二次函数18精讲 专题05 二次函数的分类讨论问题

专题05 二次函数的分类讨论问题
1、已知抛物线y＝﹣16x2﹣23x+2与x轴交于点A，B两点，交y轴于C点，抛物线的对称轴与x轴交于H点，分别以OC、OA为边作矩形AECO．
（1）求直线AC的解析式；
（2）如图2，P为直线AC上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点M，当四边形AOCP面积最大时，求|PM﹣OM|的最大值．
（3）如图3，将△AOC沿直线AC翻折得△ACD，再将△ACD沿着直线AC平移得△A'C′D'．使得点A′、C'在直线AC上，是否存在这样的点D′，使得△A′ED′为直角三角形？若存在，请求出点D′的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2或﹣6，∴A（﹣6，0）、B（2，0）、C（0，2），函数对称轴为：x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，83），C点坐标为（0，2），则过点C的直线表达式为：y＝kx+2，将点A坐标代入上式，解得：k=13，则：直线AC的表达式为：y=13x+2；
（2）如图，过点P作x轴的垂线交AC于点H．

四边形AOCP面积＝△AOC的面积+△ACP的面积，四边形AOCP面积最大时，只需要△ACP的面积最大即可，设点P坐标为（m，-16m2-23m+2），则点G坐标为（m，13m+2），S△ACP=12PG•OA=12•（-16m2-23m+2-13m﹣2）•6=-12m2﹣3m，当m＝﹣3时，上式取得最大值，则点P坐标为（﹣3，52）．连接OP交对称轴于点M，此时，|PM﹣OM|有最大值，直线OP的表达式为：y=-56x，当x＝﹣2时，y=53，即：点M坐标为（﹣2，53），|PM﹣OM|的最大值为：(-3+2)2+(52-53)2-22+(53)2=616．
（3）存在．

∵AE＝CD，∠AEC＝∠ADC＝90°，∠EMA＝∠DMC，∴△EAM≌△DCM（AAS），∴EM＝DM，AM＝MC，设：EM＝a，则：MC＝6﹣a．在Rt△DCM中，由勾股定理得：MC2＝DC2+MD2，即：（6﹣a）2＝22+a2，解得：a=83，则：MC=103，过点D作x轴的垂线交x轴于点N，交EC于点H．
在Rt△DMC中，12DH•MC=12MD•DC，即：DH×103=83×2，
则：DH=85，HC=DC2-DH2=65，即：点D的坐标为（-65，185）；
设：△ACD沿着直线AC平移了m个单位，则：点A′坐标（﹣6+3m10，m10），点D′坐标为（-65+3m10，185+m10），
而点E坐标为（﹣6，2），则A'D'2=(-6+65)2+(185)2=36，A'E2=(3m10)2+(m10-2)2=m2-4m10+4，ED'2=(245+3m10)2+(85+m10)2=m2+32m10+1285．
若△A′ED′为直角三角形，分三种情况讨论：
①当A'D'2+A'E2=ED'2时，36+m2-4m10+4=m2+32m10+1285，解得：m=2105，
此时D′（-65+3m10，185+m10）为（0，4）；
②当A'D'2+ED'2=A'E2时，36+m2+32m10+1285=m2-4m10+4，解得：m=-8105，
此时D′（-65+3m10，185+m10）为（－6，2）；
③当A'E2+ED'2=A'D'2时，m2-4m10+4+m2+32m10+1285=36，解得：m=-8105或m=105，
此时D′（-65+3m10，185+m10）为（－6，2）或（-35，195）．
综上所述：D坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（-35，195）．
2、已知抛物线:的项点为，交轴于、两点(点在点左侧)，且．

(1)求抛物线的函数解析式；
(2)过点的直线交抛物线于点,交轴于点,若的面积被轴分为1: 4两个部分，求直线的解析式；
(3)在(2)的情况下，将抛物线绕点逆时针旋转180°得到抛物线,点为抛物线上一点，当点的横坐标为何值时，为直角三角形？
【解析】
（1）当时，
∴顶点，
∵，
∴
∴
∴
∴，代入抛物线得：
，解得，
∴抛物线的函数解析式为
（2）∵知抛物线交轴于、两点
∴、关于轴对称，即
∴
设直线解析式：点代入得：
∴
∴直线：，
∴
∵，整理得：
∴
∵
∴，
∴
∴
①若，则
∴
∴
解得：（舍去），
∴直线的解析式为
②若，则，
∴解得：（舍去），（舍去）
综上所述，直线的解析式为.
（3）由（2）得：，
∵抛物线绕点逆时针旋转得到抛物线
∴抛物线解析式为：
设点坐标为
①若，如图1，则 过作轴于点

