第22讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
展开第22讲：同角三角函数的基本关系及诱导公式
一、课程标准
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.
2．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式.
二、基础知识回顾
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系：tan α＝. 平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)．
2．诱导公式
一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 |
2kπ＋ α(k∈Z) | π＋α | －α | π－α | －α | ＋α |
sin α | －sin α | －sin α | sin_α | cos_α | cos_α |
cos α | －cos α | cos α | －cos_α | sin_α | －sin_α |
tan α | tan α | －tan α | －tan_α |
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3. 诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，转化的一般步骤如下：
即：去负—脱周—化锐的过程．上述过程体现了转化与化归的思想方法．
4、三角形中的三角函数关系式
sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC；
cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC；
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC；
sin＝sin＝cos；
cos＝cos＝sin.
三、自主热身、归纳总结
1、是第三象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
2、已知，则（ ）
A． B．6 C． D．
3、(多选)已知＝5，下列计算结果正确的是( )
A．tan α＝ B．tan α＝2
C．cos2α＋sin 2α＝ D．sin2α－cos 2α＝
4、化简：·sin(α－π)·cos(2π－α)＝________.
5、(一题两空)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则sin θcos(π－θ)＝________，tan θ＝________.
四、例题选讲
考点一、 三角函数的诱导公式
例1、角的终边在直线上，则（ ）
A． B． C． D．
变式1、 已知sin(3π＋θ)＝，则＋
＝__ __．
变式2、已知f(α)＝(sin α≠0且1＋2sin α≠0)，则f＝________.
变式3、(1)设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，则f＝________.
(2)已知cos＝a，则cos＋sin的值是________．
方法总结：1、熟知将角合理转化的流程
也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”
2．明确三角函数式化简的原则和方向
(1)切化弦，统一名．
(2)用诱导公式，统一角．
(3)用因式分解将式子变形，化为最简．
考点二 同角函数关系式的运用
例2 (1)若α是三角形的内角，且tanα＝－，则sinα＋cosα的值为_ __．
(2)已知sinαcosα＝，且＜α＜，则cosα－sinα的值为__ __．
变式1、若3sinα＋cosα＝0，则＝ ___．
变式2（徐州开学初模拟）已知，则（ ）
A． B． C． D．
变式3、(1)若tan(α－π)＝，则＝( )
A.－ B.－2 C. D.2
(2)已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于( )
A.－ B. C.－ D.
方法总结：本题考查同角三角函数的关系式．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化，如果没有给出角的范围，则要分类讨论．应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．所求式是关于sinα，cosα的齐次式时，分子分母同除以cosα，可化成tanα的函数式求值．本题考查运算求解能力，考查函数与方程思想．
考点三、同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用
例3、已知，则（ ）
A． B． C． D．
变式1、(1)(2020·邯郸联考)已知3sin＝－5cos，则tan＝( )
A.－ B.－ C. D.
(2)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝( )
A. B. C. D.
变式2、是否存在角α和β，当α∈，β∈(0，π)时，等式同时成立？若存在，则求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
方法总结：1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
2.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
五、优化提升与真题演练
1、(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )
A. B. C. D.
2、（2018年高考全国Ⅱ理数）已知，，则__________．
3、在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cosA＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
.4、已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sinθ和cosθ，θ∈(0，2π)，求：
(1)＋的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
