二次函数18精讲 专题16 二次函数中的菱形问题

专题16 二次函数中的菱形问题
1、如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）根据图像，直接写出不等式x2＋bx＋c＞0的解集： ．
（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为： ．

【答案】（1）y＝x2－4x＋3；（2）x＜1或x＞3；（3）（2，－1）
【解析】（1）如图，∵AB＝2，对称轴为直线x＝2．
∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）．
把A、B两点的坐标代入得：1+b+c＝09+3b+c＝0，解得：b＝-4c＝3，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2－4x＋3；．
（2）由图象得：不等式x2＋bx＋c＞0，即y＞0时，x＜1或x＞3；
故答案为：x＜1或x＞3；
（3）（2，－1）．
y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴顶点坐标为（2，-1），
当E、D点在x轴的上方，即DE∥AB，AE=AB=BD=DE=2，此时不合题意，

如图，根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D是抛物线y=x2-4x+3的顶点坐标，即（2，-1），
故答案是：（2，-1）．
2、如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点.

（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点是直线下方的抛物线上一动点（不点，重合），过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为.
①用含的代数式表示线段的长；
②连接，，求的面积最大时点的坐标；
（3）设抛物线的对称轴与交于点，点是抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，是否存在这样的点和点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）①用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m；②△PBC的面积最大时点P的坐标为（，﹣）；（3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．点M的坐标为M1（2，3），M2（2，1﹣2），M3（2，1+2）．
【解析】
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）①设P（m，m2﹣4m+3），
将点B（3，0）、C（0，3）代入得直线BC解析式为yBC＝﹣x+3．
∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，
∴D（m，﹣m+3），
∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．
答：用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m．
②S△PBC＝S△CPD+S△BPD
＝OB•PD＝﹣m2+m
＝﹣（m﹣）2+．
∴当m＝时，S有最大值．
当m＝时，m2﹣4m+3＝﹣．
∴P（，﹣）．
答：△PBC的面积最大时点P的坐标为（，﹣）．
（3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．
根据题意，点E（2，1），
∴EF=CF=2，
∴EC=2，
根据菱形的四条边相等，
∴ME=EC=2，∴M（2，1-2）或（2，1+2）
当EM=EF=2时，M（2，3）
∴点M的坐标为M1（2，3），M2（2，1﹣2），M3（2，1+2）．
3、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点．
（1）求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式．
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形,求点P的坐标．
（3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P的坐标．

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3（2）（2）（2+102，-32）（3）P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，﹣4）
【解析】（1）将B、C点代入函数解析式，得：9+3b+c=0c=-3，解得：b=-2c=-3，这个二次函数y＝x2+bx+c的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵四边形POP′C为菱形，∴OC与PP′互相垂直平分，∴yP=-OC2=-32，即x2﹣2x﹣3=-32，解得：x1=2+102，x2=2-102（舍），P（2+102，-32）；
（3）∵∠PBC＜90°，∴分两种情况讨论：
①如图1，当∠PCB＝90°时，过P作PH⊥y轴于点H，BC的解析式为y＝x﹣3，CP的解析式为y＝﹣x﹣3，设点P的坐标为（m，﹣3﹣m），将点P代入代入y═x2﹣2x﹣3中，解得：m1＝0（舍），m2＝1，即P（1，﹣4）；
AO＝1，OC＝3，CB=32+32=32，CP=12+（-4+3）2=2，此时BCCP=COAO=3，△AOC∽△PCB；
②如图2，当∠BPC＝90°时，作PH⊥y轴于H，作BD⊥PH于D．
∵PC⊥PB，∴△PHC∽△BDP，∴PHHC=BDPD．设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则PH=m，HC=－（m2﹣2m﹣3）－（－3）=－m2+2m，BD=－（m2﹣2m﹣3），PD=3－m，∴m-m2+2m=-(m2-2m-3)3-m，∴1m-2=-(m+1)，解得：m=1+52或1-52（舍去）．当m=1+52时，m2﹣2m﹣3=-5+52．
∵△PHC∽△BDP，∴PCPB=HCPD=-m2+2m3-m=5-15-5=15=55≠COAO =3，以P、C、B为顶点的三角形与△AOC不相似．
综上所述：P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，﹣4）．