∴，，
∴，∴，
∴，∴，即，∴
解得：，
②若，如图2，过点作轴于点

∴，，
∴，∴
∴，∴，即
∴解得：，
③若，则点在以为直径的圆除点、外的圆周上
显然以为真径的圆与抛物线无交点，故此情况不存在满足的
综上所述，点横坐标为或或或时，为
3、已知：如图，一次函数y=12x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=12x2+bx+c的图象与一次函数y=12x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）
（1）求二次函数的解析式；
（2）求四边形BDEC的面积S；
（3）在x轴上有一动点P，从O点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，是否存在点P使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P运动的时间t的值，若不存在，请说明理由．
（4）若动点P在x轴上，动点Q在射线AC上，同时从A点出发，点P沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，求a的值，若不存在，说明理由．

【解析】（1）将B（0，1），D（1，0）的坐标代入y=12x2+bx+c，得：c＝1b+c+12＝0，解得：b＝-32c＝1
故解析式y=12x2-32x+1；
（2）设C（x0，y0），则有 y0＝12x0+1y0＝12x02-32x0+1，解得x0＝4y0＝3，∴C（4，3），
由图可知：S=S△ACE-S△ABD，又由对称轴为x=32可知E（2，0），∴S=12AE•y0-12AD×OB=12×4×3-12×3×1=92；
（3）设符合条件的点P存在，令P（t，0）：
当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F；
∵Rt△BOP∽Rt△PCF，∴BOPF＝OPCF，即 14-t＝t3，整理得t2-4t+3=0，解得a=1或a=3；故可得t=1或3．
（4）存在符合条件的a值，使△APQ与△ABD相似，
①当△APQ∽△ABD时，APAB＝AQAD，解得：a=655；
②当△APQ∽△ADB时，APAD＝AQAB， 解得：a=253，
∴存在符合条件的a值，使△APQ与△ABD相似，a=655或253．
4、已知，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．

【分析】由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
连接BC交抛物线对称轴于点P，此时取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
设点M的坐标为，则，，，分、和三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标．
【解析】将、代入中，得：，解得：，∴．
连接BC交抛物线对称轴于点P，此时取最小值，如图1所示．

当时，有，解得：，，点B的坐标为．
抛物线的解析式为，抛物线的对称轴为直线．
设直线BC的解析式为，
将、代入中，得：，解得：，直线BC的解析式为．
当时，，当的值最小时，点P的坐标为．
设点M的坐标为，
则，，．
分三种情况考虑：
当时，有，即，
解得：，，点M的坐标为或；
当时，有，即，
解得：，点M的坐标为；
当时，有，即，
解得：，点M的坐标为

综上所述：当是直角三角形时，点M的坐标为、、或
【小结】本题考查待定系数法求二次一次函数解析式、二次一次函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P的位置；分、和三种情况，列出关于m的方程．
5、如图，动直线 y＝kx+2（k＞0）与 y 轴交于点 F，与抛物线 y＝14x2+1 相交于A，B 两点，过点 A，B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为点 C，D，连接 CF，DF，请你判断△CDF 的形状，并说明理由．

【解析】14x2+1＝kx+2，14x2﹣kx﹣1＝0， x＝2k±2k2+1，
∴x1＝2k﹣2k2+1，x2＝2k+2k2+1，
∴OD＝2k+2k2+1，OC＝2k2+1﹣2k，
DC2＝（2k+2k2+1+2k2+1﹣2k）2＝16（k2+1），
CF2＝22+（2 k2+1﹣2k）2＝8k2﹣8kk2+1+8，
DF2＝22+（2k+2k2+1）2＝8k2+8kk2+1+8，
∴DC2＝CF2+DF2，∴∠CFD＝90°，
故△CFD 是直角三角形．

