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2019-2020学年浙江省杭州市拱墅区育才中学八年级（上）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年浙江省杭州市拱墅区育才中学八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题）
1．（3分）要使有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≤0
2．（3分）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（1，4）向左平移3个单位长度得到点Q，则点Q所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（3分）若x＞y，则下列式子错误的是（ ）
A．x﹣2＞y﹣2 B． C．﹣x＜﹣y D．1﹣x＞1﹣y
5．（3分）如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ）
A．已知两边及夹角 B．已知三边
C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角
6．（3分）△ABC三边长为a、b、c，则下列条件能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a＝7，b＝8，c＝10 B．a＝，b＝4，c＝5
C．a＝，b＝2，c＝ D．a＝3，b＝4，c＝6
7．（3分）若直线y＝kx+b经过一、二、四象限，则直线y＝bx﹣k的图象只能是图中的（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
9．（3分）关于x的不等式有解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3 B．a≤3 C．a≥3 D．a＞3
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB边上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是（ ）
A．1.5 B．2.5 C． D．3
二、填空题（共6小题）
11．（3分）计算3﹣的结果是 ．
12．（3分）如图，AD、BE是等边△ABC的两条高线，AD、BE交于点O，则∠AOB＝ 度．
13．（3分）命题“若a2＞b2则a＞b”是 命题（填“真”或“假”），它的逆命题是 ．
14．（3分）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3）．则关于x的不等式x+2≥ax+c的不等式的解为 ．
15．（3分）如图，长方形ABCD中，AD＝8，AB＝4，BQ＝5，点P在AD边上运动，当△BPQ为等腰三角形时，AP的长为 ．
16．（3分）如图，点E在△DBC边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC，给出下列结论，其中正确的是 （填序号）
①BD＝CE；②∠DCB＝∠ABD＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）．
三、解答题（共7小题）
17．（1）化简：﹣（﹣）
（2）解不等式组：
18．在平面直角坐标系中，点P（2﹣m，3m+6）．
（1）若点P与x轴的距离为9，求m的值；
（2）若点P在过点A（2，﹣3）且与y轴平行的直线上，求点P的坐标．
19．某业主贷款88000元购进一台机器，生产某种产品，已知产品的成本是每个5元，售价是每个8元，应付的税款和其他费用是售价的10%，若每个月能生产、销售8000个产品，问至少几个月后能赚回这台机器贷款？（用列不等式的方法解决）
20．如图，∠ADB＝∠ADC，∠B＝∠C．
（1）求证：AB＝AC；
（2）连接BC，求证：AD⊥BC．
21．已知一次函数y1＝kx+b（其中k、b为常数且k≠0）
（1）若一次函数y2＝bx﹣k，y1与y2的图象交于点（2，3），求k，b的值；
（2）若b＝k﹣1，当﹣2≤x≤2时，函数有最大值3，求此时一次函数y1的表达式．
22．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD＝CE．
（1）如图1，求证：∠CAE＝∠CBD；
（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；
（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC＝2，CE＝1，求△CGF的面积．
23．甲、乙两人相约周末沿同一条路线登山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题
（1）甲登山的速度是每分钟 米；乙在A地提速时，甲距地面的高度为 米；
（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍；
①求乙登山全过程中，登山时距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数解析式；
②乙计划在他提速后5分钟内追上甲，请判断乙的计划能实现吗？并说明理由；
（3）当x为多少时，甲、乙两人距地面的高度差为80米？
2019-2020学年浙江省杭州市拱墅区育才中学八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．（3分）要使有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≤0
【分析】根据二次根式的性质可以得到x﹣1是非负数，由此即可求解．
【解答】解：依题意得x﹣1≥0，
∴x≥1．
故选：A．
