二次函数18精讲 专题07 二次函数中的等腰三角形分类讨论

专题07 二次函数中的等腰三角形分类讨论
1、如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（2，0），它的对称轴是直线x＝﹣1．
（1）直接写出点B，点C的坐标.
（2）求这个二次函数的解析式．
（3）若点P在x轴上，且△PBC为等腰三角形，请求出线段BC的长并直接写出符合条件的所有点P坐标．

【解析】(1)对称轴x=-1,点A坐标为(2,0)，以及二次函数y=ax2+bx+4，易得B（-4,0）C（0,4）
(2)根据题意得，4a+2b+4=0-b2a=-1，解得，a=-12b=-1，∴二次函数的解析式y＝﹣12x2﹣x+4；
（2）由（1）得B（﹣4，0），C（0，4），∴BC＝（-4）2+42＝42；
设P（m，0），
∵B（﹣4，0），C（0，4），∴BP2＝（m+4）2，CP2＝m2+16，
∵△PBC是等腰三角形，
∴①当BP＝CP时，∴（m+4）2＝m2+16，∴m＝0，∴P（0，0）

②当BP＝BC时，∴（m+4）2＝32，∴m＝﹣4±42，∴P（﹣4+42，0）或（﹣4﹣42，0）
③当CP＝BC时，m2+16＝32，∴m＝4或m＝﹣4（舍去），∴P（4，0），
即：符合条件的所有点P的坐标为P（0，0）或（﹣4+42，0）或（﹣4﹣42，0）或（4，0）
2、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（－2，0），（6，－8）．

（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
（2）试探究抛物线上是否存在点F，使≌，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q．试探究：当m为何值时，是等腰三角形．
【解析】（1）抛物线经过点A（－2，0），D（6，－8），
解得，
抛物线的函数表达式为
，抛物线的对称轴为直线．
又抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（－2，0）．点B的坐标为（8，0）
设直线l的函数表达式为．
点D（6，－8）在直线l上，6k=－8，解得．直线l的函数表达式为
点E为直线l和抛物线对称轴的交点．点E的横坐标为3，纵坐标为，
即点E的坐标为（3，－4）
（2）抛物线上存在点F，使≌．点F的坐标为（）或（）
（3）分两种情况：
①当时，是等腰三角形．点E的坐标为（3，－4），，
过点E作直线ME//PB，交y轴于点M，交x轴于点H，则，
，点M的坐标为（0，－5）．
设直线ME的表达式为，
，解得，
ME的函数表达式为，
令y=0，得，解得x=15，
点H的坐标为（15，0）
又MH//PB，，即，
②当时，是等腰三角形．
当x=0时，，点C的坐标为（0，－8），
，
OE=CE，，又因为，，，CE//PB
设直线CE交x轴于点N，其函数表达式为，，解得，
CE的函数表达式为，令y=0，得，
，点N的坐标为（6，0）
CN//PB，，，解得
综上所述，当m的值为或时，是等腰三角形．

3、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（-2，0），（6，-8）．
（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
（2）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．

【解析】（1）∵抛物线y＝ax2＋bx－8经过点A(－2，0)，D(6，－8)，
∴将A、D两点的坐标代入得4a-2b-8=036a+6b-8=-8，解得a=12b=-3，∴抛物线的表达式为y＝12x2－3x－8；
（2）需分两种情况进行讨论：
①当OP＝OQ时，△OPQ是等腰三角形，如解图①，

图1
∵点E的坐标为(3，－4)，∴OE＝32+42＝5，
过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H，则OMOP＝OEOQ，
∴OM＝OE＝5，∴点M的坐标为(0，－5)，
设直线ME的函数表达式为y＝k1x－5，E（3，-4）在直线ME上，
∴3k1－5＝－4，解得k1＝13，
∴直线ME的函数表达式为y＝13x－5，
令y＝0，解得x＝15，
∴点H的坐标为(15，0)．
又∵MH∥PB，
∴OPOM＝OBOH，即m5=815，∴m＝－83；
②当QO＝QP时，△OPQ是等腰三角形，如图，

