台预报“本市明天降水概率是30%”,对此消息下列说法正确的是 (　　)
A.本市明天将有30%的地区降水
B.本市明天将有30%的时间降水
C.本市明天有可能降水
D.本市明天肯定不降水
2.从一副扑克(去掉大、小王)中任意抽取一张,下列事件发生的可能性最大的是 (　　)
A.抽到黑桃3 B.抽到红桃
C.抽到黑桃 D.抽到红色
3.在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,5,从中随机摸出一个小球,其标号是3的概率为 (　　)
A. B. C. D.
4.一个不透明的布袋里有30个球,每次摸一个,摸一次就一定摸到红球,则红球有 (　　)
A.15个 B.20个 C.29个 D. 30个
5.袋中有红球4个,白球若干个,它们只有颜色上的区别,从袋中随机地抽取一个球,如果取到白球的可能性较大,那么袋中白球的个数可能是 (　　)
A.3个 B.不足3个
C.4个 D.5个或5个以上
6.(2016·泰州中考)抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次,朝上一面的点数为偶数的概率是　　　　. 
7.(2016·龙东中考)在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的4个红球,3个白球,2个绿球,则摸出绿球的概率是　　　　. 
8.有一个质地均匀的正方体骰子,其中5个面上分别标有1,2,2,3,4这5个数字,任意掷一次,如果掷“3”朝上的可能性与掷“2”朝上的可能性相同,那么该骰子第六个面应标上的数字是　　　　. 
9.有一个布口袋装有白、红、黑三种颜色的小球,它们除颜色之外没有任何区别,其中有白球5个、红球3个、黑球1个.袋中的球已经搅匀,闭上眼睛随机地从袋中取出1个球,取出红球的概率是　　　　. 
10.一个小球在如图所示的地面上随意滚动,小球“停在黑色方块上”与“停在白色方块上”的可能性哪个大?(各方块的大小、质地均相同)

(第10题图)
【能力提升】
11.如图所示,在两个同心圆中,四条直径把大圆分成八等份,若往圆面掷飞镖,则飞镖落在黑色区域的概率是　　　　. 

(第11题图)

【拓展探究】
12.甲袋中放着22个红球和8个黑球,乙袋中则放着200个红球、8个黑球和10个白球,这三种球除了颜色以外没有任何区别,两袋中的球都已经各自搅匀,蒙上眼睛从口袋中取一个球,如果你想取出1个红球,你选哪个口袋成功的机会大呢?
小明认为选甲较好,因为里面的球比较少,容易摸到红球;小红认为选乙较好,因为里面的球比较多,成功的机会也比较大;小丽则认为都一样,因为只摸一次,谁也无法预测会取出什么颜色的球.
你觉得他们说得有道理吗?
【答案与解析】
1.C(解析:本市明天降水是一个随机事件,降水的概率是30%,既不是指30%的地区,也不是指30%的时间降水,而是指明天有可能降水,虽然有30%的可能性,但不能确定明天不降水,所以A,B,D说法不正确.)
2.D(解析:在52张扑克中,抽到黑桃3的可能只有1种,抽到红桃和黑桃的可能都是13种,抽到红色的可能是26种,所以抽到红色的可能性最大.)
3.A(解析:从口袋中随机摸出一个小球,共有5种等可能的结果,而标号是3的有1种可能,所以所求概率为.)
4.D(解析:∵一个不透明的布袋里有30个球,每次摸一个,摸一次就一定摸到红球,∴摸一次摸到红球的概率为1,∴红球的个数为30.)
5.D(解析:∵摸到白球的可能性比摸到红球的可能性大,∴白球的个数>红球的个数,∴白球的个数>4,即白球的个数≥5.)
6.(解析:抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,一共有6种等可能的结果,朝上一面可能有2,4,6三种偶数结果,所以所求概率为=.)
7.(解析:根据概率的概念可得摸出绿球的概率是=.故填.)
8.3(解析:任意掷一次,数字2出现的可能有两次,要使掷“3”朝上的可能性与掷“2”朝上的可能性相同,数字3出现的可能要有两次,所以第六个面标上数字3.)
9.(解析:先确定口袋中所有球的个数,再确定口袋中红球的个数,最后根据概率的定义得到答案.根据题意可知,口袋中一共有9个球,其中红球有3个,所以摸到红球的概率为=.)
10.解:图中共有黑色方块7个,白色方块17个,故小球“停在白色方块上”的可能性大.
11.(解析:根据黑色区域占总面积的,知P(落在黑色区域)=.)
12.解:选乙袋成功的机会大.小明、小红、小丽他们的说法都不正确.成功的机会和总球数的多少没关系,而与红球在总球数中所占的比有关,故小明、小红、小丽的说法都不对;因为随机事件发生的机会的大小是可以预测的.


本节课是让学生经历观察试验、分析试验结果的过程,认识事件发生的可能性有大小之分,并能通过概率的定义进行定量描述.教学设计中不同的生活情景贯穿本节课的始终,让学生体会数学与实际生活之间的联系.首先教师提出简单的生活实际问题,让学生独立思考回答,初步体会随机事件发生的可能性有大小之分,接下来的一起探究,在教师的引导下以学生自主探究为主,让学生经历直觉判断——进行试验——汇总数据——分析结果——发现规律的过程,从而让学生认识到频率与概率之间的关系,自然生成概率的概念,达到真正理解概率的意义,通过让学生经历知识的形成过程,达到了突破重难点的目的.

本节课中事件的可能性大小学生理解较为简单,但对概率的意义的理解部分学生有困难,在教学过程中,学生对生活实际中的可能性大小描述都能够顺利完成,但在探究频率与概率之间的关系及概率的定义时,部分学生出现困难,教师给学生交流理解的时间较短,也没有通过练习让学生体会和理解概率的意义.在下节课的教学中,教师要注意多设计几个求随机事件的概率的问题,让学生通过练习体会概率的意义.

本节课通过现实生活中的实际问题体会随机事件的可能性有大小之分,然后在教师的引导下共同探究定量描述随机事件的可能性大小,自然生成概率的定义,通过练习让学生体会随机事件概率的意义.在教学设计中,注重培养学生独立思考、合作交流的能力,学生能通过自主学习、合作交流学会的知识,教师尽量让学生动手、动口、动脑,让学生亲身经历知识的形成过程,达到对知识的真正理解和掌握,在教学设计中注重学生参与课堂,突出学生的主体地位.

练习(教材第65页)
1.解:P(A)==0.5,P(B)==0.3,P(C)==0.2,图略.
2.解:(1)指针落在红色区域的可能性最大,因为红色占的份数最多.　(2)P(红色区域)==,P(绿色区域)=,P(黄色区域)=.
习题(教材第65页)
A组
1.解:P(遇到红灯)==,P(遇到绿灯)==,<,所以遇到绿灯的可能性较大.
2.解:(1)事件A发生的可能性较大.　(2)P(A)==,P(B)==.
3.解:P(红球)==.
4.解:P(碰上地雷)=.
5.P(D)>P(B)>P(C)>P(A)
B组
1.解:(1).　(2)0.　(3).
2.解:将除了颜色不同其他均相同的6个红球,4个白球,2个黄球放入一个不透明的袋子里,搅匀后从中摸出1个球,则摸到红球的概率是,摸到白球的概率是,摸到黄球的概率是.(答案不唯一)


重视数学与生活密切联系的教学
本节课是通过试验和生活实际情景,让学生从数值关系中发现规律,总结得出结论,明确是在相同条件下,通过大量重复试验或观察得出的结果,进而获得概率的定义,在定义的理解中,让学生清楚概率与频率的区别和联系,这是本节课的难点.概率是一门研究现实世界广泛存在的随机现象的规律的科学,因此,在教学设计中生活实际情景贯穿整个教学设计的始终,渗透数学源于生活、寓于生活、用于生活的意识,激发学生的好奇心和求知欲,体会数学与实际生活密切联系.在设计的教学活动中,在教师的引导下,以学生的自主探究为主,应充分发挥学生的主动性,让学生亲自试验,亲自感受规律的发现过程,教师鼓励学生大胆发表自己的见解,大胆质疑,经历知识的形成过程,激发学生学习兴趣,提高学生课堂参与意识,从而培养学生的动手、动脑能力,达到突破难点强化重点的目的.

　下列说法中正确的是 (　　)
①不太可能发生的事就一定不能发生;
②一件事情要么发生,要么不发生,所以它发生的概率为0.5;
③买1张彩票的中奖率为,那么买1张彩票一定不会中奖;
④抛一枚硬币的前9次均出现正面,则第10次一定会出现反面.
　　A.4个 B.3个 C.2个 D.0个
解析:不太可能发生的事是随机事件,一定不能
发生是不可能事件,故①错误;一件事情要么发生,要么不发生,所以它发生的概率大于0小于1,故②错误;彩票中奖是随机事件,不是不可能事件,故③错误;抛一枚硬币出现正面是随机事件,第10次不一定会出现反面,故④错误.故选D.
第课时



1.进一步理解概率的意义.
2.会求实际问题中等可能事件的概率,并能通过概率判断游戏是否公平.

1.经历探究游戏是否公平的过程,体会游戏是否公平的本质特征,体会数学与实际生活之间的联系.
2.提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的数学化归思想.

1.在体会概率意义的同时,感受与他人合作的重要性.
2.体验从事物的表象到本质的探究过程,感受数学的科学性及生活中丰富是数学现象.
3.使学生认识到研究随机事件的概率是现实生活的需要,树立辩证唯物主义观点.

【重点】
用列举法求概率.
【难点】
能根据不同情况选择恰当的方法进行列举,解决较复杂事件概率的计算问题.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　预习教材P66~69.


导入一:
复习提问:
1.什么是事件A的频率?
2.什么是等可能事件的概率?
【师生活动】　学生思考回答,教师点评,并强调两者之间的关系.
导入二:
思考:
1.抛掷一枚质地均匀的骰子,向上一面的点数是6的概率是多大?若点数分别是4,5呢?
2.从分别写有数字1,2,3,4,5的五张纸片中随机抽取一张,你能求出“抽到偶数”“抽到奇数”这两个事件的概率吗?
3.在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,5,从中随机摸出一个小球,其标号大于2的概率是多少?
【师生活动】　学生独立思考后,小组内交流答案,小组代表展示后,教师点评,导入新课.
[设计意图]　通过复习回忆频率和概率的有关概念,为本节课的学习做好铺垫,同时通过求常见掷骰子、抽卡片及摸球事件中的概率,自然地构建新知识,学生易于理解和接受.

　　[过渡语]　上节课我们学习了概率的有关概念,并能够求等可能简单事件的概率.这节课我们进一步通过求概率,看看游戏是否公平.
一起探究一
(课件展示)
小明和小亮做掷硬币游戏.
将一枚质地均匀的硬币投掷两次.如果都是正面朝上,那么小明胜;如果一次正面朝上、一次反面朝上,那么小亮胜.这个游戏公平吗?
思路一
(课件展示)
甲同学的观点:
掷两次硬币,有三种可能结果:“两次都是正面朝上”“一次正面朝上、一次反面朝上”“两次都是反面朝上”.这三个事件的概率相等,都是.游戏是公平的.
乙同学的观点:
我做过掷两次硬币的试验,在100次重复试验中,“一次正面朝上、一次反面朝上”的频率明显比“两次都是正面朝上”的频率大.我认为游戏不公平.
大家谈谈:
1.甲、乙两名同学发表了各自的观点,你同意谁的观点?
2.怎样才算是一个公平的游戏?
【师生活动】　学生独立思考后,小组内合作交流,教师在巡视中帮助有困难的学生,小组代表展示,教师鼓励学生发表自己的看法,师生共同归纳结论.
结论:
在机会游戏中,对于两个事件A和B,如果规定A发生,甲胜,B发生,乙胜,那么当事件A和B的概率相等时,游戏是公平的.否则,就不公平.
思路二
教师引导学生思考:
1.掷两次硬币,有几种等可能的结果?你能列举出来吗?
2.你能分别求出“两次都是正面朝上”“一次正面朝上、一次反面朝上”的概率吗?
3.如果问题2中的两个事件的概率相等,那么该游戏是否公平?
4.某同学说:我做过掷两次硬币的试验,在100次重复试验中,“一次正面朝上、一次反面朝上”的频率明显比“两次都是正面朝上”的频率大.我认为游戏不公平.你认为这位同学说的有道理吗?为什么?
5.你认为怎样才算是一个公平的游戏?
【师生活动】　学生在教师提出问题的引导下思考,小组合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表展示,学生质疑,教师点评,师生共同归纳结论.
结论:
在机会游戏中,对于两个事件A和B,如果规定A发生,甲胜,B发生,乙胜,那么当事件A和B的概率相等时,游戏是公平的.否则,就不公平.
[设计意图]　通过教师引导、小组合作交流等数学活动,得到判断游戏是否公平不是看各方获胜的次数,而是通过计算各方的概率是否相等进行判断.在解决学生感兴趣的情景问题过程中,进一步理解概率的意义.
一起探究二
(课件展示)
如图所示,掷两次硬币.

【师生活动】　教师引导学生用树形图的形式列举出所有可能结果,并说明这些结果是等可能的,学生观察并思考下列问题
(课件展示)
(1)有几种等可能的结果?
(2)P(两次正面朝上)=　　　　; 
P(一次正面朝上,一次反面朝上)=　　　　; 
P(两次反面朝上)=　　　　; 
(3)对于小明和小亮所做的掷硬币游戏,如果游戏不公平,怎样修改游戏规则,可使其成为一个公平的游戏?
【师生活动】　学生独立思考后,小组内合作交流,小组代表展示,对如何修改游戏规则,教师鼓励学生大胆发表自己的观点,只要双方获胜的概率相等即可,教师对学生的展示作出评价.
[设计意图]　教师引导学生通过画图列举事件的结果,为后边学习树形图求事件的概率做好铺垫,同时让学生熟练求等可能事件的概率的方法和步骤,并进一步理解游戏是否公平的判断原则,提高学生分析问题、解决问题的能力.
做一做
(课件展示)
甲、乙两个盒子中各装有三张分别标记1,2,3的卡片,分别从甲、乙两个盒子中随机抽取一张,记录上面的数,并用(m,n)表示“甲盒中抽取的卡片上的数为m,乙盒中抽取的卡片上的数为n”这一结果.
(1)这样的“数对”共有多少种可能结果?
(2)将所有这样的“数对”的可能结果及对应的两数之和填入下表:
可能结果









两数的和









　　(3)P(两数之和为奇数)=　　　　,P(两数之和为偶数)=　　　　. 
【师生活动】　学生独立思考完成后,小组内交流答案,小组代表展示结果,教师点评.
[设计意图]　通过做一做,进一步巩固求等可能事件的概率的方法,培养学生独立思考的习惯.
例题讲解
(课件展示)

　(教材第67页例2) 一副扑克牌除去“大、小王”后共有52张,充分洗匀后从中任意抽取1张牌.
(1)抽到红心牌的概率是多大?
(2)抽到A牌的概率是多大?
(3)抽到红色牌的概率是多大?
教师引导分析:
1.52张扑克牌中任意抽取一张共有多少等可能的结果?
2.52张扑克牌中红心牌有多少张、A有几张、红色牌有多少张?
3.52张扑克牌中任意抽取一张,抽到红心的等可能的结果有几种?抽到A、抽到红色牌呢?
4.你能根据概率的定义分别求出以上事件的概率吗?
【师生活动】　学生根据教师提出的问题,独立思考完成,小组内合作交流答案,小组代表展示,教师点评.
(板书)
解:从52张扑克牌中任意抽取1张牌,共有52种等可能结果,其中抽到红心牌的结果有13种,抽到A牌的结果有4种,抽到红色牌(红心牌13张、方块牌13张)的结果有26种.所以:
P(抽到红心牌)==,
P(抽到A牌)==,
P(抽到红色牌)==.
[设计意图]　通过例题进一步理解简单事件的概率的意义,熟练应用概率的定义求简单事件的概率的方法步骤,培养学生分析问题、解决问题的能力.
[知识拓展]　1.概率是反映事件发生可能性大小的一般规律,同一个事件可能发生的概率与不可能发生的概率之和为1.
2.在机会游戏中,判断游戏对甲、乙两人是否公平,即分别求出甲、乙两人获胜事件的概率,若两个事件的概率相等,则游戏公平,若两个事件的概率不相等,则游戏不公平.

1.求简单事件概率的方法步骤.
2.如何利用概率判断游戏是否公平.

1.某种彩票中奖的概率是1%,下列说法正确的是 (　　)
　　A.买1张这种彩票一定不会中奖
B.买1张这种彩票一定会中奖
C.买100张这种彩票一定会中奖
D.买这种彩票中奖的可能性很小
解析:中奖机会是1%,就是说中奖的概率是1%,机会较小,但也有可能发生.故选D.
2.在一个不透明的口袋中,装有3个红球,2个白球,它们除颜色外都相同,从中任意摸出一个球,摸到红球的概率为 (　　)
A. B. C. D.
解析:∵共5球在袋中,其中3个红球,∴摸到红球的概率为.故选C.
3.写有“中国”“美国”“英国”“韩国”的四张卡片,从中随机抽取一张,抽到卡片所对应的国家在亚洲的概率是　　　　. 
解析:∵有“中国”“美国”“英国”“韩国”的四张卡片,卡片所对应的国家为亚洲的有“中国”“韩国”,∴从中随机抽取一张,抽到卡片所对应的国家为亚洲的概率是=.故填.
4.从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者,求下列事件的概率:
(1)抽取1名,恰好是甲;
(2)抽取2名,甲在其中.
解:(1)∵从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者,
∴抽取1名,恰好是甲的概率为.
(2)∵抽取2名,可得:甲乙,甲丙,乙丙,共3种等可能的结果,甲在其中的有2种情况,
∴抽取2名,甲在其中的概率为.
5.小明和小华要下棋,在决定谁先下的时候,两人起了争执,都想自己先下,笑笑想了一个游戏规则:掷骰子,大于3小明先行,小于3小华先行,若恰好是3,两人不输不赢,你认为笑笑的游戏规则公平吗?
解:掷骰子的共有6种可能结果:1,2,3,4,5,6.
大于3的有三种可能:4,5,6.小于3的有两种可能:1,2.
所以小明先行的概率为=,小华先行的概率为=,
因为≠,所以笑笑制订的游戏规则不公平.