2．（3分）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长．
【解答】解：设第三边为x，
根据三角形的三边关系，得：4﹣1＜x＜4+1，
即3＜x＜5，
∵x为整数，
∴x的值为4．
三角形的周长为1+4+4＝9．
故选：C．
3．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（1，4）向左平移3个单位长度得到点Q，则点Q所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据平移规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减即可得．
【解答】解：平移后点Q的坐标为（1﹣3，4），即Q（﹣2，4），
∴点Q所在的象限是第二象限，
故选：B．
4．（3分）若x＞y，则下列式子错误的是（ ）
A．x﹣2＞y﹣2 B． C．﹣x＜﹣y D．1﹣x＞1﹣y
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵x＞y，
∴x﹣2＞y﹣2，故本选项不符合题意；
B．∵x＞y，
∴＞，故本选项不符合题意；
C．∵x＞y，
∴﹣x＜﹣y，故本选项不符合题意；
D．∵x＞y，
∴﹣x＜﹣y，
∴1﹣x＜1﹣y，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ）
A．已知两边及夹角 B．已知三边
C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角
【分析】观察图象可知已知线段AB，α，β，由此即可判断．
【解答】解：观察图象可知：已知线段AB，∠CAB＝α，∠CBA＝β，
故选：C．
6．（3分）△ABC三边长为a、b、c，则下列条件能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a＝7，b＝8，c＝10 B．a＝，b＝4，c＝5
C．a＝，b＝2，c＝ D．a＝3，b＝4，c＝6
【分析】如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
【解答】解：A、∵72+82≠102，∴△ABC不是直角三角形；
B、∵52+42＝（）2，∴△ABC是直角三角形；
C、∵22+（）2≠（）2，∴△ABC不是直角三角形；
D、∵32+42≠62，∴△ABC不是直角三角形；
故选：B．
7．（3分）若直线y＝kx+b经过一、二、四象限，则直线y＝bx﹣k的图象只能是图中的（ ）
A． B． C． D．
【分析】由直线经过的象限结合四个选项中的图象，即可得出结论．
【解答】解：∵直线y＝kx+b经过一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
∴﹣k＞0，
∴选项B中图象符合题意．
故选：B．
8．（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
【分析】根据OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE＝3∠ODC＝75°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．
【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，
∴∠ODC＝25°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，
∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．
故选：D．
9．（3分）关于x的不等式有解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3 B．a≤3 C．a≥3 D．a＞3
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找可得答案．
【解答】解：解不等式6﹣2x≤0，得：x≥3，
∵不等式组有解，
∴a≥3，
故选：C．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB边上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是（ ）
A．1.5 B．2.5 C． D．3
【分析】连接DE，由勾股定理求出AB＝5，由等腰三角形的性质得出CF＝DF，由线段垂直平分线的性质得出CE＝DE，由SSS证明△ADE≌△ACE，得出∠ADE＝∠ACE＝∠BDE＝90°，设CE＝DE＝x，则BE＝4﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：连接DE，如图所示，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵AD＝AC＝3，AF⊥CD，
∴DF＝CF，
∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝2，
在△ADE和△ACE中，
，
∴△ADE≌△ACE（SSS），
∴∠ADE＝∠ACE＝90°，
∴∠BDE＝90°，
设CE＝DE＝x，则BE＝4﹣x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE2+BD2＝BE2，
即x2+22＝（4﹣x）2，
解得：x＝1.5；
∴CE＝1.5；
∴BE＝4﹣1.5＝2.5
故选：B．
二、填空题（共6小题）
11．（3分）计算3﹣的结果是 ．
【分析】首先化简二次根式进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣2
＝．
故答案为：．
12．（3分）如图，AD、BE是等边△ABC的两条高线，AD、BE交于点O，则∠AOB＝ 120 度．
