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浙江省绍兴市越城区五校联考2019-2020学年八年级（上）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年八年级（上）期末数学试卷
一．选择题（共10小题）
1．以下列各组数为边长，能组成一个三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．2，2，5 C．1，2，3 D．10，20，40
2．若等腰三角形的两边长分别为4和6，则它的周长是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．14或16
3．对一个假命题举反例时，应使所举反例（ ）
A．满足命题的条件，并满足命题的结论
B．满足命题的条件，但不满足命题的结论
C．不满足命题的条件，但满足命题的结论
D．不满足命题的条件，也不满足命题的结论
4．若x＞y，则下列式子中错误的是（ ）
A．x﹣3＞y﹣3 B．＞ C．x+3＞y+3 D．﹣3x＞﹣3y
5．点P（﹣2，﹣4）与点Q（6，﹣4）的位置关系是（ ）
A．关于直线x＝2对称 B．关于直线y＝2对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
6．如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A．AB＝AC B．∠BAC＝90° C．BD＝AC D．∠B＝45°
7．如图的坐标平面上有P、Q两点，其坐标分别为（5，a）、（b，7）．根据图中P、Q两点的位置，判断点（6﹣b，a﹣10）落在第几象限？（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
8．已知不等式x﹣1≥0，此不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，直线y＝x+m与y＝nx﹣5n（n≠0）的交点的横坐标为3，则关于x的不等式x+m＞nx﹣5n＞0的整数解为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共6小题）
11．下列图形中全等图形是 （填标号）．
12．如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x y（用“＞”或“＜”填空）．
13．△ABC中，已知∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C的外角的度数是 °．
14．如图．在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E为垂足，连接CD，若BD＝1，则AC的长是 ．
15．甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动．图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶 千米．
16．如图，直线l1：y＝﹣2x+2交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2：y＝x+1交x轴于点D，交y轴于点C，直线l1、l2交于点M．
（1）点M坐标为 ；
（2）若点E在y轴上，且△BME是以BM为一腰的等腰三角形，则E点坐标为 ．
三．解答题（共7小题）
17．解不等式组
18．如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点C1点旋转180°得到△A2B2C2．
19．在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD与高BE的交点．
（1）求证：△ADC≌△BDF．
（2）连接CF，若CD＝4，求CF的长．
20．在平面直角坐标系中，已知直线l：y＝﹣x+2交x轴于点A，交y轴于点B，直线l上的点P（m，n）在第一象限内，设△AOP的面积是S．
（1）写出S与m之间的函数表达式，并写出m的取值范围．
（2）当S＝3时，求点P的坐标．
（3）若直线OP平分△AOB的面积，求点P的坐标．
21．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，E在AC边上，且AD＝AE．
（1）若∠BAD＝40°，求∠EDC的度数；
（2）若∠EDC＝15°，求∠BAD的度数；
（3）根据上述两小题的答案，试探索∠EDC与∠BAD的关系．
22．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
23．如图①，已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．
（1）求点A、C的坐标；
（2）将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；
（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．以下列各组数为边长，能组成一个三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．2，2，5 C．1，2，3 D．10，20，40
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、3+4＞5，能组成三角形；
B、2+2＜5，不能组成三角形；
C、1+2＝3，不能组成三角形；
D、10+20＜40，不能组成三角形．
故选：A．
2．若等腰三角形的两边长分别为4和6，则它的周长是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．14或16
