二次函数18精讲 专题18 二次函数中的圆和直线相切问题

专题18 二次函数中的圆和直线相切问题
【模型展示】

圆与抛物线以及与坐标系相交，根据抛物线的解析式可求交点 坐标，根据交点可求三角形的边长，由于圆的位置不同，三角形的形状也不同。再根据三角形的形状，再解决其它问题。



【精典讲解】
1、如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点．
（1）则点A，B，C的坐标分别是A （2，0） ，B （8，0） ，C （0，4） ；
（2）设经过A，B两点的抛物线解析式为y=（x-5）2+k，它的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．


（1）【解析】连接MC、MA，如图1所示：∵⊙M与y轴相切于点C，∴MC⊥y轴，∵M（5，4），∴MC=MA=5，OC=MD=4，
∴C（0，4），∵MD⊥AB，∴DA=DB，∠MDA=90°，∴AD==3，∴BD=3，∴OA=5-3=2，OB=5+3=8，
∴A（2，0），B（8，0）；
（2）证明：把点A（2，0）代入抛物线y=（x-5）2+k，得：k=-，∴E（5，-），
∴DE=，∴ME=MD+DE=4+=，EA2=32+（）2=，∵MA2+EA2=52+=，ME2=，
∴MA2+EA2=ME2，∴∠MAE=90°，即EA⊥MA，∴EA与⊙M相切；
（3）【解析】存在；点P坐标为（5，4），或（5，），或（5，4+）；理由如下：
由勾股定理得：BC===4，分三种情况：①当PB=PC时，点P在BC的垂直平分线上，点P与M重合， ∴P（5，4）；
②当BP=BC=4时，如图2所示：∵PD===，∴P（5，）；③当PC=BC=4时，连接MC，如图3所示：则∠PMC=90°，根据勾股定理得：PM===，∴PD=4+，
∴P（5，4+）；综上所述：存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形，
点P的坐标为（5，4），或（5，），或（5，4+）．




2、如图，已知抛物线y=-（x2-7x+6）的顶点坐标为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C．
（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），并指出顶点M的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标；
（3）以AB为直径作⊙N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是⊙N的切线．

（1）【解析】∵y=-（x2-7x+6）=-（x2-7x）-3=-（x-）2+，∴抛物线的解析式化为顶点式为：y=-（x-）2+，顶点M的坐标是（，）；
（2）【解析】∵y=-（x2-7x+6），∴当y=0时，-（x2-7x+6）=0，解得x=1或6，∴A（1，0），B（6，0），∵x=0时，y=-3，∴C（0，-3）．连接BC，则BC与对称轴x=的交点为R，连接AR，则CR+AR=CR+BR=BC，根据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小，最小值为BC==3．设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（6，0），C（0，-3），∴，解得，∴直线BC的解析式为：y=x-3，令x=，得y=×-3=-，∴R点坐标为（，-）；
（3）证明：设点P坐标为（x，-x2+x-3）．∵A（1，0），B（6，0），∴N（，0），∴以AB为直径的⊙N的半径为AB=，∴NP=，即（x-）2+（-x2+x-3）2=（）2，化简整理得，x4-14x3+65x2-112x+60=0，（x-1）（x-2）（x-5）（x-6）=0，解得x1=1（与A重合，舍去），x2=2，x3=5（在对称轴的右侧，舍去），x4=6（与B重合，舍去），∴点P坐标为（2，2）．∵M（，），N（，0），∴PM2=（2-）2+（2-）2=，PN2=（2-）2+22==，
MN2=（）2=，∴PM2+PN2=MN2，∴∠MPN=90°，∵点P在⊙N上，∴直线MP是⊙N的切线．








【教师总结】本题是二次函数综合题目，考查了坐标与图形性质、垂径定理、二次函数解析式的求法、勾股定理、勾股定理的逆定理、切线的判定、等腰三角形的性质等知识；综合性强．

