第17讲 导数的概念及其运算-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第17讲：导数的概念及其运算
一、 课程标准
1.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．
2.通过函数图象直观地理解导数的几何意义．
3.能根据导数定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝的导数．
4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
二、 基础知识回顾
1. 导数的概念
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，且x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
若函数y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x的变化而变化，因而是自变量x的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作f′(x)．
2. 导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，过点P的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
3. 基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝C(C为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα
f′(x)＝αxα－1
续表
基本初等函数
导函数
f(x)＝sinx
f′(x)＝cosx
f(x)＝cosx
f′(x)＝－sinx
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a>0)
f′(x)＝axlna
f(x)＝lnx
f′(x)＝
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝
4. 导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)＝(g(x)≠0)．
5. 复合函数的求导法则
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
三、 自主热身、归纳总结
1、知函数f(x)＝，则函数在x＝－1处的切线方程是(　　)
A.2x－y＋1＝0 B.x－2y＋2＝0
C.2x－y－1＝0 D.x＋2y－2＝0
【答案】A
【解析】、　由f(x)＝，得f′(x)＝，
又f(－1)＝－1，f′(－1)＝2.
因此函数在x＝－1处的切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.
2、 函数f(x)＝2x＋cosx在点(，f())处的切线方程为( )
A. 3x－y－＝0 B. x－y＋＝0
C. 3x－y－＝0 D. x－y－＝0
【答案】B.
【解析】　f(x)＝2x＋cosx，f()＝π，f′(x)＝2－sinx，f′()＝1，在点(，f())处的切线方程为
y－π＝x－，即为x－y＋＝0.故选B.
3、 设M为曲线C：y＝2x2＋3x＋3上的点，且曲线C在点M处切线倾斜角的取值范围为，则点M横坐标的取值范围为(D )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】、　由题意y′＝4x＋3，切线倾斜角的范围是，则切线的斜率k的范围是，∴－1≤4x＋3<0，解得－1≤x<－. 故选D.
4、.设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝0，则x0等于(A )
A. 　　　　 B. e　　　　 C. e2 D. 1
【答案】A.
【解析】　f′(x)＝ln x＋1，由f′(x0)＝0，
得ln x0＋1＝0，∴ln x0＝－1，即x0＝. 故选A.
5、(多选)下列求导数运算正确的有(　　)
A．(sin x)′＝cos x B.′＝
C．(log3x)′＝ D．(ln x)′＝
【答案】AD
【解析】　因为(sin x)′＝cos x，′＝－，(log3x)′＝，(ln x)′＝，所以A、D正确．
6．(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是(　　)
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－x
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝tan x
【答案】AC
【解析】选　若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x；则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)＝ln x，则f′(x)＝，令ln x＝，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)＝tan x，则f′(x)＝′＝，令tan x＝，化简得sin xcos x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，故D不符合要求．故选A、C.
7、已知曲线f(x)＝xsinx＋1在点(，f())处的切线与直线ax－y＋1＝0互相垂直，那么实数a的值为____．
【答案】－1
【解析】　f′(x)＝sinx＋xcosx，当x＝时， f′(x)＝1，∴a＝－1.
8、在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝________ m/s，加速度a＝________ m/s2.
【答案】－9.8t＋6.5　－9.8
【解析】、v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8.
9、(2019南通、泰州一调） 若曲线y＝xlnx在x＝1与x＝t处的切线互相垂直，则正数t的值为________．
【答案】 e－2　
【解析】、y′＝lnx＋1，由题意得(ln1＋1)·(lnt＋1)＝－1，所以t＝e－2.
10、(2019常州期末） 已知函数f(x)＝bx＋lnx，其中b∈R.若过原点且斜率为k的直线与曲线y＝f(x)相切，则k－b的值为________．
【答案】 　
【解析】、设直线方程为y＝kx，切点为A(x0，y0)，则有从而有bx0＋lnx0＝kx0＝bx0＋1，解得x0＝e，所以k－b＝＝.
