【精品讲义】人教版 九年级下册寒假同步课程（培优版）4比例与相似的性质.教师版

比例线段与相似三角形性质








内容
基本要求
略高要求
较高要求
相似
了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系
会用比例的基本性质解决有关问题；会用相似多边形的性质解决简单的问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小

相似三角形
了解两个三角形相似的概念
会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决实际问题

相似多边形
知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似
会用相似多边形的性质解决简单问题



模块一 比例的性质
☞比例线段
1．这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式;
2．(反比定理);
3．(或)(更比定理);
4．(合比定理);
5．(分比定理);
6．(合分比定理);
7．(等比定理)．

【例1】 若，则下列各式不成立的是 （ ）
A． B． C． D．
【难度】星
【解析】根据比例的性质公式：；可知正确，只有错误．
【答案】


【巩固】若 ，则= ．
【难度】星
【解析】设,则
所以有，
【答案】


【巩固】若，，则=（　　）
A． B． C． D．
【难度】2星
【解析】可以把两个比中的所占的份数变成相同的．，，即可求．∵，，
∴．
故选
【答案】

【例2】 如果，则等于（　　）
A． B． C． D．
【难度】2星
【解析】因为，所以，代入求解即可．法一：，∴，
∴原式=
法二：∵∴将看成2，看成3，然后代入直接算（此类方法只适用选择和填空）
【答案】C


【巩固】如果，那么等于( )
A． B． C． D．
【难度】2星
【解析】根据题意比例的合比性质，即可得出结果．
由题意， ，
∴
故选
【答案】

【拓展】若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【难度】2星
【解析】设，那么，，然后代入所求的代数式即可求出结果．
设，
∴，，
∴．
【答案】B

【拓展】已知，且，则 =（　　）
A． B． C． D．
【难度】2星
【解析】根据比例的等比性质直接即可得解．
∵，
∴，
∴
【答案】


【例3】 若，则的值为（　　）
A． B． C．或 D．不存在
【难度】2星
【解析】根据比例的等比性质计算即可得出结果，注意条件的限制．
分情况进行：当时，根据等比性质，得；
当时，则，，
【答案】


【巩固】已知一张地图的比例尺是，若、两地的实际距离为，则画在地图上的距离是 ．
【难度】星
【解析】根据公式：∵比例尺图上距离∶实际距离，设图上距离为
∴有
【答案】


【巩固】已知，则直线一定经过（　　）
A．， B．， C．， D．，
【难度】2星
【解析】分情况讨论：
当时，根据比例的等比性质，得：，此时直线为，直线一定经过，，象限．
当时，即，则，此时直线为，即直线必过，，象限．
综合两种情况，则直线必过第，象限．
【答案】


【拓展】若，则一次函数的图象必定经过的象限是（　　）
A．第一、二象限 B．第一、二、三象限
C．第二、三、四象限 D．第三、四象限
【难度】2星
【解析】先根据等式求出的值，从而得到一次函数的解析式，再根据一次函数的性质分析经过的象限即可．（注意有两种情况）．
【答案】由已知得；；，三式相加得：，
①当时，；
②当时，，．
∴一次函数为或
∵过第一、二、四象限；
过第一、二、三象限；
∴一次函数的图象必定经过的象限是第一、二象限．
故选


【拓展】某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（　　）

舞蹈社
溜冰社
魔術社
上学期



下学期



A．舞蹈社不变，溜冰社减少
B．舞蹈社不变，溜冰社不变
C．舞蹈社增加，溜冰社减少
D．舞蹈社增加，溜冰社不变
【难度】2星
【解析】若甲∶乙∶丙，则甲占全部的，乙占全部的，丙占全部的．
【答案】由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下：