3、已知二次函数y＝－x2＋bx＋c＋1.
(1)当b＝1时，求这个二次函数的对称轴的方程；
(2)若c＝－b2－2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切；
(3)如图所示，若二次函数的图象与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，且x1＜x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好经过点M，二次函数的对称轴l与x轴，直线BM，直线AM分别相交于点D，E，F，且满足＝，求二次函数的表达式．

【解析】 (1)二次函数的对称轴为x＝－，
∵a＝－1，b＝1，∴x＝；
(2)与x轴相切就是与x轴只有一个交点，即－x2＋bx－b2－2b＋1＝0有相等的实数根，∴Δ＝b2－4×(－1)×＝0
∴－8b＋4＝0，解得b＝，即b＝时，函数图象与x轴相切；
(3)∵AB是半圆的直径，∴∠AMB＝90°，
∴∠OAM＋∠OBM＝90°，
∵∠AOM＝∠MOB＝90°，∴∠OAM＋∠OMA＝90°，
∴∠OMA＝∠OBM，∴△OAM∽△OMB，
∴＝，∴OM2＝OA·OB，
∵二次函数的图象与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，
∴OA＝－x1，OB＝x2，x1·x2＝－(c＋1)，
∵OM＝c＋1，∴(c＋1)2＝c＋1，
解得c＝0或－1(舍去)，∴c＝0，OM＝1，
∴y＝－x2＋bx＋1，
∴x1·x2＝－1，x1＋x2＝b，
设A(m，0)(m＜0)，则B(－，0)，b＝，对称轴为x＝＝，
∵yAM经过点A(m，0)，M(0，1)，∴yAM＝－x＋1，
∵yBM经过点B(－，0)，M(0，1)，∴yBM＝mx＋1，
∵xE＝，∴yE＝，DE＝，
∵xF＝，∴yF＝，
∵＝，∴ ＝，
∴＝，∴m2＝(m＜0)，解得m＝－，
∴b＝＝，
∴y＝－x2＋x＋1.

4、如图所示，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点坐标是(2，1)，并且经过点(4，2)．直线y＝x＋1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，⊙C与直线m交于对称轴右侧的点M(t，1)．直线m上每一点的纵坐标都等于1.

(1)求抛物线的表达式；
(2)证明：⊙C与x轴相切；
(3)过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F.求BE∶MF的值．
【解析】 (1)设抛物线顶点式为y＝a(x－h)2＋k，
∵抛物线的顶点坐标是(2，1)，∴y＝a(x－2)2＋1，
又∵抛物线经过点(4，2)，
∴2＝a(4－2)2＋1，解得a＝，
∴抛物线的表达式y＝(x－2)2＋1＝x2－x＋2.
(2)证明：联立消去y，整理得x2－6x＋4＝0，解得x1＝3－，x2＝3＋，代入直线方程，解得y1＝－，y2＝＋，
∴B，D，
∵点C是BD的中点，
∴点C的纵坐标为＝，利用勾股定理，可算出BD＝＝5，即半径R＝，即圆心C到x轴的距离等于半径R，∴⊙C与x轴相切．
(3)法一：如答图①，连结BM和DM，∵BD为直径，∴∠BMD＝90°，
∴∠BME＋∠DMF＝90°，
又∵BE⊥m于点E，DF⊥m于点F，
∴∠BME＝∠MDF，
∴△BME∽△MDF，∴＝，即＝，
代入得＝，
化简得(t－3)2＝4，解得t＝5或1，
∵点M在对称轴右侧，∴t＝5，
∴＝.
法二：如答图②，过点C作CH⊥m，垂足为H，连结DM，由(2)知CM＝R＝，CH＝R－1＝，
由勾股定理，得MH＝2，∵HF＝＝，
∴MF＝HF－MH＝－2，又∵BE＝y1－1＝－，∴＝.