【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为6时，②当腰长为4时，解答出即可．
【解答】解：根据题意，
①当腰长为6时，符合三角形三边关系，周长＝6+6+4＝16；
②当腰长为4时，符合三角形三边关系，周长＝4+4+6＝14．
故选：D．
3．对一个假命题举反例时，应使所举反例（ ）
A．满足命题的条件，并满足命题的结论
B．满足命题的条件，但不满足命题的结论
C．不满足命题的条件，但满足命题的结论
D．不满足命题的条件，也不满足命题的结论
【分析】利用反例判断命题为假命题的方法对各选项进行判断．
【解答】解：对一个假命题举反例时，应使所举反例满足命题的条件，但不满足命题的结论．
故选：B．
4．若x＞y，则下列式子中错误的是（ ）
A．x﹣3＞y﹣3 B．＞ C．x+3＞y+3 D．﹣3x＞﹣3y
【分析】根据不等式的基本性质，进行判断即可．
【解答】解：A、根据不等式的性质1，可得x﹣3＞y﹣3，故A选项正确；
B、根据不等式的性质2，可得＞，故B选项正确；
C、根据不等式的性质1，可得x+3＞y+3，故C选项正确；
D、根据不等式的性质3，可得﹣3x＜﹣3y，故D选项错误；
故选：D．
5．点P（﹣2，﹣4）与点Q（6，﹣4）的位置关系是（ ）
A．关于直线x＝2对称 B．关于直线y＝2对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
【分析】根据轴对称的性质解决问题即可．
【解答】解：点P（﹣2，﹣4）与点Q（6，﹣4）的位置关系是关于直线x＝2对称，
故选：A．
6．如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A．AB＝AC B．∠BAC＝90° C．BD＝AC D．∠B＝45°
【分析】此题是开放型题型，根据题目现有条件，AD＝AD，∠ADB＝∠ADC＝90°，可以用HL判断确定，也可以用SAS，AAS，SSS判断两个三角形全等．
【解答】解：添加AB＝AC，符合判定定理HL；
添加BD＝DC，符合判定定理SAS；
添加∠B＝∠C，符合判定定理AAS；
添加∠BAD＝∠CAD，符合判定定理ASA；
选其中任何一个均可．
故选：A．
7．如图的坐标平面上有P、Q两点，其坐标分别为（5，a）、（b，7）．根据图中P、Q两点的位置，判断点（6﹣b，a﹣10）落在第几象限？（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
【分析】由平面直角坐标系判断出a＜7，b＜5，然后求出6﹣b，a﹣10的正负情况，再根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：∵（5，a）、（b，7），
∴a＜7，b＜5，
∴6﹣b＞0，a﹣10＜0，
∴点（6﹣b，a﹣10）在第四象限．
故选：D．
8．已知不等式x﹣1≥0，此不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
【解答】解：∵x﹣1≥0，
∴x≥1，
在数轴上表示不等式的解集为：
，
故选：C．
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示，在直角三角形ABC中，由AC及BC的长，利用勾股定理求出AB的长，然后过C作CD垂直于AB，由直角三角形的面积可以由两直角边乘积的一半来求，也可以由斜边AB乘以斜边上的高CD除以2来求，两者相等，将AC，AB及BC的长代入求出CD的长，即为C到AB的距离．
【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，
根据勾股定理得：AB＝＝15，
过C作CD⊥AB，交AB于点D，
又S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，
∴CD＝＝＝，
则点C到AB的距离是．
故选：A．
10．如图，直线y＝x+m与y＝nx﹣5n（n≠0）的交点的横坐标为3，则关于x的不等式x+m＞nx﹣5n＞0的整数解为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】令y＝0可求出直线y＝nx﹣5n与x轴的交点坐标，根据两函数图象与x轴的上下位置关系结合交点横坐标即可得出不等式x+m＞nx﹣5n＞0的解，找出其内的整数即可．
【解答】解：当y＝0时，nx﹣5n＝0，
解得：x＝5，
∴直线y＝nx﹣5n与x轴的交点坐标为（5，0）．
观察函数图象可知：当3＜x＜5时，直线y＝x+m在直线y＝nx﹣5n的上方，且两直线均在x轴上方，
∴不等式x+m＞nx﹣5n＞0的解为3＜x＜5，
∴不等式x+m＞nx﹣5n＞0的整数解为4．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．下列图形中全等图形是 ⑤和⑦ （填标号）．
【分析】要认真观察图形，从①开始找寻，看后面的谁与之全等，然后是②，看后面的哪一个与它全等，如此找寻，可得答案．
【解答】解：由全等形的概念可知：共有1对图形全等，即⑤和⑦能够重合．
故答案为：⑤和⑦．
12．如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x ＜ y（用“＞”或“＜”填空）．
【分析】由图知1号同学比2号同学矮，据此可解答．
【解答】解：如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x＜y，
故答案为：＜．
13．△ABC中，已知∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C的外角的度数是 140 °．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝80°，