第2课时
一起探究一
一起探究二
做一做
例题讲解

一、教材作业
【必做题】
教材第68页习题A组的1,2,3,4题.
【选做题】
教材第69页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为,下列说法错误的是 (　　)
A.连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B.连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C.大量反复抛一枚均匀硬币,平均每100次出现正面朝上50次
D.通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
2.小芳将一个质地均匀的骰子(各面分别标有1,2,3,4,5,6)连续抛了两次,朝上的数字都是“6”,则她第三次抛掷,数字“6”朝上的概率为 (　　)
A. B. C.1 D.无法确定
3.在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,5,从中随机摸出一个小球,其标号大于2的概率为 (　　)
A. B. C. D.
4.小刚掷一枚均匀硬币,结果是一连9次都掷出正面朝上,则他第10次掷硬币时,出现正面朝上的概率是 (　　)
A.0 B.1 C. D.不确定
5.四张质地、大小、背面完全相同的卡片上,正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案.现把它们的正面向下随机摆放在桌面上,从中任意抽出一张,则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为 (　　)
A. B. C. D.1
6.在一个不透明的盒子中装有8个白球,若干个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同,若从中随机摸到一个球,它是白球的概率为,则黄球的个数为 (　　)
A.2 B.4 C.12 D.16
7.端午节前,妈妈去超市买了大小、质量及包装均相同的粽子8个,其中火腿粽子5个,豆沙粽子3个,若小明从中任取1个,是火腿粽子的概率是　　　　. 
8.有4条线段,长度分别为3 cm,4 cm,5 cm,6 cm,从中任取3条,能构成直角三角形的概率是　　　　. 
9.一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球,其中5个黄球,8个黑球,7个红球.
(1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率;
(2)现从袋中取出若干个黑球,搅匀后,使从袋中摸出一个球是黑球的概率是,求从袋中取出黑球的个数.
10.在只有一张足球门票的情况下,两位球迷为决定谁去,进行了下面的游戏:两枚质地均匀的硬币同时抛出,若出现一正一反,则甲胜;若出现同正或同反,则乙胜.这样的游戏对甲、乙二人是否公平?
【能力提升】

11.一儿童行走在如图所示的地板上,当他随意停下时,最终停在地板上阴影部分的概率是 (　　)
A.　 B.　 C.　 D.
12.某公司对一批某一品牌的衬衣的质量抽检结果如下表:
抽查件数
50
100
200
300
400
500
次品件数
0
4
16
19
24
30
(1)从这批衬衣中任抽1件是次品的概率约为多少?
(2)如果销售这批衬衣600件,那么至少需要准备多少件正品衬衣供买到次品的顾客调换?
【拓展探究】

13.如图所示的是一个转盘.转盘分成8个相同的图形,颜色分为红、绿、黄三种,指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个图形的交线时,当作指向右边的图形),求下列事件的概率.
(1)指针指向红色;
(2)指针指向黄色或绿色.
【答案与解析】
1.A(解析:连续抛一均匀硬币2次,有可能两次都正面朝上,也可能都反面朝上,故选项A错误;连续抛一均匀硬币次都正面朝上,是一个随机事件,10次都可能正面朝上有可能发生,故选项B正确;大量反复抛一均匀硬币,平均100次出现正面朝上50次,也有可能发生,故选项C正确;通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的,概率均为,故选项D正确.)
2.A(解析:根据题意,每个面出现的机会是相等的,所以第三次抛掷,朝上数字是“6”的概率是.)
3.C(解析:从口袋中随机摸出一个小球,共有5种等可能的结果,而标号大于2的有3,4,5,共3种结果,所以所求概率为.)
4.C(解析:抛掷一枚硬币,正面朝上的概率为,与投掷次数无关.)
5.B(解析:四种图形中中心对称图形有2种,故P(中心对称图形)=.)
6.B(解析:设有x个黄球,故P(抽到白球)==,故x=4.)
7.(解析:∵共有8个粽子,火腿粽子有5个,∴从中任取1个,是火腿粽子的概率是.)
8.(解析:4条线段中任取3条线段,共有3,4,5;3,4,6;4,5,6;3,5,6四种情况,其中3,4,5一组能构成直角三角形,所以所求概率为.)
9.解:(1)从袋中摸出一个球是黄球的概率为=.　(2)设从袋中取出x个黑球,根据题意可得=,解得x=2,所以从袋中取出2个黑球.
10.解:这样的游戏对甲、乙二人公平.理由如下:两枚质地均匀的硬币同时抛出,可能的情况为:正正、正反、反正、反反,∴出现一正一反的概率是,出现同正或同反的概率是.∴这样的游戏对甲、乙二人公平.
11.A(解析:观察这个图可知:黑色区域(3块)的面积占总面积(9块)的,故其概率为.)
12.解:(1)=0.06,即从这批衬衣中抽1件是次品的概率约为0.06.
(2)600×0.06=36(件),即至少需要准备36件正品衬衣供买到次品的顾客调换.
13.解:按颜色把8个扇形分为红1、红2、绿1、绿2、绿3、黄1、黄2、黄3.所有可能结果的总数为8.(1)指针指向红色的结果有2种,∴P(指向红色)==.　(2)指针指向黄色或绿色的结果有3+3=6(种),∴P(指向黄色或绿色)==.


本节课通过设计判断一个机会游戏是否公平的问题情景,学生经过独立思考、小组合作交流、学生展示等数学活动作出判断,在教学活动中,教师鼓励学生大胆发表自己的看法,学生思维活跃,在具体情景中进一步理解概率的意义.在一起探究二中,教师引导学生用图形列举所有等可能的结果,为后边学习树形图求事件的概率打下铺垫,通过修改游戏规则,学生再次体会游戏是否公平通过两个事件的概率大小是否相等做出判断.做一做和例题讲解,教师把课堂再次交给学生,学生独立思考完成后,小组合作交流、展示,充分发挥学生在课堂上的主体作用,学生在课堂上体验成功的快乐,激发学习数学的兴趣.

本节课是上节课求简单事件的概率的延续,大部分知识学生能够通过自主学习完成,在课堂上给学生自主学习、独立思考、小组合作交流的时间还是较少,教师放不开手脚,重复较多,在以后的教学中给学生更多的机会和时间,让他们充分融汇到自主学习中,在合作交流中提炼结论,让每个人在课堂上学到有价值的数学.此外学生第一次接触到用图形列举试验结果,教师在引导过程中语言不够简练明确,学生理解有困难时,没有通过具体事例,让学生亲自尝试用图形列举试验结果.

本节课通过掷硬币游戏,判断游戏是否公平导入新课,学生在上节课学习概率的意义的基础上很自然地构建出新知识——通过计算事件的概率判断游戏是否公平,在教学设计中,给学生时间和空间进行独立思考、小组合作交流,让学生通过自主学习、合作交流归纳出结论,体验知识的形成过程.在教学设计中,用图形列举事件的结果是本节课的难点,教师引导语言要简练明确,设计一个小练习让学生独立完成,达到巩固难点的目的.最后的做一做及例题讲解,教师要放开手脚,让学生思考、交流完成,发挥学生的主体作用.

练习(教材第68页)
1.解:不同意,硬币正面朝上和反面朝上的概率都是,所以两人获胜的概率相同,游戏是公平的.
2.解:丙的观点是正确的.理由为:指针停在蓝色区域的概率是不变的,与其他各次试验中指针停在何种区域无关,所以甲的观点不正确;指针停在蓝色区域的概率是,表明指针停在蓝色区域的可能性是,但并不说明重复试验三次一定会有一次指针停在蓝色区域,所以乙的观点不正确;由于三种颜色区域,在转盘中所占的比例相等,所以指针停在三个区域的概率相等.
习题(教材第68页)
A组
1.解:公平.因为硬币只有正反两面,以正面或反面朝上决定先后开球的顺序,可使双方的机会是均等的,即各占,所以这种方式是公平的.
2.
3.解:P(A)=,P(B)=,P(C)=.
4.解:(1)P(选到女生)==.　(2)P(选到共青团员)==.　(3)P(选到女共青团员)==.
B组
1.解:不公平.因为P(甲获胜)=,P(乙获胜)=,所以游戏规则不公平.
2.解:2个扇形涂红色,4个扇形涂黄色,6个扇形涂蓝色.


采用自主学习、合作交流的学习方式
本节课的重点是进一步理解概率的意义,会求简单事件的概率,并能通过计算事件的概率判断机会游戏是否公平,在上节课学生已经学习了概率的定义,所以对本节课的学习有了一定的学习经验和基础,在教学设计中,注重采用自主学习的方式教学,在完成对相关知识点的回顾后,从学生的生活经验和已有的知识背景出发,引入新课题,让学生进行分组讨论,教师以问题的形式加以引导,学生通过小组互动交流,达成共识,共同归纳出结论.在做一做、例题讲解等教学设计中,教师为学生创造主动参与学习过程的条件,使学生领悟新知识,帮助学生在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识、技能、数学思想和方法.教师在教学活动中只是组织者和参与者,真正的实施者是学生,要最大限度地满足学生自主发展的需要,要尽可能做到让学生在“活动”中学习,在“主动”中发展,在“合作”中增知,在“探究”中创新,要充分体现学生学习的自主性.

　投掷一枚普通的正方体骰子24次.
(1)你认为下列四种说法哪种是正确的?
①出现1点的概率等于出现3点的概率;
②投掷24次,2点一定会出现4次;
③投掷前默念几次“出现4点”,投掷结果出现4点的可能性就会加大;
④连续投掷6次,出现的点数之和不可能等于37.
(2)求出现5点的概率.
(3)出现6点大约有多少次?
解:(1)∵抛掷正方体骰子出现3和出现1的概率均为,∴①正确;
∵连续投掷6次,最多为6×6=36,
∴出现的点数之和不可能等于37,
∴④正确.
(2)出现5点的概率不受抛掷次数的影响,始终是.
(3)出现6点大约有24×=4(次).

31.3　用频率估计概率





1.通过观察频率的波动情况及变化趋势,认识频率的稳定性.
2.体会频率与概率之间的关系,知道用频率来估计概率.

1.经历观察思考、试验操作,认识频率的稳定性,提高学生动手操作能力及观察能力.
2.通过理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率,进一步发展概率观念.
3.了解模拟试验在求一个实际问题中的作用,进一步提高用数学知识解决实际问题的能力.
4.经历试验及分析试验结果、收集数据、分析数据、得出结论的过程,体会用频率来估计概率,发展学生根据频率的集中趋势估计概率的能力.
5.学会根据问题的特点,用统计来估计事件发生的概率,培养分析问题、解决问题的能力.

1.通过对实际问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想方法.
2.通过具体实际生活情景,经历用频率估计概率的过程,激发学生的学习兴趣,体验数学的应用价值.
3.通过探究频率与概率之间的关系,提高学生动手能力,加强集体合作意识,激发学习兴趣.
4.在经历用试验的方法探究概率的过程中,培养学生的动手能力、分析能力,进一步增强统计意识、发展概率观念.

【重点】
用频率估计概率.　
【难点】
用频率估计概率的探究过程.
第课时



1.通过观察频率的波动情况及变化趋势,认识频率的稳定性.
2.体会试验次数增大时,频率的变化趋势是稳定在某个值附近.

1.经历观察思考、试验操作,认识频率的稳定性,提高学生动手操作能力及观察能力.
2.通过理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率,进一步发展概率观念.
3.在解决问题中学会用数学的思维方式思考生活中的实际问题的习惯.

1.通过对实际问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想方法.
2.通过具体实际生活情景,经历用频率估计概率的过程,激发学生的学习兴趣,体验数学的应用价值.

【重点】
认识频率的稳定性.
【难点】
频率稳定性的探究过程.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　预习教材P71~73.


导入一:
复习提问:
(课件展示)
1.抛一次硬币,向上的一面是正面的概率是　　　　. 
2.掷一次骰子,向上的一面数字是6的概率是　　　　. 
3.从一副没有大小王的扑克牌中任抽一张,则抽到的牌面数字是5的概率为　　　　. 
【师生活动】　学生独立思考回答,教师点评结果,并回忆求概率的方法,教师引导上述事件的结果是有限个,并且结果是等可能的.
导入二:
欣赏著名球星詹姆斯图片,提问:你知道詹姆斯罚球命中率是多少吗?

【师生活动】　学生猜想回答,教师鼓励学生大胆发言.教师引导学生分析当试验的所有结果不是有限个,或各种可能结果发生的可能性不相等时,又该如何求事件发生的概率呢?引出课题——用频率估计概率.
[设计意图]　通过复习和学生感兴趣的球星罚球命中率,为本节课的学习做好铺垫,同时激发学生的学习兴趣和探究欲望.

　　[过渡语]　对现实生活中的某些随机事件,需要做大量重复试验,用事件的频率去估计概率.那么频率和概率具有怎样的关系呢?
共同探究
思路一
(课件展示)
学生自主学习教材,并回答下列问题:
1.掷一枚质地均匀的硬币,落地后,“正面朝上”和“反面朝上”的概率分别是多少?
2.通过两次试验结果列出的表格及画出的折线图,你得到什么结论?
列表如下:
小组序号
n=50
n=500
频数
频率
频数
频率
1
22
0.44
251
0.502
2
25
0.50
249
0.498
3
21
0.42
256
0.512
4
27
0.54
246
0.492
5
24
0.48
251
0.502
　　将上面的试验结果用折线统计图表示,如图所示.


3.通过试验,可以看出同一事件频率和概率之间的关系吗?
【师生活动】　学生自主学习后,小组内合作交流,小组代表发言,教师鼓励学生大胆发表自己的观点,对学生回答正确的观点都给予肯定,在学生发表完自己的观点后,教师归纳总结.
结论:
对掷硬币试验,“正面朝上”的概率为0.5,而频率则具有不确定性.试验次数不同,频率可能不同;即使是相同次数的不同试验,频率也可能不同.当试验次数较小时,频率的波动较大,但是随着试验次数的增大,“正面朝上”发生的频率波动明显减小,逐渐稳定到0.5附近.这个性质叫做频率的稳定性.
思路二
进行一个分组试验:
1.明确规则:把全班分成10组,每组中有一名学生投掷硬币,另一名同学做记录,其余学生观察试验必须在同样条件下进行.
2.明确任务:每组投掷硬币50次,以实事求是的态度,认真统计“正面朝上”的频数,算出其频率,整理试验的数据,并记录下来.
3.继续试验,每组投掷硬币500次,认真统计“正面朝上”的频数,算出其频率,整理试验的数据,并记录下来.
4.各组汇报试验结果,完成表格.
小组序号
n=50
n=500
频数
频率
频数
频率
1




2




3




4




5




　　5.将记录的结果画成折线图.


提出问题:
观察上图,思考下列问题:
(1)当试验次数较小时,频率有什么特征?
(2)当试验次数很大时,频率有什么样的变化趋势?
(3)当试验次数较大时,频率与概率有什么关系?
【师生活动】　学生小组内完成试验,汇报结果,教师根据小组数据完成表格和折线图,小组内合作交流试验结果,教师鼓励学生大胆发表自己的观点,师生共同归纳结论.
结论:
对掷硬币试验,“正面朝上”的概率为0.5,而频率则具有不确定性.试验次数不同,频率可能不同;即使是相同次数的不同试验,频率也可能不同.当试验次数较小时,频率的波动较大,但是随着试验次数的增大,“正面朝上”发生的频率波动明显减小,逐渐稳定到0.5附近.这个性质叫做频率的稳定性.
[设计意图]　通过自主学习、合作交流或小组试验,共同得出当试验次数增加时,频率与概率之间的关系,激发学生的学习兴趣,培养学生的合作意识.
做一做
(课件展示)
1.将全班分成12个小组,课外时间每个小组做20次掷硬币试验,记录事件A=“正面朝上”发生的次数.汇总各小组的试验结果,填写下表:
小组序号
1
2
3
4
5
6
A发生次数






小组序号
7
8
9
10
11
12
A发生次数






　　2.整理上表中的数据,依次累计进行20次、40次、…、240次试验,记录事件A发生的次数,计算相应的频率,填写下表:
累计抛掷次数
20
40
60
80
100
120
A发生次数






A发生的频率






累计抛掷次数
140
160
180
200
220
240
A发生次数






A发生的频率






　　3.在图中画折线统计图,表示事件“正面朝上”发生的频率的变化趋势.

4.观察上面的统计表与统计图,随着投掷次数的增加,事件“正面朝上”发生的频率是如何变化的?是否逐渐稳定到0.5附近?
【师生活动】　教师布置具体任务,学生课下完成表格和折线图.
[设计意图]　通过课下进行抛硬币试验,让学生体会当试验次数增加时,频率与概率之间的关系,为下节课的学习做好铺垫.
[知识拓展]　用频率估计概率的大小时,试验一定要在相同的条件下进行,试验次数越多,得到的频率越准确,规律就越明显,此时频率稳定在事件发生的概率.

对掷硬币试验,“正面朝上”的概率为0.5,而频率则具有不确定性.试验次数不同,频率可能不同;即使是相同次数的不同试验,频率也可能不同.当试验次数较小时,频率的波动较大,但是随着试验次数的增大,“正面朝上”发生的频率波动明显减小,逐渐稳定到0.5附近.这个性质叫做频率的稳定性.