第4题答图① 　　　第4题答图②

5、已知抛物线y＝x2＋mx－2m－4(m>0)．
(1)证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点．
(2)设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．
①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；
②若点C关于直线x＝－的对称点为点E，点D(0，1)，连结BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值．
【解析】(1)证明：令y＝0，则x2＋mx－2m－4＝0，
∵Δ＝m2－4(－2m－4)＝m2＋8m＋16＝(m＋4)2，m>0，∴(m＋4)2>0，
∴此方程总有两个不相等的实数根，抛物线与x轴总有两个不同的交点；
(2)①设⊙P经过y轴上的另一个交点F(如答图①)，
令y＝0，则x2＋mx－2m－4＝0，整理得(x－2)(x＋m＋2)＝0，解得x1＝2，x2＝－m－2，
又∵m>0，点A在点B的右侧，∴A(2，0)，B(－m－2，0)，
∵当x＝0时，y＝－2m－4，
∴C(0，－2m－4)，AO＝2，BO＝m＋2，CO＝2m＋4，
∵∠BCO＝∠BAF，∠CBO＝∠AFO，
∴△BCO∽△FAO，
∴＝，＝，
∴FO＝1，∴点F(0，1)；

②∵点C(0，－2m－4)关于直线x＝－的对称点为点E(如答图②)，
∴E(－m，－2m－4)，
∵B(－m－2，0)，D(0，1)，
∴BD2＋BE2＝(m＋2)2＋12＋22＋(2m＋4)2＝5m2＋20m＋25，DE2＝(2m＋5)2＋m2＝5m2＋20m＋25，
∴BD2＋BE2＝DE2，∴∠DBE＝90°，∴DE是⊙P直径，
∵＝＝，∴＝，
设BD＝a，BE＝2a，则DE＝a，∴＝＝.
6、在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋x＋c的图象经过点C(0，2)和点D(4，－2)，点E是直线y＝－x＋2与二次函数图象在第一象限内的交点．
(1)求二次函数的表达式及点E的坐标；
(2)如图1，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连结MC，OE，ME，求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标；
(3)如图2，经过A，B，C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．

【解析】(1)∵二次函数y＝ax2＋x＋c的图象经过点C(0，2)和点D(4，－2)，
∴解得
∴二次函数表达式为y＝－x2＋x＋2，
与y＝－x＋2联立，解得x1＝0(舍去)，x2＝3，此时y＝1，故E(3，1)；
(2)S四边形COEM＝S△COE＋S△CME，S△COE＝·CO·，∵C(0，2)，E(3，1)，∴S△COE＝3，S△CME＝·CE·h(h为点M到CE的距离)，
∵M在抛物线上运动，∴当平行于CE的直线与抛物线相切于点M时，h最大，从而面积最大，
设l′的表达式为y＝－x＋b，
与y＝－x2＋x＋2联立，
得－x＋b＝－x2＋x＋2，
Δ＝36＋8(6－3b)＝0，解得b＝，
此时点M坐标为，
如答图①，过M作MN∥y轴，交CE于点N，
在y＝－x＋2中，令x＝，得y＝，
∴N，
∴S△CME＝·MN·＝，
∴S四边形COEM＝S△COE＋S△CME＝；

答图①
(3)在y＝－x2＋x＋2中，令y＝0，得x1＝，x2＝，
∴OA＝，OB＝，

答图②
如答图②，连结BF，AC，
∵∠ACO＝∠ABF，∠AOC＝∠FOB，
∴△AOC∽△FOB，
∴＝，即＝，解得OF＝，
∴F.
7、若抛物线L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，abc≠0）与直线l都经过y轴上的同一点，且抛物线L的顶点在直线l上，则称次抛物线L与直线l具有“一带一路”关系，并且将直线l叫做抛物线L的“路线”，抛物线L叫做直线l的“带线”．
（1）若“路线”l的表达式为y=2x﹣4，它的“带线”L的顶点的横坐标为﹣1，求“带线”L的表达式；
（2）如果抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1与直线y=nx+1具有“一带一路”关系，求m，n的值；
（3）设（2）中的“带线”L与它的“路线”l在y轴上的交点为A．已知点P为“带线”L上的点，当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时，求出点P的坐标．