∴∠C的外角＝∠A+∠B＝60°+80°＝140°．
故答案为：140．
14．如图．在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E为垂足，连接CD，若BD＝1，则AC的长是 2 ．
【分析】求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD＝CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．
【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∵DE垂直平分斜边AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD＝30°，
∴∠DCB＝60°﹣30°＝30°，
∵BD＝1，
∴CD＝AD＝2，
∴AB＝1+2＝3，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：CB＝，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝2，
故答案为：2．
15．甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动．图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶 千米．
【分析】根据函数的图形可以得到甲用了30分钟行驶了12千米，乙用12分钟行驶了12千米，分别算出速度即可求得结果．
【解答】解：∵据函数图形知：甲用了30分钟行驶了12千米，乙用（18﹣6）分钟行驶了12千米，
∴甲每分钟行驶12÷30＝千米，
乙每分钟行驶12÷12＝1千米，
∴每分钟乙比甲多行驶1﹣＝千米，
故答案为：．
16．如图，直线l1：y＝﹣2x+2交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2：y＝x+1交x轴于点D，交y轴于点C，直线l1、l2交于点M．
（1）点M坐标为 （，） ；
（2）若点E在y轴上，且△BME是以BM为一腰的等腰三角形，则E点坐标为 （0，）或（0，）或（0，） ．
【分析】（1）解析式联立，解方程即可求得；
（2）求得BM的长，分两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）解得，
∴点M坐标为（，），
故答案为（，）；
（2）∵直线l1：y＝﹣2x+2交x轴于点A，交y轴于点B，
∴B（0，2），
∴BM＝＝，
当B为顶点，则E（0，）或（0，）；
当M为顶点点，则MB＝ME，
E（0，），
综上，E点的坐标为（0，）或（0，）或（0，），
故答案为（0，）或（0，）或（0，）．
三．解答题（共7小题）
17．解不等式组
【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解①得：x＜10，
解②得：1≤x，
故不等式组的解为：1≤x＜10．
18．如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点C1点旋转180°得到△A2B2C2．
【分析】将△ABC向右平移4个单位后，横坐标变为x+4，而纵坐标不变，所以点A1、B1、C1的坐标可知，确定坐标点连线即可画出图形，将△ABC中的各点A、B、C旋转180°后，得到相应的对应点A2、B2、C2，连接各对应点即得△A2B2C2．
【解答】解：如图所示：
．
19．在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD与高BE的交点．
（1）求证：△ADC≌△BDF．
（2）连接CF，若CD＝4，求CF的长．
【分析】（1）先证明AD＝BD，再证明∠FBD＝∠DAC，从而利用ASA证明△BDF≌△ADC；
（2）利用全等三角形对应边相等得出DF＝CD＝4，根据勾股定理求出CF即可．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠FDB＝∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝45°＝∠ABD，
∴AD＝BD，
∵BE⊥AC，
∴∠AEF＝∠FDB＝90°，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴由三角形内角和定理得：∠CAD＝∠FBD，
在△ADC和△BDE中
∴△ADC≌△BDE（ASA）；
（2）解：∵△ADC≌△BDE，CD＝4，
∴DF＝CD＝4，
在Rt△FDC中，由勾股定理得：CF＝＝＝4．
20．在平面直角坐标系中，已知直线l：y＝﹣x+2交x轴于点A，交y轴于点B，直线l上的点P（m，n）在第一象限内，设△AOP的面积是S．
（1）写出S与m之间的函数表达式，并写出m的取值范围．
（2）当S＝3时，求点P的坐标．
（3）若直线OP平分△AOB的面积，求点P的坐标．
【分析】（1）根据点A、P的坐标求得△AOP的底边与高线的长度；然后根据三角形的面积公式即可求得S与m的函数关系式；
（2）将S＝3代入（1）中所求的式子，即可求出点P的坐标；
（3）由直线OP平分△AOB的面积，可知OP为△AOB的中线，点P为AB的中点，根据中点坐标公式即可求解．
【解答】解：∵直线l：y＝﹣x+2交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（4，0），B（0，2），
∵P（m，n）
∴S＝×4×（4﹣m）＝4﹣m，即S＝4﹣m．
∵点P（m，n）在第一象限内，∴m+2n＝4，
∴，
解得0＜m＜4；
（2）当S＝3时，4﹣m＝3，
解得m＝1，