舞蹈社
溜冰社
魔术社
上学期



下学期



∴舞蹈社增加，溜冰社不变．
故选


☞黄金分割点

如图，若线段上一点把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即）则称线段被点黄金分割，点叫线段的黄金分割点．
设，则，即有一元二次方程,根据公式法解得：
，因为，所以有，即， ，与的比叫做黄金比．
【例4】 如图所示，在黄金分割矩形中，分出一个正方形，求．

【难度】1星
【解析】∵，∴．
．
∵，
∴．
【答案】


【巩固】为平行四边形的边延长线上的一点，且为的黄金分割点，即，交于．已知，求的长．
【难度】星
【解析】∵
∴
又∵
∴，
∴
∴
【答案】

模块二 平行线分线段成比例定理

平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
如图，，则．若将称为上，称为下，称为全，上述比例式可以形象地表示为．

当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“”字型，“”字型．则有．







【例5】 如图，小明站在处看甲、乙两楼顶上的点和点三点在同一直线上，点分别在点的正下方，且三点在同一直线上，相距米，相距米，乙楼高米，则甲楼的高为（小明身高忽略不计） ( )
A．米 B． 米
C． 米 D． 米
【难度】星
【解析】 ∴
【答案】


【巩固】如图，在中，，，，．
（1）求的值；
（2）求的长．

【难度】星
【解析】∵，，，
∴
∴
∴
【答案】；


【例8】如图，在的边上任取两点和，过点作的平行线交于点，过点作 的平行线交于点，求证：．

【难度】星
【解析】略
【答案】∵
∴
又由得
∴即


【巩固】如图， 中，，有一内接正方形，连接交于， ，，求．

【难度】星
【解析】略
【答案】设正方形的边长为，则
∵
∴
解得
又在中 有，
∴


【巩固】如图，，且，若，求的长．

【难度】星
【解析】略
【答案】
又



【例5】如图，在平行四边形中，，，是上的任一点，过点作，与平行四边形的两条边分别交于点、，设，，则能反映与之间关系的图象是（　　 ）


A． B． C． D．
【难度】2星
【解析】根据平行四边形的性质得到，根据平行线分线段成比例定理得到和，代入求出与的关系式，根据函数的图象特点即可选出答案．
【答案】设交于，
∵四边形是平行四边形，
∴，当在上时，
∵，∴ ，∴，∴，
当在上时，

同法可得：，∴，∴，
∵两种情况都是一次函数，图象是直线．故选


【例6】 如图，已知梯形中，，对角线、分别交中位线于点、，且，那么等于 ．

【难度】2星
【解析】∵根据平行线分线段成比例定理可得：、分别是和的中位线．
那么，．
∴
【答案】1∶3


【巩固】已知线段、，求作线段，使，正确的作法是（　　）

A． B．

C． D．
【难度】2星
【解析】对题中给出的等式进行变形，先作出已知线段、和，再根据平行线分线段成比例定理作出平行线，被截得的线段即为所求线段．
【答案】由题意， ∴，
∵线段没法先作出， ∴B选项错误，
根据平行线分线段成比例定理，只有符合．
故选


【拓展】在中，底边上的两点、把三等分，是上的中线，、分别交 于、两点，求证：．

【难度】5星
【解析】略
【答案】如图，过点作，交的延长线于，易证，；
同样得，可得，
设，，，则，，
由平行线分线段成比例定理可知：
；
，
∴，，
∴，
即


模块三 相似三角形的性质

☞对应角
相似三角形对应角相等
【例9】已知，是⊙O的直径，且是圆上一点，小聪透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的三角形图案的（如图所示），那么下列关于与放大镜中的关系描述正确的是（　　）

【难度】星
【解析】略
【答案】∵是直径，
∴是直角，
∴，
用放大镜观察图形，镜中的图形与原图形相似，所以在镜中看的角大小没有改变，
∴．
故选


【巩固】如图，若,试找出图中所有的对应角、对应边，并用式子表示．

【难度】星
【解析】略
【答案】，，，


☞对应边
相似三角形对应边成比例
【例10】三角形三边之比为，与它相似的三角形最长边是，另两边之各是 （ ）
A．15cm B． 18cm C． 21cm D． 24cm
【难度】3星
【解析】最长边为的三角形三边比例为
∵可设最长边为
∴另外两边和 故选
【答案】

