高考数学一轮复习 第3章 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式

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1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1；
(2)商数关系：tan α＝eq \f(sin α,cs α).
2．诱导公式
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cs2β＝1.( )
(2)若α∈R，则tan α＝eq \f(sin α,cs α)恒成立．( )
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )
(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq \f(π,2)的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)已知α是第二象限角，sin α＝eq \f(5,13)，则cs α等于( )
A．－eq \f(5,13) B．－eq \f(12,13)
C.eq \f(5,13) D.eq \f(12,13)
B [∵sin α＝eq \f(5,13)，α是第二象限角，
∴cs α＝－eq \r(,1－sin2α)＝－eq \f(12,13).]
3．(2017·陕西质检(二))若tan α＝eq \f(1,2)，则sin4α－cs4α的值为( )
A．－eq \f(1,5)B．－eq \f(3,5)
C.eq \f(1,5)D.eq \f(3,5)
B [sin4α－cs4α＝(sin2α－cs2α)(sin2α＋cs2α)＝eq \f(sin2α－cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan2α－1,tan2α＋1)＝－eq \f(3,5)，故选B.]
4．(2016·四川高考)sin 750°＝________.
eq \f(1,2) [sin 750°＝sin(750°－360°×2)＝sin 30°＝eq \f(1,2).]
5．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则sin(π＋α)＝________.
【导学号：31222107】
－eq \f(4,5) [因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cs α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以sin α＝eq \r(,1－cs2α)＝eq \f(4,5)，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－eq \f(4,5).]
(1)已知sin αcs α＝eq \f(1,8)，且eq \f(5π,4)＜α＜eq \f(3π,2)，则cs α－sin α的值为( )
A．－eq \f(\r(,3),2) B.eq \f(\r(,3),2)
C．－eq \f(3,4) D.eq \f(3,4)
(2)(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝eq \f(3,4)，则cs2α＋2sin 2α＝( )
A.eq \f(64,25) B.eq \f(48,25)
C．1 D.eq \f(16,25)
(1)B (2)A [(1)∵eq \f(5π,4)＜α＜eq \f(3π,2)，
∴cs α＜0，sin α＜0且cs α＞sin α，
∴cs α－sin α＞0.
又(cs α－sin α)2＝1－2sin αcs α＝1－2×eq \f(1,8)＝eq \f(3,4)，
∴cs α－sin α＝eq \f(\r(,3),2).
(2)∵tan α＝eq \f(3,4)，则cs2α＋2sin 2α＝eq \f(cs2α＋4sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(1＋4tan α,tan2α＋1)＝eq \f(1＋4×\f(3,4),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2＋1)＝eq \f(64,25)，故选A.]
[规律方法] 1.利用sin2α＋cs2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用eq \f(sin α,cs α)＝tan α可以实现角α的弦切互化．
2．应用公式时要注意方程思想的应用：对于sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α这三个式子，利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，可以知一求二．
3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
[变式训练1] 已知sin α－cs α＝eq \r(,2)，α∈(0，π)，则tan α等于( )
A．－1B．－eq \f(\r(,2),2)
C.eq \f(\r(,2),2)D．1
A [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α－cs α＝\r(,2)，,sin2α＋cs2α＝1，))
消去sin α得：2cs2α＋2eq \r(,2)cs α＋1＝0，
即(eq \r(,2)cs α＋1)2＝0，
∴cs α＝－eq \f(\r(,2),2).
又α∈(0，π)，∴α＝eq \f(3π,4)，
∴tan α＝taneq \f(3π,4)＝－1.]
(1)已知A＝eq \f(sinkπ＋α,sin α)＋eq \f(cskπ＋α,cs α)(k∈Z)，则A的值构成的集合是( )
A．{1，－1,2，－2}B．{－1,1}
C．{2，－2}D．{1，－1,0,2，－2}
(2)已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(,3),3)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＝________.
(1)C (2)－eq \f(\r(,3),3) [(1)当k为偶数时，A＝eq \f(sin α,sin α)＋eq \f(cs α,cs α)＝2；
k为奇数时，A＝eq \f(－sin α,sin α)－eq \f(cs α,cs α)＝－2.
(2)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,6)＋α))
＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))
＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(,3),3).]
[规律方法] 1.利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系，尤其是角之间的互余、互补关系，选择恰当的公式，向所求角和三角函数进行化归．
2．诱导公式的应用原则：负化正、大化小、小化锐、锐求值．
[变式训练2] 已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(,3),3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))的值为________. 【导学号：31222108】
－eq \f(2＋\r(,3),3) [∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(,3),3)，
sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝sin2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))
＝1－cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,3),3)))2＝eq \f(2,3)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝－eq \f(\r(,3),3)－eq \f(2,3)＝－eq \f(2＋\r(,3),3).]