【答案】（1）“带线”L的表达式为y=2x2+4x﹣4；（2）m=2，n=﹣2；（3）点P的坐标为（，）．
【解析】
（（1）∵“带线”L的顶点横坐标是﹣1，且它的“路线”l的表达式为y=2x﹣4
∴y=2×（﹣1）﹣4=﹣6，
∴“带线”L的顶点坐标为（﹣1，﹣6）．
设L的表达式为y=a（x+1）2﹣6，
∵“路线”y=2x﹣4与y轴的交点坐标为（0，﹣4）
∴“带线”L也经过点（0，﹣4），将（0，﹣4）代入L的表达式，解得a=2
∴“带线”L的表达式为 y=2（x+1）2﹣6=2x2+4x﹣4；
（2）∵直线y=nx+1与y轴的交点坐标为（0，1），
∴抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1与y轴的交点坐标也为（0，1），解得m=2，
∴抛物线表达式为y=2x2﹣4x+1，其顶点坐标为（1，﹣1）
∴直线y=nx+1经过点（1，﹣1），解得n=﹣2；
（3）如图，设“带线L”的顶点为B，则点B坐标为（1，﹣1），过点B作BC⊥y轴于点C，
∴∠BCA=90°，
又∵点A 坐标为（0，1），
∴AO=1，BC=1，AC=2．
∵“路线”l是经过点A、B的直线
且⊙P与“路线”l相切于点A，连接PA交 x轴于点D，
∴PA⊥AB，
∴∠DAB=∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=90°，
又∵∠DAO+∠BAC=90°，
∴∠ADO=∠BAC，
∴Rt△AOD≌Rt△BCA，
∴OD=AC=2，
∴D点坐标为（﹣2，0）
∴经过点D、A的直线表达式为y=x+1，
∵点P为直线y=x+1与抛物线L：y=2x2﹣4x+1的交点，
解方程组： 得 ：（即点A舍去）， ，
∴点P的坐标为．

8、如图①已知抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴的交点为E．
（1）抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为_____，点A的坐标为_____；
（2）若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，如图②Q（m，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）(1.5，0) (-1，0)（2）；（3）存在，.
【解析】
【解析】（1）∵对称轴x=，
∴点E坐标（，0），
令y=0，则有ax2﹣3ax﹣4a=0，
∴x=﹣1或4，
∴点A坐标（﹣1，0）．
故答案分别为（，0），（﹣1，0）．
（2）如图①中，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC，

∵DE=OE=，EB=，OC=﹣4a，
∴DB=，
∵tan∠OBC=，
∴，解得a=，
∴抛物线解析式为y=．
（3）如图②中，由题意∠M′CN=∠NCB，

∵MN∥OM′，
∴∠M′CN=∠CNM，
∴MN=CM，
∵点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），
∴ 直线BC解析式为y=﹣x+3，BC=5，
∴M（m，﹣m+3），N（m，﹣m2+m+3），作MF⊥OC于F，
∵sin∠BCO=，
∴，
∴CM=m，
①当N在直线BC上方时，﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）=m，
解得：m=或0（舍弃），
∴Q1（，0）．
②当N在直线BC下方时，（﹣m+3）﹣（﹣m2+m+3）=m，
解得m=或0（舍弃），
∴Q2（，0），
综上所述：点Q坐标为（，0）或（，0）．
9、如图，在平面直角坐标系xOy中，经过C（1，1）的抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点为M，与x轴正半轴交于A，B两点．
（1）如图1，连接OC，将线段OC绕点O逆时针旋转使得C落在y轴的正半轴上，求线段OC过的面积；
（2）如图2，延长线段OC至N，使得ON＝OC，若∠ONA＝∠OBN且tan∠BAM＝，求抛物线的解析式；
（3）如图3，已知以直线x＝为对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于（0，5），交直线l：y＝kx+m（k＞0）于C，D两点，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，求k的值．