【巩固】的三边长分别为、、，的两边长分别为和，若与 相似，则的第三条边长 ．
【难度】星
【解析】∵的两边、与的两边1、对应成比例，即
∴的第三边长为．
【答案】


【拓展】已知的三边长分别为20、50、60，现要利用长度分别为30和60的细木条各一根，做一个三角形木架与相似，要求以其中一根为边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，那么另外两边的长度（单位：）分别为多少？
【难度】星
【解析】根据相似三角形对应边成比例的性质．
首先，以60为一边时，另一端30需要结成两段，构成不了三角形．
其次，以30为一边时，对应着的三边，可以有相似比，，．当相似比为 时，其他两段需要用料，不符合题意．当相似比为时，其他两段长度分别为和，可以．当相似比为时，其他两段长度分别为和，可以截取．
【答案】和或者和．


☞中线、高线、角平分线
相似三角形的对应中线、高线、角平分线的比等于相似比
【例7】 如图与相似，是中边上的中线，是中边上的中线，试证明：（为相似比）．

【难度】星
【解析】略
【答案】∵
∴
又∵是中边上的中线，是中边上的中线
∴


【巩固】已知与相似且对应中线的比为，则与的周长比为（ ）．
【难度】1星
【解析】由于相似三角形的对应中线和周长的比都等于相似比，由此可求出两三角形的周长比．
【答案】∵与相似且对应中线的比为，
∴它们的相似比为；
故与的周长比为


【巩固】若两个相似三角形的相似比是，则这两个三角形对应中线的比是（ ）．
【难度】1星
【解析】根据相似多边形的性质，对应边之比相等可得．
【答案】相似三角形对应中线的比等于相似比，因而对应中线的比是


【例8】 如图与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，求证：（为相似比）．

【难度】星
【解析】略
【答案】∵
∴，即有
又∵，
∴


【巩固】两个相似三角形的面积比与它们对应高之比之间的关系为 ．
【难度】1星
【解析】利用两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比即可求解．
【答案】∵，
∴


【巩固】如果两个相似三角形对应高的比为，那么这两个相似三角形的相似比为（ ）．
【难度】1星
【解析】相似三角形的一切对应线段（包括对应高）的比等于相似比，由此可求得这两相似三角形的相似比．
【答案】∵两个相似三角形对应高的比为，
∴它们的相似比为


【例9】 如图与相似，是中的角平分线，是中的角平分线，则有（为相似比）．

【难度】星
【解析】略
【答案】∵
∴
又∵是中的角平分线，是中的角平分线
∴
∴
∴
∴


【巩固】两个相似三角形对应高之比为，那么它们对应中线之比为（　　）
A． B． C． D．
【难度】
【解析】两个相似三角形的相似比等于对应高的比，也等于对应中线的比．
【答案】∵两个相似三角形对应高之比为；
∴两个相似三角形的相似比为；
∴它们对应中线之比为．
故本选


☞周长比 、面积比
相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
【例10】 如图1，与相似，则有（为相似比）．应用比例的等比性质有．
图1
如图2，与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）．进而可得．

图2

【例11】 若，它们的面积比为，则的相似比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】1星
【解析】由与它们的面积比为，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得与的相似比．
【答案】∵，它们的面积比为，
∴△ABC与△DEF的相似比为．
故选


【例12】 已知，它们的相似比是，的周长为，则的周长为（ ）．
【难度】1星
【解析】利用相似三角形的周长的比等于相似比列式求解．
【答案】∵的周长：的周长，的周长为；
∴的周长


