【精品讲义】人教版 九年级下册寒假同步课程（培优版）7.射影定理与内接矩形类相似.教师版
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内容 | 基本要求 | 略高要求 | 较高要求 |
相似 | 了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系 | 会用比例的基本性质解决有关问题；会用相似多边形的性质解决简单的问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小
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相似三角形 | 了解两个三角形相似的概念 | 会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决实际问题 |
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相似多边形 | 知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似 | 会用相似多边形的性质解决简单问题 |
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模块一（斜）射影定理类相似问题
射影定理常见及扩展模型：
图1有：
图2有：
【例1】 如图，直角中，，，证明：，，．
【难度】星
【解析】由两组对角分别相等证明三组相似三角形，由三组相似三角形可得到证明．
【答案】∵，
∴∽∽
∵∽
∴
同理可得，，
点评：上述的结论就叫做射影定理，这个结论及相关基本图形非常重要．
【巩固】如图，在直角梯形中，，对角线，垂足为，，过的直线交于．
⑴ ，
⑵ ．
【难度】星
【解析】（1）根据平行线分线段成比例以及等腰三角形两底角相等得到证明．
（2）由射影定理直接可得，又，线段的等量代换可得到．
【答案】⑴ ∵，
∴
∴，
又∵，
∴，
⑵ ，，
∴，
∴
∴
【巩固】如图，矩形中，于，恰是的中点，下列式子成立的是（ ）
． ． ． ．
【难度】星
【解析】本题根据选项可以确定利用射影定理可以解决．
【答案】
∵在中，
∴根据射影定理有
又∵，点为中点
∴
∴
故选．
【例2】 如图，中，于，于，于，交于，、的延长线交于点，求证：．
【难度】星
【解析】熟悉了掌握了射影定理后，这一题就不难解答了．
直接证明有些困难，可通过射影定理转化成证明即证明，这个结论比较明显，证明∽即可．
【答案】∵
∴
∴
∴，即
又∵在
根据射影定理有：
∴
【巩固】已知：如图，,求证：．
【难度】星
【解析】由题目中求角相等，根据本章学习的内容可知，我们可能由已知条件证明相似，进而得到相等的角，根据三点定形法，可初步猜测：．由射影定理可知：，又根据两角相等两三角形相似，证明: ，得到相似比例线段：，即，根据线段的等量代换得到：，可证明：
【答案】∵在中
∴根据射影定理有：
又∵
∴，即
∴，又
∴
∴
【巩固】如图，中，点在上，，是的中点，于，点是的中点，连接．求证：．
【难度】星
【解析】本题证明的关键是要证明，证明这对相似三角形就需要由已知条件推到出有用的成比例线段，再根据都是直角三角形，才可得证．
【答案】连接．
∵
∴，
∴（射影定理）
∵
∴
∵
∴
∴
∴
【拓展】如上图，在中，，的垂直平分线交于，交的延长线于，
求证：平分．
【难度】星
【解析】解答本题的关键是要利用垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，再根据线段的等量代换得到，利用公共角相等可证明，由相似得到有用的等角，再根据为等腰三角形，利用角之间的等量代换可得到证明．
【答案】连接，
∵垂直平分，
∴，
∵，∴
∴，
又∵
∴，
∴，
∵，，
∴，
即平分．
模块二 内接矩形类相似问题
内接矩形类的模型及结论：
其中，在平时训练中遇到内接矩形类的图形，就要充分利用这一结论，有助于进行解题．
【例3】 中，正方形的两个顶点、在上，另两个顶点、分别在、上，,边上的高,求.
【难度】星
【解析】根据内接矩形的模型可列比例关系式，即可解题．
【答案】设正方形的边长为，、的交点为，则有
，即
解之得，
故
本题有有另外一个解题思路：相似三角形的高线比等于相似比．
如图，，，则
【巩固】如图，已知中，，四边形为正方形，其中在边上，在上，求正方形的边长．
【难度】星
【解析】略
【答案】过作，垂足为，连接．
设，则，
则有，即，解得，
∴
设正方形的边长为，则有，即．解得．
所以正方形的边长为．
【巩固】如图，有一块三角形土地，它的底边米，高米，某单位要沿着底边修一座底面是矩形的大楼。当这个大楼地基面积为平方米时，这个矩形的长和宽各是多少？
【难度】星
【解析】这是常见的内接矩形类相似问题，可利用模型的公式与设未知量轻松解题．
【答案】
设大楼地基的长为，则根据面积，宽为．
根据内接矩形类相似模型可列：，解得．
所以，地基的长与宽分别为：．
【拓展】如图，已知中，四边形为正方形，在线段上，在上，如果，，求的面积．
【难度】星
【解析】略
【答案】设正方形边长为，则．
由，得，
∴，解得，∴，
∴
- 如图，在中，平分，的垂直平分线交于，交的延长线于，求证：．
【难度】星
【解析】略
【答案】连接
∵垂直平分，∴，
∴，即，
又∵，∴，
∵平分，∴，∴，
又∵，
∴，∴．
又∵，∴
- 如图，正方形的顶点在三角形的边上，当边与高满足什么条件时，正方形的面积是三角形面积的一半？
【难度】星
【解析】根据内接矩形的模型可得到一个比例等式，再根据已知条件：正方形面积是三角形面积的一半，列出另外一个等式，通过两个等式得到与的关系．
【答案】
设正方形的边长为．
根据内接矩形模型可列：，得到：．
又∵正方形的面积是三角形面积的一半
∴可列：，可得：
两式子联立：，解得：，即．
1．通过本堂课你学会了 ．
2．掌握的不太好的部分 ．
3．老师点评：① ．
② ．
③ ．
- 如图，等腰中，，于，，延长交于，交于，求证：．
【难度】星
【解析】略
【答案】连接，
由，
∴，
再证明可得
（也可以由，于是，
等量减等量便可得）
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
- 如图，已知中，，四边形为正方形，其中在边上，在上，求正方形的边长．
【难度】星
【解析】略
【答案】方法1
由勾股定理可求得，由可得．
由可得，
设正方形的边长为，则，解得．
方法2：
设，则，
∴，
∴，即，解得，
∴
