江西省上高二中2021届高三上学期第五次月考试题 数学（文） (含答案)
展开2021届高三年级第五次月考数学（文科）试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1. 已知集合，，则A∩B中元素的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则( )
A． B． C． D．
3. 设，则“”是“”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4. 等差数列的公差不为零，其前项和为，若，则的值为( )
A. 15 B. 20 C. 25 D. 40
5. 已知点在直线上，则的最小值为( )
A． B． C． D．
6. 已知函数，设，，，则的大小关系为( )
A． B． C． D．
7. 设，满足，则的最小值是( )
A． B． C． D．
8. 已知，则的值为( )
A. B． C． D．
9. 秦九韶，字道古，汉族，鲁郡（今河南范县）人，南宋著名数学家，精研星象、音律、算术、诗词、弓、剑、营造之学。1208年出生于普州安岳（今四川安岳），咸淳四年（1268）二月，在梅州辞世。 与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。他在著作《数书九章》中创用了“三斜求积术”，即是已知三角形的三条边长，求三角形面积的方法.其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即为，若满足，，
且a<b<c，则用“三斜求积”公式求得的面积为( )
A． B． C． D．
10.已知是定义在R上的奇函数，且当
时，则( )
A. 1 B.2 C.3 D.4
11．在中，点为边上一点，，且，，，，则 ( )
A． B． C． D．
12. 已知函数，函数的图象过定点，对于任意，有，则实数的范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．函数 的值域为 ．
14. 设向量满足，则的最小值为 ．
15. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，A＝，若有最大值，则实数的取值范围是__________．
16. 已知函数，有下列结论：
① 的图像关于点中心对称
② 的图像关于直线对称
③ 的最大值为
④ 既是奇函数，又是周期函数
其中正确的是________
三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）
已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式与对称中心；
（2）在中，角的对边分别是，
若，，当取得最大值时，
求的面积．
18. (本小题满分12分)
某保险公司给年龄在20-70岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从名参保人员中随机抽取名作为样本进行分析，按年龄段、、、、分成了五组，其频率分布直方图如右图所示，参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示.
年龄（单位：岁） | [20,30) | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70] |
保费（单位：元） | 30 | 60 | 90 | 120 | 150 |
（1）求频率分布直方图中实数的值，并求出该样本
年龄的中位数；
（2）现分别在年龄段、、、、中各选出人共人进行回访. 若从这人中随机选出人，求这人所交保费之和大于元的概率.
19．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且点均在函数的图象上．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，是数列的前项和.
求满足的最大正整数的值.
20. (本小题满分12分)
如图，在直三棱柱中，点，分别为和的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，，求点到平面
的距离.
21. （本小题满分12分）
已知函数.
（1）若函数在处取得极值，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，，证明：函数有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分.
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（本小题满分10分）
在极坐标系中，直线：，圆：。以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.
（1）求直线的直角坐标方程和圆的参数方程；
（2）已知点在圆上，点到直线和轴的距离分别为，，求的最大值.
选修4-5：不等式选讲
23．（本小题满分10分）
已知函数
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的最小值为，且，求
的最小值。
2021届高三年级第五次月考数学（文科）试卷答案
1—12：CABBC CBDBC DA
13. 14. 1 15. 16. ①②④
17. 17.解:（1）由图象知道振幅，周期，所以....1分
将代入解析式得，所以，因为，所以，所以 ........................3分
又由
得对称中心为
综上，解析式为，对称中心.........6分
（2）由得：，
所以2，
因为，所以，所以，，......9分
，，，所以，
所以．所以，此时，又
所以是等边三角形，故..........12分
18．解:
（1），解得：. ………3分
设该样本年龄的中位数为，前两个矩形的面积之和为，前三个矩形的面积之和为，所以
，解得； ………6分
（2）设回访的这人分别记为、、、、，从人中任选人的基本事件有：、、、、、、、、、，共种.
事件“两人保费之和大于元”包含的基本事件有：、、、，共种.
两人保费之和大于元的概率为. ………12分
19.解:（1）点（）均在函数的图象上，
，即..............................1分
当时，.........3分
当时，，满足上式.....................4分
数列的通项公式是...........................5分
（2）由（1）得：， .......................6分
∴ ...........7分
. .........................................8分
..........................10分
令 ，解得： ........................11分
故满足条件的最大正整数的值为.........................12分
20.（1）证明：取的中点，连结，(如图)
∵， ∴，………2分
由棱柱的性质知：，
又 ∴， ………3分
∴四边形为平行四边形，所以 ………4分
∵平面，平面
∴平面 ………6分
（2）设点到平面的距离为
∵是的中点，且，
∴ ………7分
由平面及直棱柱的性质知，到平面的距离为 ∴ ………8分
由直棱柱的性质知：，
又，且∴平面
又平面故 ………9分
∴ ………10分
∵ ………11分
∴ ………12分
21.（1）求导： ................1分
由已知有，即，所以（经验证成立）......2分
切点为
故切线方程为：...................................3分
（2）的定义域为且
若，则当时，..............................5分
故在上单调递增，
若，则当；当
故在上单调递增，在上单调递减...........7分
（3）
求导：，因为在上递增，在递减，
所以在上递增，
又....8分
故存在唯一使得，所以在上递减，在上递增
又，所以在内存在唯一根 ...................10分
由得，又
故是在上的唯一零点.
综上，函数有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数................12分
22. 【解析】：（1）由：得，；
因为，代入有直线的直角坐标方程为：，即为
由圆：得，，因为， ，，所以圆直角坐标方程为：
由得，圆的参数方程为（为参数） .............5分
（2）设点坐标为
则
又
那么
当时，取得最大值 ...................................10分
23. 【解析】：（1）当时，，又，
则有或或 ............................2分
解得或或。即或。
所以不等式的解集为或 ....................5分
（2）因为在处取得最小值
所以，则
由柯西不等式
所以，当且仅当，即，时，等号成立。
故的最小值为 ..............................10分
（2）另解：
当且仅当时，等号成立。
故的最小值为 ..............................10分
