2021新高考数学二轮总复习专题七解析几何7.2热点小专题三圆锥曲线的离心率学案含解析
展开7.2 热点小专题三、圆锥曲线的离心率
必备知识精要梳理
1.椭圆中,由a与b的关系可以求离心率,e=.
双曲线中,由a与b的关系可以求离心率,e=.
2.椭圆的离心率的取值范围e∈(0,1),双曲线的离心率的取值范围e∈(1,+∞).
3.等轴双曲线是一类特殊的双曲线,等轴双曲线的离心率为e=.
4.求椭圆(或双曲线)的离心率:求椭圆(或双曲线)的离心率就是要找椭圆(或双曲线)中a与c的关系,常将椭圆(或双曲线)的条件与c2=a2-b2(或c2=a2+b2)相结合,转化为关于a,c的等式(或不等式),进而化成关于e的方程(或不等式)求解.
关键能力学案突破
热点一 | 椭圆的离心率 |
类型一 求椭圆的离心率
【例1】(2020湖南怀化一模,15)若椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F1,点P在椭圆上,点O为坐标原点,且△OPF1为正三角形,则椭圆的离心率为 .
解题心得本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解,常见的有两种方法:①求出a,c,代入公式e=;②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,转化为关于a,c的齐次式,然后转化为关于e的方程,即可得e的值.
【对点训练1】已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
类型二 求椭圆离心率的范围
【例2】(2019贵州凯里第一中学高二下学期期中考试)已知椭圆C:=1,a>b>0,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,若椭圆C上存在点P(x0,y0)(x0≥0)使得∠PF1F2=60°,则椭圆的离心率的取值范围为( )
A.,1 B.0,
C.,1 D.0,
解题心得椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率的取值范围,常见有两种方法:
(1)求出a,c,代入公式e=;
(2)只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a2转化为关于e的方程(或不等式),解方程(或不等式)即可得e的取值范围.
【对点训练2】(2019福建龙岩高三5月月考)已知点F为椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点,直线y=kx(k>0)与C相交于M,N两点(其中M在第一象限),若|MN|=2,|FM|≤|FN|,则C的离心率的最大值是 .
热点二 | 双曲线的离心率 |
类型一 求双曲线的离心率(多维探究)
方法一 直接法求离心率
【例3】(2020山东泰安三模,8)
如图,已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,M是C上位于第一象限内的一点,且直线F2M与y轴的正半轴交于点A,△AMF1的内切圆在边MF1上的切点为N,若|MN|=2,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
解题心得直接法求离心率就是先直接求出a与c(或a与c的关系),然后通过求比值e=,得到双曲线的离心率.
【对点训练3】(2020北京朝阳一模,7)在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°.若以A,B为焦点的双曲线经过点C,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
方法二 通过a与b的关系求离心率
【例4】(2020河北张家口一模,7)已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线的倾斜角成2倍关系,则该双曲线的离心率为( )
A. B.
C.2 D.4
解题心得1.椭圆(双曲线)的离心率有一个公式变形,e=,所以由a与b的关系可以求离心率,相反,由离心率也可以得出a与b的关系;
2.圆锥曲线中的离心率的计算,关键是利用题设条件构建关于a,b,c的一个关系式.
【对点训练4】(2020山东济南一模,14)已知双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x-2)2+y2=1相切,则该双曲线的离心率为 .
方法三 通过a与c的齐次式求离心率
【例5】(2020山东临沂二模,15)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左焦点为F,M为虚轴的一端点.若以M为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点N,且M,N,F三点共线,则该双曲线的离心率为 .
解题心得离心率e的求解中可以不求出a,c的具体值,而是得出a与c的关系,从而求得e,这种方法的步骤如下:
(1)建立方程:根据已知条件得到齐次式Aa2+Bac+Cc2=0;
(2)化简:同时除以a2,化简齐次式,得到关于e的一元二次方程A+Be+Ce2=0;
(3)求解:解一元二次方程,求得e的值;
(4)验算取舍:根据离心率的取值范围e∈(0,1)或e∈(1,+∞)进行取舍,最终的e值即为所求.
【对点训练5】(2020重庆名校联盟二诊,11)过双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F作渐近线的垂线,设垂足为P(P为第一象限的点),延长FP交抛物线y2=2px(p>0)于点Q,其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点,若),则双曲线的离心率的平方为( )
A. B. C.+1 D.
类型二 求双曲线离心率的取值范围
【例6】(2020辽宁锦州一模,11)圆C:x2+y2-10x+16=0上有且仅有两点到双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线的距离为1,则该双曲线离心率的取值范围是 ( )
A. B.()
C. D.(+1)
解题心得求双曲线离心率的取值范围涉及解析几何、平面几何、代数等多个知识点,综合性强、方法灵活,解题关键是挖掘题中的隐含条件,构造不等式,常用方法主要有以下三种:(1)利用圆锥曲线的变量的范围,建立不等关系;(2)直接根据已知条件中的不等关系,建立关于离心率的不等式;(3)利用函数的思想分析解答.