此时y＝（4﹣1）＝，
故点P的坐标为（1，）；
（3）若直线OP平分△AOB的面积，则点P为AB的中点．
∵A（4，0），B（0，2），
∴点P的坐标为（2，1）．
21．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，E在AC边上，且AD＝AE．
（1）若∠BAD＝40°，求∠EDC的度数；
（2）若∠EDC＝15°，求∠BAD的度数；
（3）根据上述两小题的答案，试探索∠EDC与∠BAD的关系．
【分析】（1）根据等腰三角形性质求出∠B的度数，根据三角形的外角性质求出∠ADC，求出∠DAC，根据等腰三角形性质求出∠ADE即可；
（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，代入数据计算即可求出∠BAD的度数；
（3）根据（1）（2）的结论猜出即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝90°﹣∠BAC+40°＝130°﹣∠BAC，
∵∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝∠BAC﹣40°，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠DAC）＝110°﹣∠BAC，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝（130°﹣∠BAC）﹣（110°﹣∠BAC）＝20°，
故∠EDC的度数是20°．
（2）∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠EDC，
即∠BAD＝2∠EDC，
∵∠EDC＝15°，
∴∠BAD＝30°．
（3）∠EDC与∠BAD的数量关系是∠EDC＝∠BAD．
22．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意列出方程组求解，
（2）①据题意得，y＝﹣50x+15000，
②利用不等式求出x的范围，又因为y＝﹣50x+15000是减函数，所以x取34，y取最大值，
（3）据题意得，y＝（100+m）x﹣150（100﹣x），即y＝（m﹣50）x+15000，分三种情况讨论，①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，②m＝50时，m﹣50＝0，y＝15000，③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．
【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得
解得
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元．
（2）①据题意得，y＝100x+150（100﹣x），即y＝﹣50x+15000，
②据题意得，100﹣x≤2x，解得x≥33，
∵y＝﹣50x+15000，﹣50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x＝34时，y取最大值，则100﹣x＝66，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
（3）据题意得，y＝（100+m）x+150（100﹣x），即y＝（m﹣50）x+15000，
33≤x≤70
①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，
∴当x＝34时，y取最大值，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
②m＝50时，m﹣50＝0，y＝15000，
即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤70的整数时，均获得最大利润；
③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝70时，y取得最大值．
即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大．
23．如图①，已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．
（1）求点A、C的坐标；
（2）将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；
（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，即可求得A和C的坐标；
（2）根据题意可知△ACD是等腰三角形，算出AD长即可求得D点坐标，最后即可求出CD的解析式；
（3）将点P在不同象限进行分类，根据全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合题意的点P的坐标．
【解答】解：（1）A（2，0）；C（0，4）（2分）
（2）由折叠知：CD＝AD．设AD＝x，则CD＝x，BD＝4﹣x，
根据题意得：（4﹣x）2+22＝x2解得：
此时，AD＝，（2分）
设直线CD为y＝kx+4，把代入得（1分）
解得：
∴直线CD解析式为（1分）
（3）①当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0）
②当点P在第一象限时，如图，
由△APC≌△CBA得∠ACP＝∠CAB，
则点P在直线CD上．过P作PQ⊥AD于点Q，
在Rt△ADP中，
AD＝，PD＝BD＝＝，AP＝BC＝2
由AD×PQ＝DP×AP得：
∴
∴，把代入得
此时
（也可通过Rt△APQ勾股定理求AQ长得到点P的纵坐标）
③当点P在第二象限时，如图