【分析】根据等边三角形的性质得出AB＝AC＝BC，∠CAB＝∠ABC＝60°，根据“三线合一”得出∠BAD＝BAC＝30°，∠ABE＝ABC＝30°，再根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠CAB＝∠ABC＝60°，
∵AD、BE是等边△ABC的两条高线，
∴∠BAD＝BAC＝30°，∠ABE＝ABC＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣∠BAD﹣∠ABE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
故答案为：120．
13．（3分）命题“若a2＞b2则a＞b”是 假 命题（填“真”或“假”），它的逆命题是 若a＞b则a2＞b2 ．
【分析】先写出命题的逆命题，然后在判断逆命题的真假．
【解答】解：“若a2＞b2则a＞b”，当a＝﹣2，b＝1时，满足a2＞b2，但不满足a＞b，所以是假命题；
命题“若a2＞b2则a＞b”的逆命题是若a＞b则a2＞b2；
故答案为：假；若a＞b则a2＞b2．
14．（3分）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3）．则关于x的不等式x+2≥ax+c的不等式的解为 x≥1 ．
【分析】先利用解析式y＝x+2确定P点坐标，然后结合图象，写出直线y＝ax+c在直线y＝x+2的下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：把P（m，3）代入y＝x+2得m+2＝3，解得m＝1，
∴P（1，3），
∵x≥1时，x+2≥ax+c，
∴关于x的不等式x+2≥ax+c的不等式的解为x≥1．
故答案为x≥1．
15．（3分）如图，长方形ABCD中，AD＝8，AB＝4，BQ＝5，点P在AD边上运动，当△BPQ为等腰三角形时，AP的长为 3或或2 ．
【分析】分三种情况：①BP＝BQ＝5时，由勾股定理得AP＝3；②当PB＝PQ时，点P在BQ的垂直平分线时，则AP＝BQ＝；③当QP＝QB＝5时，作QE⊥AD于E，则四边形ABQE是矩形，得AE＝BQ＝5，QE＝AB＝4，由勾股定理求出PE＝3，得AP＝AE﹣PE＝2即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，BC＝AD＝8，
分三种情况：
①BP＝BQ＝5时，AP＝＝＝3；
②当PB＝PQ时，作PM⊥BC于M，
则点P在BQ的垂直平分线时，如图1所示：
∴AP＝BQ＝；
③当QP＝QB＝5时，作QE⊥AD于E，如图2所示：
则四边形ABQE是矩形，
∴AE＝BQ＝5，QE＝AB＝4，
∴PE＝＝＝3，
∴AP＝AE﹣PE＝5﹣3＝2；
综上所述，当△BPQ为等腰三角形时，AP的长为3或或2；
故答案为：3或或2．
16．（3分）如图，点E在△DBC边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC，给出下列结论，其中正确的是 ①③ （填序号）
①BD＝CE；②∠DCB＝∠ABD＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）．
【分析】只要证明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质一一判断即可．
【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴△DAB≌△EAC，
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ECA，故①正确，
∵∠ACB＝45°≠∠DCA，故②错误，
∵∠ECB+∠EBC＝∠ABD+∠ECB+∠ABC＝45°+45°＝90°，
∴∠CEB＝90°，即CE⊥BD，故③正确，
∴BE2＝BC2﹣EC2＝2AB2﹣（CD2﹣DE2）＝2AB2﹣CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．
∴BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2，故④错误，
故答案为①③．
三、解答题（共7小题）
17．（1）化简：﹣（﹣）
（2）解不等式组：
【分析】（1）先将各二次根式进行化简，再进行二次根式的混合运算即可得到答案；
（2）分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）﹣（﹣）
＝
＝
＝；
（2）
解不等式①得：x＞﹣2；
解不等式②得：x≤2；
所以，不等式组的解集为：﹣2＜x≤2．
18．在平面直角坐标系中，点P（2﹣m，3m+6）．
（1）若点P与x轴的距离为9，求m的值；
（2）若点P在过点A（2，﹣3）且与y轴平行的直线上，求点P的坐标．
【分析】（1）根据点P与x轴的距离为9，即可得|3m+6|＝9，进而可求m的值；
（2）根据点P在过点A（2，﹣3）且与y轴平行的直线上，可得2﹣m＝2，进而可得点P的坐标．
【解答】解：（1）因为点P（2﹣m，3m+6），点P在x轴的距离为9，
所以|3m+6|＝9，
解得m＝1或﹣5．
答：m的值为1或﹣5；
（2）因为点P在过点A（2，﹣3）且与y轴平行的直线上，
所以2﹣m＝2，
解得m＝0，
所以2﹣m＝2，
3m+6＝6，
所以点P的坐标为（2，6）．
19．某业主贷款88000元购进一台机器，生产某种产品，已知产品的成本是每个5元，售价是每个8元，应付的税款和其他费用是售价的10%，若每个月能生产、销售8000个产品，问至少几个月后能赚回这台机器贷款？（用列不等式的方法解决）
【分析】设需要x个月后能赚回这台机器贷款，根据总利润不少于贷款金额，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【解答】解：设需要x个月后能赚回这台机器贷款，
依题意，得：（8﹣8×10%﹣5）×8000x≥88000，