∵当x＝0时，y＝12x2－3x－8＝－8，
∴点C的坐标为(0，－8)，
∴CE＝32+(8-4)2＝5，
∴OE＝CE，
∴∠1＝∠2，
又∵QO＝QP，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CE∥PB.
设直线CE交x轴于点N，其函数表达式为y＝k2x－8，
E（3，-4）在直线CE上，
∴3k2－8＝－4，解得k2＝43，
∴直线CE的函数表达式为y＝43x－8，
令y＝0，得43x－8＝0，
∴x＝6，
∴点N的坐标为(6，0)．
∵CN∥PB.
∴OPOC＝OBON，
∴m8＝86，解得m＝－323.
综上所述，当m的值为－83或－323时，△OPQ是等腰三角形．
4、如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，若已知点的坐标为．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段所在直线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）将点代入中，得：，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）当时，，
∴点C的坐标为(0，4) ，
当时，，
解得： ，
∴点B的坐标为(6，0) ，
设直线BC的解析式为，
将点B (6，0)，点C (0，4)代入，得：，∴，
∴直线BC的解析式为，
（3）抛物线的对称轴为，
假设存在点P，设，
则，
，
，
∵△ACP为等腰三角形，
①当时，，
解之得：，
∴点P的坐标为(2，2)或(2，-2)；
②当时，，
解之得：或(舍去)，
∴点P的坐标为(2，0)或(2，8)，
设直线AC的解析式为，
将点A(-2，0)、C (0，4)代入得，
解得：，
∴直线AC的解析式为，
当时，，
∴点(2，8)在直线AC上，
∴A、C、P在同一直线上，点(2，8)应舍去；
③当时，，
解之得：，
∴点P的坐标为(2，)；
综上，符合条件的点P存在，坐标为：(2，2)或(2，-2)或(2，0)或(2，)．

5、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可．
（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．
（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、②AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解
【解析】（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax2＋bx＋c，
∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）．
又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入得3＝a（0＋1）（0－3），即a=－1．
∴抛物线的解析式为y＝－（x＋1）（x－3），即y＝－x2＋2x＋3．
（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P． 则此时的点P，使△PAC的周长最小．

设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
将B(3，0)，C(0，3)代入，得：，解得：．
∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3．当x－1时，y＝2，即P的坐标(1，2)．
（3）存在．点M的坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)．
∵抛物线的对称轴为： x=1，∴设M(1，m)．
∵A(－1，0)、C(0，3)，∴MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10．
①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：m2＋4＝m2－6m＋10，得：m＝1．
②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：m2＋4＝10，得：m＝±．
③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：m2－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6，
当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．
综上可知，符合条件的M点，且坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)．
【小结】该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解

6、如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.

（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；
（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，

由对称性得：D（3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），
把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；
（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），

∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠AOE=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE=OA=3，
∴E（3，3），
易得OE的解析式为：y=x，
过P作PG∥y轴，交OE于点G，
∴G（m，m），
∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3
∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE=×3×3+PG•AE=+×3×（-m2+5m-3）=-m2+m=（m-）2+
∵-＜0，
∴当m=时，S有最大值是；
（3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，

∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，易得△OMP≌△PNF，∴OM=PN，
∵P（m，m2-4m+3），则-m2+4m-3=2-m，解得：m=或，
∴P的坐标为（，）或（，）；
如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，

同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，则-m2+4m-3=m-2，解得：x=或；
P的坐标为（，）或（，）；
综上，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．

7、如图，已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；
（3）若抛物线上有一动点M，使△ABM的面积等于△ABC的面积，求M点坐标．
（4）抛物线的对称轴上是否存在动点Q，使得△BCQ为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【解析】（1）将A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得：9-3b+c＝04-2b+c＝-3，解得：b=2c=-3，
∴抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3．
（2）当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴点B的坐标为（1，0）．
连接BD，交抛物线的对称轴于点P，如图1所示．