同理可求得：
∴
此时
综合得，满足条件的点P有三个，
分别为：P1（0，0）；；．
一．选择题（共10小题）
1．以下列各组数为边长，能组成一个三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．2，2，5 C．1，2，3 D．10，20，40
2．若等腰三角形的两边长分别为4和6，则它的周长是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．14或16
3．对一个假命题举反例时，应使所举反例（ ）
A．满足命题的条件，并满足命题的结论
B．满足命题的条件，但不满足命题的结论
C．不满足命题的条件，但满足命题的结论
D．不满足命题的条件，也不满足命题的结论
4．若x＞y，则下列式子中错误的是（ ）
A．x﹣3＞y﹣3 B．＞ C．x+3＞y+3 D．﹣3x＞﹣3y
5．点P（﹣2，﹣4）与点Q（6，﹣4）的位置关系是（ ）
A．关于直线x＝2对称 B．关于直线y＝2对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
6．如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A．AB＝AC B．∠BAC＝90° C．BD＝AC D．∠B＝45°
7．如图的坐标平面上有P、Q两点，其坐标分别为（5，a）、（b，7）．根据图中P、Q两点的位置，判断点（6﹣b，a﹣10）落在第几象限？（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
8．已知不等式x﹣1≥0，此不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，直线y＝x+m与y＝nx﹣5n（n≠0）的交点的横坐标为3，则关于x的不等式x+m＞nx﹣5n＞0的整数解为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共6小题）
11．下列图形中全等图形是 （填标号）．
12．如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x y（用“＞”或“＜”填空）．
13．△ABC中，已知∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C的外角的度数是 °．
14．如图．在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E为垂足，连接CD，若BD＝1，则AC的长是 ．
15．甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动．图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶 千米．
16．如图，直线l1：y＝﹣2x+2交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2：y＝x+1交x轴于点D，交y轴于点C，直线l1、l2交于点M．
（1）点M坐标为 ；
（2）若点E在y轴上，且△BME是以BM为一腰的等腰三角形，则E点坐标为 ．
三．解答题（共7小题）
17．解不等式组
18．如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点C1点旋转180°得到△A2B2C2．
19．在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD与高BE的交点．
（1）求证：△ADC≌△BDF．
（2）连接CF，若CD＝4，求CF的长．
20．在平面直角坐标系中，已知直线l：y＝﹣x+2交x轴于点A，交y轴于点B，直线l上的点P（m，n）在第一象限内，设△AOP的面积是S．
（1）写出S与m之间的函数表达式，并写出m的取值范围．
（2）当S＝3时，求点P的坐标．
（3）若直线OP平分△AOB的面积，求点P的坐标．
21．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，E在AC边上，且AD＝AE．
（1）若∠BAD＝40°，求∠EDC的度数；
（2）若∠EDC＝15°，求∠BAD的度数；
（3）根据上述两小题的答案，试探索∠EDC与∠BAD的关系．
22．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
23．如图①，已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．
（1）求点A、C的坐标；
（2）将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；
（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．以下列各组数为边长，能组成一个三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．2，2，5 C．1，2，3 D．10，20，40
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、3+4＞5，能组成三角形；
B、2+2＜5，不能组成三角形；
C、1+2＝3，不能组成三角形；
D、10+20＜40，不能组成三角形．
故选：A．
2．若等腰三角形的两边长分别为4和6，则它的周长是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．14或16
【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为6时，②当腰长为4时，解答出即可．