解得：x≥5．
答：至少5个月后能赚回这台机器贷款．
20．如图，∠ADB＝∠ADC，∠B＝∠C．
（1）求证：AB＝AC；
（2）连接BC，求证：AD⊥BC．
【分析】（1）根据AAS推出△ADB≌△ADC，再根据全等三角形的性质得出即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得出A和D都在线段BC的垂直平分线上，即可得出答案．
【解答】证明：（1）∵在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC（AAS），
∴AB＝AC；
（2）∵△ADB≌△ADC，
∴AB＝AC，BD＝CD，
∴A和D都在线段BC的垂直平分线上，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
即AD⊥BC．
21．已知一次函数y1＝kx+b（其中k、b为常数且k≠0）
（1）若一次函数y2＝bx﹣k，y1与y2的图象交于点（2，3），求k，b的值；
（2）若b＝k﹣1，当﹣2≤x≤2时，函数有最大值3，求此时一次函数y1的表达式．
【分析】（1）把点（2，3）分别代入y1和y2，联立方程组，求出k和b的值即可；
（2）根据题意可得y1＝kx+k﹣1，分k＞0，k＜0两种情况，结合一次函数的性质求出k的值即可．
【解答】解：（1）∵y1与y2的图象交于点（2，3），
∴把点（2，3）代入y1与y2的解析式得，
，
解得，；
（2）根据题意可得y1＝kx+k﹣1，
①当k＞0时，在﹣2≤x≤2时，y1随x的增大而增大，
∴当x＝2时，y1＝3k﹣1＝2，
∴k＝1，
∴y1＝x；
②当k＜0时，在﹣2≤x≤2时，y1随x的增大而减小，
∴当x＝﹣2时，y1＝﹣k﹣1＝2，
∴k＝﹣3，
∴y1＝﹣3x﹣4．
综上所述，y1＝x或y1＝﹣3x﹣4．
22．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD＝CE．
（1）如图1，求证：∠CAE＝∠CBD；
（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；
（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC＝2，CE＝1，求△CGF的面积．
【分析】（1）直接判断出△ACE≌△BCD即可得出结论；
（2）先判断出∠BCF＝∠CBF，进而得出∠BCF＝∠CAE，即可得出结论；
（3）先求出BD＝3，进而求出CF＝，同理：EG＝，再利用等面积法求出ME，进而求出GM，最后用面积公式即可得出结论．
【解答】解：（1）在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CAE＝∠CBD；
（2）如图2，记AE与CF的交点为M，
在Rt△BCD中，点F是BD的中点，
∴CF＝BF，
∴∠BCF＝∠CBF，
由（1）知，∠CAE＝∠CBD，
∴∠BCF＝∠CAE，
∴∠CAE+∠ACF＝∠BCF+∠ACF＝∠ACB＝90°，
∴∠AMC＝90°，
∴AE⊥CF；
（3）如图3，记AE与CF的交点为M，
∵AC＝2，
∴BC＝AC＝2，
∵CE＝1，
∴CD＝CE＝1，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD＝＝3，
∵点F是BD中点，
∴CF＝DF＝BD＝，
同理：EG＝AE＝，
连接EF，过点F作FH⊥BC，
∵∠ACB＝90°，点F是BD的中点，
∴FH＝CD＝，
∴S△CEF＝CE•FH＝×1×＝，
由（2）知，AE⊥CF，
∴S△CEF＝CF•ME＝×ME＝ME，
∴ME＝，
∴ME＝，
∴GM＝EG﹣ME＝﹣＝，
∴S△CFG＝CF•GM＝××＝．
23．甲、乙两人相约周末沿同一条路线登山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题
（1）甲登山的速度是每分钟 10 米；乙在A地提速时，甲距地面的高度为 120 米；
（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍；
①求乙登山全过程中，登山时距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数解析式；
②乙计划在他提速后5分钟内追上甲，请判断乙的计划能实现吗？并说明理由；
（3）当x为多少时，甲、乙两人距地面的高度差为80米？
【分析】（1）由时间，速度，路程的基本关系式可解；
（2）①分段代入相关点的坐标，利用待定系数法来求解即可；
②分别计算甲乙距离地面的高度再比较即可；
（3）求出甲的函数解析式，分0≤x≤2时，2＜x≤11时，11＜x≤20时来讨论即可求解．
【解答】解：（1）甲登山的速度为：（300﹣100）÷20＝10米/分，100+10×2＝120米，
故答案为：10，120．
（2）①V乙＝3V甲＝30米/分，
t＝2+（300﹣30）÷30＝11（分钟），
设2到11分钟，乙的函数解析式为y＝kx+b，
∵直线经过A（2，30），（11，300），
∴解得
∴当2＜x≤11时，y＝30x﹣30
设当0≤x≤2时，乙的函数关系式为y＝ax，
∵直线经过A（2，30）
∴30＝2a解得a＝15，
∴当0≤x≤2时，y＝15x，
综上，
②能够实现．理由如下：
提速5分钟后，乙距地面高度为30×7﹣30＝180米．
此时，甲距地面高度为7×10+100＝170米．180米＞170米，所以此时，乙已经超过甲．
（3）设甲的函数解析式为：y＝mx+100，将（20，300）代入得：300＝20m+100
∴m＝10，
∴y＝10x+100．
∴当0≤x≤2时，由（10x+100）﹣15x＝80，解得x＝4＞2矛盾，故此时没有符合题意的解；
当2＜x≤11时，由|（10x+100）﹣（30x﹣30）|＝80得
|130﹣20x|＝80
∴x＝2.5或x＝10.5；
