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2019-2020学年江苏省南通市崇川区九年级（上）期末数学试卷_
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2019-2020学年江苏省南通市崇川区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上
1．（3分）如果两个相似三角形的周长比是1：2，那么它们的面积比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1： D．：1
2．（3分）抛物线y＝x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x+1）2﹣3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2+3
3．（3分）已知反比例函数的图象经过点（m，3m），则此反比例函数的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
4．（3分）一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为（ ）
A．40° B．45° C．60° D．70°
6．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为（ ）
A．10π B． C．π D．π
8．（3分）生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产，现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y＝﹣n2+15n﹣36，那么该企业一年中应停产的月份是（ ）
A．1月，2月 B．1月，2月，3月
C．3月，12月 D．1月，2月，3月，12月
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
10．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，第11-13每小题3分，第14-18每小题3分，共29分不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）抛物线y＝2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为 ．
12．（3分）△ABC是等边三角形，点O是三条高的交点．若△ABC以点O为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则△ABC旋转的最小角度是 ．
13．（3分）某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8米，母线AB＝10米，则该圆锥的侧面积是 平方米（结果保留π）．
14．（4分）如图，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在直线AB上，且点C的纵坐标为﹣1，点D在反比例函数y＝的图象上，CD平行于y轴，S△OCD＝，则k的值为 ．
15．（4分）“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是“上升数”的概率是 ．
16．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB＝cos∠DAC，若sinC＝，BC＝12，则AD的长 ．
17．（4分）如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于 （结果保留根号）．
18．（4分）已知正方形ABCD边长为4，点P为其所在平面内一点，PD＝，∠BPD＝90°，则点A到BP的距离等于 ．
三、解答题（本大题共8小题，共91分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出解题过程或演算步骤
19．（12分）如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）求△AOC的面积；
（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集．（直接写出答案）
20．（10分）甲、乙两校分别有一男一女共4名教师报名到农村中学支教．
（1）若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选1名，则所选的2名教师性别相同的概率是 ．
（2）若从报名的4名教师中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名教师来自同一所学校的概率．
21．（12分）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．
（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD＝CD；
（2）当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．
22．（10分）已知⊙O是△ABC的外接圆．请根据下列条件，仅用无刻度的直尺，分别在图（1）和图（2）中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）．
（1）如图（1），AC＝BC；
（2）如图（2），直线l与⊙O相切于点D，l∥AB．
23．（8分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）
24．（13分）（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：＝；
（2）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．
①如图2，若AB＝AC＝1，直接写出MN的长；
②如图3，求证：MN2＝DM•EN．
25．（12分）如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明．
26．（14分）定义：如图1，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，若∠MPN绕点P旋转时始终满足OM•ON＝OP2，则称∠MPN是∠AOB的“相关角”．
（1）如图1，已知∠AOB＝60°，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，且∠MPN＝150°．求证：∠MPN是∠AOB的“相关角”；
（2）如图2，已知∠AOB＝α（0°＜α＜90°），OP＝3，若∠MPN是∠AOB的“相关角”，连结MN，用含α的式子分别表示∠MPN的度数和△MON的面积；
