热点01 多选题、多空题、多条件解答题-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练(新高考)

热点01   多选题、多空题、多条件解答题

【命题形式】 

1、新高考与之前相比， 最大的不同就是增加了多项选择题部分，选择题部分由原来的12道单选题，变成了8道单选题与4道多选题。这有利于缩小学生选择题部分成绩的差距，过去学生错一道单选题，可能就会丢掉5分，在新高考中，考生部分选对就可以得3分，在一定程度上保证了得分率。

2、新高考的单项选择题部分主要考察学生的基础知识和基本运算能力，总体上难度不大，只要认真复习，一般都可以取得一个较好的成绩。在多项选择题上，前两道较为基础，后两道难度较大，能够突出高考的选拔性功能，总体上来看，学生比以往来讲，更容易取得一个不错的成绩，但对于一些数学基础比较的好的同学来说，这些题比以往应该更有挑战性。过去，只需要在四个选项中选一个正确答案，现在要在四个选项中，选出多个答案，比以往来说，要想准确的把正确答案全部选出来，确实有一定的难度。

3、选择题部分与之前的一大区别就是强化了对不等式的考察。新高考解答题中删除了对不等式选讲的考察，因此在选择题之中，不等式的考察有所强化。

4、填空题，会对多空题（有一个空变成了两个空）加大考察力度，难度加大，但所占的分值比重与全国卷的相当。

5、解答题与之前相比，新高考数学试卷删除了选考题（坐标系与参数方程与不等式选讲）的题目，数列与三角函数由原来的每年二选一考试，变成了均为必考题，凸显了对于主干知识的重视，

6、解答题与之前相比，出现了新题型，从三个条件中选一个条件作答，体现了高考试卷的灵活性，同时也给考生以选择的余地，有利于考生选择一个自己擅长的条件参与作答，在一定程度上有利于增加得分率。

【满分技巧】

1、掌握规则

多项选择题由1个题干和4个备选项组成，备选项中至少有2个正确选项，所选正确答案将是2个、3个或4个。因此，在做多项选择题时应该注意，如果应考者所选答案中有错误选项，该题得零分；如果全部选对得5分，如果所选答案中没有错误选项，但是正确选项未全部选出，则得3分。

多空题只是填空题有原来的一个空改成了两个空，原来一道题一个空5分，现在这道题的两个空一个2分一个3分。实际上得分的几率更高，一般前一个空较简单，如果太难的试题，至少能拿到2分。

多条件解答题由1个题干中缺少部分条件，让从备选条件中选择一个条件进行解答，选择过程中不能选择多个条件同时解答；若选择多个条件分别解答，则按第一个解答积分。

2、常规方法通用

做多项选择题同样可以用直接选择法、排除法、比较法等常用的选择题做题方法，而且，有时可以综合使用多种方法来完成一个题目。

做多空题也同样用平时求解一般填空题的方法即可。

多条件解答题选择好条件后和平时一样的方法解答。

3、多项选择题常见的一些策略

　　（1）在多项选择题中，如果存在一对内容互相对立的选项，而其他三项不存在内容对立的情况，那么在此对立两项中至少有一个正确项；若存在两对内容互相对立的选项，则应该从两对对立项中分别选择一个选项作为正确选项。

　　例如，ABCD四个待选项中，AB互相对立，CD互相对立，则两个正确选项往往需从AB组以及CD组中分别择一产生。当然，该规则也存在例外情况。

　　（2）在多项选择题中，如果存在两对内容互近选项或类似选项，而这两对选项内容对立，则其中一对互近或类似选项应该为正确选项。

　　例如，ABCD四个待选项中，AB两项内容相近、类似，CD两项内容相近、类似，而AB组与CD组内容对立。如果判断A项正确，那么AB组都正确；如果判断C项正确，那么CD组都正确。

　　（3）在多项选择题中，如果两个或两个以上的选项之间存在承接关系或递进关系，即数个选项能同时成立，则往往这几个选项应一起被选择.例如在ABCD四个待选项中，ABC三个选项间存在承接、递进关系，能同时成立，若A正确，则ABC都应该为正确选项。

　　（4）做多项选择题时，谨慎选择的意识要更加明确.一般首先选出最有把握的2个选项，同时，在有足够把握确定还有其他正确答案时才继续选择，否则不选，以免选出错误选项.这样，才能保证该题目得分。因此，要坚持宁缺勿滥，这一点与单项选择题不同。

　　（5）多项选择题有一定难度，考试成绩的高低往往取决于多项选择题的得分。所以应考者应抓紧时间，保证在考试时间内把所有的多项选择题题目都做完。

　　无论是单选还是多选，都要注意看清楚题目要求是选择正确选项还是选择错误选项。一般规范的考试应该是要求选择正确选项，但是，有时也因为某个知识点的特殊性，不便要求选择正确选项，只能要求选择错误选项，因此，也要谨慎。

【常考知识】此类考题常与函数、向量、不等式、三角函数、概率、统计、圆锥曲线、立体几何等。

【限时检测】（建议用时：90分钟）

一、多选题

1．已知曲线.（    ）

A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上                B．若m=n>0，则C是圆，其半径为

C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为   D．若m=0，n>0，则C是两条直线

【答案】ACD

【解析】对于A，若，则可化为，因为，所以，

即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；

对于B，若，则可化为，

此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；

对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，

由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，

，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

2．下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A,

当时，，

解得：，

即函数的解析式为：

.

