江西省上高二中2021届高三上学期第五次月考试题 数学（理） (含答案)
展开2021届高三年级第五次月考数学试卷（理科）
一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设复数z满足（为虚数单位），则z的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．已知：不等式的解集为，：，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在中，角的对边分别为，且，，，则满足此条件的三角形个数是( )
A． B． C． D．无数个
5．设等差数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．设，，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．在直角梯形中，,,,，
是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数的图象如右图所示，则此函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．将函数图象上所有点的横坐标变为
原来的（纵坐标不变），得函数的图象，
若＝1，＝0. 且函数在上具有单调性，
则的值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
11．已知表示实数m，n中的较小数，若函数，当时，有，则的值为（ ）
A．6 B．9 C．8 D．16
12．设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知实数满足约束条件，则的最小值为_______
14．______.
15．已知，，如果与的夹角是钝角，则的取值范围是________
16．在中，角的对边分别为，，，若有最大值，则实数的取值范围是__________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（12分）已知数列是公差的等差数列，其前n项和为，满足，且，，恰为等比数列的前三项；（1）求数列，的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求证：．
18．（12分）设函数；
（1）求函数在上的单调递增区间；
（2）设锐角的内角所对的边分别为，且，求的取值范围.
19．（12分）如图，三棱柱中，，，
平面平面，与相交于点；
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值.
20．某市高考模拟考试数学试卷解答题的网上评卷采用“双评仲裁”的方式：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和一、二评中较高的分数的平均分为该题得分．有的学生考试中会做的题目答完后却得不了满分，原因多为答题不规范，比如：语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等等，把这样的解答称为“缺憾解答”．该市教育研训部门通过大数据统计发现，满分为12分的题目，这样的“缺憾解答”，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如表：
教师评分 | 11 | 10 | 9 |
分数所占比例 |
将这个表中的分数所占比例视为老师对满分为12分题目的“缺憾解答”所评分数的概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响．
已知一个同学的某道满分为12分题目的解答属于“缺憾解答”．
（1）求该同学这个题目需要仲裁的概率；
（2）求该同学这个题目得分的分布列及数学期望（精确到整数）．
21．（12分）设函数；
（1）若，，求实数的取值范围；
（2）已知函数存在两个不同零点，，求满足条件的最小正整数的值．
选考部分
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．设函数，；
（1）当时，解不等式；
（2）若对任意时，直线恒在曲线的上方，求的取值范围．
23．在平面直角坐标系中，直线，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若与相交于，两点，且，求．
2021届高三年级第五次月考数学试卷（理科）答案
1-12 BDAAC ADBCB CB
13． 14． 15． 16．
17．解：（1）由题意，，得，
由，得，，所以．
由，，得公比，所以．
（2）因为，所以 ①
得 ②
①-②得．
所以，从而．
18．解：（1）
由，解得
又∵，∴或
∴在上的单调递增区间为，.
（2）由及余弦定理可得：，
整理得：
由正弦定理得：
又∵，∴，∴
∵是锐角三角形，∴，
∴的取值范围是.
19．解：（1）已知侧面是菱形，是的中点，
因为平面平面，且平面，
平面平面，所以平面，………………… (2分)
所以又因为侧面是菱形，所以所以
…………………………………………………(4分)
（2）如图，以为原点，以，，所在直线
分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，……… (5分)
由已知可得，，，，
∴，，，，，…… (7分)
设平面的一个法向量是，，
由，,得，可得 ……… (9分)
∵平面平面，，∴平面，
∴平面的一个法向量是, ………… (10分)
∴，……………(11分)
故二面角的正弦值是…………(12分)
20．解：（1）记表示事件：“该同学这个解答题需要仲裁”，
设一评、二评所打分数分别为，，
由题设知事件的所有可能情况有：，或，
（A）．
（2）随机事件的可能取值为9，9.5，10，10.5，11，设仲裁所打分数为，
则，
，
，
，
，
的分布列为：
9 | 9.5 | 10 | 10.5 | 11 | |
．
21．解：（1）由得，
又，所以，所以
令，所以，
所以函数在上单调递增，所以
所以，即实数的取值范围为
（2）因为
所以
若，则，函数在上单调递增，函数之多一个零点
所以若函数有两个两点，则
当时，函数在单调递减，在单调递增
得的最小值，因此函数有两个零点，则，
又，所以
令，显然在上为增函数
且，，所以存在，
当时，，当时，，所以满足条件的最小正整数
又当时，，，所以时，有两个零点
综上所述，满足条件的最小正整数的值为．
22．（1）当时，不等式，即，
所以或，即得或，
解得或，所以原不等式的解集是；
（2）因为对任意时，不等式恒成立，
即当时恒成立，
即，即，
故只要且在恒成立即可，
即当时，只要大于的最大值且小于的最小值，
因为当时，
，为减函数，，
，为减函数，，
故所求的取值范围是．
解：（1）由，得:.
又，，的直角坐标方程为；
（2）直线的参数方程为（其中为参数，），
将它代入，得：，
设，对应的参数分别为，，则，，
，
又，，，即.