　　1.某同学抛掷两枚硬币,分10组试验,每组20次,下面是共计200次试验中记录下的结果.根据下列表格内容填空:
试验组别
两个正面
一个正面
没有正面
第1组
6
11
3
第2组
2
10
8
第3组
6
12
2
第4组
7
10
3
第5组
6
10
4
第6组
7
12
1
第7组
9
10
1
第8组
5
6
9
第9组
1
9
10
第10组
4
14
2
　　(1)在他的10组试验中,抛出“两个正面”频数最少的是他的第　　　　组试验. 
(2)在他的第1组试验中抛出“两个正面”的频数是　　　　,在他的前两组(第1组和第2组)试验中抛出“没有正面”的频数分别是　　　　. 
(3)在他的10组试验中,抛出“两个正面”的频率是　　　　,抛出“一个正面”的频率是　　　　,“没有正面”的频率是　　　　,这三个频率之和是　　　　. 
解析:(1)观察试验结果可得抛出“两个正面”频数最少的是他的第9组试验;(2)第1组试验中抛出“两个正面”的频数是6,他的前两组试验中抛出“没有正面”的频数分别是3和8;(3)根据表中所显示的数据可知抛出“两个正面”的频率为:=0.265,抛出“一个正面”的频率是:=0.52,抛出“没有正面”的频率是:=0.215,这三个频率之和是:0.265+0.52+0.215=1.
答案:(1)9　(2)6　3和8　(3)0.265　0.215　1
2.小颖和小红两位同学在学习“概率”时,做投掷骰子(质地均匀的正方体)试验,她们共做了60次试验,试验的结果如下:
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
7
9
6
8
20
10
　　(1)计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率.
(2)小颖说:“根据上述试验,一次试验中出现5点朝上的概率最大”;小红说:“如果投掷600次,那么出现6点朝上的次数正好是100次”.小颖和小红的说法正确吗?为什么?
解:(1)“3点朝上”的频率是=;
“5点朝上”的频率是=.
(2)小颖的说法是错误的.
因为“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大,只有当试验的次数足够大时,该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近.
小红的说法也是错误的.
因为事件的发生具有随机性,所以“6点朝上”的次数不一定是100次.

第1课时
共同探究
做一做

一、教材作业
【必做题】
教材第73页习题A组的1,2,3题.
【选做题】
教材第74页习题B组.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列说法正确的是 (　　)
A.抛一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会一样大
B.为了解汉口火车站某一天中通过的列车车辆数,可采用全面调查的方式进行
C.彩票中奖的机会是1%,买100张一定会中奖
D.中学生小亮,对他所在的那栋住宅楼的家庭进行调查,发现拥有空调的家庭占100%,于是他得出全市拥有空调家庭的百分比为100%的结论
2.九年级(1)班同学做抛质地均匀硬币的试验,每人10次,其5人,10人,15人,…,50人的试验数据及部分频率如下表:
抛掷次数n
正面朝上
的频数m
正面朝上
的频率m/n
50
20
0.4
100
53
0.53
150
70
0.47
200
98
a1
250
115
0.46
300
156
a2
350
169
0.48
400
202
a3
450
219
0.49
500
244
a4
(1)计算上表中的频率a1=　　　　,a2=　　　　,a3=　　　　 ,a4=　　　　; 
(2)在图中画出正面朝上的频率折线统计图;
(3)出现正面朝上的频率稳定吗?你认为它在哪个常数附近摆动?

3.抛掷一枚质地均匀的正四面体骰子,统计朝上一面出现3点的数据如下表:
抛掷次数
出现3点的频数
出现3点的频率
10
2
0.200
30
10
0.333
50
14

70
22

80
22
0.275
100
23
0.230
200
53
0.265
240
62

300
76

360
89

500
126

(1)把统计表补充完整;
(2)随着试验次数的增加,朝上一面出现3点频率变化有何趋势?
【能力提升】
4.以下是投掷一枚正四面体骰子200次所得朝上的面的点数的记录(5个数为一组):
12314,13231,32211,34223,12123,
24143,23211,13141,32324,43314,
34442,34112,11424,21123,22244,
32342,14434,33433,22141,21441,
33311,21421,31221,32244,44344,
41434,14231,24231,11124,41342,
22431,23442,33414,13114,12312,
11322,41123,42324,31144,11131.
(1)将数据整理后填入下表:
投掷次数
出现1点的频数
出现1点的频率
1


5


10


15


20


25


30


40


50


60


70


80


90


100


110


120


130


140


150


160


170


180


190


200


(2)根据表中所填数据绘制“出现1点的频率”随投掷次数变化趋势的折线图;
(3)投掷5次和投掷10次后所得频率值的差是多少?25次和30次之间呢?30次和40次之间、90次和100次之间、190次和200次之间呢?从中你发现了什么规律?
(4)仿照上面的方法对其他点数出现的频率进行观察,你又发现了什么?
(5)你能根据以上数据对不同点数出现的机会大小进行估计吗?
【拓展探究】
5.某园林公司去年年初种下了15000株四季常青的某种树苗,经统计,两年来的成活率如下表:
3个月
6个月
9个月
1年
15个月
1年半
2年
0.98
0.95
0.93
0.9
0.88
0.87
0.87
　　现打算将这批树苗立即上市.已知这批树苗的前期各种投入为30万元,预计后期投入约9万元.
(1)这批树苗的成本价为多少元/棵?
(2)考虑到收回创办园林公司时的成本及上缴利润的各项开支,预计这批树苗拟获利24万元,请计算一下这批树苗的出售价大约为多少元比较合适.(精确到元)
【答案与解析】
1.B(解析:A中图钉的两面的面积不一样,所以抛一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会不一样,错误;B中可实际操作,所以应该用普查的方式,正确;C中概率是1%,属于随机事件,所以买100张不一定会中奖,错误;D中抽查的样本要具有代表性,他抽的样本不具有代表性,所以不能用来估计总体,错误.)
2.解:(1)0.49　0.52　0.505　0.488　(2)如图所示.　(3)由表格和频率折线统计图可以看出,通过大量试验,发现出现正面朝上的频率稳定,频率围绕0.5上下波动.

3.解:(1)表中依次填:0.280,0.314,0.258,0.253,0.247,0.252.　(2)分析表中数据可知在大量重复试验中,朝上一面出现3点的频率在0.25的左右摆动.随着试验次数的增加,朝上一面出现3点的频率逐渐接近于0.25.
4.解:(1)
投掷次数
出现1点的频率
出现1点的频率
1
1
100%
5
2
40.0%
10
4
40.0%
15
6
40.0%
20
6
30.0%
25
8
32.0%
30
9
30.0%
40
14
35.0%
50
15
30.0%
60
17
28.3%
70
21
30.0%
80
21
26.3%
90
22
24.4%
100
26
26.0%
110
30
27.3%
120
32
26.7%
130
33
25.4%
140
36
25.7%
150
40
26.7%
160
41
25.6%
170
45
26.5%
180
49
27.2%
190
51
26.8%
200
57
28.5%
(2)如图所示.

(3)5次和10次的频率值相等,差为0;25次和30次的差为32.2%-30.0%=2.0%;30次和40次的差为35.0%-30.0%=5.0%;90次和100次的差为26.0%-24.4%=1.6%;190次和200次的差为28.5%-26.8%=1.7%.可以发现随着试验次数的增多,差值较小且趋于稳定.　(4)其他点数出现的频率也在25%左右.　(5)估计都为25%.
5.解:由统计表可知即将出售的这批树苗的成活率稳定在0.87.故可出售的树苗棵数约为15000×0.87=13050(棵).(1)(30+9)×10000÷13050≈30(元/棵),所以这批树苗的成本价约为30元/棵.　(2)(30+9+24)×10000÷13050≈48(元/棵),所以这批树苗的出售价大约为48元/棵.


本节课是经历观察思考、试验操作,用折线统计图表示不同试验次数下事件发生的频率,通过观察频率的波动情况及变化趋势,认识频率的稳定性.教学设计中,教师引导学生观察教材中掷硬币试验的结果,发现频率有什么规律,使学生对频率的稳定性有了初步的感性认识,然后在做一做教学环节,让学生进行重复试验,各组汇报结果,计算不同试验次数下的频率,画出频率折线统计图,观察频率变化趋势,让学生通过亲身试验,观察得出结论,在试验活动中,学生积极主动,参与意识较强,提高了学生动手、动脑及观察能力,培养学生合作意识,给学生更大的空间进行探索归纳,为下节课的学习做好铺垫.

本节课的内容较少,主要是通过分组试验,计算不同试验次数下的频率,绘制出频率折线统计图,使学生得出结论.在课堂上学生在小组内积极试验,但是教师在学生试验过程中,时间分配不是太恰当,有些枝节上还是浪费时间,造成试验过程耗时太多,没有进行相关练习.在以后教学设计中遇到学生动手操作试验时,要合理安排时间,突出重点,目的明确,保证试验过程有效,为探究数学知识提供依据.

本节课的重点是通过大量试验,体会随着试验次数的增大,频率会趋于稳定.在教学设计时,首先让学生观察教材中试验数据及频率折线统计图,对频率的稳定性有一个初步的感性认识,然后设计分组试验,试验目的要明确,重点要突出,各组试验后汇报试验结果,师生共同计算不同试验次数下的频率,然后绘制出折线统计图,观察思考频率的变化规律,得出频率随着试验次数的增大逐渐稳定在某个值附近这一事实.让学生通过动手试验,体验成功的快乐,体会知识的生成过程.

练习(教材第73页)
解:(1)不正确,由于随机性,在100次的投掷中,“正面朝上”和“反面朝上”不一定各出现50次.　(2)不正确,由频率的稳定性,可知投掷的次数足够多时,“正面朝上”和“反面朝上”的频率有明显的规律.
习题(教材第73页)
A组
1.(1)正确　(2)错误　(3)错误　(4)正确　(5)正确
2.解:“掷出6点”的概率是,掷6次骰子,不一定能出现一个6点,如果做600次实验,“掷出6点”的频率接近.
3.解:由于随机性,购买100张彩票不一定能中奖,
购买10000张这样的彩票,大约有100张有奖.
B组
解:(1)P(A)=,P(B)=,P(C)=.
(2)
实验次数
10
30
50
70
90
110
130
150
“和为2”出现的次数
1
8
14
18
23
26
33
35
“和为2”的频率
0.1
0.267
0.28
0.257
0.256
0.236
0.254
0.233
“和为3”出现的次数
5
13
23
32
43
53
62
73
“和为3”的频率
0.5
0.433
0.46
0.457
0.478
0.482
0.477
0.487
“和为4”出现的次数
4
9
13
20
24
31
35
42
“和为4”的频率
0.4
0.3
0.26
0.286
0.267
0.282
0.269
0.28
折线统计图略.　(3)是.


动手试验,体会知识的生成过程
概率是事件发生可能性大小的度量,频率反映在特定的重复试验中事件发生的频繁程度,二者既有联系又有区别,本节课的重点是探究频率的稳定性,即随着试验次数的增大,频率由摇摆不定到逐渐稳定,所以本节课的教学设计是以分组试验为主,把试验及探究过程放手交给学生,让他们在分组试验——汇报试验结果——计算频率——绘制折线统计图——观察折线图——归纳结论等试验环节中获取数学知识,体会频率的稳定性,同时体验成功的快乐,试验是点燃学生求知欲望的导火索,是引导学生由感性认识通往理性认识的“引桥”.假如把试验从课堂中删去,整节课就没有了引起学生共鸣的兴奋点,学生自然会觉得索然无味.在教学中还注意到,试验活动锻炼、提高了学生的动手能力及合作能力.总之,课堂上我们应把时间、空间还给学生,让学生动起来,让课堂活起来,让效果好起来.
第课时



知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值,能通过对事件发生频率的分析,估计出事件发生的概率.

1.了解模拟试验在求一个实际问题中的作用,进一步提高用数学知识解决实际问题的能力.经历试验及分析试验结果、收集数据、分析数据、得出结论的过程,体会用频率来估计概率,发展学生根据频率的集中趋势估计概率的能力.
2.初步学会对一个简单的问题提出一种可行的模拟试验.
3.学会根据问题的特点,用统计来估计事件发生的概率,培养分析问题、解决问题的能力.

1.通过探究频率与概率之间的关系,提高学生动手能力,加强集体合作意识,激发学习兴趣.
2.在经历用试验的方法探究概率的过程中,培养学生的动手能力、分析能力,进一步增强统计意识、发展概率观念.
3.通过对实际问题的分析,培养学生实事求是的态度、勇于探索的精神及协作精神.

【重点】
频率和概率的关系,能用频率估计概率.
【难点】
利用频率与概率的关系解决生活中的相关问题.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　预习教材P74~76.


导入一:
复习提问:
1.什么是频率?什么是概率?
2.同一事件的频率和概率相等吗?
3.上节课的抛硬币试验中频率是稳定的吗?概率呢?
4.上节课的抛硬币试验中频率的波动与试验次数有什么关系?
【师生活动】　学生思考回答,教师点评.
导入二:
对于抛硬币试验,各小组汇报课下试验结果,并展示各小组所画出的折线图.
【师生活动】　小组代表汇报结果,教师板书结果,并展示各小组的折线图,师生共同得出结论,教师引出本节课课题——用频率估计概率.
结论:
当试验次数增加时,频率稳定在概率附近.
[设计意图]　通过复习提问,回忆上节课的试验结果,为本节课的学习做好铺垫.通过各小组汇报课下试验结果,很自然地构建出本节课的新知识.

　　[过渡语]　对于掷硬币试验,当投掷次数很大时,“正面朝上”发生的频率逐渐稳定到0.5,即频率稳定到概率.对于其他的试验,事件发生的频率是否也具有稳定性呢?
共同探究
(课件展示)
如图所示,在4张图片中,(1)和(2),(3)和(4)分别拼在一起时,各为一个完整的心形图片.将4张图片背面向上,充分混匀后,从中依次任意取出2张,能拼成一个完整的心形图案算“成功”,否则算“失败”.

思路一
自主学习教材,完成教材中表格及折线图,并思考下列问题:
(课件展示)
1.随着试验次数的增大,“成功”发生的频率是否趋于稳定?稳定在哪个数附近?
2.直接计算“成功”和“失败”的概率.
3.通过观察,试验的次数越多,试验的频率与概率之间有什么关系?
【师生活动】　学生自主学习后,教师给学生充足的时间进行小组内合作交流答案并回答教师提出的问题,小组代表发言,学生提出质疑,师生共同得到结论.
结论:
大量试验表明,随着试验次数的增大,事件发生的频率逐渐稳定到它的概率,或者说概率是频率的稳定值.在实际中,我们常用比较稳定时的频率估计事件的概率,而试验次数越大,得到概率的较精确估计值的可能性越大.
思路二
教师引导学生操作、思考:
1.凭直觉判断:事件“成功”和“失败”的概率相等吗?如果你认为不等,哪一个事件的概率较大?
2.完成表格.
做重复试验进行验证.两名同学做了240次试验,结果如下表:
试验次数
30
60
90
120
150
180
210
240
“成功”发生
的次数
7
17
33
43
48
63
68
83
“成功”发
生的频率
0.23







　　3.根据上述结果画出折线图.

4.观察上图,随着试验次数的增大,“成功”发生的频率是否趋于稳定?稳定在哪个数附近?
5.请你根据概率的定义直接计算“成功”和“失败”的概率.
【师生活动】　
学生在教师逐一问题的引导下,思考、计算、回答,完成表格和折线图,教师及时点评,学生板书计算“成功”和“失败”的概率的过程,教师规范写法.
(板书)从4张图片中依次任取2张,我们用(1,2)表示第一次取得(1)号图片、第二次取到(2)号图片的结果,依此类推,所有可能结果见下表:

　　试验的所有可能结果有12种,其中只有4种能拼成一个完整的心形图案.“成功”的概率为,“失败”的概率为.
思考:
通过计算“成功”的概率,你能发现概率与频率之间的关系吗?
【师生活动】　学生小组内合作交流,师生共同归纳结论.
(课件展示)
大量试验表明,随着试验次数的增大,事件发生的频率逐渐稳定到它的概率,或者说概率是频率的稳定值.在实际中,我们常用比较稳定时的频率估计事件的概率,而试验次数越大,得到概率的较精确估计值的可能性越大.
[设计意图]　学生通过动手操作试验,结合教师提出的问题,小组合作交流,得出试验结论,使学生在经历知识的形成过程中,提高分析问题和解决问题的能力.
做一做
(课件展示)
1.某射击手射击500次,中靶200次.估计该射击手的命中率.
2.某运动员练习篮球投篮200次,命中140次.投篮1次,命中的概率大约为多大?
【师生活动】　学生独立思考后回答,教师点评,再次强调在结果不是等可能的事件中,应通过试验用频率来估计概率.
[设计意图]　通过练习,进一步巩固用频率估计概率在实际生活中的应用.
[知识拓展]　1.当试验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多,或各种结果发生的可能性不相等时,一般通过统计频率来估计概率.
2.用频率估计得到的概率是一个近似值,是大量试验基础上频率的集中趋势值.
3.对于一个随机事件A,用频率估计的概率P(A)不可能小于0,也不可能大于1.
4.概率是针对大量重复试验而言的,大量试验反映的规律并非在每一次试验中一定存在.

本节课主要学习了用频率估计概率.观察计算的各频率数值的变化趋势,即观察各数值主要集中在哪个常数附近,这个常数就是所求概率的估计值.

