寒假课程 【精品讲义】人教版 九年级 数学 总复习 第九讲 二次函数与圆综合（学生版））

                第九讲   二次函数与圆综合

明确目标﹒定位考点

二次函数和圆都是初中数学的重点内容，基础题分别考查二次函数和圆的基本概念、性质、定理以及计算；二次函数和圆历来是中考数学压轴题命题的热点，其本身涉及的知识点就较多，综合性和解题技巧较强，给解题带来了困难，而将函数与圆相结合，并作为中考的压轴题，就更显得复杂了。只要我们掌握解决这类问题的思路和方法，采取分而治之，各个击破的思想，问题是会迎刃而解的。

热点聚焦﹒考点突破

考点1   综合之切线问题

【例1】 如图，点，以点为圆心、为半径的圆与轴交于点．已知抛物过点和，与轴交于点．

⑴ 求点的坐标，并画出抛物线的大致图象．

⑵ 点在抛物线上，点为此抛物线对称轴上一个动点，求 最小值．

⑶ 是过点的的切线，点是切点，求所在直线的解析式．

【规律方法】（1）根据题意可知点A，B的坐标分别为（2，0），（6，0），代入函数解析式即可求得抛物线的解析式，即可得点C的坐标；

（2）根据图象可得PQ+PB的最小值即是AQ的长，所以抛物线对称轴l是x=4．所以Q（8，m）抛物线上，∴m=2．过点Q作QK⊥x轴于点K，则K（8，0），QK=2，AK=6，求的AQ的值即可；

（3）此题首先要证得OE∥CM，利用待定系数法求得CM的解析式，即可求得OE的解析式．

【变式训练1】已知抛物线与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式 并且线段CM的长为

（1）求抛物线的解析式。

（2）设抛物线与x轴有两个交点A（X1 ，0）、B（X2 ，0），且点A在B的左侧，求线段AB的长。

（3）若以AB为直径作⊙N，请你判断直线CM与⊙N的位置关系，并说明理由。

考点2   综合之最值问题

【例2】 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆交轴正半轴于点， 是的切线．动点从点开始沿方向以每秒个单位长度的速度运动，点从点开始沿轴正方向以每秒个单位长度的速度运动，且动点、从点和点同时出发，设运动时间为(秒)．

⑴当时，得到、两点，求经过、、三点的抛物线解析式及对称轴；

⑵当为何值时，直线与相切？并写出此时点和点的坐标；

⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴上存在一点，使最小，求出点N的坐标并说明理由．

【规律方法】

（1）先求出t=1时，AP和OQ的长，即可求出P1,Q1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式，进而课求出对称轴l的解析式.

（2）（2）当直线PQ与圆C相切时，连接CP，CQ则有Rt△CMP∽Rt△QMC(M为PG与圆的切点），因此可设当t=a秒时，PQ与圆相切，然后用a表示出AP,OQ的长即PM，QM的长（切线长定理），由此可求出a的值。

（3）本题的关键是确定N的位置，先找出与P点关于直线l对称的点P`的坐标，连接P`Q,那么P`Q与直线l的交点即为所求的N点，可先求出直线P`Q的解析式，进而课求出N点的坐标。

【变式训练2】已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴．一次函数的图象与            

二次函数的图象交于两点(在的左侧)，且点坐标为．平行于轴的直线过点．

⑴ 求一次函数与二次函数的解析式；

⑵ 判断以线段AB为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明；

⑶ 把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，二次函数的图象与轴交于两点，一次函数图象交轴于点．当为何值时，过三点的圆的面积最小？最小面积是多少？

考点3   综合之点的存在性

【例3】已知：如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，

⑴ 求的值及抛物线顶点坐标；

⑵ 过的三点的交轴于另一点，连结并延长交于点，过点的的切线分别交轴、轴于点，求直线的解析式；

⑶ 在条件⑵下，设为上的动点(不与重合)，连结交轴于点，问是否存在一个常数，始终满足，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由．

【规律方法】

（1）利用射影定理结合一元二次方程中的根与系数的关系即可求出m的值，进而求出抛物线的解析式以及其顶点坐标。

（2）由∠ACO和∠MDO的正切值相同，得这两个角相等，可得出AC∥DE，也就能求出DE⊥CB，因此BC∥FG，由此可得出直线FG与直线BC的斜率相同，可先根据B,C的坐标求出直线BC的解析式，然后即可得出直线FG的斜率，那么关键是求出E点的坐标，连接CE，DC⊥CE，C点的纵坐标就是E点的纵坐标，在直角三角形DCE中，可根据DE，DC的长求出CE的长，也就能求出E点的坐标，然后根据E点的坐标即可求出直线FG的解析式。

（3）连接CP、AP,利用垂径定理、三角形相似(△ACH∽△APC)、勾股定理解答即可。

【变式训练3】如图，已知点的坐标是，点的坐标是，以为直径作，交轴的负半轴于点，连接、，过、、三点作抛物线．

⑴ 求抛物线的解析式；

⑵ 点是延长线上一点，的平分线交于点，连结，求直线的解析式；

⑶ 在⑵的条件下，抛物线上是否存在点，使得？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

专题训练﹒对接中考

1、如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1,4)，且经过点N(2,3)，与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C。

(1)求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；

(2)若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；(3)点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

2.已知：如图，抛物线的图象与轴分别交于两点，与轴交于点，经过原点及点，点是劣弧上一动点（点与不重合）．

（1）求抛物线的顶点的坐标；

（2）求的面积；

（3）连交于点，延长至，使，试探究当点运动到何处时，直线与相切，并请说明理由．

作业：

1、抛物线交轴于、两点，交轴于点,已知抛物线的对称轴为，,，

 ⑴求二次函数的解析式；

 ⑵在抛物线对称轴上是否存在一点，使点到、两点距离之差最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；

⑶平行于轴的一条直线交抛物线于两点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求此圆的半径．

2、如图，在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，）。 ⑴求圆心的坐标；

⑵抛物线y＝ax2＋bx＋c过O、A两点，且顶点在正比例函数

y＝－x的图象上，求抛物线的解析式；

 ⑶过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D、E两点，试判断D、E两点是否在⑵中的抛物线上；

⑷若⑵中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围。