2.6《圆锥的体积》教案 青岛版（六三制） 六年级数学下册

6   圆锥的体积

       教学内容

教材第26、28页，圆锥的体积。

       教学提示

学生分组操作时，肯定能借助倒水（或沙子）的实验，亲身感受等底等高的圆柱与圆锥体积间的3倍关系。但是他们不易发现隐藏在实验中的“等底等高”的这一条件，这是实验过程中的一个盲点。为凸现这一条件，可借助体积关系不是3倍的实验器材，引导学生经历去粗取精、去伪存真、由表及里、层层逼近的过程，进行深度信息加工。

       教学目标

知识与能力

通过转化的思想，在实验的基础上使学生理解和掌握圆锥体积公式，能运用公式正确地计算圆锥的体积。

过程与方法

培养学生的观察、操作能力和初步的空间观念，培养学生应用所学知识解决实际问题的能力。

情感、态度与价值观

渗透事物间相互联系的辩证唯物主义观点的启蒙教育。

       重点、难点

教学重点：通过转化的思想理解和掌握圆锥体积的计算公式。

教学难点：理解圆柱和圆锥等底等高时体积间的倍数关系。

      教学准备

教师准备：多媒体课件、大小不等的圆柱体和圆锥体容器。

学生准备：等底等高的圆柱体和圆锥体容器、水。

      教学过程

一新课导入：

1、提问：

（1）圆柱的体积公式是什么？我们是如何推导的?

圆柱------（转化）------长方体

（2）投影出示圆锥体的图形，学生指图说出圆锥的底面、侧面和高．

2.今天我们要学习圆锥体的体积,同学们觉得把圆锥体转化成什么比较好呢?

圆锥------（转化）------圆柱

3、预习中遇到了哪些问题？

设计意图：通过回顾圆柱体积公式的推导方法，巧妙地运用旧知识进行迁移。

二探究新知：

 1、教师拿出许多大小不等的圆柱体和圆锥体容器展示给学生。提问：

（1）同学们打算如何转化圆柱体和圆锥体之间的关系？

（2）如果让你在这么多的圆柱体和圆锥体中选择两个来探究，你打算选择什么样的圆柱体和圆锥体，说说你选择的理由。

2、在学生讨论的基础上教师强调用等底等高的圆柱体和圆锥体进行讨论。    

3、在确定用等底等高的圆柱体和圆锥体进行讨论的基础上教师让学生猜想：等底等高的圆柱体和圆锥体的体积之间到底有什么关系呢？

同学之间互相交流并说明想法。

设计意图：让学生运用已有的知识和生活经验进行猜测，大胆提出假想，既让学生实现了创造性的学，又激发了学生急于验证假想的探究欲望。

4、动手实验，得出结论。

为了我们研究圆锥体体积的方便，每个组都准备了一个圆柱体和一个圆锥体。你们小组比比看，这两个形体有什么相同的地方？学生操作比较。

（1）提问学生：你发现到什么？（这个圆柱体和这个圆锥体的形状有什么关系）(学生得出：底面积相等，高也相等。)

底面积相等，高也相等，用数学语言说就叫"等底等高"。

（2）为什么？既然这两个形体是等底等高的，那么我们就跟求圆柱体体积一样，就用"底面积×高"来求圆锥体体积行不行？(不行，因为圆锥体的体积小)

（3）把圆锥体套在透明的圆柱体里，圆锥体的体积小，那你估计一下这两个形体的体积大小有什么样的倍数关系？(指名发言)

用沙子和圆柱体、圆锥体做实验。怎样做这个实验由小组同学自己商量，但最后要向同学们汇报，你们组做实验的圆柱体和圆锥体在体积大小上有什么样的倍数关系。

（4）学生分组做实验。

A. 谁来汇报一下，你们组是怎样做实验的？

b.你们做实验的圆柱体和圆锥体在体积大小上发现有什么倍数关系？

(学生发言：圆柱体的体积是圆锥体体积的3倍)

同学们得出这个结论非常重要，其他组也是这样的吗？

我们学过用字母表示数，谁来把这个公式整理一下？(指名发言)

（5）学生操作：出示另外一组大小不同的圆柱体和圆锥体进行体积大小的比较，通过比较你发现什么？

学生回答后，教师整理归纳：不是任何一个圆锥体的体积都是任何一个圆柱体体积的 1/3。

(老师拿起一个小圆锥、一个大圆柱)如果老师把这个大圆锥体里装满了沙子，往这个小圆柱体里倒，倒三次能倒满吗？(不能)