∵PA＝PB，
∴此时PA+PD取最小值，最小值为线段BD的长度．
∵点B的坐标为（1，0），点D的坐标为（﹣2，﹣3），
∴BD＝(-2-1)2+(-3-0)2＝32，
∴PA+PD的最小值为32．
（3）当x＝0时，y＝x2+2x﹣3＝﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
设点M的坐标为（x，x2+2x﹣3）．
∵S△ABM＝S△ABC，∴|x2+2x﹣3|＝3，即x2+2x﹣6＝0或x2+2x＝0，
解得：x1＝﹣1﹣7，x2＝﹣1+7，x3＝﹣2，x4＝0（舍去），
∴点M的坐标为（﹣1﹣7，3），（﹣1+7，3），（﹣2，﹣3）．
（4）设点Q的坐标为（﹣1，m）．
∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），
∴CQ2＝（﹣1﹣0）2+[m﹣（﹣3）]2＝m2+6m+10，BQ2＝（﹣1﹣1）2+（m﹣0）2＝m2+4，BC2＝（0﹣1）2+（﹣3﹣0）2＝10．
分三种情况考虑（如图2所示）：

①当BQ＝BC时，m2+4＝10，
解得：m1＝6，m2＝﹣6，
∴点Q1的坐标为（﹣1，6），点Q2的坐标为（﹣1，﹣6）；
②当CQ＝CB时，m2+6m+10＝10，
解得：m3＝0，m4＝﹣6，
∴点Q3的坐标为（﹣1，0），点Q4的坐标为（﹣1，﹣6）；
③当QB＝QC时，m2+4＝m2+6m+10，
解得：m5＝﹣1，
∴点Q5的坐标为（﹣1，﹣1）．
综上所述：抛物线的对称轴上存在动点Q，使得△BCQ为等腰三角形，点Q的坐标为（﹣1，6），（﹣1，﹣6），（﹣1，0），（﹣1，﹣6），（﹣1，﹣1）．
8、如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接.

（1）求二次函数的表达式；
（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由.
【解析】（1）∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），
∴，解得：，所以二次函数的解析式为：y=；
（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=，
过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图，

设D（m，），则点F（m，），
∴DF=﹣（）=，
∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH
=×DF×AG+×DF×EH
=×4×DF
=2×（）
=，
∴当m=时，△ADE的面积取得最大值为．
（3）y=的对称轴为x=﹣1，
设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），
可求PA=，PE=，AE=，
分三种情况讨论：
当PA=PE时，=，
解得：n=1，此时P（﹣1，1）；
当PA=AE时，=，
解得：n=，此时点P坐标为（﹣1，）；
PE=AE时，=，
解得：n=﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）．
综上所述：P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．

9、如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y＝x2＋bx＋c经过矩形ABCO顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交E点，与抛物线y＝x2＋bx＋c交第四象限F点

（1）求该抛物线解析式与F点坐标；
（2）如图，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；
同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒个单位长度的速度向终点E运动．过
点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．
①问EP＋PH＋HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．
②若△PMH是等腰三角形，求出此时t的值．
【解析】（1）∵矩形ABCO，B点坐标为（4，3），∴C点坐标为（0，3）
∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B、C

∴∴∴y＝x2＋2x＋3
设直线AD的解析式为
∵A(4，0)、D(2，3) ∴∴，∴
∵F点在第四象限，∴F(6，-3)
（2）∵E(0，6) ∴CE=CO
连接CF交x轴于H′，过H′作x轴的垂线交BC于P′，当P
运动到P′，当H运动到H′时， EP+PH+HF的值最小.
设直线CF的解析式为
∵C(0，3)、F(6，-3) ∴∴∴
当y=0时，x=3，∴H′(3，0) ∴CP=3 ∴t=3
如图1，过M作MN⊥OA交OA于N
∵△AMN∽△AEO，∴，∴∴AN=t，MN=
I．如图1，当PM=HM时，M在PH的垂直平分线上，∴MN=PH ∴MN=∴t=1
II．如图2，当PH=HM时，MH=3，MN=，HN=OA-AN-OH=4-2t 在Rt△HMN中，
，，（舍去），
III．如图3．如图4，当PH=PM时，PM=3，MT=，PT=BC-CP-BT=在Rt△PMT中，，
，25t2-100t+64=0，，∴，，1，