6、如图，已知直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过y＝ax2+bx+c经过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．
（1）若抛物线的解析式为y＝﹣12x2+x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．
①求点M、N的坐标；
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（2）当点P的横坐标为2时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）①y＝﹣12x2+x+4＝﹣12（x﹣1）2+92，
∴顶点M的坐标为（1，92），
当x＝1时，y＝﹣1+4＝3，∴点N的坐标为（1，3）；
②不存在．理由如下：
MN＝92﹣3＝32，
设点P 的坐标为（m，﹣m+4），则D（m，﹣12m2+m+4），

PD＝﹣12m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣12m2+2m，
∵PD∥MN．∴当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，
即﹣12m2+2m＝32，解得：m＝1或3（m＝1舍去），
∴点P（3，1），由N（1，3），
∴PN＝3-12+3-12=22≠MN，
∴平行四边形MNPD不是菱形，
即：不存在点P，使四边形MNPD为菱形；
（2）①当∠BDP＝90°时，点P（2，2），则四边形BOCD为矩形，
∴D（2，4），又A（4，0），B（0，4），
∴抛物线的表达式为：y＝﹣12x2+x+4；
②当∠PBD＝90°时，△PBD为等腰直角三角形，则PD＝2xP＝4，
∴D（2，6），又A（4，0），B（0，4），
把A、B、D坐标代入二次函数表达式得：16a+4b+c=0c=44a+2b+c=6，解得：a=-1b=3c=4，
故：二次函数表达式为：y＝﹣x2+3x+4．
7、如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为(0，8)，点C的坐标为(6，0)，抛物线经过点A、C，与AB交于点D．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．
①求S关于m的函数表达式；
②当S最大时，在抛物线的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）将代入抛物线的解析式得，解得
故抛物线的函数解析式为；
（2）
①如图，作于M，于N，则，
，即
，

故S关于m的函数表达式为；
②
由二次函数的性质得：当时，S取得最大值，最大值为
，，即
的对称轴为，则可设点
轴，点D与点A关于对称轴对称，，即
轴，且
由两点之间的距离公式得，

当时，为直角三角形
则点F纵坐标与点D纵坐标相等，即，因此，
当时，为直角三角形
则点F纵坐标与点Q纵坐标相等，即，因此，
当时，为直角三角形
由勾股定理得，，即，解得
则或
综上，存在这样的点F，所有符合条件的点F的坐标为或或或．


8、如图1，对称轴为直线 的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴另一交点为A
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；
（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）由对称性得：A（﹣1，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），
把C（0，4）代入：4=﹣2a，a=﹣2，∴y=﹣2（x+1）（x﹣2），
∴抛物线的解析式为：
（2）如图1，设点P（m，），过P作PD⊥x轴，垂足为D，∴S=S梯形+S△PDB=，
∴S==，∵﹣2＜0，∴S有最大值，则S大=6；
（3）存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形，理由是：
分以下两种情况：
①当∠BQM=90°时，如图2：
∵∠CMQ＞90°，∴只能CM=MQ．
设直线BC的解析式为：y=kx+b，把B（2，0）、C（0，4）代入得：，解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+4，
∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+4，
设M（m，﹣2m+4），则MQ=﹣2m+4，OQ=m，BQ=2﹣m，
在Rt△OBC中，BC===，
∵MQ∥OC，∴△BMQ∽BCO，
∴，即，
∴BM==，
∴CM=BC﹣BM==，
∵CM=MQ，∴﹣2m+4=，m==，
∴Q（，0）．
②当∠QMB=90°时，如图3：
设M（a，﹣2a+4），过A作AE⊥BC，垂足为E，
则AE的解析式为：，则直线BC与直线AE的交点E（1.4，1.2），
设Q（﹣x，0）（x＞0），
∵AE∥QM，∴△ABE∽△QBM，∴①，
由勾股定理得：②，
由①②得：=4（舍），=，
当a=时，x=，∴Q（，0）．
综上所述，Q点坐标为（，0）或（，0）．