当11＜x≤20时，由300﹣（10x+100）＝80得x＝12
∴x＝2.5或10.5或12．
∴当x为2.5或10.5或12时，甲、乙两人距地面的高度差为80米．
一、选择题（共10小题）
1．（3分）要使有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≤0
2．（3分）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（1，4）向左平移3个单位长度得到点Q，则点Q所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（3分）若x＞y，则下列式子错误的是（ ）
A．x﹣2＞y﹣2 B． C．﹣x＜﹣y D．1﹣x＞1﹣y
5．（3分）如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ）
A．已知两边及夹角 B．已知三边
C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角
6．（3分）△ABC三边长为a、b、c，则下列条件能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a＝7，b＝8，c＝10 B．a＝，b＝4，c＝5
C．a＝，b＝2，c＝ D．a＝3，b＝4，c＝6
7．（3分）若直线y＝kx+b经过一、二、四象限，则直线y＝bx﹣k的图象只能是图中的（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
9．（3分）关于x的不等式有解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3 B．a≤3 C．a≥3 D．a＞3
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB边上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是（ ）
A．1.5 B．2.5 C． D．3
二、填空题（共6小题）
11．（3分）计算3﹣的结果是 ．
12．（3分）如图，AD、BE是等边△ABC的两条高线，AD、BE交于点O，则∠AOB＝ 度．
13．（3分）命题“若a2＞b2则a＞b”是 命题（填“真”或“假”），它的逆命题是 ．
14．（3分）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3）．则关于x的不等式x+2≥ax+c的不等式的解为 ．
15．（3分）如图，长方形ABCD中，AD＝8，AB＝4，BQ＝5，点P在AD边上运动，当△BPQ为等腰三角形时，AP的长为 ．
16．（3分）如图，点E在△DBC边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC，给出下列结论，其中正确的是 （填序号）
①BD＝CE；②∠DCB＝∠ABD＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）．
三、解答题（共7小题）
17．（1）化简：﹣（﹣）
（2）解不等式组：
18．在平面直角坐标系中，点P（2﹣m，3m+6）．
（1）若点P与x轴的距离为9，求m的值；
（2）若点P在过点A（2，﹣3）且与y轴平行的直线上，求点P的坐标．
19．某业主贷款88000元购进一台机器，生产某种产品，已知产品的成本是每个5元，售价是每个8元，应付的税款和其他费用是售价的10%，若每个月能生产、销售8000个产品，问至少几个月后能赚回这台机器贷款？（用列不等式的方法解决）
20．如图，∠ADB＝∠ADC，∠B＝∠C．
（1）求证：AB＝AC；
（2）连接BC，求证：AD⊥BC．
21．已知一次函数y1＝kx+b（其中k、b为常数且k≠0）
（1）若一次函数y2＝bx﹣k，y1与y2的图象交于点（2，3），求k，b的值；
（2）若b＝k﹣1，当﹣2≤x≤2时，函数有最大值3，求此时一次函数y1的表达式．
22．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD＝CE．
（1）如图1，求证：∠CAE＝∠CBD；
（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；
（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC＝2，CE＝1，求△CGF的面积．
23．甲、乙两人相约周末沿同一条路线登山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题
（1）甲登山的速度是每分钟 米；乙在A地提速时，甲距地面的高度为 米；
（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍；
①求乙登山全过程中，登山时距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数解析式；
②乙计划在他提速后5分钟内追上甲，请判断乙的计划能实现吗？并说明理由；
（3）当x为多少时，甲、乙两人距地面的高度差为80米？
2019-2020学年浙江省杭州市拱墅区育才中学八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．（3分）要使有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≤0
【分析】根据二次根式的性质可以得到x﹣1是非负数，由此即可求解．
【解答】解：依题意得x﹣1≥0，
∴x≥1．
故选：A．
2．（3分）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长．
【解答】解：设第三边为x，
根据三角形的三边关系，得：4﹣1＜x＜4+1，
即3＜x＜5，
∵x为整数，
∴x的值为4．
三角形的周长为1+4+4＝9．