【巩固】若两个相似三角形的面积之比为，则它们的周长之比为（　　）
A． B． C． D．
【难度】1星
【解析】略．
【答案】∵两个相似三角形的面积之比；
∴它们的相似比为；
∴它们的周长之比为
故选


【例13】 已知，且，则的面积与的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【难度】1星
【解析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求．
【答案】∵，且相似比为；
∴其面积之比为；故选


【例14】 在和中，，，．如果的周长是，面积是，那么的周长、面积依次是 ．
【难度】星
【解析】根据周长比等于相似比，面积比是相似比的平方．
【答案】；


【巩固】如图，已知分别是的边上的一点，，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．

【难度】星
【解析】∵∴∴=
【答案】


【拓展】如图，在中，．若、、的面积分别为、、，则的面积为 ．

【难度】星
【解析】由三角形的面积，可知，所以，即，
根据，所以．
【答案】


☞三角形相似的综合

【例15】 一张等腰三角形纸片，底边长，底边上的高的长为．现沿底边依交从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张

【难度】星
【解析】如图，作于点，交第张纸条于点，则，∴ 即，解得
【答案】 ．



【巩固】如图所示，路边有两根电线杆，其中，，用铁丝将两杆固定，求铁丝与铁丝的交点处距离地面的高度．


【难度】星
【解析】由两步相似倒出边与边之间的比例关系．
∵ ∴ ①
②
①+②：
∴
【答案】


【拓展】 如图，在中，为边的中点，为边上的任意一点，交于点．
（1）当时，求的值；
（2）当时，求的值；
（3）试猜想时的值，并证明你的猜想．

【难度】星
【解析】（1）当时，；
（2）当时，；
当时，．
（3）当时，，
证明方法比较多，选择两种介绍：
如上右图，过点作，交于点．
∵， ∴
∵ ∴，
∵ ∴

另一种解法就是梅氏定理，看被直线所截可知
，而，，故．
【答案】（1）；（2）当时，；当时，（3）当时，


模块四 位似

位似图形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相较于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
位似变换的坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
位似的性质：
（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
（2）位似图形的对应线段的比等于相似比．
（3）位似图形的周长比等于相似比．
（4）位似图形的面积比等于相似比的平方．
【例16】 如图，下列各组图形中是位似图形的为　　　 ( )


（1） （2） （3） （4）
A．（1）（2）（3）（4） B．（2）（4） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3）
【难度】星
【解析】根据位似图形的定义：位似图形是指两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相较于一点，对应边互相平行的两个图形，对应点连线的交点叫做位似中心．将每一个图形的对应点连接起来，看是否交于一点，这样排除，其次判断符合条件的图形是否是相似图形．所以答案选．
【答案】


【巩固】如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为，那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为 （ ）

A． B．
C． D．
【难度】星
【解析】解此题运用的方法就是找特殊点．由图中可见，每个小正方形的边长为1，可推知小“鱼”较长的鳍的顶点坐标为，则位似图形中的对应点的坐标为，小“鱼”较短的鳍的顶点坐标为，则位似图形中的对应点的坐标为，由此可知，当某小“鱼”上某个“顶点”坐标为时，位似图形中的对应点的坐标为．
【答案】


【巩固】如图，正五边形是由正五边形经过位似变换得到的，，则下列结论正确的理 （ ）
A． B．
C． D．

【难度】星
【解析】由两图形位似，有．
【答案】


【巩固】判断满足下列关系的与是否是位似图形，如果是，请指出位似中心．
（1）如图1所示，相交于点，且；
（2）如图2所示，相交于点，且．

【难度】星
【解析】根据位似图形的定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
【答案】（1）与是位似图形，位似中心为点；
（2）与是位似图形，位似中心为点．


【例17】 七边形位似于七边形，它们的面积之比为,已知位似中心到点的距离为，那么到的距离为多少？
【难度】星
【解析】由面积比为，得位似七边形对应边的比为，所以位似比为，所以到的距离为．
【答案】