9、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝22x2+522x−32与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，连接AC、BC，点D(0，22)在y轴上，连接BD．
（1）请求出直线AC、BD的解析式；
（2）如图1，点P为第三象限内抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴交直线AC于点E，连接OE．当∠AOE=∠BDO时，点M为直线x轴上一点，点N为y轴上一点，连接EM、NP，当四边形MNPE周长最小时，请求出点N的坐标并直接写出此时四边形MNEP的周长；
（3）如图2，在（2）的结论下，连接OP，将△OEP绕点O旋转，点E旋转后对应点为E1，点P旋转后对应点为P1，直线E1P1与y轴交于点F，与直线BD交于点Q．在旋转过程中，△DQF能否为直角三角形，若能，请求出DF的长度；若不能，请说明理由．

【解析】（1）对于抛物线y＝22x2+522x−32，令y=0，得到22x2+522x−32=0，解得x=-6 或1，
∴A（-6，0），B（1，0），令x=0，得到y=-32，∴C（0，-32），∴直线AC的解析式为y=-22x-33，
∵D（0，22），∴直线BD的解析式为y=-22x+22．
（2）如图1中，作点E关于x轴的对称点E′，点P关于y轴的对称点P′，连接P′E′交x轴于M，交y轴于N，EE′交OA于H．

∵EM+MN+NP=E′M+MN+NP′，PE的值为定值，∴此时四边形PEMN的周长最小，
设P（m，22m2+522m-32），则E（m，-22m-32），
∵∠EOH=∠BDO，∴tan∠EOH=tan∠BDO，∴EHOH=OBOD，∴-m22m+32=122，解得m=-4，
∴E（-4，-2），P（-4，-52），∴E′（-4，2），P′（4，-52），∴PE=42，P′E′=234，
∴四边形PEMN的周长的最小值为42+234．
∵最小P′E′的解析式为y=-324x-22，∴点N的坐标为（0，-22）．
（3）如图2中，当∠DQF=90°，H的对称点为H1．

∵△OFH1∽△DBO，∴OFDB=OH1OD，∴OF3=422，∴OF=32，∴DF=OF-OD=2．
如图3中，当∠DFQ=90°，易知OF=OH=4，此时DF=OF-OD=4-22．

如图4中，当∠DQF=90°时，同法可得OF=32，此时DF=52．

如图5中，当∠DFQ=90°时，OF=4，此时DF=4+22．

综上所述，满足条件的DF的值为2或4-22或52或4+22．
10、如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；
（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）∵点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1，
∴A（﹣2，0），把点A（﹣2，0）、B（4，0）、点C（0，3），
分别代入（a≠0），得：，解得：，所以；
（2）设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t，∴MB=6﹣3t．
由题意得，点C的坐标为（0，3）．在Rt△BOC中，BC==5．
如图1，过点N作NH⊥AB于点H，∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC，
∴，即，∴HN=t，
∴S△MBN=MB•HN=（6﹣3t）•t，
即S=，
当△PBQ存在时，0＜t＜2，∴当t=1时，S△PBQ最大=．
（3）如图2，在Rt△OBC中，cos∠B=．
设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t，∴MB=6﹣3t．
①当∠MNB=90°时，cos∠B=，即，化简，得17t=24，解得t=；
②当∠BMN=90°时，cos∠B=，化简，得19t=30，解得t=．
综上所述：t=或t=时，△MBN为直角三角形．


11、在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．

（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1．
联立两个解析式，得：x2﹣1=x+1，解得：x=﹣1或x=2，
当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，∴A（﹣1，0），B（2，3）．
（2）设P（x，x2﹣1）．如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．

∴PF=yF﹣yP=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．
S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF（xF﹣xA）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xA）=PF
∴S△ABP=（﹣x2+x+2）=﹣（x﹣）2+，当x=时，yP=x2﹣1=﹣．
∴△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（，﹣）．
（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，
则E（﹣，0），F（0，1），OE=，OF=1．
在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF=．
令y=x2+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1．∴C（﹣k，0），OC=k．
假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，如答图3所示，

则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°．
设点N为OC中点，连接NQ，则NQ⊥EF，NQ=CN=ON=．∴EN=OE﹣ON=﹣．
∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，∴△EQN∽△EOF，
∴，即：，解得：k=±，
∵k＞0，∴k=．∴存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=