故选：C．
3．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（1，4）向左平移3个单位长度得到点Q，则点Q所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据平移规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减即可得．
【解答】解：平移后点Q的坐标为（1﹣3，4），即Q（﹣2，4），
∴点Q所在的象限是第二象限，
故选：B．
4．（3分）若x＞y，则下列式子错误的是（ ）
A．x﹣2＞y﹣2 B． C．﹣x＜﹣y D．1﹣x＞1﹣y
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵x＞y，
∴x﹣2＞y﹣2，故本选项不符合题意；
B．∵x＞y，
∴＞，故本选项不符合题意；
C．∵x＞y，
∴﹣x＜﹣y，故本选项不符合题意；
D．∵x＞y，
∴﹣x＜﹣y，
∴1﹣x＜1﹣y，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ）
A．已知两边及夹角 B．已知三边
C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角
【分析】观察图象可知已知线段AB，α，β，由此即可判断．
【解答】解：观察图象可知：已知线段AB，∠CAB＝α，∠CBA＝β，
故选：C．
6．（3分）△ABC三边长为a、b、c，则下列条件能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a＝7，b＝8，c＝10 B．a＝，b＝4，c＝5
C．a＝，b＝2，c＝ D．a＝3，b＝4，c＝6
【分析】如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
【解答】解：A、∵72+82≠102，∴△ABC不是直角三角形；
B、∵52+42＝（）2，∴△ABC是直角三角形；
C、∵22+（）2≠（）2，∴△ABC不是直角三角形；
D、∵32+42≠62，∴△ABC不是直角三角形；
故选：B．
7．（3分）若直线y＝kx+b经过一、二、四象限，则直线y＝bx﹣k的图象只能是图中的（ ）
A． B． C． D．
【分析】由直线经过的象限结合四个选项中的图象，即可得出结论．
【解答】解：∵直线y＝kx+b经过一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
∴﹣k＞0，
∴选项B中图象符合题意．
故选：B．
8．（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
【分析】根据OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE＝3∠ODC＝75°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．
【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，
∴∠ODC＝25°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，
∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．
故选：D．
9．（3分）关于x的不等式有解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3 B．a≤3 C．a≥3 D．a＞3
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找可得答案．
【解答】解：解不等式6﹣2x≤0，得：x≥3，
∵不等式组有解，
∴a≥3，
故选：C．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB边上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是（ ）
A．1.5 B．2.5 C． D．3
【分析】连接DE，由勾股定理求出AB＝5，由等腰三角形的性质得出CF＝DF，由线段垂直平分线的性质得出CE＝DE，由SSS证明△ADE≌△ACE，得出∠ADE＝∠ACE＝∠BDE＝90°，设CE＝DE＝x，则BE＝4﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：连接DE，如图所示，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵AD＝AC＝3，AF⊥CD，
∴DF＝CF，
∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝2，
在△ADE和△ACE中，
，
∴△ADE≌△ACE（SSS），
∴∠ADE＝∠ACE＝90°，
∴∠BDE＝90°，
设CE＝DE＝x，则BE＝4﹣x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE2+BD2＝BE2，
即x2+22＝（4﹣x）2，
解得：x＝1.5；
∴CE＝1.5；
∴BE＝4﹣1.5＝2.5
故选：B．
二、填空题（共6小题）
11．（3分）计算3﹣的结果是 ．
【分析】首先化简二次根式进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣2
＝．
故答案为：．
12．（3分）如图，AD、BE是等边△ABC的两条高线，AD、BE交于点O，则∠AOB＝ 120 度．
【分析】根据等边三角形的性质得出AB＝AC＝BC，∠CAB＝∠ABC＝60°，根据“三线合一”得出∠BAD＝BAC＝30°，∠ABE＝ABC＝30°，再根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠CAB＝∠ABC＝60°，
