【精品讲义】人教版 九年级下册寒假同步课程（培优版）8锐角三角函数性质.教师版
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内容 | 基本要求 | 略高要求 | 较高要求 |
锐角三角函数
| 了解锐角三角函数（正弦、余弦、正切、余切），知道特殊角的三角函数值 | 由某个角的一个三角函数值，会求这个角其余两个三角函数值；会求含有特殊角的三角函数值的计算 | 能用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题 |
模块一 三角函数基础
一、 锐角三角函数的定义
如图所示，在中，a、b、c分别为、、的对边．
（1）正弦：中，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即．
（2）余弦：中，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即．
（3）正切：中，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即．
注意：
① 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义．
② 、、分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为与、与、与的乘积．
③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值．
二、 特殊角三角函数
三角函数 | |||||
这些特殊角的三角函数值一定要牢牢记住！
三、锐角三角函数的取值范围
在中，，，又，，，所以
四、三角函数关系
1．同角三角函数关系：
，
2．互余角三角函数关系：
(1) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：；
(2) 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：；
(3) 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：．
3．锐角三角函数值的变化规律：
(1)A、B是锐角，若AB，则；若AB，则
(2) A、B是锐角，若AB，则；若AB，则
(3) A、B是锐角，若AB，则；若AB，则
【例1】 如图，在中，=，于，则==，==，
=，=，==，==．
【难度】1星
【解析】利用三角函数定义
【答案】
【巩固】在中，，=，=9，则= ．
【难度】2星
【解析】要求学生能够正确画出图形，找出相对应的边． 因为，，所以．
【答案】6
【例2】 如图，在中，，，，则下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【难度】2星
【解析】考查勾股定理和锐角三角函数的定义，由勾股定理得：．根据三角函数定义：，，，．
【答案】D
【巩固】（2011江苏连云港）如图，的顶点都在方格纸的格点上，则=______．
【难度】2星
【解析】正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的．过点作交的延长线于。此钝角三角形在网格图中，在中，的对边是２个单位长度，邻边是４个单位长度，根据勾股可得斜边是个单位长度，再根据正弦定义＝．
【答案】
【例3】 （2011山东烟台）如果中，==，则下列最确切的结论是（ ）
A．是直角三角形 B．是等腰三角形
C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形
【难度】2星
【解析】由特殊三角函数值易知：
【答案】C
【巩固】已知为锐角，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【难度】1星
【解析】解法一：设．因为，所以，即=
解法二：因为=，所以=
【答案】A
【巩固】在中，、都是锐角，且=，=，则是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
【难度】2星
【解析】由特殊三角函数值知＝，＝，根据三角形的内角和是得该三角形是钝角三角形。
【答案】B
【例4】 中，分别是的对边。已知，，，则的值等于 ．
【难度】3星
【解析】注意到，所以为直角，所以，，即＝＝１
【答案】１
【例5】 已知=，则= ．
【难度】2星
【解析】任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值
【答案】
【巩固】在中，若+=，则等于（ ）
A． B． C． D．
【难度】2星
【解析】解法一：代特殊值法知：当时，满足+=，所以
解法二：因为，所以，即，所以
【答案】B
【例6】 若的补角是的3倍，则= ．
【难度】2星
【解析】由题意得：，所以
【答案】
【巩固】的补角是120°，则______，______．
【难度】2星
【解析】略
【答案】，
【例7】 为锐角，且满足，求的值．
【难度】3星
【解析】因为，，所以＝，＝＝．
【答案】
【巩固】若为直角三角形中的一个锐角，，则______． ．
【难度】3星
【解析】因为，＝３，所以，即＝．因为，所以＝
【答案】
模块二 比较大小
【例8】 比较下列各式的大小．
（1）和；
（2） 当是锐角时，和
【难度】3星
【解析】（1）解法一：因为，且，所以
解法二：因为，且，所以
（2）在中，a、b、c分别为、、的对边，所以，
又因为，所以
【答案】(1) (2)
【巩固】(2011广东茂名)如图，已知：，则下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【难度】2星
【解析】解法一：利用锐角三角函数的性质
解法二：代入特殊值法
【答案】B
模块三 化简求值
【例9】 求下列各式的值：
（1）；
（2）
【难度】2星
【解析】(1)
(2)
【答案】（1） （2）
【巩固】计算（1）；
（2）
【难度】2星
【解析】（1）= =
（2）=
【答案】（1） （2）0
【例10】 已知，且为锐角，求的值．
【难度】4星
【解析】因为，且为锐角，不妨设，，所以（）
由三角函数的定义知，，，，故原式．
【答案】
模块四 三角函数与代数综合
【例11】 已知：，则之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【难度】4星
【解析】因为，所以两式平方相加可得
【答案】C
模块五 三角函数与几何综合
【例12】 （2011江苏南京）如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，则的值等于_________．
【难度】2星
【解析】根据圆的性质可知：是等边三角形 ，即，所以．
【答案】
【例13】 如图，已知是半圆的直径，弦、相交于点，若=，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【难度】3星
【解析】根据圆的性质可知：
【答案】B
【例14】 （2011安徽芜湖中考）如图，直径为10的经过点和点，是轴右侧优弧上一点，则的余弦值为( )．
A． B． C． D．
【难度】3星
【解析】由题意很容易推断出：===5，所以．由圆的性质可知：，即
【答案】C
【例15】 如图，在中，是边上的高，
（1） 求证：
（2） 若，，求的长．
【难度】3星
【解析】（1）在中，在，．因为，所以，即．
（2）设，因为，，所以．由勾股定理得
所以．
【答案】8
【巩固】如图，一块三角形土地，已知两边长与夹角，求这块土地的面积．（精确到1，参考数据：）
【难度】3星
【解析】如图，作边上的高，过作于，在中，
所以．所以=（）．
【答案】184
【例16】 如图，在中，，，沿的斜边上的中线将折叠，使点落在点处，若恰好与垂直，则的值为 _________．
【难度】3星
【解析】因为是直角三角形斜边的中点，所以，．
因为，所以．
因为垂直平分线段，所以，又因为，
所以
【答案】
1． 直角三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【难度】2星
【解析】由于直角三角形在网格图中，则的邻边4个单位长度，对边是3个单位长度 ，根据勾股定理
可得斜边是5个单位长度，再根据余弦定义可得，即选D
【答案】D
2． 在中，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【难度】3星
【解析】由题意得：，
所以，所以
【答案】C
3． 已知为锐角，且，则的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
【难度】3星
【解析】锐角三角函数的性质、代入特殊值法
【答案】C
1．通过本堂课你学会了 ．
2．掌握的不太好的部分 ．
3．老师点评：① ．
② ．
③ ．
1． （2011安徽芜湖）计算：
【难度】2星
【解析】原式==
【答案】
2． （2011甘肃兰州）已知是锐角，且．计算的值．
【难度】3星
【解析】由得，原式
【答案】3
3． 已知，那么锐角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【难度】3星
【解析】代入特殊值法
【答案】 A
4． （2011贵州安顺）如图，点在上，是上的一条弦，则= ．
【难度】3星
【解析】根据圆的性质，所以
又已知，即
又，所以
【答案】
5． 如图所示，在中，，，点在上，，，求、的长．
【难度】3星
【解析】在中，，，所以．
在中，，所以
设，则，，所以，
所以，．
【答案】，