（3）如图3，C是函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于点A，B两点，且满足BC＝3CA，∠AOB的“相关角”为∠APB，请直接写出OP的长及相应点P的坐标．
2019-2020学年江苏省南通市崇川区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上
1．（3分）如果两个相似三角形的周长比是1：2，那么它们的面积比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1： D．：1
【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长比是1：2，
∴它们的面积比是：1：4．
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
2．（3分）抛物线y＝x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x+1）2﹣3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2+3
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y＝x2向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2；
由“上加下减”的原则可知，抛物线y＝（x﹣1）2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+3．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
3．（3分）已知反比例函数的图象经过点（m，3m），则此反比例函数的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【分析】只需把所给点的横纵坐标相乘，判断出k的取值范围，再判断出函数所在的象限．
【解答】解：将点（m，3m）代入反比例函数得，
k＝m•3m＝3m2＞0；
故函数在第一、三象限，
故选：B．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于该反比例函数系数．
4．（3分）一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．
【解答】解：6个黑球3个白球一共有9个球，所以摸到白球的概率是．
故选：B．
【点评】本题考查了概率的基本计算，摸到白球的概率是白球数比总的球数．
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为（ ）
A．40° B．45° C．60° D．70°
【分析】根据切线的性质得到∠BAC＝90°，根据直角三角形的性质求出∠ABC，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点D，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠C＝20°，
由圆周角定理得，∠AOD＝2∠ABC＝40°，
故选：A．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
6．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据勾股定理计算出斜边AB的长，然后根据正弦的定义求解．
【解答】解：如图，
∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∴sinB＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．也考查了勾股定理．
7．（3分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为（ ）
A．10π B． C．π D．π
【分析】由题意可知点A所经过的路径为以C为圆心，CA长为半径，圆心角为60°的弧长，故在直角三角形ACD中，由AD及DC的长，利用勾股定理求出AC的长，然后利用弧长公式即可求出．
【解答】解：如图所示：
在Rt△ACD中，AD＝3，DC＝1，
根据勾股定理得：AC＝＝，
又将△ABC绕点C顺时针旋转60°，
则顶点A所经过的路径长为l＝＝π．
故选：C．
【点评】此题考查了弧长公式，以及勾股定理，解本题的关键是根据题意得到点A所经过的路径为以C为圆心，CA长为半径，圆心角为60°的弧长．
8．（3分）生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产，现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y＝﹣n2+15n﹣36，那么该企业一年中应停产的月份是（ ）
A．1月，2月 B．1月，2月，3月
C．3月，12月 D．1月，2月，3月，12月
【分析】求出利润为0时n的值，即令y＝0，则﹣n2+15n﹣36＝0，解方程得到n1＝3，n2＝12，所以3月和12月要停产，然后根据二次函数的性质得到抛物线开口向下，则n＝1和n＝2时，y＜0，于是得到该企业一年中应停产的月份还有是1月，2月．
【解答】解：令y＝0，则﹣n2+15n﹣36＝0，
∴n2﹣15n+36＝0，
∴（n﹣3）（n﹣12）＝0，
∴n1＝3，n2＝12，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴n＝1和n＝2时，y＜0，
∴该企业一年中应停产的月份是1月，2月，3月，12月．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的应用：根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的性质解决实际问题．
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
【分析】过D作DE⊥AC与E点，设BC＝a，则AC＝4a，根据等角的余角相等得到∠1＝∠3，易证得△ABC≌△DAE，所以AE＝BC＝a，DE＝AC＝4a，得到EC＝AC﹣AE＝4a﹣a＝3a，在Rt△DEC中，根据勾股定理得到DC＝5a，所以有x＝5a，即a＝x；根据四边形ABCD的面积y＝三角形ABC的面积+三角形ACD的面积，即可得到y＝×a×4a+×4a×4a＝10a2＝x2．
【解答】解：过D作DE⊥AC于E点，如图，
设BC＝a，则AC＝4a，
∵∠BAD＝90°，∠AED＝90°，
∴∠1＝∠3，
而∠ACB＝90°，AB＝AD，
∴△ABC≌△DAE，
∴AE＝BC＝a，DE＝AC＝4a，
∴EC＝AC﹣AE＝4a﹣a＝3a，
在Rt△DEC中，DC＝5a，