为什么你们做实验的圆锥体里装满了沙子往圆柱体里倒，倒三次能倒满呢？(因为是等底等高的圆柱体和圆锥体。)

总结圆锥体积的计算方法：V=sh

5、思考：要求圆锥的体积，必须知道哪两个条件？

6、回归课前问题：你能算出这个圆锥形冰淇淋的体积吗？在练习本上试一试吧。

利用投影仪展示学生的计算过程：

设计意图：圆锥体积公式的推导，我大胆放手，让学生自主探索，经历“再创造”的过程。学生在教师的引导下，通过观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，积极主动地发现了等底等高的圆柱与圆锥体积间的关系，进而推导出圆锥体积的计算公式。特别是数学交流要体现充分，有学生与教师之间的交流、学生与学生之间的交流以及小组或大组的多向交流，这种交流是立体、交叉型的，它能催化学生的意义建构。在有的小组实验失败后，引导学生在反思中不断进行自我调控，在调控中增强了体验的力度，有效培养了学生的元认知能力。

三巩固新知：

自主练习第7题、第8题。

练习时，重点引导学生说说求圆锥体积需要知道的什么条件，刚开始学习，有的同学好忘乘

答案：7题  

（1）3.14×（4÷2）²×6×﹦25.12（立方分米）

（2）3.14×2²×4.5× ﹦18.84（立方分米）

     8题

            （1）5.6×3× ﹦5.6（立方分米）

            （2）3.14×6²×20× ﹦753.6（立方厘米）

            （3）3.14×（8÷2）²×6× ﹦100.48（立方米）

设计意图：通过有层次、有顺序、有梯度的循序渐进的练习，给学生提供自主探索的机会。通过这样的练习活动，逐步培养学生的创新意识，形成初步的探索和解决问题的能力。

 （四）达标反馈

1、填空

（1）圆锥的体积=（      ），用字母表示是（       ）。

（2）圆柱的体积等于和它（      ）的圆锥体积的3倍。

（3）一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆柱的体积是3立方分米，圆锥的体积是（    ）立方分米。

（4）一个圆锥的底面积是12平方厘米，高是6厘米，体积是（     ）立方厘米。

（5）把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是9.42立方厘米，该圆柱的体积是（    ）立方厘米。