10、如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）
（1）求这个二次函数的表达式并直接写出顶点坐标；
（2）若P是第一象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．设点P的横坐标为t
①求线段PM的最大值；
②S△PBM：S△MHB＝1：2时，求t值；
③当△PCM是等腰三角形时，直接写点P的坐标．

【解析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，得：a-b+c=09a+3b+c=0c=3，解得a=-1b=2c=3，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴二次函数图象的顶点坐标为（1，4）．
（2）①设直线BC的表达式为y＝mx+n（m≠0），
将B（3，0），C（0，3）代入y＝mx+n，得：3m+n=0n=3，解得：m=-1n=3，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3．
∵点P的横坐标为t（0＜t＜3），
∴点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点M的坐标为（t，﹣t+3），
∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣32）2+94，
∴线段PM的最大值为94．
②∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点M的坐标为（t，﹣t+3），
∴点H的坐标为（t，0），
∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，MH＝﹣t+3．
∵△PBM和△MHB等高，S△PBM：S△MHB＝1：2，
∴MH＝2PM，即﹣t+3＝﹣2t2+6t，
解得：t1＝12，t2＝3（不合题意，舍去），
∴当S△PBM：S△MHB＝1：2时，t的值为12．
③∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点M的坐标为（t，﹣t+3），点C的坐标为（0，3），
∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
CM＝(t-0)2+(-t+3-3)2=2t，
PC＝(t-0)2+(-t2+2t+3-3)2=tt2-4t+5．
当PM＝PC时，有﹣t2+3t＝tt2-4t+5，
∵0＜t＜3，
∴原方程可整理为：2t﹣4＝0，
解得：t＝2，
∴点P的坐标为（2，3）；
当PM＝CM时，有﹣t2+3t＝2t，
解得：t1＝0（舍去），t2＝3﹣2，
∴点P的坐标为（3﹣2，﹣2+42）；
当CM＝PC时，有2t＝tt2-4t+5，
∵0＜t＜3，
∴原方程可整理为：t2﹣4t+3＝0，
解得：t1＝1，t2＝3（舍去），
∴点P的坐标为（1，4）．
综上所述：当△PCM是等腰三角形时，点P的坐标为（2，3）或（3﹣2，﹣2+42）或（1，4）．


11、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数a≠0）与x轴，y轴分别交于A，B，C三点，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，3），动点E从抛物线的顶点点D出发沿线段DB向终点B运动．
（1）直接写出抛物线解析式和顶点D的坐标；
（2）过点E作EF⊥y轴于点F，交抛物线对称轴左侧的部分于点G，交直线BC于点H，过点H作HP⊥x轴于点P，连接PF，求当线段PF最短时G点的坐标；
（3）在点E运动的同时，另一个动点Q从点B出发沿直线x=3向上运动，点E的速度为每秒个单位长度，点Q速度均为每秒1个单位长度，当点E到达终点B时点Q也随之停止运动，设点E的运动时间为t秒，试问存在几个t值能使△BEQ为等腰三角形？并直接写出相应t值．

【解析】(1)由题意得，解得，∴抛物线y=−x2+2x+3，顶点D为(1,4)；
(2)如图，

连接OH，
∵EF⊥y轴，HP⊥x轴，x轴⊥y轴，
∴四边形HPOF是矩形，
∴PF=OH，
∴当OH最短时，PF最短，
∴OH⊥BC时，PF最短，
可得H的纵坐标为，
把y=代入y=−x2+2x+3中，
则=−x2+2x+3，
解得x1=,x2= (舍去)；
∴G点的坐标(，)
（3）如图，

DB=2，yBD=-2x+6，即
点E坐标为（，）,Q(3，t)
当BE=BQ时，2-t=t t=；
当BE=EQ时(2-t)2=(+(,
当BQ=EQ时 t2=(+( ,
所以存在3个t值：t=．，