【解答】解：根据题意，
①当腰长为6时，符合三角形三边关系，周长＝6+6+4＝16；
②当腰长为4时，符合三角形三边关系，周长＝4+4+6＝14．
故选：D．
3．对一个假命题举反例时，应使所举反例（ ）
A．满足命题的条件，并满足命题的结论
B．满足命题的条件，但不满足命题的结论
C．不满足命题的条件，但满足命题的结论
D．不满足命题的条件，也不满足命题的结论
【分析】利用反例判断命题为假命题的方法对各选项进行判断．
【解答】解：对一个假命题举反例时，应使所举反例满足命题的条件，但不满足命题的结论．
故选：B．
4．若x＞y，则下列式子中错误的是（ ）
A．x﹣3＞y﹣3 B．＞ C．x+3＞y+3 D．﹣3x＞﹣3y
【分析】根据不等式的基本性质，进行判断即可．
【解答】解：A、根据不等式的性质1，可得x﹣3＞y﹣3，故A选项正确；
B、根据不等式的性质2，可得＞，故B选项正确；
C、根据不等式的性质1，可得x+3＞y+3，故C选项正确；
D、根据不等式的性质3，可得﹣3x＜﹣3y，故D选项错误；
故选：D．
5．点P（﹣2，﹣4）与点Q（6，﹣4）的位置关系是（ ）
A．关于直线x＝2对称 B．关于直线y＝2对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
【分析】根据轴对称的性质解决问题即可．
【解答】解：点P（﹣2，﹣4）与点Q（6，﹣4）的位置关系是关于直线x＝2对称，
故选：A．
6．如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A．AB＝AC B．∠BAC＝90° C．BD＝AC D．∠B＝45°
【分析】此题是开放型题型，根据题目现有条件，AD＝AD，∠ADB＝∠ADC＝90°，可以用HL判断确定，也可以用SAS，AAS，SSS判断两个三角形全等．
【解答】解：添加AB＝AC，符合判定定理HL；
添加BD＝DC，符合判定定理SAS；
添加∠B＝∠C，符合判定定理AAS；
添加∠BAD＝∠CAD，符合判定定理ASA；
选其中任何一个均可．
故选：A．
7．如图的坐标平面上有P、Q两点，其坐标分别为（5，a）、（b，7）．根据图中P、Q两点的位置，判断点（6﹣b，a﹣10）落在第几象限？（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
【分析】由平面直角坐标系判断出a＜7，b＜5，然后求出6﹣b，a﹣10的正负情况，再根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：∵（5，a）、（b，7），
∴a＜7，b＜5，
∴6﹣b＞0，a﹣10＜0，
∴点（6﹣b，a﹣10）在第四象限．
故选：D．
8．已知不等式x﹣1≥0，此不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
【解答】解：∵x﹣1≥0，
∴x≥1，
在数轴上表示不等式的解集为：
，
故选：C．
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示，在直角三角形ABC中，由AC及BC的长，利用勾股定理求出AB的长，然后过C作CD垂直于AB，由直角三角形的面积可以由两直角边乘积的一半来求，也可以由斜边AB乘以斜边上的高CD除以2来求，两者相等，将AC，AB及BC的长代入求出CD的长，即为C到AB的距离．
【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，
根据勾股定理得：AB＝＝15，
过C作CD⊥AB，交AB于点D，
又S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，
∴CD＝＝＝，
则点C到AB的距离是．
故选：A．
10．如图，直线y＝x+m与y＝nx﹣5n（n≠0）的交点的横坐标为3，则关于x的不等式x+m＞nx﹣5n＞0的整数解为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】令y＝0可求出直线y＝nx﹣5n与x轴的交点坐标，根据两函数图象与x轴的上下位置关系结合交点横坐标即可得出不等式x+m＞nx﹣5n＞0的解，找出其内的整数即可．
【解答】解：当y＝0时，nx﹣5n＝0，
解得：x＝5，
∴直线y＝nx﹣5n与x轴的交点坐标为（5，0）．
观察函数图象可知：当3＜x＜5时，直线y＝x+m在直线y＝nx﹣5n的上方，且两直线均在x轴上方，
∴不等式x+m＞nx﹣5n＞0的解为3＜x＜5，
∴不等式x+m＞nx﹣5n＞0的整数解为4．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．下列图形中全等图形是 ⑤和⑦ （填标号）．
【分析】要认真观察图形，从①开始找寻，看后面的谁与之全等，然后是②，看后面的哪一个与它全等，如此找寻，可得答案．
【解答】解：由全等形的概念可知：共有1对图形全等，即⑤和⑦能够重合．
故答案为：⑤和⑦．
12．如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x ＜ y（用“＞”或“＜”填空）．
【分析】由图知1号同学比2号同学矮，据此可解答．
【解答】解：如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x＜y，
故答案为：＜．
13．△ABC中，已知∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C的外角的度数是 140 °．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝80°，
∴∠C的外角＝∠A+∠B＝60°+80°＝140°．
故答案为：140．