(1)(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝________.
(2)(2017·郑州质检)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))，则eq \f(sin3π－α＋csα＋π,5cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)－α))＋3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α)))的值为________．
(1)－eq \f(4,3) (2)eq \f(3,35) [(1)由题意知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，θ是第四象限角，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＞0，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))＝eq \f(4,5).
taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)－\f(π,2)))＝－eq \f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))
＝－eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))＝－eq \f(\f(4,5),\f(3,5))＝－eq \f(4,3).
(2)∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))，
∴－sin α＝－2cs α，则sin α＝2cs α，
代入sin2α＋cs2α＝1，得cs2α＝eq \f(1,5).
eq \f(sin3π－α＋csα＋π,5cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)π－α))＋3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)π－α)))＝eq \f(sin3α－cs α,5sin α－3cs α)
＝eq \f(8cs3α－cs α,7cs α)＝eq \f(8,7)cs2α－eq \f(1,7)＝eq \f(3,35).]
[规律方法] 利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．
(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．
[变式训练3] (2016·安徽皖南八校联考)已知sin α＝eq \f(1,3)，α是第二象限角，则tan(π－α)＝________.
eq \f(\r(,2),4) [∵sin α＝eq \f(1,3)，α是第二象限角，
∴cs α＝－eq \f(2\r(,2),3)，
∴tan α＝－eq \f(\r(,2),4)，故tan(π－α)＝－tan α＝eq \f(\r(,2),4).]
[思想与方法]
三角函数求值与化简的常用方法
(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝eq \f(sin α,cs α)进行弦、切互化．
(2)和积转换法：利用(sin θ±cs θ)2＝1±2sin θcs θ的关系进行变形、转化．
(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cs2θ＝cs2θ(1＋tan2θ)＝taneq \f(π,4)等．
(4)利用相关角的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤．
[易错与防范]
1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．应特别注意函数名称和符号的确定．
2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
课时分层训练(十八)
同角三角函数的基本关系与诱导公式
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．若cs α＝eq \f(1,3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，则tan α等于( )
【导学号：31222109】
A．－eq \f(\r(,2),4) B.eq \f(\r(,2),4)
C．－2eq \r(,2) D．2eq \r(,2)
C [∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，
∴sin α＝－eq \r(,1－cs2α)＝－eq \r(,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2)＝－eq \f(2,3)eq \r(,2)，
∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－2eq \r(,2).]
2．已知sin(π＋θ)＝－eq \r(,3)cs(2π－θ)，|θ|＜eq \f(π,2)，则θ等于( )
A．－eq \f(π,6)B．－eq \f(π,3)
C.eq \f(π,6)D.eq \f(π,3)
D [∵sin(π＋θ)＝－eq \r(,3)cs(2π－θ)，
∴－sin θ＝－eq \r(3)cs θ，∴tan θ＝eq \r(,3).∵|θ|＜eq \f(π,2)，∴θ＝eq \f(π,3).]
3.eq \f(cs 350°－2sin 160°,sin－190°)＝( )
A．－eq \r(,3)B．－eq \f(\r(,3),2)
C.eq \f(\r(,3),2)D.eq \r(,3)
D [原式＝eq \f(cs360°－10°－2sin180°－20°,－sin180°＋10°)＝
eq \f(cs 10°－2sin30°－10°,－－sin 10°)＝
eq \f(cs 10°－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°－\f(\r(,3),2)sin 10°)),sin 10°)＝eq \r(,3).]
4．(2016·山东实验中学二诊)已知sin θ＋cs θ＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜θ＜\f(π,4)))，则sin θ－cs θ的值为( )
A.eq \f(\r(,2),3)B．－eq \f(\r(,2),3)
C.eq \f(1,3)D．－eq \f(1,3)
B [∵sin θ＋cs θ＝eq \f(4,3)，
∴1＋2sin θcs θ＝eq \f(16,9)，
∴2sin θcs θ＝eq \f(7,9).又0＜θ＜eq \f(π,4)，
故sin θ－cs θ＝－eq \r(,sin θ－cs θ2)＝
－eq \r(,1－2sin θcs θ)＝－eq \f(\r(,2),3)，故选B.]