2、判断：

（1）圆柱体的体积一定比圆锥体的体积大。  （    ）

（2）圆锥的体积等于的圆柱体的。    （    ）

（3）正方体、长方体、圆锥体的体积都等于底面积×高。  （    ）

（4）如果一个圆锥的高与一个圆柱的高相等，圆锥的底面积是圆柱底面积的三倍，则圆锥的体积与圆柱的体积相等。    （    ）

（5）把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是圆柱体积的。 （    ）

3、一个圆锥形小麦堆，底面面积是18平方米，高5米，如果每立方米小麦重730千克，这堆小麦重多少千克？

答案1、（1）底面积×高×      v =sh

      （2）等底等高

      （3）1

      （4）24

      （5）28.36

     2、  （1）×  （2）×  （3）×   （4）√   （5）√

     3、18×5××730﹦21900（千克）

设计意图：当堂检验学习的效果。为第二节练习教学确定练习重点。

（五）课堂小结

谈话：通过本节课的学习，你有哪些收获？

设计意图：学生自主回顾、梳理所学新知，进一步提高了学生的思维能力。

（六）布置作业

圆锥的体积

1、求下列各圆锥的体积：

（1）底面面积是7.8平方米，高是1.8米；

（2）底面半径是4厘米，高是21厘米；

（3）底面直径是6分米，高是6分米；

2、解决问题。

（2）有一块正方体的木材，它的棱长是9分米，把这块木料加工成一个最大的圆锥体，被削去的体积是多少？ 

答案：1题（1）7.8×1.8× ﹦4.68（立方米）

         （2）3.14×4²×21× ﹦351.68（立方厘米）

         （3）3.14×（6÷2）²×6× ﹦56.52（立方分米）

3题（1）3.14×1.5²²×1.2× ×1.4﹦3.9564≈4.0（吨）

    （2）9×9²×9－3.14×（9÷2）²×9× ﹦538.245（立方分米）

板书设计

圆锥的体积

圆柱的体积=底面积 × 高

在等底等高的条件下：圆锥的体积是圆柱体积的

                            圆柱的体积是圆锥体积的3倍。

圆锥的体积= ×底面积 × 高

v =sh

        教学资料包

教学精彩片段

……

师：关于圆锥，你还想知道什么？

学生1：我想知道圆锥的侧面积怎么计算？

教师追问：你认为应该怎么计算呢？

学生1：应该用扇形的面积加上底面圆的面积。

教师肯定，同时说明：由于我们还没有学习扇形的面积计算方法，所以在小学我们不学习圆锥的侧面积计算。

学生2：我想知道怎样计算圆锥的体积？教师追问：那你认为圆锥的体积应该怎样计算呢？大家想一想。（大约1分钟）

学生3：我认为可以借助水的浮力来计算圆锥的体积。

教师再问：你能具体地说一说吗？

学生3：把一个圆锥放入一个盛有水的圆柱体容器里，记住此时水的高度，再把圆锥体取出，再记下此时的水的高度，用这两个高度的差去乘圆柱体的底面积就得到了圆锥的体积。（全体学生为他鼓掌）

教师请一个学生上台将这个学生的想法进行完整演示。

之后教师再问：根据这个方法，如果要求老师手中钥匙的体积，能不能借用这个方法？

学生齐答：能；

如果要求一块不规则石头的体积又能不能用这样的方法？

学生齐答：能。

教师再引导：那就是说这个方法是万能的？

学生齐答：是。

老师接着举例：那如果这个圆锥体很大很大，比如是圆锥型的欧式建筑物，我们还能用借助水的浮力来计算他的体积的方法吗？

学生：一片沉默之后说不能。

教师：那怎么办？

学生4：老师，这就要求我们必须去寻找一个公式来计算圆锥的体积。

教师：怎么找？

学生：只有做实验来找。

教师：用什么来做实验呢？

圆锥可能与我们已经知道怎样求它的体积的什么物体有关系呢？

学生5：可能与圆柱体有关？

教师：是吗？与怎样的圆柱体有关呢？只有试一试才能知道。

〔设计意图：让学生在已有知识的基础上去思考问题，然后把他们引到一个矛盾的境地，即：置疑！当学生发现运用已有的知识已经不能解决新的问题的时候，学生的好奇心、求知欲就会被唤醒，为学习新知做好知识与心理的准备。〕

（二）在情境中自主思考、合作交流、共同探究。

1、教师肯定学生的猜想：用实验来寻找圆锥的体积计算方法。

教师：既然有人认为圆锥的体积可能与圆柱有关，那么，我们就借助圆柱来探究圆锥的体积计算方法，看看行不行？请各小组长领取器材，纪律监督员、实验记录员各付其责准备实验。

2、明确实验要求：

（1）怎样计算圆锥的体积呢?你能想到哪些方法？

（2）两个圆柱和圆锥的体积之间存在着怎样的关系？请你们选择准备的圆柱、圆锥、水或沙以小组合作进行实验，探究它们之间的这种关系。

（3）说说你们是怎样实验的？通过实验发现了什么？

（4）你能用一个公式来表示它们体积间的关系吗？

3、小组实验。

4、各小组按照实验要求进行汇报。

第一组：一名学生负责演示，另一名学生负责讲解，配合很默契。

生甲：我们小组选择的是底面积和高都相等的圆柱体和圆锥体。

生乙：拿出圆柱和圆锥，进行比试，证明底面积和高都相等。

生甲：我们把沙子装满圆锥体。

生乙：动手往圆锥体里装沙子。

生甲：然后把沙子倒进和它等底等高的圆柱体里。

生乙：倒沙子。

生甲：然后我们发现，一个圆锥体的沙子刚好是这个圆柱体的三分之一。

生乙：比画出圆柱体上的三分之一。教师追问：你们怎么知道那里刚好是三分之一？

生甲：我们用直尺量过，刚好是三分之一。

经过实验，我们得出这样的结论：圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的三分之一。

全体学生鼓掌。

教师：听清楚了吗？他们小组用圆锥体装沙子，装了几次？选择的器材是怎样的关系？还有和他们不一样的实验方法的吗？

第二小组组长举手：有，我们小组的和他们不一样。

教师：请你们上台演示、讲解。

生甲：我们小组有一个圆柱，两个圆锥，该选用哪一个圆锥体来做实验呢？经过比较，我们发现有其中一个圆锥与圆柱不等底等高，找不到相等的关系，所以我们没有选用它来做实验；另一个圆锥则与圆柱等底等高，所以我们选择了等底等高的圆柱与圆锥来做实验。我们先往圆锥里装满沙子，再倒进圆柱体里，倒了三次，才把圆柱体装满。