14．如图．在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E为垂足，连接CD，若BD＝1，则AC的长是 2 ．
【分析】求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD＝CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．
【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∵DE垂直平分斜边AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD＝30°，
∴∠DCB＝60°﹣30°＝30°，
∵BD＝1，
∴CD＝AD＝2，
∴AB＝1+2＝3，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：CB＝，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝2，
故答案为：2．
15．甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动．图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶 千米．
【分析】根据函数的图形可以得到甲用了30分钟行驶了12千米，乙用12分钟行驶了12千米，分别算出速度即可求得结果．
【解答】解：∵据函数图形知：甲用了30分钟行驶了12千米，乙用（18﹣6）分钟行驶了12千米，
∴甲每分钟行驶12÷30＝千米，
乙每分钟行驶12÷12＝1千米，
∴每分钟乙比甲多行驶1﹣＝千米，
故答案为：．
16．如图，直线l1：y＝﹣2x+2交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2：y＝x+1交x轴于点D，交y轴于点C，直线l1、l2交于点M．
（1）点M坐标为 （，） ；
（2）若点E在y轴上，且△BME是以BM为一腰的等腰三角形，则E点坐标为 （0，）或（0，）或（0，） ．
【分析】（1）解析式联立，解方程即可求得；
（2）求得BM的长，分两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）解得，
∴点M坐标为（，），
故答案为（，）；
（2）∵直线l1：y＝﹣2x+2交x轴于点A，交y轴于点B，
∴B（0，2），
∴BM＝＝，
当B为顶点，则E（0，）或（0，）；
当M为顶点点，则MB＝ME，
E（0，），
综上，E点的坐标为（0，）或（0，）或（0，），
故答案为（0，）或（0，）或（0，）．
三．解答题（共7小题）
17．解不等式组
【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解①得：x＜10，
解②得：1≤x，
故不等式组的解为：1≤x＜10．
18．如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点C1点旋转180°得到△A2B2C2．
【分析】将△ABC向右平移4个单位后，横坐标变为x+4，而纵坐标不变，所以点A1、B1、C1的坐标可知，确定坐标点连线即可画出图形，将△ABC中的各点A、B、C旋转180°后，得到相应的对应点A2、B2、C2，连接各对应点即得△A2B2C2．
【解答】解：如图所示：
．
19．在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD与高BE的交点．
（1）求证：△ADC≌△BDF．
（2）连接CF，若CD＝4，求CF的长．
【分析】（1）先证明AD＝BD，再证明∠FBD＝∠DAC，从而利用ASA证明△BDF≌△ADC；
（2）利用全等三角形对应边相等得出DF＝CD＝4，根据勾股定理求出CF即可．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠FDB＝∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝45°＝∠ABD，
∴AD＝BD，
∵BE⊥AC，
∴∠AEF＝∠FDB＝90°，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴由三角形内角和定理得：∠CAD＝∠FBD，
在△ADC和△BDE中
∴△ADC≌△BDE（ASA）；
（2）解：∵△ADC≌△BDE，CD＝4，
∴DF＝CD＝4，
在Rt△FDC中，由勾股定理得：CF＝＝＝4．
20．在平面直角坐标系中，已知直线l：y＝﹣x+2交x轴于点A，交y轴于点B，直线l上的点P（m，n）在第一象限内，设△AOP的面积是S．
（1）写出S与m之间的函数表达式，并写出m的取值范围．
（2）当S＝3时，求点P的坐标．
（3）若直线OP平分△AOB的面积，求点P的坐标．
【分析】（1）根据点A、P的坐标求得△AOP的底边与高线的长度；然后根据三角形的面积公式即可求得S与m的函数关系式；
（2）将S＝3代入（1）中所求的式子，即可求出点P的坐标；
（3）由直线OP平分△AOB的面积，可知OP为△AOB的中线，点P为AB的中点，根据中点坐标公式即可求解．
【解答】解：∵直线l：y＝﹣x+2交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（4，0），B（0，2），
∵P（m，n）
∴S＝×4×（4﹣m）＝4﹣m，即S＝4﹣m．
∵点P（m，n）在第一象限内，∴m+2n＝4，
∴，
解得0＜m＜4；
（2）当S＝3时，4﹣m＝3，
解得m＝1，
此时y＝（4﹣1）＝，
故点P的坐标为（1，）；
（3）若直线OP平分△AOB的面积，则点P为AB的中点．
∵A（4，0），B（0，2），
∴点P的坐标为（2，1）．