而

故选：BC.

【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：

(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.

(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

3．已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ）

A．    B．   C．    D．

【答案】ABD

【解析】对于A，，

当且仅当时，等号成立，故A正确；

对于B，，所以，故B正确；

对于C，，

当且仅当时，等号成立，故C不正确；

对于D，因为，

所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；

故选：ABD

【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.

4．下列四个条件中，是的充分条件的是（    ）

A．，              B．为双曲线，

C．，              D．，

【答案】BC

【解析】对于A，若，则，故 p不是q的充分条件；

对于B，若为双曲线，则异号，即，故 p是q的充分条件；

对于C，单调递增，当时，，故 p是q的充分条件；

对于D，当时，成立，不成立，故不是q的充分条件.

故选：BC.

【点睛】本题考查充分条件的判断，属于基础题.

5．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（    ）

A．若n=1，则H(X)=0

B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大

C．若，则H(X)随着n的增大而增大

D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)

【答案】AC

【解析】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.

对于B选项，若，则，，所以，

当时，，当时，，

两者相等，所以B选项错误.

对于C选项，若，则，

则随着的增大而增大，所以C选项正确.

对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）.

.

由于，所以，所以，

所以，所以，所以D选项错误.

故选：AC

【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.

6．我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（    ）

A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;   B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;

C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;  D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;

【答案】CD

【解析】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；

由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;

由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;

由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;

【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属中档题.

7．在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.已知点是角终边上一点，，定义，对于下列说法：其中正确的是（    ）

A．函数的值域是；            B．函数的图象关于直线对称；

C．函数是周期函数，其最小正周期为；D．函数的单调递减区间是，.

【答案】ABC

【解析】由已知点是角终边上一点，，则，

则，

对于A，，即的值域是，故A正确；

对于B，当时，，故的图象关于直线对称，故B正确；

对于C，可知是周期函数，其最小正周期为，故C正确；

对于D，因为，，故不满足单调递减，故D错误.

故选：ABC.

【点睛】本题主要考查新定义，任意角的三角函数的定义，函数的周期性､单调性的定义，函数的图象的对称性，属于中档题.

8．已知，．若有唯一的零点，则的值可能为（    ）

A．2 B．3 C． D．

【答案】ACD

【解析】解：，．

只有一个零点，只有一个实数根，

即只有一个实数根．

令，则，

函数在上单调递减，且时，，函数的大致图象如图所示，

所以只需关于的方程有且只有一个正实根．

①当时，方程为，解得，符合题意；

②当时，方程为，解得或，不符合题意；

③当时，方程为，得，只有，符合题意．

④当时，方程为，得，只有，符合题意．

故选：ACD．

【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的零点以及数形结合，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题．

9．在正三棱锥中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列命题正确的是(    )

A．EF与AD所成角的正切值为 B．EF与AD所成角的正切值为

C．AB与面ACD所成角的余弦值为 D．AB与面ACD所成角的余弦值为

【答案】BC

【解析】

（1）设中点为，的中点为，连接、、、，

因为，，，所以，，

所以就是直线与所成的角或补角，

在三角形中，，，由于三棱锥是正三棱锥，，，

又因为平面，，所以平面，

平面，所以，所以，

所以，所以A错误B正确.

（2）过点作垂直，垂足为.

因为，，平面，

所以平面，平面，所以，

因为，平面，所以平面，

所以就是与平面所成角.

由题得，所以.

所以C正确D错误.

故答案为：BC.

【点睛】本题主要考查空间异面直线所成的角的求法，考查直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

10．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（    ）．

A．当时，

B．函数有五个零点

C．若关于的方程有解，则实数的取值范围是

D．对，恒成立

【答案】AD

【解析】设，则，所以，

又函数是定义在上的奇函数，所以，所以，即

故A正确．

当时，，所以，

令，解得，

当时，；当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

故当时，函数取得极小值，

当时，，又，故函数在仅有一个零点．

当时，，所以函数在没有零点，

所以函数在上仅有一个零点，函数是定义在上的奇函数，

故函数在上仅有一个零点，又，故函数是定义在上有3个零点．

故B错误．

作出函数的大致图象，由图可知

若关于的方程有解，则实数的取值范围是.

故C错误．

由图可知，对，

故D正确．

故选：AD．

【点睛】本题主要考查利用函数奇偶性求函数解析式；利用导数研究函数的单调性及最值；同时也考查函数的零点，综合性较强．

11．设双曲线的右焦点为，直线为的一条斜率为正数的渐近线，为坐标原点.若在的左支上存在点，使点与点关于直线对称，则下列结论正确的是（    ）.