1.关于频率和概率的关系,下列说法正确的是 (　　)
　　A.频率等于概率
B.当试验次数很大时,频率稳定在概率附近
C.当试验次数很大时,概率稳定在频率附近
D.试验得到的频率与概率不可能相等
解析:频率只能估计概率,所以A错误;当试验次数很大,频率稳定在概率附近,所以B正确;概率是定值,频率稳定在概率附近,所以C错误;试验得到的频率与概率可以相同,如“抛硬币试验”,可得到正面向上的频率为0.5,与概率相同,所以D错误.故选B.
2.做重复试验,抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次,经过统计得“凸面向上”的频率约为0.44,则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为 (　　)
A.0.22 B.0.44
C.0.50 D.0.56
解析:在大量重复试验下,随机事件发生的频率可以作为概率的估计值,因此抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为1-0.44=0.56.故选D.
3.(2016·北京中考)林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率,下表是这种幼树在移植过程中的一组统计数据:
移植
的棵
数n
1000
1500
2500
4000
8000
15000
20000
30000
成活
的棵
数m
865
1356
2220
3500
7056
13170
17580
26430
成活
的频
率
0.865
0.904
0.888
0.875
0.882
0.878
0.879
0.881
　　估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为　　　　. 
解析:用频率估计概率,数据越大,估计越准确,所以移植幼树棵数越多,估算成活的概率越准确,因此0.88可作为估计值.故填0.88.
4.在一次抛掷一枚硬币的试验中,李磊这一小组统计到的部分数据如下表,请你帮他填写完整.
抛掷次数
100
200
500
1000
8000
反面向上的频数
48

246

4002
反面向上的频率

52%

50.1%

　　由此估计出抛一枚硬币出现反面向上的概率约为　　　　. 
解析:根据频率=频数÷试验总次数,分别计算出频率及频数,用频率估计概率可得概率约为50%.故填104,501,48%,49.2%,50.025%,50%.
答案:104　501　48%　49.2%　50.025%　50%
5.一个口袋里放有20个球,其中红球6个,白球和黑球若干个.每个球除了颜色外其他均相同.
(1)小王通过大量重复试验(每次取一个球,放回搅匀,再取第二次)发现,取出黑球的频率稳定在左右,请你估计袋中黑球的个数;
(2)若小王取出的第一个球是白色,将它放在桌上,闭上眼睛从袋中余下的球中再任意取出一个球,取出红球的概率是多少?
解:(1)由取出黑球的频率稳定在左右,
即可估计取出黑球的概率为,
所以袋中黑球的个数约为×20=5(个).
(2)由于白球的数目减少了1个,故总数减少为19个,所以取出红球的概率增加了,变为.

第2课时
共同探究
做一做

一、教材作业
【必做题】
教材第77页习题A组的1,2题.
【选做题】
教材第77页习题B组.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列说法中,正确的个数是 (　　)
①不可能事件发生的概率为0;
②一个对象在试验中出现的次数越多,频率就越大;
③在相同条件下,只要试验的次数足够多,频率就可以作为概率的估计值;
④收集数据过程中的“记录结果”这一步,就是记录每个对象出现的频率.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.一个口袋里有10个黑球和若干个黄球,从口袋中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回口袋中摇匀,重复上述过程,共试验200次,其中有120次摸到黄球,由此估计袋中的黄球有 (　　)
A.15个 B.30个 C.6个 D.10个
3.在一个暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球,这a个球中红球只有3个.每次将球搅拌均匀后,任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱.通过大量重复摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在25%,那么可以推算出a大约是 (　　)
A.12 B.9 C.4 D.3
4.为了估计湖中有多少条鱼,先从湖中捕捉50条鱼做记号,然后放回湖里,经过一段时间,等带记号的鱼完全混于鱼群之中,再第二次捕捞鱼共200条,有10条做了记号,则估计湖里有鱼 (　　)
A.400条 B.500条 C.800条 D.1000条
5.在某电子厂的一次质量检查中,从30000个电子产品中随机抽查了200个,其中有6个不合格,则出现不合格产品的概率为　　　　,在这30000个电子产品中估计有　　　　个不合格产品. 
6.在创建国家生态园林城市活动中,某市园林部门为了扩大城市的绿化面积,进行了大量的树木移栽.下表记录的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵数与成活棵数:依此估计这种幼树成活的概率是　　　　.(结果用小数表示,精确到0.1) 
移栽棵数(棵)
100
1000
10000
成活棵数(棵)
89
910
9008
7.在一个暗箱中,装有12个黄球和若干个红球,这些球除颜色外没有其他区别,小李通过很多次摸球试验后,发现从中随机摸出一个红球的频率值稳定在25%,则该袋中红球的个数有可能是　　　　. 
8.某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率,对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计,并绘制了如图所示的统计图,根据统计图提供的信息解决下列问题.
(1)这种树苗成活的频率稳定在　　　　,成活的概率估计值为　　　　; 
(2)该地区已经移植这种树苗5万棵.
①估计这种树苗成活　　　　万棵; 
②如果该地区计划成活18万棵这种树苗,那么还需移植这种树苗约多少万棵?

【能力提升】

9.“六·一”儿童节,某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘,开展有奖购买活动,顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应奖品,下表是该活动的一组统计数据,下列说法不正确的是 (　　)
转动转盘
的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”
区域的次数m
68
108
140
355
560
690
落在“铅笔”
区域的频率
0.68
0.72
0.70
0.71
0.70
0.69
A.当n很大时,指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70
B.假如你去转动转盘一次,获得铅笔的概率大约是0.70
C.如果转动转盘2000次,指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次
D.转动转盘10次,一定有3次获得文具盒
10.儿童节期间,某公园游戏场举行一场活动,有一种游戏规则:在一个装有8个红球和若干个白球(每个球除颜色外,其他都相同)的袋中,随机摸一个球,摸到一个红球就得到一个世博会吉祥物海宝玩具,已知参加这种游戏的儿童有40000人,公园游戏场发放海宝玩具8000个.
(1)求参加此次活动得到海宝玩具的频率;
(2)请你估计袋中白球的数量接近多少个.
【拓展探究】
11.小明在操场上做游戏,他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC如图所示,为了求其面积,小明在封闭图形中找出了一个半径为1米的圆,在不远处向封闭图形内掷石子,且记录如下:


你能否求出封闭图形ABC的面积?试试看.
【答案与解析】
1.C(解析:①不可能事件发生的概率为0,正确;②一个对象在试验中出现的次数越多,频率就越大,正确;③在相同条件下,只要试验的次数足够多,频率就可以作为概率的估计值,正确;④收集数据过程中的“记录结果”这一步,是记录每个对象出现的频数,而不是频率,错误.)
2.A(解析:设黄球有x个,则=,解得x=15(已检验).)
3.A(解析:由题意可估计摸到红球的概率约为25%,根据概率的定义可得=25%,解得a=12(已检验).)
4.D(解析:设湖中有鱼x条,则由题意,得=,解得x=1000(已检验).)
5.　900(解析:根据概率的定义可得不合格产品的概率为=,所以估计有30000×=900(个)不合格产品.)
6.0.9(解析:分别计算这种幼树成活的频率得0.89,0.91,0.9008,所以估计这种幼树成活的概率约为0.9.)
7.4(解析:由题意知红球占25%,∴红∶黄=25%∶75%=1∶3.∵有12个黄球,∴红球个数可能为4.)
8.解:(1)0.9　0.9　(2)①4.5　②设还需移植这种树苗约x万棵,根据题意,得0.9x+4.5=18,解得x=15.答:还需移植这种树苗约15万棵.
9.D(解析:A.频率稳定在0.70左右,故n很大时,指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70;B.由A可知转动转盘一次,获得铅笔的概率大约是0.70;C.由题意知指针落在“文具盒”区域的概率大约为0.30,转动转盘2000次,指针落在“文具盒”区域的次数大约有2000×0.3=600(次);D.随机事件,结果不确定.)
10.解:(1)参加此项游戏得到海宝玩具的频率为=.　(2)设袋中共有m个球,则摸到红球的概率P(红球)=,所以≈,解得m≈40,所以白球接近40-8=32(个).
11.解:由记录可得=,可见P(落在☉O内)==,又P(落在☉O内)=☉O的面积∶封闭图形ABC的面积,所以S☉O∶S封闭图形ABC =,所以S封闭图形ABC=3π(平方米).


本节课是在学生对频率和概率有了一定的认识后,通过具体的随机事件,经历对事件概率的直观猜想、试验验证、直接计算概率的过程,体会频率和概率的关系,知道用频率估计概率.对图片复原游戏进行试验,通过试验——汇总结果——绘制折线统计图——观察分析——计算比较——得出结论的探究过程,加深对频率与概率之间的关系的理解.在探究过程中学生积极主动,课堂气氛活跃,每个学生都能参与小组活动,培养了学生的合作意识,提高了学生观察能力及归纳总结能力,让每个学生都能体会到成功的快乐.在课堂上以生活实例为情景,让学生体会数学与实际生活密切联系,激发了学生学习数学的兴趣,真正在课堂上发挥了学生的主体作用.

本节课的教学主要是让学生经历试验探究、计算验证、归纳结论的过程,在试验过程中,学生情绪高涨,课堂有热闹的感觉,但教师组织小组试验引导不到位,秩序较乱,学生在安静的学习环境中才能进行数学思考,所以在以后的教学中注意课堂气氛的调控.同时本节课板书较少,认为板书较长会耽误时间,教师应该走出这个误区,让学生通过看板书明确本课时的重点.另外在探究试验得出结论后,没有进行针对性练习,没有进一步加强对本节课重点内容的理解和掌握.

本节课的重点是通过试验,探究对频率和概率之间的关系,在教学设计中,以生活中卡片复原游戏成功为问题情景,让学生直觉猜想成功的概率,有意识地培养学生的直觉思维,然后分组试验,各小组汇报结果后,计算成功的频率,绘制出折线统计图,观察图形,小组内合作交流,猜想结论,最后小组内完成对随机事件概率的计算,比较猜想结论与计算结果之间的关系.通过小组合作交流得出试验次数较大时,频率稳定在概率附近,用频率可以估计概率.在教学设计中重视学生活动的设计,让每个学生参与课堂,经历知识的形成过程,体验成功的快乐.

练习(教材第76页)
1.解:不可信,因为访问的人数太少.当试验次数太少时,事件发生的频率不能稳定.
2.解:P(男孩)=≈0.507,P(女孩)≈0.493.
习题(教材第77页)
A组
1.解:C单位调查的收视率结果可能更准确些.根据频率的特点,调查人数较少时,很少能得到较准确的估计,当调查人数较多时,频率比较稳定,对收视率的估计可能更准确些.
2.解:(1)频率从左到右依次填写:0.3,0.4,0.625,0.45,0.4625,0.53,0.525,0.514,0.4875.　(2)略.　(3)随着试验次数的增大,频率逐渐稳定在0.5附近.　(4)P(积是2)≈0.5.　(5)P(积是1)=0.25,P(积是2)=0.5,P(积是4)=0.25.
B组
解:(1)甲、乙、丙成功的概率各是.　(2)略.


重视合作交流,促进知识的学习
本节课的重点是学生对频率和概率的关系有了一定的认识后,通过以生活实际为情景,进行试验探究,师生共同得出试验次数较大时,频率稳定在概率的附近,用频率估计概率.在教学设计中,要注重学生的合作和交流活动,在活动中促进知识的学习,并进一步发展学生合作交流的意识和能力.教师引导学生积极参与试验活动,在试验中体会频率的稳定性,形成对概率的全面理解,发展学生初步的辩证思维能力.学生通过大量试验还会发现,试验频率并不一定等于概率,虽然多次试验的频率逐渐稳定于其理论概率,但也可能无论做多少次试验,试验频率仍然是理论概率的一个近似值,而不能等同于理论概率,两者存在着一定的偏差,应该说,偏差的存在是正常的、经常的.因此学生对概率的理解应是多方面的,应尽量让学生通过具体试验领会这一点,从而形成对某一事件发生的概率的较为全面的理解,初步形成随机观念,发展学生初步的辩证思维能力.

31.4　用列举法求简单事件的概率





1.在具体问题情景中了解概率的意义.
2.能通过列表、画树形图等方法列举试验的所有可能的结果,并求简单事件的概率.

1.通过试验活动,体验事件的概率,认识数学与现实世界是密不可分的.
2.通过观察列举法的结果是否重复和遗漏,总结列举不重复不遗漏的方法,培养学生观察、归纳、分析问题的能力.
3.通过应用列表法或画树形图法解决实际问题,提高学生解决问题的能力,发展应用意识.
4.经历应用列表法或画树形图法解决概率实际问题的过程,渗透数学建模的思想方法,感知数学的应用价值.

1.培养学生的探究问题的兴趣,在运用所学知识解决实际问题的过程中,使学生获得成功的体验.
2.引导学生对问题观察、质疑,激发学生的好奇心和求知欲,使学生在运用数学知识解决问题的活动中获得成功的体验,建立学习数学的自信心.
3.通过数学活动提高自身的数学交流水平,增强与他人合作的意识和解决实际问题的能力,发展辩证思维的能力.

【重点】
能够运用列表法和画树形图法计算简单事件发生的概率并阐明理由.
【难点】
判断何时选用列表法或画树形图法求概率更方便.
第课时



1.在具体问题情景中了解概率的意义.
2.能通过列表法列举试验的所有可能的结果,并求简单事件的概率.

1.经历试验、列表、统计、运算等活动,学生在具体情景中分析事件,计算其发生的概率,认识数学与现实世界是密不可分的.
2.通过观察列举法的结果是否重复和遗漏,总结列举不重复不遗漏的方法,培养学生观察、归纳、分析问题的能力.

1.通过试验活动促使学生积极参与学习活动,激发学生对数学的好奇心和求知欲.
2.通过数学活动探究求概率的方法,增强与他人合作的精神和解决实际问题的能力,发展辩证思维的能力.
3.通过丰富的数学活动,交流成功的经验,体验数学活动充满着探索和创造,体会数学的应用价值,培养积极的学习习惯.

【重点】
正确地用列表法计算随机事件发生的概率.
【难点】
如何灵活地用列表法表示出试验所有等可能的结果.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　预习教材P78~79.


导入一:
(课件展示)
温故知新:
1.甲、乙、丙三人抽签确定一人参加某项活动后,乙被抽中的概率是 (　　)
　　A. B. C. D.
2.一个布袋中有4个红球和8个白球,除颜色外完全相同,那么从布袋中随机摸1个球是红球的概率是 (　　)
A. B. C. D.
3.掷一个质地均匀的骰子,观察向上的一面的点数,则点数小于7的概率是 (　　)
A.0 B. C. D.1
【师生活动】　学生独立回答问题,教师点评结果,并引导学生思考:如何不重不漏地列出所有可能的结果呢?引出课题——用列表法求事件的概率.
导入二:
(课件展示)
下面我们做一个游戏,规则如下:
老师向空中抛掷两枚同样的、质地均匀的硬币,如果落地后两面一正一反,老师赢;如果落地后两面一样,你们赢.你们说这个游戏公平吗?
【师生活动】　学生思考后回答,教师用列举法分析,根据概率的定义可求解,并用课件展示解答过程.
(课件展示)
解:抛掷两枚硬币可能的结果有4种,即正正,正反,反正,反反,并且每种结果出现的可能性相同.
(1)一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的结果有2种,即正反,反正,所以=.
(2)两枚硬币两面一样的结果有2种,即正正,反反,所以=.
由此可知双方获胜的概率一样,所以游戏公平.
【导入语】　当一次试验涉及两个因素,并且可能出现的结果数比较少时,我们看到结果很容易被列出来.但如果出现结果的数目较多时,要想不重不漏地列出所有可能的结果,还有什么更好的方法呢?这就是我们一起要探究的列表法求事件的概率.
[设计意图]　通过复习,能及时地反馈对旧知识的掌握情况,调动学生的主观能动性,更能为新知识的学习做好铺垫.引入生活中常见的例子,激发学生的学习兴趣及求知欲,感受数学在实际生活中的应用.

　　[过渡语]　如果一个随机试验只有有限个等可能的结果,我们可以利用图表,列举试验的所有可能结果及事件所包含的可能结果,直接计算事件的概率.让我们一起通过生活实例探究列表法求事件的概率吧!
共同探究　列表法求事件的概率

(课件展示)
如图所示,一个质地均匀的正四面体(四个面都是等边三角形),四个面上分别标有数字1,2,3,4.投掷这个正四面体,然后观察底面上的数字.
思路一
教师引导思考:
1.投掷一次,有多少种可能结果?它们发生的可能性相同吗,概率各是多大?
【师生活动】　学生思考回答,教师点评结果.
(课件展示)
投掷一次,有4种等可能的结果,它们发生的概率都是.
2.投掷两次,共有多少种可能结果?如何表示这些可能结果?
【师生活动】　学生在思考中发现,投掷两次的结果较多,用直接列举的方法很烦琐,教师引导学生思考如何用简单的方法列举投掷结果,引出用表格列举事件等可能的结果较简单.
(课件展示)
投掷两次,有16(4×4)种等可能的结果,用(m, n)表示两次投掷的结果,其中m为第一次掷出的数,n为第二次掷出的数,m和n分别可能是1,2,3,4.所有可能的结果用下面的表格表示:

　　3.如何计算两数之和为2,3,…,8的概率?
【师生活动】　教师引导学生思考,怎样用表格列举出所有两数的和,根据表格中数据,学生独自完成两次投掷的数字和为4的概率.
(课件展示)
列表如下:
+
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
　　投掷两次,共有16种等可能的结果,事件“两数之和为4”包含3种等可能的结果,分别是(1,3),(2,2),(3,1),所以“两数之和为4”的概率是.
思路二
【师生活动】　学生自主学习教材中的一起探究部分,教师提出思考问题,学生小组内合作交流,教师在巡视中帮助有困难的学生,小组讨论后学生代表展示结果,教师点评归纳.
(课件展示)
思考:
1.当事件发生的等可能的结果较少时,我们采用什么方法列举所有结果?
(直接列举法(枚举法))
2.当事件发生的等可能的结果较多时,我们采用什么方法列举所有等可能的结果?
(列表法)
3.如何用列表法列举所有等可能的结果?以投掷两次质地均匀的正四面体为例.
用表格中水平方向和竖直方向分别表示每次投掷的结果,即:
(课件展示)
列表如下:

　　4.请你尝试用列表法求出投掷两次质地均匀的正四面体,两数和为4的概率是多少?
(课件展示)
列表如下:
+
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
　　投掷两次,共有16种等可能的结果,事件“两数之和为4”包含3种等可能的结果,分别是(1,3),(2,2),(3,1),所以“两数之和为4”的概率是.
[设计意图]　创设学生熟悉的投掷问题,通过自主学习或教师引导,探究归纳出事件发生的等可能的结果较多、直接列举比较烦琐时,用列表法列举事件的结果,让学生经历知识的形成过程,激发学生的学习热情,顺利地完成由旧知识到新知识的转化.
做一做
(课件展示)
对投掷正四面体的试验,分别求出两数之和为2,3,5,6,7,8的概率,并填入下面的表格中.
两数之和
2
3
5
6
7
8
概率