11、(2019苏州期末） 曲线y＝x＋2ex在x＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为________．
【答案】 　
【解析】、由y＝x＋2ex，得y′＝1＋2ex，切点为(0，2)，切线斜率为3，切线方程为y＝3x＋2.切线与坐标轴的交点为A，B(0，2)，所以S△AOB＝··2＝.

四、 例题选讲
考点一、基本函数的导数
例1、求下列函数的导数．
(1)y＝x2sin x；
(2)y＝ln x＋；
(3)y＝.
【解析】、(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－.
(3)y′＝′＝＝－.
变式、求下列函数的导数：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)y＝xsincos.
【解析】、(1)f′(x)＝＝.
(2)由已知f(x)＝x－ln x＋－.
∴f′(x)＝1－－＋＝.
(3)∵y＝xsin cos ＝xsin(4x＋π)＝－xsin 4x，
∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x＝－sin 4x－2xcos 4x.
变式2、已知f(x)＝ln ，则f′(x)＝________.
【答案】.
【解析】、f′(x)＝′＝′
＝·＝.
方法总结：求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：
连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元
考点二 求导数的切线方程
例2、(1)已知曲线S：y＝－x3＋x2＋4x及点P(0，0)，那么过点P的曲线S的切线方程为____．
(2)已知函数f(x)＝xlnx，过点A(－，0)作函数y＝f(x)图像的切线，那么切线的方程为____．
【答案】（1）y＝4x或y＝x
（2）x＋y＋＝0
【解析】　(1)设过点P的切线与曲线S切于点Q(x0，y0)，则过点Q的曲线S的切线斜率为k＝
y′|x＝x0＝－2x＋2x0＋4，又当x0≠0时，kPQ＝，
∴－2x＋2x0＋4＝. ①∵点Q在曲线S上，∴y0＝－x＋x＋4x0.②
将②代入①得－2x＋2x0＋4＝，化简，得x－x＝0，∴x0＝或x0＝0，
当x0＝时，则k＝，过点P的切线方程为y＝x.
当x0＝0时，则k＝4，过点P的切线方程为y＝4x，故过点P的曲线S的切线方程为y＝4x或y＝x.
(2)设切点为T(x0，y0)，则kAT＝f′(x0)，
∴＝lnx0＋1，即e2x0＋lnx0＋1＝0.
设h(x)＝e2x＋lnx＋1，则h′(x)＝e2＋，当x>0时，h′(x)>0，
∴h(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，∴h(x)＝0最多只有一个根. 又h＝e2×＋ln＋1＝0，
∴x0＝.
由f′(x0)＝－1得切线方程是x＋y＋＝0.
变式1、已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)若直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线方程．
【解】　(1)由函数f(x)的解析式可知点(2，－6)在曲线y＝f(x)上，∴f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13，
∴切线的方程为y－(－6)＝13(x－2)，
即y＝13x－32.
(2)(方法1)设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，
∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.
又∵直线l过点(0，0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，
整理得x＝－8，∴x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
f′(－2)＝3×(－2)2＋1＝13，
故直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(方法2)设直线l的方程为y＝kx，切点坐标为(x0，y0)，则k＝＝.
又∵k＝f′(x0)＝3x＋1，
∴＝3x＋1，解得x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
k＝3×(－2)2＋1＝13，∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵曲线f(x)的某一切线与直线y＝－＋3垂直，∴该切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x＋1＝4，
∴x0＝±1，∴或
故切线方程为y－(－14)＝4(x－1)
或y－(－18)＝4(x＋1)，即y＝4x－18或y＝4x－14.
方法总结：利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：
(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．
(2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．
(3)曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k＝f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
考点三、与切线有关的参数问题
例3、(2019常州期末） 若直线kx－y－k＝0与曲线y＝ex(e是自然对数的底数)相切，则实数k＝________．
【答案】、 e2　
【解析】、设切点A(x0，ex0)，由(ex)′＝ex，得切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，即y＝ex0x＋(1－x0)ex0，所以解得
变式1、（2017苏州一调）若直线为曲线的一条切线，则实数的值是 ．
【答案】、1
【解析】、 设切点的横坐标为，由曲线，得，所以依题意切线的斜率为，得，所以切点为，又因为切线过切点，故有，解得.