∵AD、BE是等边△ABC的两条高线，
∴∠BAD＝BAC＝30°，∠ABE＝ABC＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣∠BAD﹣∠ABE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
故答案为：120．
13．（3分）命题“若a2＞b2则a＞b”是 假 命题（填“真”或“假”），它的逆命题是 若a＞b则a2＞b2 ．
【分析】先写出命题的逆命题，然后在判断逆命题的真假．
【解答】解：“若a2＞b2则a＞b”，当a＝﹣2，b＝1时，满足a2＞b2，但不满足a＞b，所以是假命题；
命题“若a2＞b2则a＞b”的逆命题是若a＞b则a2＞b2；
故答案为：假；若a＞b则a2＞b2．
14．（3分）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3）．则关于x的不等式x+2≥ax+c的不等式的解为 x≥1 ．
【分析】先利用解析式y＝x+2确定P点坐标，然后结合图象，写出直线y＝ax+c在直线y＝x+2的下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：把P（m，3）代入y＝x+2得m+2＝3，解得m＝1，
∴P（1，3），
∵x≥1时，x+2≥ax+c，
∴关于x的不等式x+2≥ax+c的不等式的解为x≥1．
故答案为x≥1．
15．（3分）如图，长方形ABCD中，AD＝8，AB＝4，BQ＝5，点P在AD边上运动，当△BPQ为等腰三角形时，AP的长为 3或或2 ．
【分析】分三种情况：①BP＝BQ＝5时，由勾股定理得AP＝3；②当PB＝PQ时，点P在BQ的垂直平分线时，则AP＝BQ＝；③当QP＝QB＝5时，作QE⊥AD于E，则四边形ABQE是矩形，得AE＝BQ＝5，QE＝AB＝4，由勾股定理求出PE＝3，得AP＝AE﹣PE＝2即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，BC＝AD＝8，
分三种情况：
①BP＝BQ＝5时，AP＝＝＝3；
②当PB＝PQ时，作PM⊥BC于M，
则点P在BQ的垂直平分线时，如图1所示：
∴AP＝BQ＝；
③当QP＝QB＝5时，作QE⊥AD于E，如图2所示：
则四边形ABQE是矩形，
∴AE＝BQ＝5，QE＝AB＝4，
∴PE＝＝＝3，
∴AP＝AE﹣PE＝5﹣3＝2；
综上所述，当△BPQ为等腰三角形时，AP的长为3或或2；
故答案为：3或或2．
16．（3分）如图，点E在△DBC边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC，给出下列结论，其中正确的是 ①③ （填序号）
①BD＝CE；②∠DCB＝∠ABD＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）．
【分析】只要证明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质一一判断即可．
【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴△DAB≌△EAC，
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ECA，故①正确，
∵∠ACB＝45°≠∠DCA，故②错误，
∵∠ECB+∠EBC＝∠ABD+∠ECB+∠ABC＝45°+45°＝90°，
∴∠CEB＝90°，即CE⊥BD，故③正确，
∴BE2＝BC2﹣EC2＝2AB2﹣（CD2﹣DE2）＝2AB2﹣CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．
∴BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2，故④错误，
故答案为①③．
三、解答题（共7小题）
17．（1）化简：﹣（﹣）
（2）解不等式组：
【分析】（1）先将各二次根式进行化简，再进行二次根式的混合运算即可得到答案；
（2）分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）﹣（﹣）
＝
＝
＝；
（2）
解不等式①得：x＞﹣2；
解不等式②得：x≤2；
所以，不等式组的解集为：﹣2＜x≤2．
18．在平面直角坐标系中，点P（2﹣m，3m+6）．
（1）若点P与x轴的距离为9，求m的值；
（2）若点P在过点A（2，﹣3）且与y轴平行的直线上，求点P的坐标．
【分析】（1）根据点P与x轴的距离为9，即可得|3m+6|＝9，进而可求m的值；
（2）根据点P在过点A（2，﹣3）且与y轴平行的直线上，可得2﹣m＝2，进而可得点P的坐标．
【解答】解：（1）因为点P（2﹣m，3m+6），点P在x轴的距离为9，
所以|3m+6|＝9，
解得m＝1或﹣5．
答：m的值为1或﹣5；
（2）因为点P在过点A（2，﹣3）且与y轴平行的直线上，
所以2﹣m＝2，
解得m＝0，
所以2﹣m＝2，
3m+6＝6，
所以点P的坐标为（2，6）．
19．某业主贷款88000元购进一台机器，生产某种产品，已知产品的成本是每个5元，售价是每个8元，应付的税款和其他费用是售价的10%，若每个月能生产、销售8000个产品，问至少几个月后能赚回这台机器贷款？（用列不等式的方法解决）
【分析】设需要x个月后能赚回这台机器贷款，根据总利润不少于贷款金额，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【解答】解：设需要x个月后能赚回这台机器贷款，
依题意，得：（8﹣8×10%﹣5）×8000x≥88000，
解得：x≥5．
答：至少5个月后能赚回这台机器贷款．
20．如图，∠ADB＝∠ADC，∠B＝∠C．
（1）求证：AB＝AC；
（2）连接BC，求证：AD⊥BC．