【答案】（1）；（2）y＝2x2﹣9x+8；（3）k＝．
【分析】
（1）线段OC过的面积＝×π×（）2＝；
（2）△ONA∽△OBN，则OA•OB＝ON2＝4，即mn＝4…①，则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）（x﹣n），MH＝|yM|＝﹣a（﹣m）（﹣n）＝，AH═﹣m，tan∠BAM＝＝a（n﹣m）＝，化简得：a（n﹣m）＝…②，将（1，1）代入y＝a（x﹣m）（x﹣n）并化简得：a（5﹣m﹣n）＝1…③，联立①②③即可求解；
（3）抛物线的表达式为：y＝x2﹣5x+5；设点D（m，n），n＝m2﹣5m+5，而点C（1，1），则k＝＝m﹣4，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中点的圆R与x轴相切，即可求解．
【解析】
（1）线段OC过的面积＝×π×（）2＝；
（2）ON＝OC＝4，设点A、B的坐标分别为：（m，0）、（n，0），
∠ONA＝∠OBN，则△ONA∽△OBN，则OA•OB＝ON2＝4，即mn＝4…①，
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）（x﹣n），
过点M作MH⊥AB交AB于点H，函数的对称轴为：x＝（m+n），
则MH＝|yM|＝﹣a（﹣m）（﹣n）＝，
AH＝xM﹣xA＝﹣m
tan∠BAM＝＝a（n﹣m）＝，
化简得：a（n﹣m）＝…②，
将（1，1）代入y＝a（x﹣m）（x﹣n）并化简得：a（5﹣m﹣n）＝1…③，
联立①②③并解得：m＝，n＝，a＝2，
则抛物线的表达式为y＝a（x﹣m）（x﹣n）＝a（x2﹣mx﹣nx+mn）＝2x2﹣9x+8；
（3）由题意得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣5x+5；
设点D（m，n），n＝m2﹣5m+5，而点C（1，1），
则k＝＝m﹣4，
若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中点的圆R与x轴相切，设切点为P，

则点H（，），则HP＝HC，
即（﹣1）2+（﹣1）2＝（）2，
化简得：3m2﹣18m+19＝0，
解得：m＝3+（不合题意的值已舍去），
k＝m﹣4＝．
【小结】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、解直角三角形、三角形相似等，综合性很强，数据处理技巧多，难度大．
10、如图1，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B（点A在点B左边），O为坐标原点．点D是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点D作DE∥x轴交直线BC于点E．点P为∠CAB角平分线上的一动点，过点P作PQ⊥BC于点H，交x轴于点Q；点F是直线BC上的一个动点．
（1）当线段DE的长度最大时，求DF+FQ+PQ的最小值．
（2）如图2，将△BOC沿BC边所在直线翻折，得到△BOC′，点M为直线BO′上一动点，将△AOC绕点O顺时针旋转α度（0°＜α＜180°）得到△A′OC′，当直线A′C′，直线BO′，直线OM围成的图形是等腰直角三角形时，直接写出该等腰直角三角形的面积．

【答案】（1）；（2）围成的三角形面积为：．
【解析】
（1）如图1，

当x＝0时，y＝3．
当y＝0时，．
∴，，
∴AC⊥BC，且∠ABC＝30°，AC＝，且
设D（a，），则E（）
∴DE＝a﹣
∴当a＝﹣时，DE最大．此时D（）
∵AP平分∠CAB，
∴∠PAB＝∠CAB＝30°，
∵PQ⊥BC，
∴∠PQB＝60°，
∴∠P＝∠PQB﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°＝∠PAB，
∵PQ⊥BC，
∴PQB＝60°，
∴AQ＝PQ，
∴＝，
将射线AB绕A顺时针旋转30°得到直线AM，过点D作AM的垂线于点M，交x轴于点Q′，则．
当Q运动到Q′时，有＝DM，
过D作DN⊥x轴于点N，可得△AQ′M与△DQ′N相似，
DN＝Dy＝，AN＝
∴Q′N＝，DQ′＝，AQ′＝AN﹣Q′N＝
∴Q′M＝，
∴DM＝DQ′+Q′M＝
＝DM＝．
（2）第一种情况：如图2，