变式2、(2016苏州暑假测试） 已知函数f(x)＝x－1＋，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，则实数k＝________.
【答案】、 1－e　
【解析】、：设切点为(x0，y0)．因为f′(x)＝1－，则f′(x0)＝k，即1－＝k且kx0－1＝x0－1＋，所以x0＝－1，所以k＝1－＝1－e.
变式3、(2018常州期末） 已知函数f(x)＝bx＋lnx，其中b∈R.若过原点且斜率为k的直线与曲线y＝f(x)相切，则k－b的值为________．
【答案】、 　
【解析】、设直线方程为y＝kx，切点为A(x0，y0)，则有从而有bx0＋lnx0＝kx0＝bx0＋1，解得x0＝e，所以k－b＝＝.
因为曲线y＝lnx与直线y＝x相切，所以曲线y＝bx＋lnx与直线y＝x相切．所以k＝b＋，得k－b＝.作为填空题可这样“秒杀”！
一般地，若曲线y＝f(x)与直线y＝kx＋b相切，则曲线y＝f(x)＋k1x＋b1与直线y＝kx＋b＋k1x＋b1也相切．
变式4、若函数为奇函数，其图象的一条切线方程为，则b的值为 ．
 【答案】．
【解析】因为f(x)是奇函数，所以a=0，f(x)＝x3+bx．设f(x)在点(x0，y0)处的切线为：，得，解得b＝－3
方法总结：1．利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围；
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．

五、优化提升与真题演练
1、（2019·全国Ⅱ高考(文)）曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为(C )
A. x－y－π－1＝0 B. 2x－y－2π－1＝0
C. 2x＋y－2π＋1＝0 D. x＋y－π＋1＝0
【答案】C
【解析】∵y′＝2cosx－sinx，
∴y′＝2cosπ－sinπ＝－2，
则y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，
即2x＋y－2π＋1＝0. 故选C.
2、(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
【答案】D
【解析】　(1)y′＝aex＋ln x＋1，k＝y′|x＝1＝ae＋1，
∴ 切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，
即y＝(ae＋1)x－1.
又∵ 切线方程为y＝2x＋b，
∴ 即a＝e－1，b＝－1.故选D.
3、(2019·全国Ⅰ卷)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________.
【答案】　y＝3x
【解析】　y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3ex(x2＋3x＋1)，
所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k＝e0×3＝3，所以所求切线方程为y＝3x.
4、(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________.
【答案】(e，1).
【解析】　(1)设A(m，n)，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝(x－m).
又切线过点(－e，－1)，所以有n＋1＝(m＋e).
再由n＝ln m，解得m＝e，n＝1.
故点A的坐标为(e，1).
5、(2019苏锡常镇调研（二））已知点P在曲线C：上，曲线C在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线C的另一交点为Q，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则点P的纵坐标为 ．
【答案】.设
【解析】因为，所以切线l的斜率，且，则直线，即
令，消得：，设，则，即，又因为点在曲线上，所以，故
因为，所以，即，化简得，则，所以点的纵坐标为
6、(2019年江苏卷).在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.
【答案】4.
【解析】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.
由，得，，
即切点，
则切点Q到直线的距离为，
故答案为：．
7、(2018南京、盐城、连云港二模） 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线y＝(m＞0)在x＝1处的切线为l，则点(2，－1) 到直线l的距离的最大值为________．
【答案】 　
解法1 由题意，切点坐标为，因为y′＝－，所以切线l的斜率k＝－，故切线l的方程为y－＝－(x－1)，即l：mx＋4y－3m＝0，则点(2，－1)到直线l的距离d＝＝＝＝，又因为m>0，所以m＋≥2＝8(当且仅当m＝4时取等号)，则d≤，故点(2，－1)到直线l的距离的最大值为.
解法2 由题意，切点坐标为，因为y′＝－，所以切线l的斜率k＝－，故切线l的方程为y－＝－(x－1)，则直线l：m(x－3)＋4y＝0恒过定点(3，0)，故当直线l与两点(3，0)，(2，－1)的连线垂直时，点(2，－1)到直线l的距离的最大，且为.