【对点训练6】(2020山东济宁三模,16)设双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2c,过F2作x轴的垂线,与双曲线在第一象限的交点为A,点Q坐标为且满足|F2Q|>|F2A|,若在双曲线C的右支上存在点P使得|PF1|+|PQ|<|F1F2|成立,则双曲线的离心率的取值范围是 .
7.2 热点小专题三、圆锥曲线的离心率
关键能力·学案突破
【例1】-1 解析∵椭圆上存在点P使△OPF1为正三角形,|OF1|=c,不妨设点P在第二象限,∴点P的坐标为-c代入椭圆方程,得=1,
即=1,=1,解得e=-1.
对点训练1D 解析如图,
作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|=|PF2|=2,则c=1.由∠F1F2P=120°,可得|PB|=,|BF2|=1,故|AB|=a+1+1=a+2,
tan∠PAB=,解得a=4,所以e=
【例2】
D 解析依据题意作出如下图象:由已知可得,当点P在椭圆的上(下)顶点处时,∠PF1F2最大,要满足椭圆C上存在点P(x0,y0)(x0≥0)使得∠PF1F2=60°,则90°>(∠PF1F2)max≥60°.
所以tan(∠PF1F2)max≥tan60°=即,整理得bc.又a2=b2+c2≥3c2+c2=4c2,即a2≥4c2,所以e=所以椭圆离心率的取值范围为0,.故选D.
对点训练2-1 解析设右焦点为F',连接MF',NF',由椭圆对称性知四边形FMF'N为平行四边形.又|MN|=2=2c=FF',故FMF'N为矩形.|FM||FN|=|F'M|,|FM|+|F'M|=2a,即2a-|F'M||F'M|,
∴|F'M|又(2a-|F'M|)2+|F'M|2=4c2,故0<e-1.故答案为-1.
【例3】
D 解析设△AMF1的内切圆在边AF1,AM的切点分别为E,G,则|AE|=|AG|,|EF1|=|F1N|,|MN|=|MG|.又|MF1|-|MF2|=2a,则|EF1|+|MG|-|MF2|=2a,由对称性可知|AF1|=|AF2|,化简可得|MN|=a,则a=2,a+2=4,所以双曲线C的离心率为
对点训练3
C 解析设AB=BC=2,取AB的中点为O,在△OBC中,cosB=-,AC
==2,所以2a=2-2,即a=-1,2c=2,即c=1,所以双曲线的离心率为故选C.
【例4】C 解析设经过一三象限的渐近线的倾斜角为α,则另一条渐近线的倾斜角为2α,则有tanα=,tan2α=-,因为tan2α=,所以-,即=3,=2.
故选C.
对点训练4 解析取双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线y=x,即bx-ay=0,因为渐近线与圆(x-2)2+y2=1相切,所以=1,化简得a2=3b2,所以e=
【例5】 解析由题意可得F(-c,0),M(0,-b),双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,可得|MN|=,|MF|=,在直角三角形MOF中,可得:b2=,化为b2c2=a2(c2+b2),由b2=c2-a2,可得c2-a2=ac,由e=可得e2-1=e,即e2-e-1=0,解得e=或e=(舍去).所以e=
对点训练5D 解析由),可得P为FQ的中点,
设F(c,0),由渐近线方程y=x,①
可设直线FP的方程为y=-(x-c),②
由①②解得P,由中点坐标公式可得Q,代入抛物线的方程可得=2p,③
由题意可得c=,即2p=4c,
代入③,得a2b2=2a2c2-c4,由b2=a2-c2,得a4-c4+a2c2=0,由e=可得e4-e2-1=0,解得e2=故选D.
【例6】A 解析圆C:x2+y2-10x+16=0可化为(x-5)2+y2=9,∵圆C:x2+y2-10x+16=0上有且仅有两点到双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线的距离为1,∴圆心到双曲线渐近线的距离大于2且小于4.由对称性不妨取双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=x,即ax-by=0,∴2<<4,即2<<4,解得<e<即双曲线离心率的取值范围是.
对点训练6 解析令x=c代入双曲线的方程可得y=±b=±,由|F2Q|>|F2A|,可得,
即为3a2>2b2=2(c2-a2),即有e=,①
又在双曲线C的右支上存在点P,使|PF1|+|PQ|<|F1F2|成立,由双曲线的定义,可得2a+|PF2|+|PQ|<c成立,由F2,P,Q共线时,|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|=a,可得c>2a+a,即有e=,②
由e>1,结合①②可得,
e的范围是