4、如图，在平面直角些标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣的图象经过点A（﹣1，0），C（2，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．

（1）求二次函数的表达式及其顶点的坐标；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB+PD的最小值；
（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一个动点，若平面内存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有　 　个．
【答案】（1），抛物线的顶点坐标为（）；（2）最小值为；（3）5个
【解析】
(1)∵二次函数的图象经过点A(﹣1，0)C(2，0)，
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式为，
∵y=，
∴抛物线的顶点坐标为()；
(2)如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．

理由：∵OA=1，OB=，
∴，
∵，
∴∠ABO=30°，
∴PH=PB，
∴PB+PD=PH+PD=DH，
∴此时PB+PD最短(垂线段最短);
∵抛物线的顶点坐标为()，
∴，
∵∠ABO=30°，
∴∠HAD=60°，
在Rt△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=，∠HAD=60°，
∴sin60°=，
∴DH=，
∴PB+PD的最小值为；
(3)①以A为圆心AB为半径画弧，因为AB＞AD，故此时圆弧与对称轴有两个交点，且AM=AB，即M点存在两个，所以满足条件的N点有两个；
②以B为圆心AB为半径画弧，因为，故此时圆弧与对称轴有两个交点，且BM=AB，即M点有两个，所以满足条件的N点有两个；
③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM=BM，因为M点有一个，所以满足条件的N点有一个；
则满足条件的N点共有5个，
故答案为：5．
5、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点的坐标为（﹣3，0），B点在原点的左侧，与y轴交于点C（0，3），点P是直线BC上方的抛物线上一动点
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C（如图1所示），那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请此时点P的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABCP的面积最大，并求出其最大值．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在．P点的坐标为（﹣，）；（3）P点的坐标为（﹣，），四边形ABPC的面积的最大值为．
【方法引导】
（1）利用待定系数法直接将B、C两点直接代入y＝x2+bx+c求解b，c的值即可得抛物线解析式；
（2）利用菱形对角线的性质及折叠的性质可以判断P点的纵坐标为﹣，令y＝﹣即可得x2﹣2x﹣3＝﹣，解该方程即可确定P点坐标；
（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABCP的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线AC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ABCP的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABCP的最大面积及对应的P点坐标．
【解析】
（1）∵C点坐标为（0，3），
∴y＝﹣x2+bx+3，
把A（﹣3，0）代入上式得，0＝9﹣3b+3，
解得，b＝﹣2，
∴该二次函数解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）存在．如图1，

设P点的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），PP′交CO于E，
当四边形POP'C为菱形时，则有PC＝PO，连接PP′，则PE⊥CO于E，
∴OE＝CE＝，
令﹣x2﹣2x+3＝，
解得，x1＝﹣，x2＝（不合题意，舍去）．
∴P点的坐标为（﹣，）．
（3）如图2，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OA交于点F，

设P（x，﹣x2﹣2x+3），设直线AC的解析式为：y＝kx+t，
则，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
则Q点的坐标为（x，x+3），
当0＝﹣x2﹣2x+3，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴AO＝3，OB＝1，则AB＝4，
S四边形ABCP＝S△ABC+S△APQ+S△CPQ
＝AB•OC+QP•OF+QP•AF
＝×4×3+[（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）]×3
＝﹣（x+）2+．
当x＝﹣时，四边形ABCP的面积最大，
此时P点的坐标为（﹣，），四边形ABPC的面积的最大值为．
【分析】
此题考查了二次函数综合题，需要掌握二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解．
6、如图，抛物线与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0).
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由

【答案】（1）；（2） （0≤t≤3）；（3）t=1或2时；四边形BCMN为平行四边形；t=1时，平行四边形BCMN是菱形，t=2时，平行四边形BCMN不是菱形，理由见解析.
【解析】
【解析】（1）x=0时，y=1，
∴点A的坐标为：（0，1），
∵BC⊥x轴，垂足为点C（3，0），
∴点B的横坐标为3，
当x=3时，y=，
∴点B的坐标为（3，），
设直线AB的函数关系式为y=kx+b， ，
解得，，
则直线AB的函数关系式
（2）当x=t时，y=t+1，
∴点M的坐标为（t，t+1），
当x=t时，
∴点N的坐标为
（0≤t≤3）；
（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，
∴，
解得t1=1，t2=2，
∴当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形，
①当t=1时，MP=，PC=2，
∴MC==MN，此时四边形BCMN为菱形，
②当t=2时，MP=2，PC=1，
∴MC=≠MN，此时四边形BCMN不是菱形．
7、已知，在平面直角坐标系内一直线l1:y=-x+3分别与x轴、y轴交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，y轴右侧部分抛物线上有一动点C，过点C作y轴的平行线交直线l1于点D.

