第46讲 直线的方程-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第46讲 直线的方程

一、课程标准

1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；

2、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；

3、掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.

二、基础知识回顾

1. 当直线l与x轴相交时，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线l的倾斜角，并规定：直线l与x轴平行或重合时倾斜角为0°，因此倾斜角α的范围是0°≤α＜180°．

2. 当倾斜角α≠90°时，tanα表示直线l的斜率，常用k表示，即k＝tanα.当α＝90°时，斜率不存在．当直线过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)且x1≠x2时，k＝．

3. 直线方程的几种形式

三、自主热身、归纳总结

1、 如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(    )

A. 第一象限  B. 第二象限

C. 第三象限  D. 第四象限

2、 若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)

A. 1  B. 4  C. 1或3  D. 1或4

3、 直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)

A.                     B.

C. ∪       D. ∪

4、过直线l：y＝x上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为________．

5、过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程为________．

6、过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程为________________．

四、例题选讲

考点一　直线的斜率与倾斜角

例1、（徐州一中模拟）(1)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是(　　)

A.  B.　

C.  D.

(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围是__________．

变式：（1）若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)

A．k1＜k2＜k3　　　　　 B．k3＜k1＜k2

C．k3＜k2＜k1   D．k1＜k3＜k2

（2）若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．

（3）已知点(－1,2)和在直线l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是________．

方法总结：1. 倾斜角α与斜率k的关系

当α∈且由0增大到时，k的值由0增大到＋∞；

当α∈时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由增大到π(α≠π)时，k的值由－∞增大到趋近于0(k≠0)．

2. 斜率的两种求法

(1) 定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率．

(2) 公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．

考点二   直线方程的求法

例2、根据所给条件求直线的方程．

(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；

(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；

(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.

变式1、(1)若直线经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________________．

(2)若直线经过点A(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________________．

(3)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为________________．

变式2、根据所给条件求直线的方程：

(1)过点P(－2，4)且斜率k＝3；

(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.

方法总结：本题考查直线方程的几种形式，要注意选择性．过定点，且斜率已知，用直线的点斜式方程；在两坐标轴上的截距已知，一般用截距式，再将点的坐标代入得出直线方程．在求直线方程时，最后结果要化为一般式与斜截式，要当心斜率不存在、截距不存在的特殊情况．

考点三   直线方程的综合应用

例3、 （辽宁阜新实验中学2019届模拟）(1)已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．

(2)已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．

变式1、过点P(4，1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．

(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；

(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．

变式2、已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．

(1)证明：直线l过定点；

(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

方法总结：(1)含有参数的直线方程可看作是直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．

(2)求解与直线方程有关的最值问题时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．

五、优化提升与真题演练

1、（黑龙江哈尔滨市第六中学2019届质检）若θ是直线l的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝，则l的斜率为(　　)

A．－    B.－或－2      C.或2     D．－2

2、(多选)若直线过点A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为(　　)

A．x－y＋1＝0   B．x＋y－3＝0

C．2x－y＝0   D．x－y－1＝0

3、(多选)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为(　　)

A．x－y＋1＝0   B．x＋y－7＝0

C．2x－y－2＝0   D．2x＋y－10＝0

4、（江苏扬州中学2019届模拟）已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．

(1)证明：直线l过定点；

(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．