【分析】（1）根据AAS推出△ADB≌△ADC，再根据全等三角形的性质得出即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得出A和D都在线段BC的垂直平分线上，即可得出答案．
【解答】证明：（1）∵在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC（AAS），
∴AB＝AC；
（2）∵△ADB≌△ADC，
∴AB＝AC，BD＝CD，
∴A和D都在线段BC的垂直平分线上，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
即AD⊥BC．
21．已知一次函数y1＝kx+b（其中k、b为常数且k≠0）
（1）若一次函数y2＝bx﹣k，y1与y2的图象交于点（2，3），求k，b的值；
（2）若b＝k﹣1，当﹣2≤x≤2时，函数有最大值3，求此时一次函数y1的表达式．
【分析】（1）把点（2，3）分别代入y1和y2，联立方程组，求出k和b的值即可；
（2）根据题意可得y1＝kx+k﹣1，分k＞0，k＜0两种情况，结合一次函数的性质求出k的值即可．
【解答】解：（1）∵y1与y2的图象交于点（2，3），
∴把点（2，3）代入y1与y2的解析式得，
，
解得，；
（2）根据题意可得y1＝kx+k﹣1，
①当k＞0时，在﹣2≤x≤2时，y1随x的增大而增大，
∴当x＝2时，y1＝3k﹣1＝2，
∴k＝1，
∴y1＝x；
②当k＜0时，在﹣2≤x≤2时，y1随x的增大而减小，
∴当x＝﹣2时，y1＝﹣k﹣1＝2，
∴k＝﹣3，
∴y1＝﹣3x﹣4．
综上所述，y1＝x或y1＝﹣3x﹣4．
22．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD＝CE．
（1）如图1，求证：∠CAE＝∠CBD；
（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；
（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC＝2，CE＝1，求△CGF的面积．
【分析】（1）直接判断出△ACE≌△BCD即可得出结论；
（2）先判断出∠BCF＝∠CBF，进而得出∠BCF＝∠CAE，即可得出结论；
（3）先求出BD＝3，进而求出CF＝，同理：EG＝，再利用等面积法求出ME，进而求出GM，最后用面积公式即可得出结论．
【解答】解：（1）在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CAE＝∠CBD；
（2）如图2，记AE与CF的交点为M，
在Rt△BCD中，点F是BD的中点，
∴CF＝BF，
∴∠BCF＝∠CBF，
由（1）知，∠CAE＝∠CBD，
∴∠BCF＝∠CAE，
∴∠CAE+∠ACF＝∠BCF+∠ACF＝∠ACB＝90°，
∴∠AMC＝90°，
∴AE⊥CF；
（3）如图3，记AE与CF的交点为M，
∵AC＝2，
∴BC＝AC＝2，
∵CE＝1，
∴CD＝CE＝1，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD＝＝3，
∵点F是BD中点，
∴CF＝DF＝BD＝，
同理：EG＝AE＝，
连接EF，过点F作FH⊥BC，
∵∠ACB＝90°，点F是BD的中点，
∴FH＝CD＝，
∴S△CEF＝CE•FH＝×1×＝，
由（2）知，AE⊥CF，
∴S△CEF＝CF•ME＝×ME＝ME，
∴ME＝，
∴ME＝，
∴GM＝EG﹣ME＝﹣＝，
∴S△CFG＝CF•GM＝××＝．
23．甲、乙两人相约周末沿同一条路线登山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题
（1）甲登山的速度是每分钟 10 米；乙在A地提速时，甲距地面的高度为 120 米；
（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍；
①求乙登山全过程中，登山时距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数解析式；
②乙计划在他提速后5分钟内追上甲，请判断乙的计划能实现吗？并说明理由；
（3）当x为多少时，甲、乙两人距地面的高度差为80米？
【分析】（1）由时间，速度，路程的基本关系式可解；
（2）①分段代入相关点的坐标，利用待定系数法来求解即可；
②分别计算甲乙距离地面的高度再比较即可；
（3）求出甲的函数解析式，分0≤x≤2时，2＜x≤11时，11＜x≤20时来讨论即可求解．
【解答】解：（1）甲登山的速度为：（300﹣100）÷20＝10米/分，100+10×2＝120米，
故答案为：10，120．
（2）①V乙＝3V甲＝30米/分，
t＝2+（300﹣30）÷30＝11（分钟），
设2到11分钟，乙的函数解析式为y＝kx+b，
∵直线经过A（2，30），（11，300），
∴解得
∴当2＜x≤11时，y＝30x﹣30
设当0≤x≤2时，乙的函数关系式为y＝ax，
∵直线经过A（2，30）
∴30＝2a解得a＝15，
∴当0≤x≤2时，y＝15x，
综上，
②能够实现．理由如下：
提速5分钟后，乙距地面高度为30×7﹣30＝180米．
此时，甲距地面高度为7×10+100＝170米．180米＞170米，所以此时，乙已经超过甲．
（3）设甲的函数解析式为：y＝mx+100，将（20，300）代入得：300＝20m+100
∴m＝10，
∴y＝10x+100．
∴当0≤x≤2时，由（10x+100）﹣15x＝80，解得x＝4＞2矛盾，故此时没有符合题意的解；
当2＜x≤11时，由|（10x+100）﹣（30x﹣30）|＝80得
|130﹣20x|＝80
∴x＝2.5或x＝10.5；
当11＜x≤20时，由300﹣（10x+100）＝80得x＝12
∴x＝2.5或10.5或12．
∴当x为2.5或10.5或12时，甲、乙两人距地面的高度差为80米．
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