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，C在第一象限，求以CD为直径的⊙E的最大面积，并判断此时⊙E与抛物线的对称轴是否相切？若不相切，求出使得⊙E与该抛物线对称轴相切时点C的横坐标；
（3）坐标平面内是否存在点M，使B、C、D、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标；不存在，请说明理由.
【答案】(1)y=-x2+2x+3；（2）不相切， C的横坐标分别为2和5-172；（3）M（0,1），（2,3）（0,1-32），（0,1+32）.
【解析】
【解析】（1）直线l1:y=-x+3分别与x轴、y轴交于A、B两点，可得A点（3，0），B点（0，3），将A、B两点坐标代入y=-x2+bx+c，可得
0=-9+3b+c3=c，可得b=2，c=3
∴抛物线的函数表达式y=-x2+2x+3；
（2）①可得抛物线对称轴为：x=-b2a=1，
∵ C在第一象限,以CD为直径的⊙E的最大面积，即CD最长时，圆的面积最大，
设直线CD的横坐标为t，0＜t＜3，
∴D点坐标（t，-t+3），C点坐标（t，-t2+2t+3），
∴ |CD|=-t2+2t+3-(-t+3)= -t2+3t（0＜t＜3），
∴当t=-b2a=32时，CD最长，此时CD最长为94，
此时圆E的半径为98，此时CD与对称轴的距离为32-1=12≠98，
故不相切.
②当CD在对称轴右边时，即1＜t＜3时
|CD|= -t2+3t（1＜t＜3）；圆E的半径为t-1，
可得|CD|=2r；-t2+3t=2（t-1），解得：t1=-1（舍去）；
t2=2；
当CD在对称轴左边时，即即0＜t＜1时，
有-t2+3t=2（1-t），解得：t1=5+172（舍去），
t2=5-172；
综上所述：t=2或t=5-172，⊙E与该抛物线对称轴相切.
(3)存在，由菱形性质可得M点坐标（0,1），（2,3）（0,1-32），（0,1+32）.
8、如图，二次函数y=-x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B(4,0)，另一个交点为A，且与y轴相交于C点
（1）求m的值及C点坐标；
（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由
（3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q，当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标(直接写出答案)；

【答案】(1)m=4, C(0,4)
(2) 存在, M(2,6)
(3)P点坐标为(1+5,1+5)或(1-5,1-5)
【解析】【解析】(1) 将点B(4,0)的坐标代入二次函数y=-x2+3x+m，即-42+3×4+m=0，解得m=4，故二次函数解析式为y=-x2+3x+4，令x=0，解得y=4，故C点坐标为(0,4);
(2)存在，
理由：∵B(4,0)，C(0,4)
∴直线BC的解析式为y=-x+4，
当直线BC向上平移b单位后和抛物线只有一个公共点时，△MBC面积最大，
∴y=-x+4+by=-x2+3x+4
整理得：x2-4x+b=0
∴∆=16-4b=0，
∴b=4
∴x=2y=6
∴M(2,6)
(3)

如图2、图3所示，连接PQ交BC于点G。
因为四边形PBQC是菱形，所以G为BC的中点，
因为点B、C的坐标分别为(4,0)、(0,4)，所以由中点坐标公式得G点坐标为(2,2)，
由(2)可知直线BC的解析式为y=-x+4，
由于PG⊥BC，所以设直线PG的解析式为y=x+b，
将G(2,2)代入，求得直线PG的解析式为y=x，
将直线PG的解析式与抛物线解析式联立得：
y=-x2+3x+4y=x，消去y得：x=-x2+3x+4，
解得：x=1±5，
将x=1+5代入直线PG的解析式得y=1+5，
将x=1-5代入直线PG的解析式得y=1-5，
故当四边形PBQC为菱形时，P点坐标为(1+5,1+5)或(1-5,1-5).
9、如图，抛物线y=12x2-x-4与坐标轴相交于A、B、C三点，P是线段AB上一动点（端点除外），过P作PD // AC，交BC于点D，连接CP．