　　【师生活动】　学生独立完成,小组内交流答案,学生代表展示结果,教师点评结果.
[设计意图]　通过让学生独立完成计算探究活动所得的结果,进一步熟悉用列表法求事件的概率,让学生体验成功的快乐.
例题讲解
(课件展示)

　(教材第79页例题)如图所示,四个开关按钮中有两个各控制一盏灯,另两个按钮控制一个发音装置.当连续按对两个按钮点亮两盏灯时,“闯关成功”;而只要按错一个按钮,就会发出“闯关失败”的声音.求“闯关成功”的概率.
【师生活动】　学生独立思考完成后,小组内交流答案,学生代表板书解答过程,对学生出现的错误教师引导分析,得出事件分为有放回和无放回两类事件,并区分两者列表的不同,同时教师规范书写格式,师生共同归纳列表法求事件的概率的一般思路.
(板书)
解:不妨设1号,2号按钮各控制一盏灯,连续按两个按钮(考虑按钮的顺序)的所有可能结果列表如下:

　　所有可能结果有12种,它们都是等可能发生的,而其中只有两种结果为“闯关成功”,所以P(闯关成功)=.
【师生活动】　教师课件展示另一种解法,小组讨论解法是否正确,并分析与上一种解法的异同,教师鼓励学生大胆发表自己的意见,教师点评归纳解法正确的原因,师生共同归纳列表法求事件的概率的一般思路.
(课件展示)
解:不妨设1号,2号按钮各控制一盏灯,连续按两个按钮(不考虑按钮的顺序)的所有可能结果列表如下:
按钮代号
12
13
14
23
24
34
结果
成功
失败
失败
失败
失败
失败
　所有可能结果有6种,它们都是等可能发生的,而其中只有一种结果为“闯关成功”,所以P(闯关成功)=.
列表法求事件的概率的一般思路:
求一个随机事件发生的概率,先根据列表法列举出所有事件出现的可能结果,并判断每种事件发生的可能性是否相等,确定所有可能出现的结果数n及所求事件A出现的结果数m,再根据P(某个事件发生)=计算,进而得出结果.在列表时要注意事件是有放回事件还是无放回事件.
[设计意图]　通过例题讲解让学生理解和掌握列表法求事件的概率的易错点——事件分有放回和无放回两种,列表时是有区别的,同时让学生体会有序列表和无序列表都可以保证所有结果发生的可能性相同,提高学生分析问题和解决问题的能力.
[知识拓展]　1.列举法求概率的前提:(1)一次试验中,可能出现的结果是有限个;(2)一次试验中,各种结果发生的可能性相等.
2.用列举法求概率的核心是列出各种等可能的结果,所求概率是一个准确数,一般用分数表示.
3.当所有可能的结果较多且烦琐时,用列表的方式能清晰、全面地列出各种可能的结果,且所有结果有规律排列,易于找出某个事件中包含的所有可能性.
4.列表法一般应用于两个元素且结果的可能性较多的题目中.

1.当试验的结果有限且很少时,可用直接列举法(枚举法)求概率.
2.当试验的结果由两个因素决定且结果有限时,可用列表法求概率.
列表法的一般步骤:
①判断能否使用列表法,列表法一般适用于两步计算;
②不重不漏地列举出所有事件出现的可能结果,并判断每种事件发生的可能性是否相等;
③确定所有可能出现的结果数n及所求事件A出现的结果数m;
④用公式P(A)=求事件A发生的概率.

1.将一枚质地均匀的正方体骰子掷一次,观察向上一面的点数,与点数3相差2的概率是 (　　)
　　A. B. C. D.
解析:掷一次骰子,正面朝上的数字可能是1,2,3,4,5,6,共6种等可能的结果,其中与点数3相差2的点数有1和5两种,所以所求的概率为=.故选B.
2.两枚质地均匀的正四面体骰子的各面上分别标有数字1,2,3,4,同时投掷这两个正四面体骰子,则着地的面所得的点数之和等于5的概率为 (　　)
A. B. C. D.
解析:用(m,n)表示两个骰子投掷的结果,其中m为第一枚骰子掷出的数,n为第二枚骰子掷出的数,m和n分别可能是1,2,3,4.列表如下:

由表可知共有16种等可能的结果,点数之和等于5的情况有4种,其概率为=.故选A.
3.从标有0,,,-的四张卡片(除数字不同,其他均相同)中一次抽取2张,卡片上的两个数的积为无理数的概率是　　　　. 
解析:从4张卡片中随机抽取两张,共6种情况,其中有2种情况可使卡片上的数的积为无理数,故其概率是=.故填.
4.将一个转盘分成6等份,分别涂上红、黄、蓝、绿、白、黑六种颜色,转动转盘两次,两次能配成“紫色”(红色与蓝色配成紫色)的概率是　　　　. 
解析:列表可得共有36种等可能的结果,其中配成紫色的有2种,所以两次能配成紫色的概率是=.故填.
5.在一个不透明的袋子里放入除颜色外完全相同的2个红球和2个黄球,摇匀后摸出一个记下颜色,放回后摇匀,再摸出一个,求两次摸出的球均是红球的概率.
解:列表如下:

　　∴P(两次红球)==.

第1课时
共同探究　列表法求事件的概率
做一做
例题讲解

一、教材作业
【必做题】
教材第80页习题A组的1,2,3题.
【选做题】
教材第80页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.一个袋子中装有一双红色、一双绿色手套,两双手套除颜色外,其他完全相同,随机从袋中一次摸出两只,恰好是一双的概率是 (　　)
A. B. C. D.
2.学校组织校外实践活动,安排给九年级三辆车,小明与小红都可以从这三辆车中任选一辆搭乘,小明与小红同车的概率是 (　　)
A. B. C. D.
3.在一个不透明的口袋中,有三个除颜色外都相同的球,两红一白,从中任意摸出一个球,放回后再摸出一个球,则两次摸出的都是红球的概率为 (　　)
A. B. C. D.
4.一个不透明的口袋里有4张形状完全相同的卡片,分别写有数字1,2,3,4,口袋外有两张卡片,分别写有数字2,3,现随机从口袋里取出一张卡片,求这张卡片与口袋外的两张卡片上的数作为三角形三边的长,能构成三角形的概率是 (　　)
A. B. C. D.1
5.在“石头”“剪子”“布”的游戏中(剪子赢布,布赢石头,石头赢剪子),当你出“剪子”时,对手胜你的概率是　　　　. 
6.一个口袋中装有四个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,随机摸取一个小球,然后放回,再随机摸取一个小球,求两次摸取的小球的标号的和为6的概率是　　　　. 
7.从-1,1,2这三个数中任取一个数作为一次函数y=kx+3的k值,则所得一次函数中y随x的增大而增大的概率是　　　　. 

8.如图所示,有两个构造完全相同(除所标数字外)的转盘A,B,两个均匀的转盘都被分成了3等份.游戏规定:指针不动,每个转盘平均分3份,转动两个转盘各一次,指向大的数字获胜(指针指到边界线时,重新转动).现有你和小明各选择一个转盘游戏,你会选择哪一个,为什么?
9.如图所示,有四张背面相同的纸牌,其正面分别画有四个不同的图形,小明将这四张纸牌背面朝上洗匀后,随机摸出一张,再随机摸出一张(不放回).

(1)随机摸一张牌,它的图形是轴对称图形的概率是多少?
(2)用列表法表示两次摸牌所有可能出现的结果(纸牌用A,B,C,D表示);
(3)求两次摸牌的牌面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率.
【能力提升】
10.如图所示,随机闭合开关S1,S2,S3中的两个,能够让灯泡发光的概率为 (　　)

A. B. C. D.
11.在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球,其上面分别标注数字1,2,3,现从中任意摸出一个小球,将其上面的数字作为点M的横坐标;将球放回袋中搅匀,再从中任意摸出一个小球,将其上面的数字作为点M的纵坐标.
(1)写出点M坐标的所有可能的结果;
(2)求点M在直线y=x上的概率;
(3)求点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率.
【拓展探究】
12.某学校为了增强学生体质,决定开设以下体育课外活动项目:A.篮球　B.乒乓球　C.羽毛球　D.足球.为了解学生最喜欢哪一种活动项目,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图.请回答下列问题:

(1)求这次被调查的学生共有多少人;
(2)请你将条形统计图补充完整;
(3)在平时的乒乓球项目训练中,甲、乙、丙、丁四人表现优秀,现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛,求恰好选中甲、乙两位同学的概率.(列表法解答)
【答案与解析】
1.B(解析:列表得一共有6种等可能的情况,恰好是一双的有2种情况,∴恰好是一双的概率为=.)
2.C(解析:用A,B,C分别表示安排给九年级的三辆车,列表得共有9种等可能的结果,小明与小红同车的有3种情况,∴小明与小红同车的概率是=.)
3.B(解析:把两红球记为红1,红2,列表如下:

可以发现共有9种等可能结果,而两次都是红球的有4种,则P(两次都是红球)=.)
4.C(解析:列表可得共有4种等可能的结果,能构成三角形的有2,2,3;3,2,3;4,2,3.所以这张卡片与口袋外的两张卡片上的数作为三角形三边的长,能构成三角形的概率=.)
5.(解析:利用列表法可知共有三种情况,其中只有1种情况对手获胜.可见对手胜的概率为 .)
6.(解析:列表可得共有16种情况,两次摸取的小球的标号的和为6的情况有3种,所以所求的概率为.)
7.(解析:从-1,1,2这三个数中任取一个数作为一次函数y=kx+3的k值,由列表法可得共有3种取法,其中函数y=-x+3是y随x增大而减小的,函数y=x+3和y=2x+3都是y随x增大而增大的,所以符合题意的概率为.)
8.解:选择转盘A.理由如下:转动两个转盘的所有结果如下:

由表可知一共有9种等可能的结果,其中转动转盘A获胜有5次,获胜概率为,获胜率过半,所以选择转盘A获胜的概率较大.
9.解:(1)四张纸牌中的图形是轴对称图形的有4张,故所求的概率是1.　(2)列表如下:

(3)从(2)的表中可以得到两次摸牌所有可能出现的结果共有16种,其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有9种,故所求概率是 .
10.C(解析:随机闭合开关S1,S2,S3中的两个,由列表法可知共有3种情况,能够让灯泡发光的有两种情况.故能让灯泡发光的概率为.)
11.解:(1)列表如下:

1
2
3
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
由表可知点M坐标的所有可能的结果有9个:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3).　(2)P(点M在直线y=x上)=P(点M的横、纵坐标相等)==.　(3)列表如下:
+
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
∴P(点M的横坐标与纵坐标之和是偶数)=.
12.解:(1)根据题意得20÷=200(人),则这次被调查的学生共有200人.　(2)200-20-80-40=60(人).补全的条形统计图,如图所示.


(3)列表如下:

甲
乙
丙
丁
甲
—
(乙,甲)
(丙,甲)
(丁,甲)
乙
(甲,乙)
—
(丙,乙)
(丁,乙)
丙
(甲,丙)
(乙,丙)
—
(丁,丙)
丁
(甲,丁)
(乙,丁)
(丙,丁)
—
由表可知所有等可能的结果为12种,其中符合要求的只有2种,则P==.


本节课通过练习求事件的概率及实际情景中一一列举事件发生的结果求事件的概率导入新课,为本节课的学习做好铺垫,让学生很自然地由旧知识向新知识转化.在一起探究环节,学生在独立思考的基础上小组内合作交流,学生展示质疑后,教师概括总结,得到求简单事件的概率的一般步骤,让学生经历知识的形成过程,轻松地理解和掌握本节课的重点.做一做环节,学生情绪高涨,独立完成求各个事件的概率,使本节课的重点得到巩固和提高.例题讲解首先让学生独立完成,在分析错误原因的同时理解事件分有放回和无放回两种,师生共同探究两种事件列表时的区别.教师课件展示有序列表求概率,师生共同分析其正确原因,理解有序和无序都可保证所有结果发生的可能性相同.在课堂上学生思维活跃,积极展示自己的观点,得到良好的教学效果.

本节课的重点是探究通过列表列举试验的所有可能的结果,然后根据概率的公式求事件的概率.在一起探究和做一做环节学生情绪高涨,思维活跃,得到了良好的教学效果.但是在例题讲解部分,学生对有放回和无放回事件的理解出现困难,在还没有完全理解的情况下,又展示出有序列表求概率,部分学生出现学习困难的情况,造成对这些知识点理解不透彻,在以后的教学中,可以通过设计小练习让学生理解、巩固,然后再进行下一个教学环节.

本节课的主要内容是探究列表法求事件的概率,在教学设计中,要注重情景导入,激发学生的好奇心和探究欲望,然后师生共同探究实际生活情景中求简单事件的概率,教师提出问题后,让学生独立思考,小组内合作交流,在学生展示后,教师加以概括总结,通过这个教学环节让学生掌握列表法求事件的概率的一般步骤.教学设计时例题讲解部分是学生学习的难点,所以给学生足够的时间和空间进行交流,充分理解有放回事件和无放回事件的区别,然后再课件展示有序列表求事件的概率,师生共同分析其正确性,让学生加深对列举法求事件的概率的理解和掌握.

练习(教材第79页)
解:P(A)==;P(B)==;P(C)==;P(D)=.
习题(教材第80页)
A组
1.解:(1)P(两位数是偶数)==.　(2)P(两位数是奇数)==.　(3)P(两位数的个位数与十位数相同)==.
2.解:(1)列表表示所有可能结果如下表所示.
和
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
(2)两个数的和可能为2,3,4,5,6共5种结果.它们发生的可能性不相同,发生的概率分别是,,,,.　(3)P(和为奇数)=+=,P(和为偶数)=++=.
3.解:每个人等可能地采用3种手势,两人游戏共有9种等可能的结果,如表所示,其中,甲获胜的结果有3种,乙获胜的结果有3种,平局的结果有3种.(1)P(一个回合不能决定胜负)==.　(2)P(甲获胜)==,P(乙获胜)==.
(3)因为甲、乙获胜的概率相等,所以用这种方式决定胜负是公平的.
B组
1.解:①考虑按按钮的顺序:在24个等可能的结果中有6个结果能点亮3盏灯,所求概率是.②不考虑按按钮的顺序,共有4个等可能的结果,即123,124,134,234,而只有1个结果能点亮3盏灯,所求概率是.
2.解:对3个红球分别编号为1,2,3,对两个黄球分别编号为4,5.列表表示所有可能结果如下表所示:

由表可得:(1)P(甲取到红球)==.　(2)P(乙取到红球)==.　(3)P(两人都取到红球)==.


创设有趣性的情景,激发学生学习情趣
概率内容虽然相对比较抽象,但包含丰富的辩证思想,在现实生活中有着广泛的应用,学习本节课之前,学生对简单事件的概率的求法已经有了简单的认识,但真正列举事件的结果,学生还没有经验,很难想到列表法这种列举方法,所以在教学设计时,教师要创设趣味性生活实际情景,激发学生的好奇心和求知欲,让学生体会数学来源于生活,又应用到生活中去.学生在独立思考的基础上,就如何表示试验的结果、如何判断结果发生的可能性相同进行交流,体会到事件的结果较多时,用一一列举试验结果的方法已经不合适,教师适时引导出用列表法列举事件发生的等可能的结果,从而根据事件的概率公式求解.
通过探究活动,让学生了解列表法求事件概率的一般步骤;通过创设新的情景,让学生体会求有放回事件和无放回事件概率的区别;通过解决生活实际问题,突破本节课的重点和难点,让学生在不知不觉中掌握知识.同时在教学过程中教师切实扮演好“组织者、引导者、合作者”的角色,有利于调节课堂气氛,也有利于学生掌握所学知识.

　(2015·呼和浩特中考) 在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球,它们只有颜色上的区别,随机从袋中摸出2个小球,两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为 (　　)
　　A. B. C. D.
解析:列表可得共有12种等可能的结果,两球恰好是一个黄球和一个红球的有6种情况,∴两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为=.故选A.
　(2015·河南中考)现有四张分别标有1,2,2,3的卡片,它们除数字外完全相同,把卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取一张后放回,再背面朝上洗匀,从中随机抽取一张,则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是　　　　. 
解析:列表可得共有16种等可能的结果,两次抽出的卡片所标数字不同的有10种情况,∴两次抽出的卡片所标数字不同的概率是=.故填.
　(2015·青岛中考)小颖和小丽做“摸球”游戏:在一个不透明的袋子中装有编号为1~4的四个球(除编号外都相同),从中随机摸出一个球,记下数字后放回,再从中摸出一个球,记下数字.若两次数字之和大于5,则小颖胜,否则小丽胜.这个游戏对双方公平吗?请说明理由.
解:这个游戏对双方不公平.理由如下:列表如下:

　　由表可知共有16种等可能的结果,其中大于5的有6种.故P(小颖获胜)==,P(小丽获胜)==,因为<,所以这个游戏对双方不公平.

　(2015·东营中考)东营市为进一步加强和改进学校体育工作,切实提高学生体质健康水平,决定推进“一校一球队、一级一专项、一人一技能”活动计划.某校决定对学生感兴趣的球类项目(A:足球, B:篮球, C:排球,D:羽毛球,E:乒乓球)进行问卷调查,学生可根据自己的喜好选修一门,李老师对某班全班同学的选课情况进行统计后,制成了两幅不完整的统计图(如图所示).
(1)将统计图补充完整;
(2)求出该班学生人数;
(3)若该校共有学生3500名,请估计有多少人选修足球;
(4)该班班委5人中,1人选修篮球,3人选修足球,1人选修排球,李老师要从这5人中任选2人了解他们对体育选修课的看法,请你用列表的方法,求选出的2人恰好1人选修篮球,1人选修足球的概率.

解:(1)如图所示.



　　(2)该班人数:8÷0.16=50(人).
(3)选修足球的人数:3500×=1400(人),估计有1400人选修足球.
(4)用“1”代表选篮球,“2,3,4”代表选足球,“5”代表选排球,可以用下表列举出所有可能出现的结果.