【巩固】如图，与是位似图形，点、、、、共线，点为位似中心．
（1）与平行吗?试说明理由；
（2）若，，求的长．

【难度】星
【解析】（1）由位似图形的性质
（2）∵两三角形是位似三角形
∴
又，所以，∴,
【答案】平行；


【拓展】如图，在平面直角形坐标系中，正方形都是由正方形经过位似变换得到的，点是位似中心．
(1)你能找出正方形以为位似中心，相似比是的位似图形吗？
(2)正方形是正方形的位似图形吗？如果是，求相似比；
(3)由正方形得到它的位似图形正方形，求相似比；
(4)我们把横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，观察图中每个正方形四条边上的整点个数．猜测：正方形以为位似中心，相似比为的位似图形的四条边上整点个数之和是多少？

【难度】星
【解析】（4）正方形四条边上整数点的个数为4，正方形四条边上整数点的个数为8，正方形四条边上整数点的个数为12，根据数学归纳法可推知，正方形四条边上整数点的个数为个，所以正方形四条边上整数点的个数为．
【答案】正方形；是，；；．


课堂检测

1． 已知：．求．
【难度】星
【解析】设，代入中得原式
【答案】


2． 如图所示，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点（即是与的比例中项），支撑点是靠近点的黄金分割点，则 ， ．

【难度】星
【解析】点是靠近点的黄金分割点，∴，即，又∵点是靠近点的黄金分割点，∴，∴
【答案】；


3． 如图，在中，为边的中点，为边上的任意一点，交于点．
（1）当时，求的值；
（2）当时，求的值；
（3）试猜想时的值，并证明你的猜想．

【难度】星
【解析】（1）当时，；
（2）当时，；
当时，．
（3）当时，，
证明方法比较多，选择两种介绍：
如上右图，过点作，交于点．
∵， ∴
∵ ∴，
∵ ∴

另一种解法就是梅氏定理，看被直线所截可知
，而，，故．
【答案】（1）；（2）当时，；当时，；（3）当时，


总结复习



1．通过本堂课你学会了 ．
2．掌握的不太好的部分 ．
3．老师点评：① ．
② ．
③ ．


课后作业


1． 已知：，求证：是的比例中项．
【难度】星
【解析】略
【答案】讲解此题时．老师可先引导学生回顾比例中项的定义：如果，那么是、的比例中项．由，
而
故是的比例中项．


2． 已知：，则 ．
【难度】星
【解析】当时，由等比性质得；当时，即，则，综上所述，的值为或．
【答案】或


3． 已知，求的值．
【难度】星
【解析】解法一：设，则．∴．
解法二：由得．∴．
【答案】


4． 如图，在中，是的中点，是上一点，且，连接并延长，交的延长线于，则__ ___ __．

【难度】星
【解析】先介绍常规的解法：

如图，过点作或的平行线均可，不妨以左图为例来说明．
过点作，交于点．
∵， ∴
∵∴
∵∴
当然，过点、点作适当的平行线，均可作出此题，这里不再给出．
以上这些解法均属于常规解法，下面介绍特殊的解法：
看为直线所截，由梅涅劳斯定理可知，
又，，故
上述图形是一个经典的梅氏定理的基本图形，解类似的题时，梅氏定理的运用能够带来立竿见影的效果，很快得出答案，梅氏定理的证明见变式，先讲变式再介绍本解法．
【答案】


5．用一个倍的放大镜去观察一个三角形，下列说法中正确的是（　　）
①三角形的每个角都扩大倍； ②三角形的每条边都扩大倍；
③三角形的面积扩大倍； ④三角形的周长扩大倍．
．①② ．①③ ．②④ ．②③
【难度】1星
【解析】略
【答案】①三角形的每个角不会变化，故错误；
②三角形的每条边都扩大倍，故正确
③三角形的面积会扩大倍，故错误；
④三角形的周长会扩大倍，故正确．
故选