(1)直接写出A、B、C的坐标；
(2)求抛物线y=12x2-x-4的对称轴和顶点坐标；
(3)求△PCD面积的最大值，并判断当△PCD的面积取最大值时，以PA、PD为邻边的平行四边形是否为菱形．
【答案】（1）A(4, 0)、B(-2, 0)、C(0, -4)．(2)对称轴是直线x=1，顶点坐标是(1, -92)．（3）以PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形．
【解析】（1）A（4，0）、B（﹣2，0）、C（0，﹣4）．
（2）抛物线：y=12x2-x-4=12（x-1）2-92，∴抛物线的对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，﹣92）．
（3）设P（x，0）（﹣2＜x＜4）．
∵PD∥AC，∴PDAC=BPAB，解得：PD=223（x+2）．
∵C到PD的距离（即P到AC的距离）：d=PA×sin450=22（4-x），∴△PCD的面积S=12×PD×d=13（x+2）（4-x）=-13x2+23x+83，∴S=-13（x-1）2+3，∴△PCD面积的最大值为3，当△PCD的面积取最大值时，x=1，PA=4﹣x=3，PD=223（x+2）=22，因为PA≠PD，所以以PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形．
10、定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2＝ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y＝x2﹣x+1是黄金抛物线
（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；
（2）将黄金抛物线y＝x2﹣x+1沿对称轴向下平移3个单位
①直接写出平移后的新抛物线的解析式；
②新抛物线如图所示，与x轴交于A、B（A在B的左侧），与y轴交于C，点P是直线BC下方的抛物线上一动点，连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
③当直线BC下方的抛物线上动点P运动到什么位置时，四边形 OBPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形OBPC的最大面积．

【答案】（1）y＝x2+x+1；（2）①：y＝x2﹣x﹣2；②存在P点的坐标为（，﹣1）；当x＝1时，最大值是3，P（1，﹣2）
【解析】
【解析】（1）不唯一，例如：y＝x2+x+1；
（2）①：y＝x2﹣x﹣2；
②存在点P，如图1，使四边形POP′C为菱形．

设P点坐标为（x，x2﹣x﹣2），PP′交CO于E
若四边形POP′C是菱形，则有PC＝PO．
连结PP′则PE⊥CO于E，
∴OE＝EC＝1，
∴y＝﹣1，
∴x2﹣x﹣2＝﹣1
解得x1＝，x2＝（不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（，﹣1）；
③过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，如图2

设P（x，x2﹣x﹣2），
易得，直线BC的解析式：y＝x﹣2
则Q点的坐标为（x，x﹣2）．
S四边形OBPC＝S△OBC+S△BPQ+S△CPQ
＝OB•OC+QP•OF+QP•FB＝
＝﹣（x﹣1）2+3，
当x＝1时，四边形OBPC的面积最大
此时P点的坐标为（1，﹣2），
四边形OBPC的面积最大值是3．
11、如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C(0,3)，与x轴分别交于点A，点B(3,0).点P是直线BC上方的抛物线上一动点.

（1）求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；
（2）连接PO，PC，并把ΔPOC沿y轴翻折，得到四边形POP'C.若四边形POP'C为菱形，请求出此时点P的坐标；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积.
【答案】(1）该二次函数的表达式为y=-x2+2x+3；（2）点P的坐标为（2+102，32）；（3）P点的坐标为(32，154)，四边形ABPC的面积的最大值为758．
【解析】（1）将点B和点C的坐标代入y=ax2+2x+c，
得 c=39a+6+c=0，解得a=-1，c=3，
∴ 该二次函数的表达式为y=-x2+2x+3；
（2）若四边形POP′C是菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上；
如图，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，
∵ C（0，3），　
∴ E（0，32），
∴ 点P的纵坐标等于32，
∴ -x2+2x+3=32，
解得x1=2+102，x2=2-102（不合题意，舍去），
∴ 点P的坐标为（2+102，32）；