∴x＝5a，即a＝x，
又∵四边形ABCD的面积y＝三角形ABC的面积+三角形ACD的面积，
∴y＝×a×4a+×4a×4a＝10a2＝x2．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质．也考查了勾股定理以及三角形的面积公式．
10．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，求出BC、BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．
在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝3，
∴BC＝＝5，
∵CD＝DB，
∴ED＝DC＝DB＝，
∵•BC•AH＝•AB•AC，
∴AH＝，
∵AE＝AB，
∴点A在BE的垂直平分线上．
∵DE＝DB＝DC，
∴点D在BE的垂直平分线上，△BCE是直角三角形，
∴AD垂直平分线段BE，
∵•AD•BO＝•BD•AH，
∴OB＝，
∴BE＝2OB＝，
在Rt△BCE中，EC＝＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共8小题，第11-13每小题3分，第14-18每小题3分，共29分不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）抛物线y＝2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为 8 ．
【分析】由抛物线y＝2x2+8x+m与x轴只有一个公共点可知，对应的一元二次方程2x2+8x+m＝0，根的判别式△＝b2﹣4ac＝0，由此即可得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．
【解答】解：∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴△＝0，
∴b2﹣4ac＝82﹣4×2×m＝0；
∴m＝8．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了二次函数根的判别式的和抛物线与x轴的交点个数的关系．
12．（3分）△ABC是等边三角形，点O是三条高的交点．若△ABC以点O为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则△ABC旋转的最小角度是 120° ．
【分析】根据旋转的性质及等边三角形的性质求解．
【解答】解：若△ABC以O为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，
根据旋转变化的性质，可得△ABC旋转的最小角度为360°÷3＝120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查旋转的性质：变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心．
13．（3分）某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8米，母线AB＝10米，则该圆锥的侧面积是 60π 平方米（结果保留π）．
【分析】根据勾股定理求得OB，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S＝lr，求得答案即可．
【解答】解：∵AO＝8米，AB＝10米，∴OB＝6米，
∴圆锥的底面周长＝2×π×6＝12π米，
∴S扇形＝lr＝×12π×10＝60π米2，
故答案为60π．
【点评】本题考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
14．（4分）如图，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在直线AB上，且点C的纵坐标为﹣1，点D在反比例函数y＝的图象上，CD平行于y轴，S△OCD＝，则k的值为 3 ．
【分析】把y＝﹣1代入y＝x﹣2求出C的横坐标，得出OM＝2，CM＝1，根据CD∥y轴得出D的横坐标是2，根据三角形的面积求出CD的值，求出MD，得出D的纵坐标，把D的坐标代入反比例函数的解析式求出k即可．
【解答】解：∵点C在直线AB上，即在直线y＝x﹣2上，点C的纵坐标为﹣1，
∴代入得：﹣1＝x﹣2，
解得，x＝2，即C（2，﹣1），
∴OM＝2，
∵CD∥y轴，S△OCD＝，
∴CD×OM＝，
∴CD＝，
∴MD＝﹣1＝，
即D的坐标是（2，），
∵D在双曲线y＝上，
∴代入得：k＝2×＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数、反比例函数的图象上点的坐标特征、三角形的面积等知识点，通过做此题培养了学生的计算能力和理解能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
15．（4分）“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是“上升数”的概率是 0.4 ．
【分析】先列举出所有上升数，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：两位数一共有99﹣10+1＝90个，
上升数为：
12，13，14，15，16，17，18，19，
23，24，25，26，27，28，29，
34，35，36，37，38，39，
45，46，47，48，49，
56，57，58，59，
67，68，69，
78，79，
89，
共8+7+6+5+4+3+2+1＝36个．
概率为36÷90＝0.4．
故答案为：0.4．
【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝；易错点是得到上升两位数的个数．
16．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB＝cos∠DAC，若sinC＝，BC＝12，则AD的长 8 ．
【分析】在Rt△ADC中，利用正弦的定义得sinC＝＝，则可设AD＝12x，所以AC＝13x，利用勾股定理计算出DC＝5x，由于cos∠DAC＝sinC得到tanB＝，接着在Rt△ABD中利用正切的定义得到BD＝13x，所以13x+5x＝12，解得x＝，然后利用AD＝12x进行计算．
【解答】解：在Rt△ADC中，sinC＝＝，
设AD＝12x，则AC＝13x，
∴DC＝＝5x，
∵cos∠DAC＝sinC＝，
∴tanB＝，
在Rt△ABD中，∵tanB＝＝，
而AD＝12x，
∴BD＝13x，
∴13x+5x＝12，解得x＝，
∴AD＝12x＝8．
故答案为8．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