　　由图可以看出,可能出现的结果有20种,并且它们出现的可能性相等,其中选出的2人恰有1人选修篮球,1人选修足球(记为事件A)的结果有6种,即(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(3,1),(4,1),所以P(A)== .
第课时



1.在具体问题情景中了解概率的意义.
2.能通过树形图列举试验的所有可能的结果,并求简单事件的概率.

1.经历试验、画树形图等活动,学生在具体情景中分析事件,计算其发生的概率,提高分析问题和解决问题的能力.
2.通过探究用树形图描述事件的等可能的结果的过程,提高学生化复杂问题为简单问题的能力,发展思维的条理性.

1.鼓励和引导学生主动探究和建构知识结构,培养勇于探索的学习习惯.
2.通过数学活动探究画树形图求概率的方法,增强与他人合作的意识和解决实际问题的能力,发展辩证思维的能力.
3.通过丰富的数学活动,体验数学活动充满着探索和创造,体会数学的应用价值,培养积极学习的习惯.

【重点】
正确地用画树形图法计算随机事件发生的概率.
【难点】
如何灵活地用树形图表示出试验所有等可能的结果.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　预习教材P81~82.


导入一:
复习提问:
1.用列举法求概率的基本步骤有哪些?
2.列举一次试验的所有等可能结果,学过哪些方法?
【师生活动】　学生思考回答,教师点评、纠正,并对有放回事件和无放回事件的区别加以强化.
导入二:
　　[过渡语]　刚才许多同学举手想回答老师提出的问题,现在我们一起看下面两个问题.
(课件展示)
1.如果老师从甲、乙两位同学中随机地选择一位来回答,决定用掷硬币的方法,掷两枚硬币,两枚硬币都正面朝上或反面朝上甲回答,两枚硬币一正一反乙回答,这个游戏公平吗?
【师生活动】　学生思考列表展示答案,教师点评.
2.如果掷三枚硬币,“至少有一枚硬币是正面”甲回答,“三枚硬币都是反面”乙回答,这个游戏公平吗?
【师生活动】　学生思考,教师引导出现三个元素时不易用列表法列举所有等可能的结果,导出本节课课题——画树形图求事件的概率
[设计意图]　本节课是用列举法求事件的概率的第二节课,对前一节课所学方法的步骤进行复习,温故而知新,同时为本节课学习做铺垫.通过掷硬币游戏,让学生体会出现两个元素时,可以用列表法列举所有等可能的结果,出现三个元素时,不易用列表法列举所有结果,很自然地导出本节课课题,激发学生的学习兴趣和探究欲望.

　　[过渡语]　当一个事件出现三个或三个以上的元素时,列表法不能列举出所有等可能的结果,我们一起探究用画树形图法列举所有等可能的结果.
共同探究　画树形图法求事件的概率
(课件展示)
在一次知识竞赛中,有三名同学都答对了,但奖品只有一份,谁应该得到这份奖品呢?他们决定用抽签的方式来确定.
取3张大小相同,分别标有数字1,2,3的卡片,充分混匀后扣到桌子上,按甲、乙、丙的顺序,每人从中任意抽取1张(取后不放回),规定抽到1号卡片的人中奖.中奖的概率和抽签的顺序有关吗?
思路一
教师引导思考:
1.甲抽取卡片有几种可能?哪几种?
2.乙抽取卡片有几种可能?丙呢?
3.你能根据列举的结果分别求出甲、乙、丙三人的概率吗?
【师生活动】　学生回答,教师画树形图板书过程.
(板书)

所以有6种等可能的结果,而甲、乙、丙抽到1号卡片各有2种可能结果,所以甲、乙、丙中奖的概率都是.
思路二
(课件展示)
下面是三名同学的看法,你同意谁的观点?请说出你的理由.
小明的看法:
先下手为强,如果我先抽到1号卡片,后面的人就没有机会了.
小亮的看法:
后发制人,如果前面的人都没有抽中,机会就全是我的了.
小红的看法:
中奖的机会是一样的,与抽签的顺序无关.
【师生活动】　学生思考后小组合作交流,教师在巡视中帮助有困难的学生,学生代表发言,教师鼓励学生大胆发表自己的意见,并作出点评,然后引导学生用画树形图法列举所有等可能的结果.
(课件展示)
甲抽取时有3种可能,乙抽取时有2种可能,丙抽取时只有1种可能.用图形表示可能结果,如图所示.

还可以用如下的表格列举试验的可能结果.
甲
1
1
2
2
3
3
乙
2
3
1
3
1
2
丙
3
2
3
1
2
1
　　容易看出,三个人依次抽签,有6种等可能的结果,而甲、乙、丙抽到1号卡片各有2种可能结果,所以甲、乙、丙中奖的概率都是.
【师生活动】　教师课件展示列举的所有等可能的结果,学生观察思考,提出质疑,师生共同归纳用上述方法可以列举所有等可能的结果,并得出抽到奖品与先后顺序无关.
追加提问:
如果三个人参加抽签,但有两份奖品,规定抽到1号或2号卡片都可以中奖,那么甲、乙、丙中奖的概率分别是多少?
【师生活动】　学生独立思考后回答,教师点评并得出结论.
结论:
如果三个人参加抽签,但有两份奖品,规定抽到1号或2号卡片都可以中奖,那么甲、乙、丙中奖的概率都是.
抽签不分先后顺序,每个人中奖的概率都相等.
[设计意图]　从抽奖游戏出发引出问题,当试验涉及三个因素时如何列举出各种等可能结果,在教师的引导下分析,使学生学会用画树形图法求概率,经历知识的形成过程,发挥学生的主体作用.
做一做

(课件展示)
如图所示,一木板上均匀地钉有几排钉子,将一小球从顶端放入,小球碰到钉子后等可能地向左或向右落下,最后落入下面的格子中.
(1)下图表示小球下落的所有可能路径.对应每条路径,将小球最后落入格子的号码填写在图下方的括号内.

(2)计算小球最后落入1号、2号、3号、4号格子中的概率.
【师生活动】　学生独立思考完成解答,小组内交流答案,学生代表展示,教师点评并规范解题格式,师生共同归纳树形图的有关概念并用课件展示.
(课件展示)
像上图这样的图形,叫做树形图.树形图可以清楚地表示试验结果.在同一层,如果从每个节点等可能地分出数目相同的分支,那么整个树形图的所有分支数目就是试验的可能结果个数,而且这些结果都是等可能的.
追问:
你能归纳树形图求事件的概率的一般步骤吗?
【师生活动】　学生思考回答,教师点评.
[设计意图]　通过做一做,让学生进一步理解树形图求概率的一般步骤,并进行归纳,体会用树形图列举事件可能的结果的优点,培养学生独立思考的学习习惯及归纳总结的能力.
[知识拓展]　1.当事件涉及三个或三个以上元素时,用列表法不易列举出所有可能的结果,用树形图可以依次列出所有可能的结果,再分别求出某个事件中包含的所有可能的结果,进而求出概率.
2.用树形图列举事件的所有结果时,应注意放回与不放回事件的区别.

1.画树形图法求事件A的概率的一般步骤:
(1)用树形图列举出一次试验的所有可能结果;
(2)求出所有可能结果的总数n及事件A包含的可能结果数m;
(3)计算概率P(A)=.
2.选用合适的方法求概率.当试验结果数较少时,选用枚举法;当试验结果数较多且影响试验结果的因素只有两个时,用列表法或画树形图法均可;当试验结果数较多且影响试验结果的因素有三个或三个以上时,选用画树形图法.

1.将一枚质地均匀的硬币连续掷了三次,三次均是正面朝上的概率是 (　　)
　　A. B. C. D.
解析:画树形图可得共有8种等可能的结果,只有一种情况是三次均是正面朝上的,所以所求概率为.故选A.
2.从1,2,3,4这四个数字中,任意抽取两个不同的数字组成一个两位数,则这个两位数能被3整除的概率是 (　　)
A. B.
C. D.
解析:从1,2,3,4这四个数字中,任意抽取两个不同的数字组成一个两位数,共有12种情况,其中能被3整除的两位数有12,21,24,42这四个,所以这个两位数能被3整除的概率是.故选A.
3.圆桌旁有四个座位,A先坐在如图所示的座位上,B,C,D三人随机坐到其他三个座位上,则A与B不相邻而坐的概率为　　　　. 

(第3题图)

(第3题答图)

解析:由于A的位置已经确定,B,C,D随机而坐的情况共有6种(如图所示),6种情况出现的可能性相同.其中A与B不相邻而坐的情况共有2种,所以所求概率是P==.故填.
4.小红、小明、小芳在一起做游戏时,需要确定做游戏的先后顺序,他们约定用“剪子、包袱、锤”的方式确定,则在一个回合中三人都出“包袱”的可能性是多少?
解:画树形图如图所示.

由图可以得出一共有27种情况,每种情况出现的可能性相同.
在一回合中三个人都出“包袱”的概率是.

第2课时
共同探究　画树形图求事件的概率
做一做

一、教材作业
【必做题】
教材第83页习题A组的1,2,3题.
【选做题】
教材第83页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.三女一男共四人同行,从其中任意选出两人,性别不同的概率为 (　　)
A. B.
C. D.
2.袋子里有四个球,标有2,3,4,5,先抽取一个并记住,放回,然后再抽取一个,所抽取的两个球数字之和大于6的概率是 (　　)
A. B.
C. D.
3.小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏.三人同时各投出一枚质地均匀的硬币,若出现三个正面向上或三个反面向上,则小强赢;若出现两个正面向上一个反面向上,则小亮赢;若出现一个正面向上两个反面向上,则小文赢.下面说法正确的是 (　　)
A.小强赢的概率最小 B.小文赢的概率最小
C.小亮赢的概率最小 D.三人赢的概率都相等
4.有三条带子,第一条的一头是黑色,另一头是黄色,第二条的一头是黄色,另一头是白色,第三条的一头是白色,另一头是黑色.若任意选取这三条带子的一头,颜色各不相同的概率是 (　　)
A. B.
C. D.
5.如图所示,在某十字路口,汽车可左转、可直行、可右转.若这三种可能性相同,则两辆汽车经过该路口都向右转的概率为　　　　. 

6.从数字2,3,4中任取两个不同的数字,其积不小于8的概率为　　　　. 
7.有2名男生和2名女生,王老师要随机地两两一对地为他们排座位,一男一女排在一起的概率是　　　　. 
8.一个口袋中有3个大小相同的小球,球面上分别写有数字1,2,3,从袋中随机地摸出一个小球,记录下数字后放回,再随机地摸出一个小球.
(1)请用画树形图法列举出两次摸出的球上数字的所有可能的结果;
(2)求两次摸出的球上的数字和为偶数的概率.
【能力提升】

9.如图所示,电路图上有四个开关A,B,C,D和一个小灯泡,闭合开关D或同时闭合开关A,B,C,都可使小灯泡发光,现任意闭合其中两个开关,则小灯泡发光的概率为　　　　. 
10.在一个不透明的口袋里,装有红、白、黄三种颜色的乒乓球(除颜色外其余都相同),其中有白球2个,黄球1个.若从中任意摸出一个球,这个球是白球的概率为0.5.
(1)求口袋中红球的个数;
(2)若摸到红球记0分,摸到白球记1分,摸到黄球记2分,甲从口袋中摸出一个球不放回,再摸出一个.请用画树形图的方法求甲摸到两个球且得2分的概率.
【拓展探究】
11.小明准备今年暑假到北京参加夏令营活动,但只需要一名家长陪同前往,爸爸、妈妈都很愿意陪同,于是决定用抛掷硬币的方法决定由谁陪同,每次掷一枚硬币,连掷三次.
(1)用树形图列举三次抛掷硬币的所有结果.
(2)若规定有两次或两次以上正面向上,由爸爸陪同前往北京; 有两次或两次以上反面向上,由妈妈陪同前往北京.分别求由爸爸陪同小明前往北京和由妈妈陪同小明前往北京的概率.
(3)若将“每次掷一枚硬币,连掷三次, 有两次或两次以上正面向上时,由爸爸陪同前往北京”改为“同时掷三枚硬币,掷一次, 有两枚或两枚以上正面向上时,由爸爸陪同前往北京”,求在这种规定下,由爸爸陪同小明前往北京的概率.
【答案与解析】
1.C(解析:画树形图可得共有12种情况,性别不同的有6种.故P(性别不同)==.)
2.C(解析:画树形图如图所示.由图可知共有16种

等可能的结果,抽取的两个球数字之和大于6的有10种情况,∴抽取的两个球数字之和大于6的概率是=.)
3.A(解析:画树形图得共有8种等可能的情况. 三个正面向上或三个反面向上的情况有两种,所以P(小强赢)==;出现两个正面向上一个反面向上的情况有3种,所以P(小亮赢)=;出现一个正面向上两个反面向上的情况有3种,所以P(小文赢)=.所以是小强赢的概率最小.)
4.B(解析:画树形图如图所示.由图可知共有8种等

可能的结果,颜色各不相同的有2种情况,∴颜色各不相同的概率是=.)
5.(解析:画树形图可得共有9种情况,其中1种符合题意,所以所求的概率为.)

6.(解析:如图所示.由图可知共有6种等可能的结果,积不小于8的有4种,所以所求事件的概率为=.故填.)
7.(解析:画出树形图如图所示.所以P(一男一女)==.故填.)

8.解:(1)画树形图如图所示.由图可知共有9种等

可能的结果.　(2)由(1)得两次摸出的球上的数字和为偶数的有5种情况,∴两次摸出的球上的数字和为偶数的概率为.
9.(解析:画树形图如图所示.由图可知共有12

种等可能的结果,现任意闭合其中两个开关,则小灯泡发光的有6种情况,∴小灯泡发光的概率为=.)
10.解:(1)设口袋中有红球x个,则有=0.5,解得x=1.所以口袋中的红球有1个.　(2)画树形图如图所示.由树形图,可知所有可能

出现的结果共有12种,其中摸出两个球且得2分的有4种,所以P(从中摸出两个球且得2分)==.
11.解:(1)画出树形图如图所示.　(2)由(1)知

P(由爸爸陪同前往)=; P(由妈妈陪同前往)=.　(3)将(1)的树形图稍作修改,将第一次、第二次、第三次分别改为第一枚、第二枚、第三枚即为掷三枚硬币的树形图,故P(由爸爸陪同前往)=.


本节课是通过画树形图列举所有等可能的结果,求简单事件的概率,从学生感兴趣的抽签与先后顺序是否有关出发,引出课堂重点知识,体现了数学来源于生活,并应用于生活的特点,真正让学生在不知不觉中掌握知识.在探究过程中,以学生独立思考、小组合作交流、师生共同归纳的方式进行,通过学生讨论、自主学习、小组交流等数学活动,让学生亲身经历知识的形成过程,在愉悦的课堂氛围中,学生掌握了知识,提高了数学思维能力.通过做一做,让学生进一步体会画树形图列举试验结果的优点,并归纳树形图求简单事件的方法步骤,在课堂上教师切实扮演好“组织者、引导者、合作者”角色,有利于调节课堂气氛,更有利于学生掌握所学知识.

本节课的重点是探究如何画树形图列举所有等可能的结果,从而求出简单事件的概率,教学设计中以学生感兴趣的抽签问题为情景,目的是激发学生的学习兴趣,但学生对先后抽签与结果无影响理解有错误,并对如何用树形图列举结果理解有困难,造成教师解释过多,部分学生理解仍不透彻.在以后的教学中,可以给学生较多的时间交流思考,也可以通过学生亲自试验,让学生走出理解误区.

本节课以抽签游戏导入新课,激发学生的学习兴趣,体会数学与实际生活密切相关.在实际生活情景中探究用树形图列举所有等可能的结果,给学生充足的时间进行小组合作交流,如果部分学生仍对抽签先后与结果无关理解有困难,教师可以临时准备试验,让学生亲身体会、经历知识的形成过程,达到突破难点的目的.通过做一做,培养学生独立思考的学习习惯,进一步体会画树形图列举事件的结果的优点.在教学设计中可以适当设计小练习,达到进一步巩固提高用列举法求简单事件概率的目的.

练习(教材第82页)
解:(1)左边5个括号都填,奇偶性从上到下分别填偶、奇、奇、偶,对应的概率都填.　(2)4个分支对应的事件是等可能的.　(3)都是+=.
习题(教材第83页)
A组
1.解:画树形图如图所示,共有6种等可能的搭配,其中有1种符合衬衣和裙子都是红色,则所求概率P=.

2.解:画树形图如图所示,则P(能找到存宝箱)=.

3.解:画树形图如图所示,则P(两位数是偶数)==.

B组
1.解:画树形图如图所示.(1)P(3枚全是反面向上)=.　(2)P(2枚正面向上,1枚反面向上)=.

2.解:画树形图如图所示,P(球在甲手中)==,P(球在乙手中)=,P(球在丙手中)=.