5．(2016·浙江杭州五校联盟高三一诊)已知倾斜角为θ的直线与直线x－3y＋1＝0垂直，则eq \f(2,3sin2θ－cs2θ)＝( )
A.eq \f(10,3)B．－eq \f(10,3)
C.eq \f(10,13)D．－eq \f(10,13)
C [直线x－3y＋1＝0的斜率为eq \f(1,3)，因此与此直线垂直的直线的斜率k＝－3，∴tan θ＝－3，
∴eq \f(2,3sin2θ－cs2θ)＝eq \f(2sin2θ＋cs2θ,3sin2θ－cs2θ)
＝eq \f(2tan2θ＋1,3tan2θ－1)，把tan θ＝－3代入得，原式＝eq \f(2×[－32＋1],3×－32－1)＝eq \f(10,13).故选C.]
二、填空题
6．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝________.
【导学号：31222110】
eq \f(1,3) [cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(1,3).]
7．已知α是三角形的内角，且sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，则tan α＝________.
－eq \f(4,3) [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＋cs α＝\f(1,5)，,sin2α＋cs2α＝1，))
消去cs α整理，得
25sin2α－5sin α－12＝0，
解得sin α＝eq \f(4,5)或sin α＝－eq \f(3,5).
因为α是三角形的内角，
所以sin α＝eq \f(4,5).
又由sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，得cs α＝－eq \f(3,5)，
所以tan α＝－eq \f(4,3).]
8．已知α为第二象限角，则cs αeq \r(,1＋tan2α)＋sin α·eq \r(,1＋\f(1,tan2α))＝________.
【导学号：31222111】
0 [原式＝cs αeq \r(,1＋\f(sin2α,cs2α))＋sin αeq \r(,1＋\f(cs2α,sin2α))
＝cs αeq \r(,\f(1,cs2α))＋sin αeq \r(,\f(1,sin2α))
＝cs αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,－cs α)))＋sin αeq \f(1,sin α)
＝0.]
三、解答题
9．求值：sin(－1 200°)·cs 1 290°＋cs(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°.
[解] 原式＝－sin 1 200°·cs 1 290°＋cs 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945°3分
＝－sin 120°·cs 210°＋cs 300°·(－sin 330°)＋tan 225°6分
＝(－sin 60°)·(－cs 30°)＋cs 60°·sin 30°＋tan 45°9分
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(,3),2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(,3),2)))＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＋1＝2.12分
10．已知sin(3π＋α)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))，求下列各式的值：
(1)eq \f(sin α－4cs α,5sin α＋2cs α)；
(2)sin2α＋sin 2α.
[解] 由已知得sin α＝2cs α.2分
(1)原式＝eq \f(2cs α－4cs α,5×2cs α＋2cs α)＝－eq \f(1,6).7分
(2)原式＝eq \f(sin2α＋2sin αcs α,sin2α＋cs2α)
＝eq \f(sin2α＋sin2α,sin2α＋\f(1,4)sin2α)＝eq \f(8,5).12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．已知tan x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))，则sin x＝( )
A.eq \f(－1±\r(,5),2) B.eq \f(\r(,3)＋1,2)
C.eq \f(\r(,5)－1,2)D.eq \f(\r(,3)－1,2)
C [因为tan x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))，所以tan x＝cs x，所以sin x＝cs2x，sin2x＋sin x－1＝0，解得sin x＝eq \f(－1±\r(,5),2)，
因为－1≤sin x≤1，所以sin x＝eq \f(\r(,5)－1,2).]
2．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.
【导学号：31222112】
44．5 [因为sin(90°－α)＝cs α，所以当α＋β＝90°时，sin2α＋sin2β＝sin2α＋cs2α＝1，
设S＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°，
则S＝sin289°＋sin288°＋sin287°＋…＋sin21°
两个式子相加得2S＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S＝44.5.]
3．已知f(α)＝eq \f(sinπ－αcs2π－αtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2))),tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·sin－π－α).
(1)化简 f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)，求f(α)的值．
[解] (1)f(α)＝eq \f(sin α·cs α·tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2)－2π)),tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·sin α)
＝eq \f(sin α·cs α·\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))),tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·sin α)
＝－cs α.5分
(2)∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝－sin α＝eq \f(1,5)，
∴sin α＝－eq \f(1,5)，7分
又α是第三象限角，∴cs α＝－eq \r(,1－sin2α)＝－eq \f(2\r(,6),5)，
故f(α)＝eq \f(2\r(,6),5).12分
组序
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋
α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cs α
cs_α
余弦
cs α
－cs α
cs α
－cs_α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan_α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变符号看象限
记忆
规律
奇变偶不变，符号看象限
同角三角函数基本关系式的应用
诱导公式的应用
同角关系式与诱导公式的综合应用