2020届二轮（理科数学） 两条直线平行与垂直的判定 专题卷（全国通用）

2020届二轮（理科数学）  两条直线平行与垂直的判定   专题卷（全国通用）

1.下列命题:

①若两条不重合的直线的斜率相等,则它们平行;

②若两条直线平行,则它们的斜率相等;

③若两条直线的斜率之积为-1,则它们垂直;

④若两条直线垂直,则它们的斜率之积为-1.

其中正确的为(　　)

A.①②③④ B.①③ 

C.②④ D.①②③

解析:当两条直线l1,l2的斜率k1,k2都存在且不重合时,l1∥l2⇔k1=k2,l1⊥l2⇔k1k2=-1,故①③正确;当两条直线都与x轴垂直时,其斜率不存在,但它们也平行,故②错;当两条直线中的一条直线与x轴平行(或重合),另一条直线与x轴垂直时,它们垂直,但一条直线的斜率为零,另一条直线的斜率不存在,故④错.

答案:B

2.若点A(0,1),B⊥l2,则直线l2的倾斜角为(　　)

A.30° B.60° C.150° D.120°

解析:因为点A(0,1),Bl1上,所以l1的斜率k1

l1⊥l2,所以l2的斜率k2=l2的倾斜角为150°.

答案:C

3.已知直线l1经过(-1,-2),(-1,4)两点,直线l2经过(2,1),(x,6)两点,且l1∥l2,则x=(　　)

A.2 B.-2 C.4 D.1

解析:∵直线l1经过(-1,-2),(-1,4)两点,

∴直线l1的斜率不存在.

∵l1∥l2,且直线l2经过(2,1),(x,6)两点,

∴x=2.

答案:A

4.若经过点P(-2,-1)和点Q(3,a)的直线与倾斜角是45°的直线平行,则a=　　　　　. 

解析:由题意,得tan 45°a=2.

答案:4

5.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2),B(0,1),C(4,3),点D(m,1)在边BC的高所在的直线上,则实数m=　　　　　. 

解析:由题意得AD⊥BC,则有kAD·kBC=-1,

所以m

答案:

6.若直线l1经过点A(3,4),B(5,8),直线l2经过点M(1,-2),N(0,b),且l1∥l2,则实数b=　　　　　. 

解析:设直线l1的斜率为k1,直线l2的斜率为k2.

因为l1∥l2,所以k1=k2.

则b=-2.

答案:-4

7.已知点A(-2,-5),B(6,6),点P在y轴上,且∠APB=90°,则点P的坐标是　　　　　　.

解析:设P(0,n),由于∠APB=90°,则PA⊥PB,

所以kPA·kPB=-1.

所

解得n=-6或n=5.

答案:(0,-6)或(0,7)

8.已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(1,2),B(-4,6),C(-8,5),D(-3,1),试判断四边形ABCD是不是平行四边形?

解:AB边所在直线的斜率kAB

DC边所在直线的斜率kDC

BC边所在直线的斜率kBC

AD边所在直线的斜率kAD

因为kAB=kDC,kBC=kAD,所以AB∥DC,BC∥AD.

所以四边形ABCD是平行四边形.

二、能力提升

1.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是(　　)

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.以点A为直角顶点的直角三角形

D.以点B为直角顶点的直角三角形

解析:∵kAB kBC kAC kAB·kAC=-1,所以三角形是以点A为直角顶点的直角三角形.

答案:C

2.已知直线l1和l2互相垂直且都过点A(1,1),若l1过原点O(0,0),则l2与y轴交点的坐标为(　　)

A.(2,0) B.(0,2) C.(0,1) D.(1,0)

解析:设l2与y轴交点的坐标为B(0,b),

∵l1⊥l2,∴k1k2=-1.

∴kOA·kAB=-1.

解得b=2,即l2与y轴交点的坐标为(0,2).

答案:B

★1.经过点E(1,1)和点F(-1,0)的直线与经过点≠0)的直线的位置关系是 (　　)

A.平行 B.重合

C.平行或重合 D.相交或重合

解析:kEF

又当k=2时,EF与MN重合.

答案:C

2.若点A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12),则下面四个结论:①AB∥CD,②AB⊥CD,③AC∥BD,④AC⊥BD.其中正确的序号是　　　　　. 

解析:∵kAB=

∴kAB=kCD,kAC·kBD=-1,

∴AB∥CD,AC⊥BD.

答案:①④

3.已知△ABC的顶点B(2,1),C(-6,3),其垂心为H(-3,2),则其顶点A的坐标为　　　　　. 

解析:设A(x,y),∵AC⊥BH,AB⊥CH,且kBH= kCH

答案:(-19,-62)

4.已知直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,且k1,k2是关于k的方程 2k2-3k-b=0的两个根,若l1⊥l2,则b=　　　　　;若l1∥l2,则b=　　　　　. 

解析:当l1⊥l2时,k1k2=-1,

∴

当l1∥l2时,k1=k2,

∴Δ=(-3)2+4×2b=0.

∴b=

答案:2　

5.已知直线l1经过点A(m,1),B(-3,4),直线l2经过点C(1,m),D(-1,m+1),当l1∥l2,l1⊥l2时,分别求实数m的值.

解:当l1∥l2时,

由于直线l2的斜率存在,则直线l1的斜率也存在,

则kAB=kCD,m=3;

当l1⊥l2时,

由于直线l2的斜率存在且不为0,则直线l1的斜率也存在,则kAB·kCD=-1,

m=

综上所述,当l1∥l2时,m的值为3;当l1⊥l2时,m的值

★6.如图,一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路,已知矩形花园长AD为5 m,宽AB为3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,问如何在BC上找到一点M,使得两条小路所在直线AC与DM互相垂直?

解:如图,以点B为坐标原点,BC,BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.

由AD=5 m,AB=3 m,可得C(5,0),D(5,3),A(0,3).

设点M的坐标为(x,0),

因为AC⊥DM,所以kAC·kDM=-1.

所

即xBM=1.2 m时,两条小路所在直线AC与DM互相垂直.