（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，
设P（m，-m2+2m+3），设直线BC的表达式为y=kx+3，
则 3k+3=0, 解得 k=-1，
∴直线BC的表达式为 y=-x+3，
∴Q点的坐标为（m，-m+3），
∴QP=-m2+3m，
当-x2+2x+3=0，
解得x1=-1,x2=3，
∴ AO=1，AB=4，
∴ S四边形ABPC =S△ABC+S△CPQ+S△BPQ
=12AB⋅OC+12QP⋅OF+12QP⋅FB
=12×4×3+12(-m2+3m)×3
=-32(m-32)2+758，
当m=32时，四边形ABPC的面积最大，
此时P点的坐标为(32,154)，四边形ABPC的面积的最大值为758．
12、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
(1)求A，B两点的坐标及抛物线的对称轴；
(2)求直线l的函数解析式(其中k，b用含a的式子表示)；
(3)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
(4)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．

【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），x＝1；（2）y＝ax+a；（3）；（4）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，（1，﹣）或（1，﹣4）．
【分析】
（1）解方程即可得到结论；（2）根据直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0），得到直线l：y＝kx+k，解方程得到点D的横坐标为4，求得k＝a，得到直线l的函数表达式为y＝ax+a；（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），得到F（x，ax+a），求出EF＝ax2﹣3ax﹣4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（4）令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，得到D（4，5a），设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．
【解析】
（1）当y＝0时，ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
对称轴为直线x＝＝1；
（2）∵直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0），
∴0＝﹣k+b，
即k＝b，
∴直线l：y＝kx+k，
∵抛物线与直线l交于点A，D，
∴ax2﹣2ax﹣3a＝kx+k，
即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，
∵CD＝4AC，
∴点D的横坐标为4，
∴﹣3﹣＝﹣1×4，
∴k＝a，
∴直线l的函数表达式为y＝ax+a；
（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则F（x，ax+a），
∴EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，

∴S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF＝（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）x＝（ax2﹣3ax﹣4a）＝a（x﹣）2﹣a，
∴△ACE的面积的最大值＝﹣a，
∵△ACE的面积的最大值为，
∴﹣a＝，
解得；
（4）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，
令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴D（4，5a），
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
设P（1，m），
①若AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q（﹣4，21a），

∴m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ是矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴AD2+PD2＝AP2，
∴52+（5a）2+32+（26a﹣5a）2＝22+（26a）2，
即a2＝，
∵a＜0，
∴a＝﹣，
∴P（1，﹣）；
②若AD是矩形APDQ的对角线，则易得Q（2，﹣3a），

∴m＝5a﹣（﹣3a）＝8a，则P（1，8a），
∵四边形APDQ是矩形，
∴∠APD＝90°，
∴AP2+PD2＝AD2，
∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2，
即a2＝，
∵a＜0，
∴a＝﹣ ，
∴P（1，﹣4），
综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，﹣）或（1，﹣4）．
【小结】
本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
13、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

【答案】（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐标为（1，）或（1，－4）．
【解析】
【解析】（1）∵=，令y=0，得到，，
∴A（－1，0），B（3，0），
∵直线l经过点A，
∴，，
∴，
令，即，
∵CD＝4AC，
∴点D的横坐标为4，
∴，
∴，
∴直线l的函数表达式为；
（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），

EF＝=，
S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝
＝＝，
∴△ACE的面积的最大值为，
∵△ACE的面积的最大值为，
∴ ，解得；
（3）令，即，解得，，
∴D（4，5a），
∵，
∴抛物线的对称轴为，设P（1，m），
①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ为矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴，
∴，即 ，
∵，
∴，
∴P1（1，）；

②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（ ，），Q（2，），m＝，则P（1，8a），
∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°，
∴，
∴，即 ，
∵，∴，∴P2（1，－4）．
综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，－4）．