生乙：同步演示。

生甲：所以我们得出这样的结论：圆柱的体积刚好是和它等底等高的圆锥体积的三倍。

生甲：我们把刚才的实验完成后，为了验证不等底等高的圆柱体与圆锥体之间找不到关系的想法，我们用同样的方法去做实验，真的找不到什么关系。

全体学生为他们鼓掌。

教师：其他小组还有不同的方法吗？

学生：没有了。

5、整理实验成果，实现教学目标。

教师：通过刚才两个小组的实验演示与讲解，大家有没有发现他们的实验有什么相同与不同之处？

学生6：我发现他们选择器材的理由是一样的，都是选择了等底等高的圆柱体与圆锥体。但是他们实验的方法不一样。第一小组只装一次就得出了结论，而第二小组装了三次才得出结论。

教师：是的！你听得很认真，看得很仔细。实验的前提条件是：等底等高的圆柱体与圆锥体（相机板书：等底等高，圆柱的体积=圆锥体积的3倍；圆锥体积=圆柱体积的）。

教师：谁还记得圆柱体的体积计算公式呢？请说出来。

学生7：V=sh教师：请自己根据圆柱体的体积公式和刚才探究出来的圆柱体与圆锥体之间的关系整理出圆锥体的体积计算公式。学生整理。教师：谁上台展示自己的整理？

学生8：上台板书。圆锥的体积=圆柱的体积×因为：圆柱体的体积是V=sh，所以：圆锥体的体积是V=sh

教师：从公式中可以知道，要求圆锥体的体积必须知道哪些条件？

学生9：s和h

教师：如果已知的不是s，而是d或者r，该怎么办呢？

学生10：先利用圆的面积公式求出s，再运用圆锥体的体积计算公式求出它的体积。

教师根据学生的叙述适时板书。

〔设计意图：开放实验教学，打破以往教师说，学生做的教学模式，让学生自主选择实验器材，在小组的合作交流中探究新知。同时，教师充分发挥引导作用，鼓励学生大胆上台演示、讲解，训练了学生的操作能力、语言表达能力和合作探究能力。再采用追问的方式，引导学生将所学的知识融会贯通，构建新的知识体系，扫除学习障碍，为提高学生的学习效率打下的基础。〕

6、利用课件完整演示，为优生夯实基础，为后进学生进行二次学习创造条件。

教师肯定学生的探究成绩，针对用沙子做实验带来的一些不科学、不规范引起的误差进行点评、指正。之后请学生再次通过课件演示很好地、扎实地了解实验的方法。

……

教学资源

把一个圆锥形物体沿着高切开，得到的两个物体的表面积之和比原来圆锥的表面积增加了60平方厘米，原来圆锥的高是15厘米，原来圆锥的体积是多少立方厘米？

直径：60÷2÷÷15=4厘米，×3.14×（4÷2）²×15=62.8立方厘米

资料链接

圆锥破碎机

金属切屑粉碎机是针对于金属团屑进行粉碎处理的破碎设备，能应对所有切屑的高速、集中型粉碎机 使切屑形状均一化，提高脱油、储存能力 超长废料通常难以进行处置、搬运、自动处理，利用切屑粉碎机进行粉碎，是实现减小体积不可缺的条件。旋转式粉碎机利用高速旋转的特种钢锤头，将特种钢、铝、铜、树脂等多种材料的切屑进行压、砸，可强制排出螺栓等异物。 通过压、砸处理，易于进行切屑脱油，可实现压缩成形、料仓内储存等操作。

1 可自由改变压，砸碎尺寸

2 锤头采用耐磨损性特种钢

3 齿形格栅可强制排出混入废料，切屑中的异物

切屑粉碎机特点：

•特种钢、普通钢、铝、铜等各种废料及铝罐、塑料均可破碎为小片

•破碎的尺寸可自由调整

•使用高速旋转式破碎机，可处理大量废料，高强度工作时破碎能力稳定。

•采用组合式结构，易于进行维护检修及消耗部件的更换

•采用特种钢锤头，耐磨损性强

•完全密封机构，废料，切屑不会飞出，确保安全性混入切屑中的异物（螺栓、螺母、边角料等）会依靠离心力从异物排出口排出

•使用平衡设计，减小噪音与振动可能