复习题(教材第86页)
A组
1.解:A是不可能事件,B,C是随机事件.
2.解:(1)不正确,必然事件发生的概率是1.　(2)不正确,不可能事件发生的概率是0.　(3)不正确,必然事件发生的概率是100%,发生的概率是99.99%的事件也是随机事件.　(4)不正确,事件发生的机会虽然只有百万分之一,它也有可能发生,所以是随机事件.
3.解:(1)P(得到偶数)=,P(得到奇数)=.　(2)数字顺时针排列依次是1,2,3,5,4,6(答案不唯一).
4.解:由于胜败具有随机性,所以做第一个游戏只是获胜的可能性大,但未必一定赢;做第二个游戏获胜的可能性小,但未必一定输.
5.解:P(A)=0,P(B)=1,P(C)=,P(D)=.
6.解:(1)P(没有红色)==.　(2)P(一面红色)==.　(3)P(两面红色)==.　(4)P(三面红色)==.
7.解:从两组卡片中各任取一张,可以组合成7×7=49个等可能的结果.(1)两个字母相同的结果为HH,II,NN,EE,EE,SS,P(两个字母相同)=.
(2)两个字母都是元音字母的结果为IE,II,EE,EI,EE,EI,P(两个都是元音字母)=.
B组
1.解:(1)将各同学的名字分别写在大小相同的卡片上,放入一个盒子里,充分搅匀后,从中任取一张,名字在卡片上的同学被选中.　(2)不同意.理由如下:“选到男生”和“选到女生”的概率与所在班级男、女生的比例有关.
2.解:小刚估计的结果更可信,由频率的特点可知,抽查件数较少时,频率波动较大,抽查件数较多时,频率较稳定,可能得到次品率较准确的估计.
3.解:愿意购买乙厂的产品,因为乙厂的产品合格率高,买到合格品的可能性更大.
4.解:列举所有等可能结果,共20个,其中能构成三角形的结果有7个:234,245,256,345,346,356,456,所以P(A)=.
5.解:对四选一的选择题,每题猜对的概率是,猜错的概率是,由频率估计概率,连续猜100道题的答案,大约猜对25道,猜错75道,得分大约为25×3+75×(-1)=0(分).
6.解:画出树形图如图所示.∵共有12种等可能的结果,其中指针分别指向的两个数字之和为偶数的有6种,

∴指针分别指向的两个数字之和为偶数、奇数的概率都是,即P(A)=,P(B)=.
C组
1.解:(1)这个游戏不公平.理由如下:∵任意摸出1球,共有4种等可能的结果,∴摸到黄球的概率为,摸到红球的概率为,∴摸一次小明所得的平均分为4×=1(分),小强所得的平均分为1×=(分),∴这个游戏是不公平的.　(2)重复400次游戏,小明大约得分为400×1=400(分),小强大约得分为×400=300(分).　(3)规则修改为“摸到黄球得3分,摸到红球得1分”,此时游戏是公平的.


精心设计课堂中的预设和生成
动态生成的课堂教学是新课改积极倡导的教学形式,教学过程是一个动态、开放的系统,需把握好设计课堂中的预设和生成.在教学设计中,创设从抽签先后与结果无关的问题情景,通过教师引导学生独立思考、小组合作交流,师生共同归纳得出结论,既可以激发学生的学习兴趣,又可以体会数学与实际生活之间的联系,还可以培养学生的合作意识.但在教学中教师不应为了完成预设的教学任务而强行抑制学生的各种思路和想法,而允许学生“插嘴”“打断”“不举手就发言”,教学设计应该根据学生的课堂表现而不断地变化、调整、丰富,如在探究抽签游戏过程中,可能出现部分学生对抽签游戏的先后顺序与结果无关理解有困难,所以要设计出临时抽签游戏,让学生亲身体验、经历知识的形成过程,发挥学生的主体作用,不能强行实施自己的教学设计.教师在课堂上需要把学生的各种想法加以引导、提炼,尽可能使问题处于学生思维水平的最近发展区,使课堂具有良好的生成性.


　(2016·甘肃中考)小明和小军两人一起做游戏,游戏规则如下:每人从 1,2,…,8中任意选择一个数字,然后两人各转动一次,如图所示的转盘(转盘被分为面积相等的四个扇形),两人转出的数字之和等于谁事先选择的数,谁就获胜;若两人转出的数字之和不等于他们各自选择的数,就再做一次上述游戏,直至决出胜负.若小军事先选择的数是5,用列表法或画树形图的方法求他获胜的概率.
解法1:列表法,列表如下:

　　由表可知共有16种等可能的结果,小军获胜的结果有4种.故小军获胜的概率为.
解法2:画树形图法,树形图如图所示.

由图可知小军获胜的概率为.
　(2016·长春中考)一个不透明的口袋中有三个小球,上面分别标有数字0,1,2.每个小球除数字不同外其余均相同.小华先从口袋中随机摸出一个小球,记下数字后放回并搅匀;再从口袋中随机摸出一个小球记下数字.用画树形图(或列表)的方法,求小华两次摸出的小球上的数字之和是3的概率.
解法1:画树形图,如图所示:

由图可知共有9种等可能的结果,两次摸出的小球上的数字之和是3,有2种情况.
∴P(摸出的两个小球上的数字之和为3)=.
解法2:列表如下:

　　由图可知共有9种等可能的结果,两次摸出的小球上的数字之和是3,有2种情况.
∴P(摸出的两个小球上的数字之和为3)=.



1.理解随机事件、必然事件、不可能事件的定义,并能准确对某一事件进行判断.
2.理解概率的意义,会用列表法和画树形图法求事件的概率,并能利用概率知识解决日常生活中的实际问题.
3.能够通过试验,获得事件发生的频率,理解频率和概率的关系,能用频率估计事件的概率.
4.通过实例进一步丰富概率的认识,并能解决一些实际问题.

1.在学习过程中,要积极参加试验,在活动中积极思考,主动与同伴进行合作交流,并能够从试验、探究、交流中获得数据、规律.
2.经历观察思考、试验操作,认识频率的稳定性,提高学生动手操作能力及观察能力.
3.通过理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率,进一步发展概率观念.
4.在解决问题中学会用数学的思维方式思考生活中的实际问题的习惯,通过试验活动,体验事件的概率,认识数学与现实世界是密不可分的.
5.在本章的学习过程中,要学会观察、归纳等数学方法,为今后的数学学习打下良好的基础.

1.通过学生自主动手、动脑、小组合作交流,正确理解概率的有关知识,培养学生的合作意识.
2.培养学生探究问题的兴趣,在运用所学知识解决实际问题的过程中,使学生获得成功的体验.
3.引导学生对问题的观察,激发学生的好奇心和求知欲,使学生在运用数学知识解决问题的活动中获得成功的体验,建立学习数学的自信心.
4.通过数学活动提高自身的数学交流水平,增强与他人合作的意识和解决实际问题的能力,发展辩证思维的能力.

【重点】
理解事件的分类,能对某一事件进行判断;理解概率的意义,会用列表法和画树形图法求事件的概率;能用频率估计事件的概率;能利用概率知识解决实际问题.
【难点】
理解概率的定义,会用列表法、画树形图法确定事件的概率,并能应用概率知识解决实际问题.



一、确定事件与随机事件
确定事件:必然事件和不可能事件是确定事件.
必然事件:在一定条件下,必然发生的事件叫做必然事件.
不可能事件:在一定条件下,不可能发生的事件叫做不可能事件.
随机事件:在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件.
二、事件发生的可能性
一般地,随机事件发生的可能性是有大小的,不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.必然事件发生的可能性为1,不可能事件发生的可能性为0,随机事件发生的可能性介于0和1之间.
描述随机事件发生的可能性大小的常用语:“不太可能”“可能”“很可能”“可能性极大”等.
三、概率的定义
一般地,对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可能性大小的数值,称为随机事件A发生的概率,记为P(A).
一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率P(A)=.
四、列举法求概率
1.直接列举法求概率
用列举法求某一事件的概率,关键是找出所有可能发生的结果以及某一事件发生的结果.注意列举时要分类处理,保证结果不重复不遗漏.
2.列表法求概率
用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式,以及某一事件发生的次数和方式,并求出概率的方法叫做列表法求概率.
3.画树形图求概率
用树形图的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式,以及某一事件发生的次数和方式,并求出概率的方法叫做画树形图法求概率.
五、用频率估计事件的概率
当试验次数很大时,一个事件发生的频率稳定在相应概率附近.频率是通过试验得到的一个数据结果,因试验次数的不同而有所改变,是一个实际的具体值.概率是一个事件发生的可能性大小的理论值,它不因试验次数的改变而变化,是一个常数.
专题一　事件的分类
【专题分析】
一般地,辨析事件的种类是在一定条件下进行的,不同的条件可能导致不同的事件分类,判断一个事件的类型要把握两点:①是否可能发生;②可能发生的情况是否唯一,若唯一,则为必然事件,否则为随机事件.
　小明每天早上在7:50之前赶到距家1000米的学校上学.一天,小明以80米/分的速度出发,5分钟后小明的爸爸发现他忘了带语文书.于是,爸爸立即以100米/分的速度去追小明,并且在途中追上了小明,试探究这个事件是什么事件.
〔解析〕　通过列方程求出小明的爸爸追上小明时所走的路程,然后判断事件的类型.
解:不可能事件.理由如下:
设爸爸用x分钟追上小明,根据题意列方程:
80(x+5)=100x,
解得x=20.
80×(20+5)=2000(米),2000>1000,
这时小明已经到学校了.
所以小明的爸爸没有在途中追上小明,
所以这个事件是不可能事件.
[解题策略]　运用方程思想求出小明的爸爸追上小明所需的时间,然后根据不可能事件、必然事件、随机事件的概念进行判断.
【针对训练1】　下列事件中,是随机事件的是 (　　)
A.他坚持锻炼身体,今后能成为飞行员
B.在一个装着白球和黑球的袋中摸球,摸出红球
C.抛掷一块石头,石头终将落地
D.有一名运动员奔跑的速度是20 m/s
〔解析〕　A选项中他能否成为飞行员,除与身体有关外,还与其他因素有关,是随机事件;B选项中摸出红球不可能发生,是不可能事件;C选项中石头终将落地一定发生,是必然事件;D选项中超越了一名运动员的速度极限,是不可能事件.故选A.
[方法归纳]　判断一个事件的类型,要从其定义出发,同时也要联系理论及生活的相关常识来判断;注意必然事件和不可能事件都是事先可以确定的,一定发生的是必然事件,一定不发生的是不可能事件,否则就是随机事件.
专题二　直接列举法求事件的概率
【专题分析】
当试验结果是有限个,且这些结果出现的可能性相等,并决定这些概率的因素只有一个时,采用直接列举法求事件的概率,直接列举出所有等可能的结果n,再找出符合该事件的结果数m,最后利用公式P=求解.
　一袋中有3个红球、5个白球和8个黑球,它们除颜色外完全相同,且每次摸球时都将球充分搅拌均匀.
(1)闭上眼睛从中摸出1个球,求摸到红球、白球、黑球的概率;
(2)从中任意摸出1个球,不是白球的概率是多少?
(3)若摸出的第一个球是白球,将它放在桌上,闭上眼睛从袋中余下的球中再随机摸出1个球,这时,摸出哪种颜色的球的概率最大?
〔解析〕　(1)袋中共有16个球,摸出1个球,有16种等可能的结果,摸到红球有3种等可能的结果,摸到白球有5种等可能的结果,摸到黑球有8种等可能的结果,代入概率公式即可;(2)不是白球有11种等可能的结果,代入概率公式即可;(3)去掉一个白球后,还有4个白球,3个红球,8个黑球,分别求出概率比较即可.
解:(1)P(摸到红球)=,
P(摸到白球)=,
P(摸到黑球)==.
(2)P(不是白球)=.
(3)P(摸到红球)==,
P(摸到白球)=,
P(摸到黑球)=.
因为>>,所以摸出黑球的概率最大.
[解题技巧]　分别列举出所有等可能的结果数,再求出所求事件所有可能的结果数,代入概率公式求事件的概率.
【针对训练2】　有七张正面分别标有数字-3,-2,-1,0,1,2,3的卡片,它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张,记卡片上的数字为a,则使关于x的一元二次方程x2 -2(a-1)x+a(a-3)=0有两个不相等的实数根,且以x为自变量的二次函数y=x2-(a2+1)x-a+2的图像不经过点(1,0)的概率是多少?
〔解析〕　先根据当Δ>0时方程有两个不相等的实数根,列出不等式,求出a的取值范围,然后根据二次函数的图像经过点(1,0)求出a的值,最后根据满足条件的a的值求出概率.
解:当x2-2(a-1)x+a(a-3)=0有两个不相等的实数根时,Δ>0,
∴[-2(a-1)]2-4a(a-3)>0,
解得a>-1,
当以x为自变量的二次函数y=x2-(a2+1)x-a+2 的图像经过点(1,0)时,
有a2+a-2=0,即(a-1)(a+2)=0,
∴a=1或a=-2,
则以x为自变量的二次函数y=x2-(a2+1)x-a+2 的图像不经过点(1,0)时,
a≠1且a≠-2.
综上,a>-1且a≠1,满足条件的a的值有0,2,3.
∴P(A)=.
[解题技巧]　从全部事件总数中找到可能的事件数,再求出使方程有两个不相等的实数根并且使二次函数图像不经过已知点的a的值,最后代入概率公式求解.
专题三　列表法求事件的概率
【专题分析】
如果事件中各种结果出现的可能性均等,那么含有两次操作或两个条件的事件用列表法求事件的概率.列表时选其中一次操作或一个条件作为横行,另一次操作或另一个条件作为竖行,列出表格求其概率.
　一个箱子里共有3个球,其中有2个白球、1个红球,它们除颜色外均相同.
(1)从箱子里任意摸出一个球,不将它放回箱子,搅匀后再摸出一个球,求两次摸出的球都是白球的概率;
(2)从箱子里任意摸出一个球,将它放回箱子,搅匀后再摸出一个球,求两次摸出的球都是白球的概率.
〔解析〕　(1)列表法求不放回事件的概率.(2)列表法求放回事件的概率.
解:(1)列表如下:

　　由表可知有6种结果,且每个结果都是等可能的,两次摸出的都是白球有2种结果.
所以两次摸出的球都是白球的概率为=.
(2)列表如下:

　　由表可知有9种结果,且每个结果都是等可能的,两次摸出的球都是白球有4种结果.
所以两次摸出的球都是白球的概率为.
[方法归纳]　该题是用列表法求“有放回”和“无放回”事件的概率,注意两者在列举结果时的不同.
【针对训练3】　一个不透明的袋子里装有编号分别为1,2,3的球(除编号以外,其余都相同),其中1号球1个,3号球3个,从中随机摸出一个球是2号球的概率为.
(1)求袋子里2号球的个数;
(2)甲、乙两人分别从袋中摸出一个球(不放回),甲摸出球的编号记为x,乙摸出球的编号记为y,用列表法求点A(x,y)在直线y=x下方的概率.
〔解析〕　(1)根据概率定义,列方程求2号球的个数;(2)通过列表列出所有的可能,找出在直线y=x下方的点,从而求概率.
解:(1)设袋子里2号球的个数为x.
根据题意得=,
解得x=2,
经检验,x=2是原分式方程的解,
∴袋子里2号球的个数为2.
　　(2)列表得:

1
2
2
3
3
3
3
(1,3)
(2,3)
(2,3)
(3,3)
(3,3)
-
3
(1,3)
(2,3)
(2,3)
(3,3)
-
(3,3)
3
(1,3)
(2,3)
(2,3)
-
(3,3)
(3,3)
2
(1,2)
(2,2)
-
(3,2)
(3,2)
(3,2)
2
(1,2)
-
(2,2)
(3,2)
(3,2)
(3,2)
1
-
(2,1)
(2,1)
(3,1)
(3,1)
(3,1)
　　由表可知共有30种等可能的结果,点A(x,y)在直线y=x下方的有11种,
∴点A(x,y)在直线y=x下方的概率为.
[方法归纳]　由已知事件的概率求元素数目时,用方程思想求解;求事件的概率时,通过列表或画树形图列举出所有等可能的结果,并判断出某事件发生的结果数,再利用公式求概率.
专题四　用树形图法求事件的概率
【专题分析】
如果事件中各种结果出现的可能性均等,那么两步或两步以上试验步骤完成的事件,用画树形图法列举所有等可能的结果,再根据概率公式计算.
　如图所示,有一条电路AB由图示的开关控制,任意地闭合两个开关,使电路成通路.请你通过画树形图求使电路形成通路的概率.

〔解析〕　画出树形图,结合物理学中电路形成通路的条件求其概率.
解:树形图如图所示.

由图可知一共有20种等可能的情况,使电路形成通路的有12种情况,
∴P(电路形成通路)==.
[方法归纳]　画树形图法求概率适用于两步或两步以上完成的事件,解题时还要注意是放回试验还是不放回试验,从而准确地画出树形图求解.
【针对训练4】　(1)甲、乙、丙、丁四人做传球游戏:第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人,从第二次起,每一次都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人.求第二次传球后球回到甲手里的概率.(请用“画树形图”给出分析过程)
(2)如果甲跟另外n(n≥2)个人做(1)中同样的游戏,那么第三次传球后球回到甲手里的概率是　　　　(请直接写出结果). 
〔解析〕　画树形图列举所有等可能的结果,代入概率公式求解.
解:(1)画树形图如图所示.

由图可知共有9种等可能的结果,
其中符合要求的结果有3种,
∴P(第二次传球后球回到甲手里)==.
(2)
专题五　用概率解决游戏公平问题
【专题分析】
解决游戏公平问题关键在于分析事件发生的可能性,即比较游戏双方获胜的概率是否相等,若概率相同,则游戏公平,否则游戏不公平.
　(鞍山中考)小明和小亮玩一种游戏:三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1,2,3,现将标有数字的一面朝下,小明从中任意抽取一张,记下数字后放回洗匀,然后小亮从中任意抽取一张,计算小明和小亮抽得的两个数字之和,若和为奇数,则小明胜,若和为偶数,则小亮胜.
(1)用列表或画树形图的方法,列出小明和小亮抽得的数字之和所有可能出现的情况;
(2)请判断该游戏对双方是否公平,并说明理由.
〔解析〕　根据题意先用列表法或画树形图法分析所有可能出现的结果,然后根据概率计算公式求出双方获胜的概率,比较其大小即可判断游戏规则是否公平.
解:列表如下:

　　或画树形图如图所示.

(1)从上面表中(树形图)可计算,小明和小亮抽得的数字之和的所有可能结果是:2,3,4,5,6.
(2)游戏对双方不公平.理由如下:
∵和为奇数有4次,和为偶数有5次,
∴P(小明胜)=,P(小亮胜)=,
∵≠,∴游戏对双方不公平.
[方法归纳]　判断游戏是否公平,分别求出双方获胜的概率,通过比较双方获胜的概率是否相同判断游戏是否公平.
【针对训练5】　某中学举行“中国梦·我的梦”演讲比赛.志远班的班长和学习委员都想去,于是老师制作了四张标有算式的卡片(如图所示),背面朝上洗匀后,先由班长抽一张,再由学习委员在余下三张中抽一张.如果两张卡片上的算式都正确,班长去;如果两张卡片上的算式都错误,学习委员去;如果两张卡片上的算式一个正确一个错误,那么都放回去,背面朝上洗匀后重新抽.这个游戏公平吗?请用画树形图或列表的方法,结合概率予以说明.