14、如图1，抛物线y=﹣33x2+233x+3与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点．经过点A的直线l与y轴交于点D（0，﹣3）．
（1）求A、B两点的坐标及直线l的表达式；
（2）如图2，直线l从图中的位置出发，以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向运动，运动中直线l与x轴交于点E，与y轴交于点F，点A 关于直线l的对称点为A′，连接FA′、BA′，设直线l的运动时间为t（t＞0）秒．探究下列问题：
①请直接写出A′的坐标（用含字母t的式子表示）；
②当点A′落在抛物线上时，求直线l的运动时间t的值，判断此时四边形A′BEF的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，探究：在直线l的运动过程中，坐标平面内是否存在点P，使得以P，A′，B，E为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点P的坐标； 若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=﹣3x﹣3；（2）见解析（3）存在
【解析】（1）当y=0时，﹣33x2+233x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），
设直线l的解析式为y=kx+b，
把A（﹣1，0），D（0，﹣3）代入得-k+b=0b=-3，解得k=-3b=-3，
∴直线l的解析式为y=﹣3x﹣3；
（2）①作A′H⊥x轴于H，如图，

∵OA=1，OD=3，
∴∠OAD=60°，
∵EF∥AD，
∴∠AEF=60°，
∵点A 关于直线l的对称点为A′，
∴EA=EA′=t，∠A′EF=∠AEF=60°，
在Rt△A′EH中，EH=12EA′=12t，A′H=3EH=32t，
∴OH=OE+EH=t﹣1+12t=32t﹣1，
∴A′（32t﹣1，32 t）；
②把A′（32t﹣1，32 t）代入y=﹣33x2+233x+3得﹣33（32t﹣1）2+233（32t﹣1）+3=32t，
解得t1=0（舍去），t2=2，
∴当点A′落在抛物线上时，直线l的运动时间t的值为2；
此时四边形A′BEF为菱形，理由如下：
当t=2时，A′点的坐标为（2，3），E（1，0），
∵∠OEF=60°
∴OF=3OE=3，EF=2OE=2，
∴F（0，3），
∴A′F∥x轴，
∵A′F=BE=2，A′F∥BE，
∴四边形A′BEF为平行四边形，
而EF=BE=2，
∴四边形A′BEF为菱形；
（3）存在，如图：

当A′B⊥BE时，四边形A′BEP为矩形，则32t﹣1=3，解得t=83，则A′（3，433），
∵OE=t﹣1=53，
∴此时P点坐标为（53，433）；
当A′B⊥EA′，如图，四边形A′BPE为矩形，作A′Q⊥x轴于Q，

∵∠AEA′=120°，
∴∠A′EB=60°，
∴∠EBA′=30°
∴BQ=3A′Q=3•32t=32t，
∴32t﹣1+32t=3，解得t=43，
此时A′（1，233），E（13，0），
点A′向左平移23个单位，向下平移233个单位得到点E，则点B（3，0）向左平移23个单位，向下平移233个单位得到点P，则P（73，﹣233），
综上所述，满足条件的P点坐标为（53，433）或（73，﹣233）．
15、如图，已知抛物线与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1．
（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．
（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．
②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

【答案】（1），B点坐标为（3，0）；（2）①；②．
【解析】
（1）∵抛物线对称轴是直线x=1，
∴﹣=1，解得b=2，
∵抛物线过A（0，3），
∴c=3，
∴抛物线解析式为，令y=0可得，解得x=﹣1或x=3，
∴B点坐标为（3，0）；
（2）①由题意可知ON=3t，OM=2t，
∵P在抛物线上，
∴P（2t，），
∵四边形OMPN为矩形，
∴ON=PM，
∴3t=，解得t=1或t=﹣（舍去），
∴当t的值为1时，四边形OMPN为矩形；
②∵A（0，3），B（3，0），
∴OA=OB=3，且可求得直线AB解析式为y=﹣x+3，
∴当t＞0时，OQ≠OB，
∴当△BOQ为等腰三角形时，有OB=QB或OQ=BQ两种情况，由题意可知OM=2t，
∴Q（2t，﹣2t+3），
∴OQ=，BQ=|2t﹣3|，又由题意可知0＜t＜1，当OB=QB时，则有|2t﹣3|=3，解得t=（舍去）或t=；
当OQ=BQ时，则有=|2t﹣3|，解得t=；
综上可知当t的值为或时，△BOQ为等腰三角形．