A． B．的面积为

C．双曲线的离心率为 D．直线的方程是

【答案】ABD

【解析】设左焦点为，与的交点为，如下图所示：

因为点与点关于直线对称，所以，为中点，且为中点，所以，，

又因为，所以，所以，所以，故A正确；

又因为，且，所以，故B正确；

由双曲线的定义可知：，所以，所以，

所以，，所以，故C错误，D正确，

故选：ABD.

【点睛】本题考查双曲线的定义与几何性质的综合应用，属于中档题.解答本题的关键：通过点的对称关系，分析出线段的位置关系以及线段的长度之间的关系.

12．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为，焦距为，点在椭圆上且满足，直线与椭圆交于另一个点，若，点在圆上，则下列说法正确的是（    ）

A．椭圆的焦距为 B．三角形面积的最大值为

C．圆在椭圆的内部 D．过点的圆的切线斜率为

【答案】ABC

【解析】，,设 则

又，，

所以A正确；

圆， ，圆在椭圆内部，所以点在椭圆内部，所以C正确；

当点在轴上是三角形面积的最大，此时 , 所以B正确；

设过点的圆的切线斜率为，则切线方程为 所以D错误

故选：ABC

【点睛】本题考查椭圆与圆的相关性质，属于基础题.

二、双空题

13．设直线与圆和圆均相切，则_______；b=______．

【答案】       

【解析】设，，由题意，到直线的距离等于半径，即，，所以，所以（舍）或者，解得.

故答案为：

【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.

14．二项式的展开式中，常数项等于________；二项式系数和为________.

【答案】-540    64   

【解析】展开式通项公式为，

令，，∴常数项为，展开式中二项式系数和为．

故答案为：－540；64．

【点睛】本题考查二项式定理，二项式系数的性质，解题关键是掌握二项展开式通项公式．

15．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．

【答案】       

【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，

且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为，

甲、乙两球都不落入盒子的概率为，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.

故答案为：；.

【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.

16．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．

【答案】       

【解析】，，，

，解得，

以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

,∵，∴的坐标为,

∵又∵,则，设，则（其中），

，，

，

所以，当时，取得最小值.

故答案为：；.

【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.

三、解答题

17．在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：

（Ⅰ）a的值：

（Ⅱ）和的面积．

条件①：；

条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）, ；

选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）, .

【解析】选择条件①（Ⅰ）

（Ⅱ）

由正弦定理得：

选择条件②（Ⅰ）

由正弦定理得：

（Ⅱ）

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.

18．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.

①，②，为虚数单位，③的面积为

在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，__________.

（1）求；

（2）求的值.

注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）；（2）.

【解析】方案一：选择条件①：

（1）∵，；∴

由，解得或（舍去），

∴，∴.

（2），∴，

∴.

方案二：选择条件②：

（1）由，解得或（舍去），

∴，∴.

（2）同方案一

方案三：选择条件③：

（1）∵，∴，又∵，∴，

由，解得或（舍），∴，

∴.

（2）同方案一

注意：方案二、方案三评分标准参照方案一.

【点睛】本题考查三角函数的余弦定理和三角形的面积，涉及到向量的数量积和复数的模，属于基础题型.

19．设，正项数列的前n项和为，已知，___________．请在①，，成等比数列；②，，成等差数列；③这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，记数列前n项和为，求．

【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）.

【解析】解：选①，（1）由得：，∴数列是以为首项，2为公差的等差数列．

由，，成等比数列可得，即，解得．∴．

选②，（1）由，得，∴数列是以为首项，2为公差的等差数列．

由，，成等差数列，得，解得，∴．

选③，（1）同理，由，得，∴数列是以为首项，2为公差的等差数列，

由得，解得，∴．

（2）由（1）得，，

数列前n项和为，

故为所求．

【点睛】本题考查等差数列通项公式的计算，裂项相消法求和，属于中档题.

20．已知数列是公差不为零的等差数列，，其前项和为，数列前项和为，从①，，成等比数列，，②，，③数列为等比数列，，，，这三个条件中任选一个作为已知条件并解答下列问题.

（1）求数列，的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】选择见解析；（1）；；（2）.

【解析】（1）选择条件①，设数列的公差为，

由，，成等比数列，即，所以，

解得（舍）或，所以，

因为，则，所以，则，

又，解得，所以.

选择条件②，设数列的公差为，所以，所以，

因为，令，可得，当时，，

且时，适合上式，所以.

选择条件③，设数列的公差为，所以，

所以，

又，则，所以，所以，

设数列的公比为，因为，，可得，又，可得，所以.

（2），所以，

，以上两式相减得，

，.

【点睛】此题考查等差数列和等比数列的综合应用，考查错位相减法求和，考查计算能力，属于中档题