NH＝r＝，QH＝＝，OQ＝2r＝3，
QN＝QH﹣NH＝，QB＝3，QP＝，
PN＝PQ﹣QN＝6，S1＝18．
第二种情况，如图3，

QH＝，HN＝r＝，
QB＝3+3，QP＝，
PN＝PQ﹣QH﹣HN＝3，；
第三种情况，如图4，

ON＝，OM＝，
MQ＝OM﹣r＝，

第四种情况，如图5，

OB＝，OM＝，ON＝，MN＝OM﹣0N＝，
．
第五种情况，如图6，

MN＝BN＝OBsin15°＝
ON＝OBcos15°＝，
OM＝ON+MN＝，HM＝OM﹣r＝，
；
第六种情况，如图7，

OM＝，ON＝，MN＝OM﹣ON＝，
；
综上所述，围成的三角形面积为：；．
11、如图，抛物线y＝﹣12x2+bx+c与x轴交于A、B（A左B右），与y轴交于C，直线y＝﹣x+5经过点B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第二象限抛物线上一点，设点P横坐标为m，点P到直线BC的距离为d，求d与m的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，若∠PCB+∠POB＝180°，求d的值．

【答案】（1）y＝﹣12x2+32x+5（2）d＝24m2﹣524m（﹣2＜m＜0）（3）322
【解析】
（1）∵直线y＝﹣x+5经过点B、C，
∴B（5，0），C（0，5），
把B、C坐标代入y＝﹣12x2+bx+c得到：c=5-252+5b+c=0 ，
解得b=32c=5，
∴二次函数的解析式为y＝﹣12x2+32x+5；
（2）如图1中，作PE⊥BC于E，作PF∥AB交BC于F．

∵P（m，﹣12m2+32m+5），
∵PF∥AB，
∴点F的纵坐标为﹣12m2+32m+5，
则有﹣12m2+32m+5＝﹣x+5，
∴x＝12m2﹣32m，
∴PF＝12m2﹣32m﹣m＝12m2﹣52m，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴∠EFP＝∠OBC＝45°，∵PE⊥EF，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴d＝PE＝22PF＝24m2﹣524m（﹣2＜m＜0）；
（3）如图2中，取BC的中点H，连接PH．

∵∠PCB+∠POB＝180°，
∴O、B、C、P四点共圆，
∴∠CPB＝∠COB＝90°，
∴PH＝12BC＝522，
∵P（m，﹣12m2+32m+5），H（52，52），
∴（m﹣52）2+（﹣12m2+32m+5﹣52）2＝252，
整理得：m（m﹣5）（m2﹣m﹣2）＝0，
解得m＝0或5或﹣1或2，
∵P在第二象限，
∴m＝﹣1，
∴d＝24m2﹣524m＝322．
12、在平面直角坐标系中，对“隔离直线”给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线：满足且，则称直线：是图形与的“隔离直线”，如图，直线：是函数的图像与正方形的一条“隔离直线”.

（1）在直线①，②，③，④中，是图函数的图像与正方形的“隔离直线”的为 .
（2）如图，第一象限的等腰直角三角形的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点的坐标是，⊙O的半径为，是否存在与⊙O的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式：若不存在，请说明理由；
（3）正方形的一边在轴上，其它三边都在轴的左侧，点是此正方形的中心，若存在直线是函数的图像与正方形的“隔离直线”，请直接写出的取值范围.
【答案】(1)①④;(2);(3)或
【解析】
(1)根据的“隔离直线”的定义可知，是图1函数的图象与正方形OABC的“隔离直线”；直线也是图1函数的图象与正方形OABC的“隔离直线”；而与不满足图1函数的图象与正方形OABC的“隔离直线”的条件；
故答案为：①④；
(2)存在，
理由如下：
连接，过点作轴于点，如图，

