第21讲 弧度制及任意角的三角函数-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第21讲：弧度制及任意角的三角函数
一、 课程标准
1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化．
2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

二、 基础知识回顾
知识梳理
1. 角的概念的推广
(1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角．
(2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角．终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限．
(3)终边相同的角：与角α的终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
2. 弧度制
①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝____，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
③弧度与角度的换算：360°＝_2π_rad；180°＝__π__rad；1°＝____rad；1 rad＝____度．
④弧长公式：__l＝|α|r__．
扇形面积公式：S扇形＝__lr__＝__|α|r2__．
3. 任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝__y__，cosα＝__x__，tanα＝．
(2)特殊角的三角函数值
角α
0°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
α弧
度数
_0_
__
__
__
__
_π_
__
sinα
_0_
__
__
__
_1_
_0_
_－1_
cosα
_1_
__
__
__
_0_
_－1_
_0_
tanα
_0_
__
_1_
__

_0_


（2）几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．


三、 自主热身、归纳总结
1、已知sin2θ＜0，且|cosθ|＝－cosθ，则点P(tanθ，sinθ)在( )
A. 第一象限　 B. 第二象限　
C. 第三象限　 D. 第四象限
【答案】B
【解析】　由|cosθ|＝－cosθ可知cosθ＜0，由sin2θ＝2sinθcosθ＜0可知sinθ＞0，∴tanθ＜0.∴点P(tanθ，sinθ)在第二象限．故选B.
2、已知角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则sinα等于( )
A. sin2　 B. －sin2　 C. cos2　 D. －cos2
【答案】D
【解析】∵r＝＝2，由任意三角函数的定义，得sinα＝＝－cos2.故选D.
3、若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为(　　)
A. B．
C．3 D.
【答案】D
【解析】　如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝，

作OM⊥AB，垂足为M，
在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝，
∴AM＝r，AB＝r，
∴l＝r，
由弧长公式得α＝＝＝.
4、(多选)下列与角的终边不相同的角是(　　)
A. B．2kπ－(k∈Z)
C．2kπ＋(k∈Z) D．(2k＋1)π＋(k∈Z)
【答案】ABD　
【解析】与角的终边相同的角为2kπ＋(k∈Z)，其余三个角的终边与角的终边不同．
5、已知一扇形的弧长为，面积为，则其半径r＝ ________，圆心角θ＝________.
【答案】2　
【解析】因为扇形的弧长为，所以面积＝××r，解得r＝2.由扇形的弧长为＝rθ＝2θ，解得θ＝.
6、(一题两空)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆O于点P(a，b)，且a＋b＝，则ab＝________，cos＝________.
【答案】　－
【解析】由题知sin α＝b，cos α＝a.∵a＋b＝，∴sin α＋cos α＝.两边平方可得sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，∴1＋2sin αcos α＝，∴2sin αcos α＝.∴sin αcos α＝ab＝，∴cos＝－sin 2α＝－2sin αcos α＝－.

四、 例题选讲
考点一 角的表示及象限角
例1（1）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)

（2）若角α是第二象限角，则是(　　)
A．第一象限角　　　　　　　 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
【答案】（1）B　（2）C.
【解析】（1）当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和0≤α≤的终边一样，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时α的终边和π≤α≤π＋的终边一样．
（2）　∵α是第二象限角，
∴＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，
∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，是第一象限角；
当k为奇数时，是第三象限角．故选C.
变式1、(1)已知α＝－2 020°，则与角α终边相同的最小正角为____，最大负角为____．
(2)如果角α是第三象限角，那么－α，π－α，π＋α角的终边落在第几象限？是第几象限的角？
【答案】（1）140、－220°（2）－α角终边落在第二象限；π－α是第四象限角；π＋α是第一象限角．为第二或第四象限
【解析】　(1)α可以写成－6×360°＋140°的形式，则与α终边相同的角可以写成k·360°＋140°(k∈Z)的形式．当k＝0时，可得与角α终边相同的最小正角为140°，当k＝－1时，可得最大负角为－220°.
(2)　π＋2kπ＜α＜＋2kπ(k∈Z)，∴－－2kπ＜－α＜－π－2kπ(k∈Z)，即＋2kπ＜－α＜π＋2kπ(k∈Z)．①∴－α角终边落在第二象限．又由①各边都加上π，得＋2kπ＜π－α＜2π＋2kπ(k∈Z)．∴π－α是第四象限角．同理可知，π＋α是第一象限角．由π＋2kπ＜α＜＋2kπ(k∈Z)，可知＋kπ＜＜＋kπ(k∈Z)，2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ(k∈Z)，∴为第二或第四象限．
变式2、(1)设集合M＝，N＝，那么(　　)
A.M＝N B.M⊆N C.N⊆M D.M∩N＝
(2)若角α是第二象限角，则是第________象限角.
(3)终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________.
【答案】(1)B　(2)一或三　(3)
【解析】(1)由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N.
(2)∵α是第二象限角，∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，是第一象限角；
当k为奇数时，是第三象限角.
(3)终边在直线y＝x上的角α的集合为，
又由α∈[－2π，2π)，即－2π≤＋kπ<2π，
解得k＝－2，－1，0，1，
故满足条件的角α构成的集合为.