〔解析〕　画树形图分别求班长、学习委员去的概率,根据概率是否相等判断游戏是否公平.
解:公平.理由如下:画树形图如图所示.

由此可知该事件共有12种等可能的结果.
∵四张卡片中,A,B中的算式错误,C,D中的算式正确,
∴都正确的有CD,DC两种,都错误的有AB,BA两种.
∴班长去的概率P(班长去)==,
学习委员去的概率P(学习委员去)==,
∴P(班长去)=P(学习委员去).
∴这个游戏公平.
专题六　频率估计概率的综合运用
【专题分析】
当试验次数很大时,一个事件发生的频率稳定在相应概率附近.频率是通过试验得到的一个数据结果,因试验次数的不同而有所改变,是一个实际的具体值.概率是一个事件发生的可能性大小的理论值,它不因试验次数的改变而变化,是一个常数.
　“十八大”报告一大亮点就是关注民生问题,某小区为了改善生态环境,促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为三类:厨余、可回收和其他,分别记为a,b,c,并且设置了相应的垃圾箱,“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱,分别记为A,B,C.
(1)若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱,请用画树形图的方法求垃圾投放正确的概率;
(2)为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):

A
B
C
a
400
100
100
b
30
240
30
c
20
20
60
　　试估计“厨余垃圾”投放正确的概率.
〔解析〕　(1)直接利用画树形图法求三类垃圾随机投入三类垃圾箱可能性大小;(2)根据频率与概率关系.
解:(1)三类垃圾随机投入三类垃圾箱的树形图如图所示.

由树形图可知共有9种等可能的结果,其中正确的投放的结果有3种,所以垃圾投放正确的概率为=.
(2)由表格可估计“厨余垃圾”投放正确的概率为=.
[方法归纳]　计算实际问题中的非等可能事件的概率,通过计算事件的频率来估计概率.

【针对训练6】　如图所示,均匀的正四面体的各面依次标有1,2,3,4四个数字.小明做了60次投掷试验,结果统计如下:
朝下数字
1
2
3
4
出现的次数
16
20
14
10
　　(1)计算上述试验中“4朝下”的频率是　　　　; 
(2)根据试验结果,“投掷一次正四面体,出现‘2朝下’的概率是”的说法正确吗?为什么?
(3)随机投掷正四面体两次,请用列表或画树形图法,求两次朝下的数字之和大于4的概率.
〔解析〕　(1)应用公式“频率=频数÷试验次数”来计算频率;(2)当试验次数较大时,用频率估计概率;(3)通过列表列举出所有结果,利用概率公式解答.
解:(1)=.
(2)这种说法是错误的.
在60次试验中,“2朝下”的频率为并不能说明“2朝下”这一事件发生的概率为.只有当试验的总次数很大时,事件发生的频率才会稳定在相应
的事件发生的概率附近.
(3)随机投掷正四面体两次,所有可能出现的结果如下表所示:

　　由表可知总共有16种结果,每种结果出现的可能性相同,而两次朝下数字之和大于4的结果有10种.
∴P(朝下数字之和大于4)==.
[解题策略]　本题是列举法求概率及频率估计概率的综合运用,同一试验中重复的次数越多,事件发生的频率才会稳定在某值附近,即为概率.
本章质量评估
(时间:90分钟　满分:120分)
一、选择题(第1~10小题各3分,第11~16小题各2分,共42分)
1.下列说法正确的是 (　　)
A.随机抛掷一枚均匀的硬币,落地后反面一定朝上
B.从1,2,3,4,5中随机取一个数,取得奇数的可能性较大
C.某彩票中奖率为36%,说明买100张彩票,有36张中奖
D.打开电视,中央一套正在播放新闻联播
2.下列事件是必然事件的是 (　　)
A.掷一次骰子,向上的一面是2点
B.小麦的亩产量为1000公斤
C.在只装5个红球的袋中摸出1个球,是红球
D.农历十五的晚上一定能看到圆月
3.在一个不透明的盒子里装有3个黑球和1个白球,每个球除颜色外都相同,从中任意摸出2个球,下列事件中,不可能事件是 (　　)
A.摸出的2个球都是白球
B.摸出的2个球有一个是白球
C.摸出的2个球都是黑球
D.摸出的2个球有一个是黑球
4.在一个不透明的袋中装有若干只颜色不同的球,如果口袋里装有5个红球,从中任意摸出1个,且摸出红球的概率是,那么袋中球的总个数为 (　　)
A.10 B.15 C.20 D.6
5.某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30 s,绿灯亮25 s,黄灯亮5 s,当你抬头看信号灯时,是黄灯的概率是 (　　)
A. B. C. D.
6.一个不透明的盒子中有3个红球,2个黄球和1个绿球,这些球除了颜色外无其他差别,从中随机摸出1个小球,恰好是黄球的概率是 (　　)
A. B. C. D.
7.一天晚上,小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时,突然停电了,小丽只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起,则其颜色搭配一致的概率是 (　　)
A. B. C. D.1
8.从2,3,4,5中任意选两个数,记作a和b,那么点(a,b)在函数y=的图像上的概率是 (　　)
A. B. C. D.
9.在0,1,2三个数中任取两个,组成两位数,则在组成的两位数中是奇数的概率为 (　　)
A. B. C. D.
10.在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球,它们只有颜色上的区别,随机从袋中摸出2个小球,两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为 (　　)
A. B. C. D.
11.如图所示,已知点A,B,C,D,E,F是边长为1的正六边形的顶点,连接任意两点均可得到一条线段,在连接两点所得的所有线段中任取一条线段,取到长度为的线段的概率为 (　　)
A. B. C. D.

(第11题图)
12.如图所示,把一个圆形转盘按1∶2∶3∶4的比例分成A,B,C,D四个扇形区域,自由转动转盘,停止后指针落在B区域的概率为 (　　)

(第12题图)
A. B. C. D.
13.甲、乙两个布袋都装有红、白两种小球,两个布袋装球的总数相同,两种小球仅颜色不同.甲袋中红球个数是白球个数的2倍;乙袋中红球个数是白球个数的3倍,将乙袋中的球全部倒入甲袋,随机从甲袋中摸一个球,摸出红球的概率是 (　　)
A. B. C. D.
14.如图所示的两个圆盘中,指针落在每一个数字上的机会均等(指针指在交线处重新转动),那么两个指针同时落在偶数上的概率是 (　　)

A. B. C. D.
15.有三张正面分别写有数字-1,1,2的卡片,它们背面完全相同,现将这三张卡片背面朝上洗均匀后随机抽取一张,以其正面的数字作为a的值,然后再从剩余的两张卡片中随机抽取一张,以其正面的数字作为b的值,则点(a,b)在第二象限的概率是 (　　)
A. B. C. D.

16.如图所示,A,B是数轴上的两点,在线段AB上任取一点C(不取表示-1那点,且C点为整数),则点C到表示-1的点的距离不大于2的概率是 (　　)
A. B. C. D.
二、填空题(第17~18小题各3分,第19小题4分,共10分)
17.在-1,3,-2这三个数中,任选两个数的积作为k的值,使反比例函数y=的图像在第一、三象限的概率是　　　　. 
18.如图所示,△ABC三边的中点D,E,F组成△DEF,△DEF三边的中点M,N,P组成△MNP,将△FPM与△ECD涂成阴影.假设可以随意在△ABC中取点,那么这个点取在阴影部分的概率为　　　　. 

19.(内江中考)有6张背面完全相同的卡片,每张正面分别有三角形、平行四边形、矩形、正方形、梯形和圆,现将其全部正面朝下搅匀,从中任取一张卡片,抽中正面画的图形是中心对称图形的概率为　　　　. 
三、解答题(共68分)
20.(9分)有一组互不全等的三角形,它们的边长均为整数,每个三角形有两条边的长分别为5和7.
(1)请写出其中一个三角形的第三边的长;
(2)设组中最多有n个三角形,求n的值;
(3)当这组三角形个数最多时,从中任取一个,求该三角形周长为偶数的概率.
21.(9分)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球,其中红球4个,黑球6个.
(1)先从袋子中取出m(m>1)个红球,再从袋子中随机摸出1个球,将“摸出黑球”记为事件A.请完成下列表格:
事件A
必然事件
随机事件
m的值


(2)先从袋子中取出m个红球,再放入m个一样的黑球并摇匀,随机摸出1个球是黑球的概率等于,求m的值.
22.(9分)甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛,要从中选出两位同学打第一场比赛.
(1)请用画树形图法或列表法,求恰好选中甲、乙两位同学的概率;
(2)若已确定甲打第一场,再从其余三位同学中随机选取一位,求恰好选中乙同学的概率.
23.(9分)在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌,它们分别标有数字1,2,3,4.随机地摸出一张纸牌然后放回,再随机摸出一张纸牌.
(1)计算两次摸出纸牌上数字之和为5的概率;
(2)甲、乙两个人进行游戏,若两次摸出纸牌上数字之和为奇数,则甲胜;若两次摸出纸牌上数字之和为偶数,则乙胜.这是个公平的游戏吗?请说明理由.

24.(10分)[2016·陕西中考]某超市为了答谢顾客,凡在本超市购物的顾客,均可凭购物小票,参与抽奖活动,奖品是3种瓶装饮料,他们分别是:绿茶(500 ml),红茶(500 ml)和可乐(600 ml),抽奖规则如下:①如图所示的是一个材质均匀可自由转动的转盘,转盘被等分成5个扇形区域,每个区域上分别写有“可”“绿”“乐”“茶”“红”字样;②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”(当转动转盘,转盘停止后,可获得指针所指区域的字样,我们称这次转动是一次“有效随机转动”);③假设顾客转动转盘,转盘停止后,指针指向两区域的边界,顾客可以再转动转盘,直到转动为一次“有效随机转动”;④当顾客完成一次抽奖活动后,记下两次指针所指区域的两个字,只要这两个字和奖品的名称的两个字相同(与字的顺序无关),便可获得相应的奖品一瓶,不相同时,不能获取任何奖品.
根据以上规则,回答下列问题:
(1)求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率;
(2)有一名顾客,凭本超市购物小票,参与了一次抽奖活动,请你用列表或画树形图等方法,求该顾客经过两次“有效随机转动”后,获得一瓶可乐的概率.
25.(10分)[2016·云南中考]某超市为庆祝开业举办大酬宾抽奖活动,凡在开业当天进店购物的顾客,都能获得一次抽奖的机会,抽奖规则如下:在一个不透明的盒子里装有分别标有数字1,2,3,4的4个小球,它们的形状、大小、质地完全相同,顾客先从盒子里随机取出一个小球,记下小球上标有的数字,然后把小球放回盒子并搅拌均匀,再从盒子中随机取出一个小球,记下小球上标有的数字,并计算两次记下的数字之和.若两次所得的数字之和为8,则可获得50元代金券一张;若所得的数字之和为6,则可获得30元代金券一张;若所得的数字之和为5,则可获得15元代金券一张;其他情况都不中奖.
(1)请用列表或树状图(树状图也称树形图)的方法(选其中一种即可),把抽奖一次可能出现的结果表示出来;
(2)假如你参加了该超市开业当天的一次抽奖活动,求能中奖的概率P.
26.(12分)一不透明纸箱中装有形状、大小、质地等完全相同的4个小球,分别标有数字1,2,3,4.
(1)从纸箱中随机地一次取出两个小球,求这两个小球上所标的数字一个是奇数一个偶数的概率;
(2)先从纸箱中随机地取出一个小球,用小球上所标的数字作为十位的数字,将取出的小球放回后,再随机地取出一个小球,用小球上所标的数字作为个位上的数字,则组成的两位数恰好能被3整除的概率是多少?试用树形图或列表法加以说明.
【答案与解析】
1.B(解析:A中掷一枚硬币的试验中,着地时反面向上的概率为,则正面向上的概率也为,不一定就反面朝上,故此选项错误;B中从1,2,3,4,5中随机取一个数,因为奇数多,所以取得奇数的可能性较大,故此选项正确;C中某彩票中奖率为36%,说明买100张彩票,有36张中奖,不一定,概率是针对数据非常多时,趋近的一个数,并不能说买100张该种彩票就一定能中36张奖,故此选项错误;D中打开电视,中央一套正在播放新闻联播,很明显不一定能发生,故此选项错误.)
2.C(解析:A,B,D中事件可能发生也可能不发生,是随机事件;C是必然事件.故选C.)
3.A(解析:因为盒子中只有1个白球,所以摸出的两个球不可能都是白球,所以A是不可能事件.)
4.B(解析:设袋中共有x个球,则=,解得x=15(已检验).)
5.A(解析:抬头看信号灯时,是黄灯的概率为5÷(30+25+5)=5÷60=.)
6.B(解析:盒子中共有6个球,随机摸出1个小球有6种等可能的结果,摸到黄球有2种,所以随机摸出1个小球,恰好是黄球的概率是=.)
7.B(解析:用A和a分别表示粉色有盖茶杯的杯盖和茶杯,用B和b分别表示白色有盖茶杯的杯盖和茶杯.经过搭配所能产生的结果总共有4种可能:Aa,Ab,Ba,Bb,则颜色搭配正确的概率是.)
8.D(解析:由树形图可知共有12种等可能的结果,点(a,b)在函数y=的图像上的结果有(3,4),(4,3),所以点(a,b)在函数y=的图像上的概率是=.)
9.A(解析:共4种等可能结果,而奇数只有21这一种.)
10.A(解析:该题是“不放回事件”,列表或画树形图可知共有12种结果,一黄一红共有6种结果.)
11.B(解析:如图所示,正六边形的顶点连接任意两点可得15条线段,其中6条的长度为,分别为AC,AE,BD,BF,CE,DF,∴所求概率为=.)

12.C(解析:根据图中B区域的面积在整个面积中占的比例,即可求出指针指向B区域的概率.B区域所占的比例为=.)
13.C(解析:设甲袋中白球的个数是a个,则红球的个数为2a,共有3a,所以乙袋中白球的个数为a,红球的个数为a,所以两个袋中共有红球a个,故将乙袋中的球全部倒入甲袋,随机从甲袋中摸一个球,摸出红球的概率是=.)
14.B(解析:由列表法可知共有25种等可能的结果,两个指针同时落在偶数上有6种结果,所以P(同时落在偶数上)=.)
15.B(解析:列表如下:由表可知共有6种等可能的

-1
1
2
-1

(-1,1)
(-1,2)
1
(1,-1)

(1,2)
2
(2,-1)
(2,1)

结果,其中在第二象限的点有(-1,1),(-1,2)两种,故点(a,b)在第二象限的概率是=.故选B.)
16.D(解析:设表示-1的点为M,因为点C到点M的距离不大于2,所以当点C在点M的右侧时,点C表示的数小于或等于1;当点C在点M的左侧时,点C表示的数大于或等于-3.而线段AB的长度为5,所以P(点C到表示-1的点的距离不大于2)=.故选D.)
17.(解析:画树形图(如图所示),由图可知共有

6种等可能的结果,任选两个数的积作为k的值,使反比例函数y=的图像在第一、三象限有2种情况,∴任选两个数的积作为k的值,使反比例函数y=的图像在第一、三象限的概率是=.)
18.(解析:∵ D,E分别是BC,AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴ ED∥AB,且DE=AB,∴ △CDE∽△CBA,∴ ==,∴ S△CDE=S△CBA.同理,S△FPM=S△FDE=S△CBA,∴ S阴影=S△FPM+S△CDE=S△CBA,∴=.)
19.(提示:∵有6张背面完全相同的卡片,每张正面分别有三角形、平行四边形、矩形、正方形、梯形和圆,是中心对称图形的有平行四边形、矩形、正方形和圆,∴从中任取一张卡片,抽中正面画的图形是中心对称图形的概率为=.)
20.解:(1)设三角形的第三边的长为x,∵每个三角形有两条边的长分别为5和7,∴7-5 21.解:(1)若事件A为必然事件,则袋子中应全为黑球,∴m=4;若事件A为随机事件,则袋子中有红球但不能全是红球, ∵m>1 ,∴m=2或3.　(2)=, ∴m=2 .
事件A
必然事件
随机事件
m的值
4
2,3
22.(1)解法1:画树形图如图所示.由图可知所有可

能出现的情况有12种,且每种情况出现的可能性相同,其中甲、乙两位同学组合的情况有两种,所以P==.解法2:列表如下.由表可知所有可能出现的情况有12种,其中甲、乙两位同学组合的情况有两种,所以P==.

　(2)解:若已确定甲打第一场,再从其余三位同学中随机选取一位,共有3种情况,选中乙的情况有一种,所以P(恰好选中乙同学)=.
23.解:画树形图如图所示.由图可以看出,摸出一

张纸牌然后放回,再随机摸出一张纸牌,可能结果有16种,它们出现的可能性相等.(1)两次摸出纸牌上数字之和为5(记为事件A)有4种,所以P(A)==.　(2)这是个公平的游戏.理由如下:两次摸出纸牌上数字之和为奇数(记为事件B)有8种,则P(B)==;两次摸出纸牌上数字之和为偶数(记为事件C)有8种,则P(C)==.两次摸出纸牌上数字之和为奇数与之和为偶数的概率相同,所以这是个公平的游戏.
24.解:(1)一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率是.　(2)由题意,列表如下:

由表格可知共有25种等可能的结果,获得一瓶可乐的结果有两种:(可,乐),(乐,可),∴P(该顾客获得一瓶可乐)=.
25.(1)解法1:列表如下:

解法2:树形图如图所示.　(2)解:由列表法或

树形图可知所有可能出现的结果一共有16种,每种结果出现的可能性相同,其中两次所得数字之和为8,6,5的结果有8种,所以抽奖一次中奖的概率P==.答:抽奖一次能中奖的概率为.
26.解:(1)树形图如图所示.由图可知P(一奇一偶) ==.

　(2)树形图如图所示.由图可知P(恰好能被3整除)=.