在Rt△DGO中，，
∵⊙O的半径为，
∴点D在⊙O上．
过点D作DH⊥OD交y轴于点H，
∴直线DH是⊙O的切线，也是△EDF与⊙O的“隔离直线”．
设直线OD的解析式为，
将点D(2，1)的坐标代入得，
解得：，
∵DH⊥OD，
∴设直线DH的解析式为，
将点D(2，1)的坐标代入得，
解得：，
∴直线DH的解析式为，
∴“隔离直线”的表达式为；
(3)如图：

由题意点F的坐标为()，
当直线经过点F时，，
∴，
∴直线，即图中直线EF，
∵正方形A1B1C1D1的中心M(1，t)，
过点作⊥y轴于点G，
∵点是正方形的中心，且，
∴B1C1，，
∴正方形A1B1C1D1的边长为2，
当时，，
∴点C1的坐标是()，此时直线EF是函数)的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”，
∴点的坐标是(-1，2)，
此时；
当直线与只有一个交点时，
，消去y得到，
由，可得，
解得：，
同理，此时点M的坐标为：()，
∴，
根据图象可知:
当或时，直线是函数)的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”．
13、如图，已知直角坐标平面上的△ABC，AC=CB，∠ACB=90∘，且A(-1, 0)，B(m, n)，C(3, 0)．若抛物线y=ax2+bx-3经过A、C两点．

(1)求a、b的值；
(2)将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点B，求新抛物线的解析式；
(3)设(2)中的新抛物的顶点P点，Q为新抛物线上P点至B点之间的一点，以点Q为圆心画图，当⊙Q与x轴和直线BC都相切时，联结PQ、BQ，求四边形ABQP的面积．
【答案】（1）a=1b=-2；（2）新抛物线的解析式为y=x2-2x+1;(3)5
【解析】(1)∵抛物线y=ax2+bx-3经过A(-1, 0)、C(3, 0)，
∴a-b-3=09a+3b-3=0，
解得：a=1b=-2；
(2)设抛物线向上平移k个单位后得到的新抛物线恰好经过点B，
则新抛物线的解析式为y=x2-2x-3+k，
∵A(-1, 0)、C(3, 0)，
∴CB=AC=3-(-1)=4，
∵∠ACB=90∘，∴点B的坐标为(3, 4)．
∵点B(3, 4)在抛物线y=x2-2x-3+k上，
∴9-6-3+k=4，
解得：k=4，
∴新抛物线的解析式为y=x2-2x+1；
(3)设⊙Q与x轴相切于点D，与直线BC相切于点E，连接QD、QE，如图所示，