方法总结：本题考查象限角、终边相同的角、三角函数值所在象限的符号．利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．三角函数值象限的符号牢记：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．考查运算求解能力，逻辑思维能力，考查转化与化归思想．
考点二 扇形的有关运算

例2、扇形AOB的周长为8 cm.
(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
【解析】　设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
(1)由题意可得解得或
∴α＝＝或6.
(2)∵2r＋l＝8，∴S扇＝lr＝l·2r≤·2＝×2＝4，
当且仅当2r＝l，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值，∴r＝2 cm，∴弦长AB＝2×2sin1＝4sin1(cm)．
变式1、　已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l.
(1)若α＝100°，r＝2，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
【解析】　(1)因为α＝100°＝100×＝，
所以S扇形＝lr＝αr2＝××4＝.
(2)由题意知，l＋2r＝20，即l＝20－2r，
故S扇形＝l·r＝(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25，
当r＝5时，S的最大值为25，此时l＝10，则α＝＝2.
变式2、若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，求其圆心角的弧度数．
【解析】
如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝，
作OM⊥AB，垂足为M，在
Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝，
∴AM＝r，AB＝r，∴l＝r，由弧长公式得α＝＝＝.

方法总结：有关弧长及扇形面积问题的注意点
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
考点三、三角函数的定义及应用
例3（1）已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，则＋＝____．
（2）已知角α的终边与单位圆的交点为P，则sinα·tanα＝_ __．
【答案】（1）－.（2）－
【解析】（1）　∵角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，∴cosα＝＝－，解得x＝或x＝－(舍去)，∴P，∴sinα＝－，∴tanα＝＝，则＋＝－＋＝－.
（2）　由OP2＝＋y2＝1，得y2＝，y＝±.
当y＝时，sinα＝，tanα＝－，此时sinα·tanα＝－.
当y＝－时，sinα＝－，tanα＝，此时sinα·tanα＝－.
变式1、(1)函数y＝loga(x－3)＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P，且角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P，则sin α＋cos α的值为(　　)
A. B．
C. D.
(2)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则＋＝________.
【答案】（1）D （2）－
【解析】(1)因为函数y＝loga(x－3)＋2的图象过定点P(4,2)，且角α的终边过点P，所以x＝4，y＝2，r＝2，所以sin α＝，cos α＝，所以sin α＋cos α＝＋＝.故选D.
(2)因为角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，所以cos α＝＝－，即x＝或x＝－(舍)．所以P，r＝，所以 sin α＝－.所以tan α＝＝，则＋＝－＋＝－.
变式2、(2020·江西九江一模)若sin x<0，且sin(cos x)>0，则角x是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[答案]　D
[解析]　∵－1≤cos x≤1，且sin(cos x)>0，∴0 变式3、(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(－1，m)(m>0)，则下列各式的值一定为负的是(　　)
A．sin α＋cos α B．sin α－cos α
C．sin αcos α D.
【答案】CD
【解析】由已知得r＝|OP|＝，则sin α＝ >0，cos α＝－<0，tan α＝－m<0，∴sin α＋cos α的符号不确定，sin α－cos α>0，sin αcos α<0，＝cos α<0.故选C、D.
方法总结：三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.
2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.

五、优化提升与真题演练
1、在平面直角坐标系中，角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角α的终边经过点M，且0<α<2π，则α＝(　　)
A. B. C. D.
【答案】D　
【解析】(1)因为角α的终边经过点M，且0<α<2π，所以根据三角函数的定义，可知cos α＝－cos ＝cos＝cos ，则α＝.故选D.
2、已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　)
A.－ B.－ C. D.
【答案】C
【解析】由题意得点P(－8m，－3)，r＝，
所以cos α＝＝－，
所以m>0，解得m＝.
3、(2019·黑龙江哈尔滨六中质量检测)已知圆上的一段弧长等于该圆内接正方形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数为(　　)
A. B．
C. D．2
【答案】C　
【解析】设圆的半径为r，则该圆内接正方形的边长为r，即这段圆弧长为r，则该圆弧所对的圆心角的弧度数为＝.故选C.
4、若角α与β的终边关于x轴对称，则有(　　)
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z
C．α＋β＝2k·180°，k∈Z
D．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z
【答案】C　
【解析】因为α与β的终边关于x轴对称，所以β＝2k·180°－α，k∈Z.所以α＋β＝2k·180°，k∈Z.
5、.(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝(　　)
A. B. C. D.1
【答案】B
【解析】　由题意可知tan α＝＝b－a，
又cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝，
∴5(b－a)2＝1，得(b－a)2＝，则|b－a|＝.
6、.(多选题)如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则(　　)

A.经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3
B.经过 s后，扇形AOB的弧长为
C.经过 s后，扇形AOB的面积为
D.经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇
【答案】　ABD
【解析】经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，此时∠BOA的弧度数为＋3，故A正确；
经过 s后，∠AOB＝＋＋2×＝，故扇形AOB的弧长为×1＝，故B正确；
经过 s后，∠AOB＝＋＋2×＝，故扇形AOB的面积为S＝××12＝，故C不正确；
设经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1＋2)＋＝2π，解得t＝ s，故D正确.
7、若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________．
【答案】1∶2
【解析】设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r，R(其中r＜R)，则＝，
所以r∶R＝1∶2，两个扇形的周长之比为＝1∶2.
8、如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点．若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α，则＝________.
【答案】
【解析】设扇形的半径为r，则扇形的面积为αr2，在Rt△POB中，PB＝rtan α，则△POB的面积为r·rtan α，由题意得r·rtan α＝2×αr2，∴tan α＝2α，∴＝.
9、在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，则方案________最优．

【答案】一
【解析】因为△AOB是顶角为120°即为π、腰长为2的等腰三角形，
所以A＝B＝，AM＝BN＝1，AD＝2，
所以方案一中扇形的弧长＝2×＝；方案二中扇形的弧长＝1×＝；
方案一中扇形的面积＝×2×2×＝，方案二中扇形的面积＝×1×1×＝.
由此可见：两种方案中利用废料面积相等，方案一中切割时间短．因此方案一最优．