21．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，E在AC边上，且AD＝AE．
（1）若∠BAD＝40°，求∠EDC的度数；
（2）若∠EDC＝15°，求∠BAD的度数；
（3）根据上述两小题的答案，试探索∠EDC与∠BAD的关系．
【分析】（1）根据等腰三角形性质求出∠B的度数，根据三角形的外角性质求出∠ADC，求出∠DAC，根据等腰三角形性质求出∠ADE即可；
（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，代入数据计算即可求出∠BAD的度数；
（3）根据（1）（2）的结论猜出即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝90°﹣∠BAC+40°＝130°﹣∠BAC，
∵∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝∠BAC﹣40°，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠DAC）＝110°﹣∠BAC，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝（130°﹣∠BAC）﹣（110°﹣∠BAC）＝20°，
故∠EDC的度数是20°．
（2）∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠EDC，
即∠BAD＝2∠EDC，
∵∠EDC＝15°，
∴∠BAD＝30°．
（3）∠EDC与∠BAD的数量关系是∠EDC＝∠BAD．
22．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意列出方程组求解，
（2）①据题意得，y＝﹣50x+15000，
②利用不等式求出x的范围，又因为y＝﹣50x+15000是减函数，所以x取34，y取最大值，
（3）据题意得，y＝（100+m）x﹣150（100﹣x），即y＝（m﹣50）x+15000，分三种情况讨论，①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，②m＝50时，m﹣50＝0，y＝15000，③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．
【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得
解得
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元．
（2）①据题意得，y＝100x+150（100﹣x），即y＝﹣50x+15000，
②据题意得，100﹣x≤2x，解得x≥33，
∵y＝﹣50x+15000，﹣50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x＝34时，y取最大值，则100﹣x＝66，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
（3）据题意得，y＝（100+m）x+150（100﹣x），即y＝（m﹣50）x+15000，
33≤x≤70
①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，
∴当x＝34时，y取最大值，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
②m＝50时，m﹣50＝0，y＝15000，
即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤70的整数时，均获得最大利润；
③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝70时，y取得最大值．
即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大．
23．如图①，已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．
（1）求点A、C的坐标；
（2）将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；
（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，即可求得A和C的坐标；
（2）根据题意可知△ACD是等腰三角形，算出AD长即可求得D点坐标，最后即可求出CD的解析式；
（3）将点P在不同象限进行分类，根据全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合题意的点P的坐标．
【解答】解：（1）A（2，0）；C（0，4）（2分）
（2）由折叠知：CD＝AD．设AD＝x，则CD＝x，BD＝4﹣x，
根据题意得：（4﹣x）2+22＝x2解得：
此时，AD＝，（2分）
设直线CD为y＝kx+4，把代入得（1分）
解得：
∴直线CD解析式为（1分）
（3）①当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0）
②当点P在第一象限时，如图，
由△APC≌△CBA得∠ACP＝∠CAB，
则点P在直线CD上．过P作PQ⊥AD于点Q，
在Rt△ADP中，
AD＝，PD＝BD＝＝，AP＝BC＝2
由AD×PQ＝DP×AP得：
∴
∴，把代入得
此时
（也可通过Rt△APQ勾股定理求AQ长得到点P的纵坐标）
③当点P在第二象限时，如图
同理可求得：
∴
此时
综合得，满足条件的点P有三个，
分别为：P1（0，0）；；．
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