则有QD⊥OC，QE⊥BC，QD=QE，
∴∠QDC=∠DCE=∠QEC=90∘，
∴四边形QECD是矩形．
∵QD=QE，
∴矩形QECD是正方形，
∴QD=DC．
设点Q的横坐标为t，
则有OD=t，QD=DC=OC-OD=3-t，
∴点Q的坐标为(t, 3-t)．
∵点Q在抛物线y=x2-2x+1上，
∴t2-2t+1=3-t，
解得：t1=2，t2=-1．
∵Q为抛物线y=x2-2x+1上P点至B点之间的一点，
∴t=2，点Q的坐标为(2, 1)，
∴OD=2，QD=CD=1．
由y=x2-2x+1=(x-1)2得顶点P的坐标为(1, 0)，
∴OP=1，PD=OD-OP=2-1=1，
∴S四边形ABQP=S△ACB-S△PDQ-S梯形DQBC
=12AC⋅BC-12PD⋅QD-12(QD+BC)⋅DC
=12×4×4-12×1×1-12×(1+4)×1
=5，
∴四边形ABQP的面积为5．
14、如图，在直角坐标系中，直线y=﹣13x﹣1与x轴，y轴的交点分别为A、B，以x=﹣1为对称轴的抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A、C，直线x=﹣1与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在线段AB上是否存在一点P，使以A，D，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）若点Q在第三象限内，且tan∠AQD=2，线段CQ是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=x2+2x﹣3；（2）存在；点P坐标为（﹣1，-23）或（-65，-35）；
（3）存在，CQ最小值为37-52.
【解析】（1）∵直线y=﹣13x﹣1与x轴交于A点，
∴点A坐标为（﹣3，0），
又∵直线x=﹣1为对称轴，
∴点C坐标为（1，0），
∴抛物线解析式为：y=（x+3）（x﹣1）=x2+2x﹣3；
（2）存在；
由已知，点D坐标为（﹣1，0），点B坐标为（0，﹣1），
设点P的坐标为（a，﹣13a﹣1），
①当△AOB∽△ADP时，
ADAO=DPOB，即23=13a+11，
解得：a=﹣1；
点P坐标为（﹣1，-23）；
②当△AOB∽△APD时，
过点P作PE⊥x轴于点E，
则△APE∽△PED，
∴PE2=AE•ED，
∴（﹣13a﹣1）2=（a+3）（﹣a﹣1），
解得a1=﹣3（舍去），a2=﹣65，
∴点P坐标为（﹣65，﹣35）；
（3）存在，CQ最小值为37-52；

如图，取点F（﹣1，﹣1），过点ADF作圆，则点E（﹣2，﹣12）为圆心，
∵tan∠AFD=2，
∴弧AFD（A、D除外）上的点都是满足条件的Q点，
则连CE交⊙E于点Q，则CQ为满足条件的最小值，
此时CE=122+32=372，
∵⊙E半径为52，
∴CQ最小值为37-52.
15、在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）求点B的坐标（用含的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
【答案】（1）点B的坐标为；（2）对称轴为直线;（3）当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点.
【解析】
【解析】（1）∵抛物线与轴交于点A，∴令，得，
∴点A的坐标为，∵点A向右平移两个单位长度，得到点B，
∴点B的坐标为；
（2）∵抛物线过点和点，由对称性可得，抛物线对称轴为
直线，故对称轴为直线
（3）∵对称轴x=1，
∴b-2a，，
①a＞0时，
当x=2时，，当x=0或x=2，
∴函数与AB无交点；
②a＜0时，
当y=2时，，
或当时，；
∴当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；
（3）①当时，则，思路引导图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；也不可能同时经过点B和点Q，所以，此时线段PQ与抛物线没有交点.
②当时，则.
思路引导图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；但当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，此时即

综上所述，当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点.
16、如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．
（3）抛物线上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，有几个？并请在图中画出所有符合条件的点P，（保留作图痕迹）；若不存在，说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+5x+6；（2）M（，）；（3）存在5个满足条件的P点，尺规作图见解析
【解析】
【解析】（1）将A（6，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+6，
可得a＝﹣1，b＝5，
∴y＝﹣x2+5x+6；
（2）作点C关于对称轴x＝的对称点C'，连接BC'与对称轴交于点M，
根据两点之间线段最短，则CM+BM＝C'M+BM＝C'B最小，

∵C（0，6），
∴C'（5，6），
设直线BC'的解析式为y=kx＋b
将B（﹣1，0）和C'（5，6）代入解析式，得

解得：
∴直线BC'的解析式为y＝x+1，
将x＝代入，解得y=
∴M（，）；
（3）存在5个满足条件的P点；尺规作图如下：
①若CB=CP时，以C为原点，BC的长为半径作圆，交抛物线与点P，如图1所示，此时点P有两种情况；
②若BC=BP时，以B为原点，BC的长为半径作圆，交抛物线与点P，如图2所示，此时点P即为所求；
③若BP=CP，则点P在BC的中垂线上，作BC的中垂线，交抛物线与点P，如图3所示，此时点P有两种情况；
故存在5个满足条件的P点．