寒假课程 【精品讲义】人教版 九年级 数学 总复习 第四讲 相似和圆（学生版）

第四讲   相似和圆

明确目标﹒定位考点

圆”这部分知识是初中数学的难点和重点,是中考必考内容,除要求掌握基本概念外,还要求充分利用圆中的有关知识解决一类与圆有关的实际应用问题、动态问题、探索型问题......同时，本内容作为几何知识的总结，运用的知识具有综合性，在中考中圆的知识点是经常出现的，尤其压轴题经常考察圆和其他内容结合的题型，要求学生能够熟练掌握圆的相关知识并运用。相似三角形的应用十分广泛,尤其以圆巧妙地结合,形成数学中一道亮丽的“风景”,相似三角形借助圆的隐含条件:“直径所对的圆周角是直角”和“同弧或等弧所对的圆周角相等”，可以构造多对相似三角形而解决问题。

热点聚焦﹒考点突破

考点1  相似与圆简单应用

【例1】23.（本小题满分12分）

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC交于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F，BD=BF．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若BC=12,AD=8，求弧DE的长.

【规律方法】（1）注意用多种方法证明切线。（2）根据△AOE∽△ABC可以求出圆的半径，再根据△DOE是等边三角形可以求出弧DE的长.

考点2  相似与圆及作图

【例2】3．（本小题满分12分）

如图7，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°.

（1）动手操作：利用尺规作∠ABC的平分线，交AC于点O，再以O为圆心，OC的长为半径作⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）综合运用：在你所作的图中，

①判断AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

②若AC=12，tan∠OBC=，求⊙O的半径.

【规律方法】第（2）题 ①注意角平分线的性质定理的运用； ②注意解直角三角形及相似和勾股定理的运用。

【例3】23．（12分）如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB=30°

（1）利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交⊙O于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比．

【规律方法】本题主要考查基本作图，圆周角定理，勾股定理，作一个角的平分线，牢记一些基本作图是解答本题的关键．另外相似三角形面积的比等于相似比的平方。

考点3  相似与圆及一元二次方程

【例4】（2016年荔湾区一模）（2015年黄埔一模）24.（本小题满分14分）

如图，正三角形ABC内接于⊙O，P是弧上的一点（P不与点B、C重合），且，交于E，点F是延长线上的点，，，．

（1）求证≌；

（2）求证；

（3）求和的长．

【规律方法】 求和的长时注意先证明是等边三角形求出PB+PC，再证明∽求出PB.PC，最后可以把和作为一元二次方程的两根求出PB和PC的长。

考点4  相似、圆及四边形

【例5】24．（14分）如图，四边形OMTN中，OM=ON，TM=TN，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．

（1）试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论；

（2）在筝形ABCD中，已知AB=AD=5，BC=CD，BC＞AB，BD、AC为对角线，BD=8

①是否存在一个圆使得A，B，C，D四个点都在这个圆上？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由；

②过点B作BF⊥CD，垂足为F，BF交AC于点E，连接DE，当四边形ABED为菱形时，求点F到AB的距离．

【规律方法】本题考查了菱形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是关键，在初中范围内求线段长的基本方法是解直角三角形和利用三角形相似求解．

考点5  相似、圆及锐角三角函数

【例6】24．（14分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．

   （1）求证：KE=GE；

   （2）若=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；

   （3） 在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．

【规律方法】第（2）题可以证明△GKD∽△EGK；第（3）题可以根据勾股定理和解直角三角形得出。

考点6  相似与圆及动点问题

【例7】（2015年海珠区一模）24．（本题满分14分）

如图，AB是⊙O的直径，直线与⊙O相切于点C，AE⊥交直线于点E、

交⊙O于点F，BD⊥交直线于点D．

（1）求证：△AEC∽△CDB；

（2）求证：AE+EF=AB；

（3）若AC=8，BC=6，点P从点A出发沿线段AB向点B以2的速度运动，点Q从点B出发沿线段BC向点C以1的速度运动，两点同时出发，当点P运动到点B时，两点都停止运动．设运动时间为秒，求当为何值时，△BPQ为等腰三角形？

【规律方法】

归纳总结﹒思维升华

圆和相似综合题有关定理

圆幂定理（在证明比例式、求线段长度时将发挥重要作用。

专题训练﹒对接中考

一、 选择题。

1.如图，是⊙O的直径，是⊙O的切线，切点为，与的延长线交于点，，给出下面个结论：；；；其中正确结论的个数是（     ）．                           

    A．            B．             C．                D．

2.如图4，正方形的边与正方形的边重合，点是的中点，的平分线过点，交于，连接、、与交于，对于下面四个结论：①；②；③点不在正方形的外接圆上；④∽．其中结论正确的个数是（      ）

 A． 个  B．        C．个      D．个

3.如图，为半圆的直径，、分别切⊙于两点，

切⊙于点，与相交于，与相交于，连结、、，对于下列结论：

①     ；②；③；④．

   其中结论正确的个数是（     ）．

   A．                B．           C．              D．

二、解答题

1.如图7，为的直径，劣弧，，连接并延长交于．

求证：（1）；

（2）．

2..（本小题满分12分）

如图，中，，.

（1）动手操作：利用尺规作以为直径的，并标出与的交点，与的交点（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）综合应用：在你所作的图中，

①求证：；

②     求点到的距离。

3.如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．

（1）求弦AB的长；

（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；

（3）记△ABC的面积为S，若＝4，求△ABC的周长.

4.如图，△ABC中AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M。经过B,M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰好为⊙O的直径。

（1）      求证：AE与⊙O相切。

（2）      当BC=6，cosC=，求⊙O的直径。

作业：

1.如图，在Rt△ABC中，，AB=AC.

（1）利用尺规，以AB为直径作⊙O，交BC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图形中，求证：

2.如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，

（1）动手操作：利用尺规作以BC为直径的⊙O，⊙O交AB于点D，⊙O交AC于点E，并且过点D作DF⊥AC交AC于点F.

（2）求证：直线DF是⊙O的切线；

（3），连接DE，记△ADE的面积为，四边形DECB的面积为，求的值。

3.如图圆O内接三角形.把以点O为旋转中心，顺时针方向旋转的度数得到.

（1）       利用尺规作出（要求保留作图痕迹，不写作法）

（2）       连接，设与，分别交于点和，求证：

4. 正方形ABCD的边长是2a，H是以BC为直径的半圆上一点，过H与半圆相切的直线交AB于E，交CD于F．

（1）当点H在半圆上移动时，切线EF与AB、CD的两个交点E、F也分别在AB、CD上移动（E与A不重合，F与D不重合）．问：四边形AEFD的周长是否在变化？证明你的结论；

（2）若∠BOE=60°，求四边形BEFC的周长；

（3）设△BOE的面积为，△COF的面积为，正方形的面积为S，已知，求BE、CF的长．

5.如图12：△ABC中，∠C＝45°，点D在AC上，且∠ADB＝60°，AB为△BCD外接圆的切线．

（１）用尺规作出△BCD的外接圆（保留作图痕迹，可不写作法）；

（２）求∠A的度数；

（３）求的值．