17．（4分）如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于 （结果保留根号）．
【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，再根据求出其边长，可根据三角函数得出三角形面积．
【解答】解：∵△ABC∽△ADE，AB＝2AD，
∴＝，
∵AB＝2AD，S△ABC＝，
∴S△ADE＝，
如图，在△EAF中，过点F作FH⊥AE交AE于H，
∵∠EAF＝∠BAD＝45°，∠AEF＝60°，
∴∠AFH＝45°，∠EFH＝30°，
∴AH＝HF，
设AH＝HF＝x，则EH＝xtan30°＝x．
作CM⊥AB交AB于M，
∵△ABC是面积为的等边三角形，
∴×AB×CM＝，
∠BCM＝30°，
设AB＝2k，BM＝k，CM＝k，
∴k＝1，AB＝2，
∴AE＝AB＝1，
∴x+x＝1，
解得x＝＝．
∴S△AEF＝×1×＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质等知识点，解得此题的关键是根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，然后问题可解．
18．（4分）已知正方形ABCD边长为4，点P为其所在平面内一点，PD＝，∠BPD＝90°，则点A到BP的距离等于 或 ．
【分析】由题意可得点P在以D为圆心，为半径的圆上，同时点P也在以BD为直径的圆上，即点P是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理可求BP，AH的长，即可求点A到BP的距离．
【解答】解：∵点P满足PD＝，
∴点P在以D为圆心，为半径的圆上，
∵∠BPD＝90°，
∴点P在以BD为直径的圆上，
∴如图，点P是两圆的交点，
若点P在AD上方，连接AP，过点A作AH⊥BP，
∵CD＝4＝BC，∠BCD＝90°，
∴BD＝4，
∵∠BPD＝90°，
∴BP＝＝3，
∵∠BPD＝90°＝∠BAD，
∴点A，点B，点D，点P四点共圆，
∴∠APB＝∠ADB＝45°，且AH⊥BP，
∴∠HAP＝∠APH＝45°，
∴AH＝HP，
在Rt△AHB中，AB2＝AH2+BH2，
∴16＝AH2+（3﹣AH）2，
∴AH＝（不合题意），或AH＝，
若点P在CD的右侧，
同理可得AH＝，
综上所述：AH＝或．
【点评】本题考查正方形的性质，两圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解．
三、解答题（本大题共8小题，共91分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出解题过程或演算步骤
19．（12分）如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）求△AOC的面积；
（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集．（直接写出答案）
【分析】（1）由B点在反比例函数y＝上，可求出m，再由A点在函数图象上，由待定系数法求出函数解析式；
（2）由上问求出的函数解析式联立方程求出A，B，C三点的坐标，从而求出△AOC的面积；
（3）由图象观察函数y＝的图象在一次函数y＝kx+b图象的上方，对应的x的范围．
【解答】解：（1）∵B（1，4）在反比例函数y＝上，
∴m＝4，
又∵A（n，﹣2）在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝﹣2，
又∵A（﹣2，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的上的点，联立方程组解得，
k＝2，b＝2，
∴，y＝2x+2；
（2）过点A作AD⊥CD，
∵一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点为A，B，联立方程组解得，
A（﹣2，﹣2），B（1，4），C（0，2），
∴AD＝2，CO＝2，
∴△AOC的面积为：S＝AD•CO＝×2×2＝2；
（3）由图象知：当0＜x＜1和﹣2＜x＜0时函数y＝的图象在一次函数y＝kx+b图象的上方，
∴不等式kx+b﹣＜0的解集为：0＜x＜1或x＜﹣2．
【点评】此题考查一次函数和反比例函数的性质及图象，考查用待定系数法求函数的解析式，还间接考查函数的增减性，从而来解不等式．
20．（10分）甲、乙两校分别有一男一女共4名教师报名到农村中学支教．
（1）若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选1名，则所选的2名教师性别相同的概率是 ．
（2）若从报名的4名教师中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名教师来自同一所学校的概率．
【分析】（1）根据甲、乙两校分别有一男一女，列出树状图，得出所有情况，再根据概率公式即可得出答案；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意画图如下：
共有4种情况，其中所选的2名教师性别相同的有2种，
则所选的2名教师性别相同的概率是＝；
故答案为：；
（2）将甲、乙两校报名的教师分别记为甲1、甲2、乙1、乙2（注：1表示男教师，2表示女教师），树状图如图所示：
所以P（两名教师来自同一所学校）＝＝．
【点评】本题考查列表法和树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．
21．（12分）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．
（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD＝CD；
（2）当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．
【分析】（1）先运用SAS判定△AED≌△FDE，可得DF＝AE，再根据AE＝AB＝CD，即可得出CD＝DF；
（2）当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG＝60°，即可得到旋转角α的度数．
【解答】解：（1）由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，
∴∠AEB＝∠ABE，
又∵∠ABE+∠EDA＝90°＝∠AEB+∠DEF，
∴∠EDA＝∠DEF，
又∵DE＝ED，
∴△AED≌△FDE（SAS），
∴DF＝AE，
又∵AE＝AB＝CD，
∴CD＝DF；
（2）如图，当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，
∵GC＝GB，
∴GH⊥BC，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM＝BH＝AD＝AG，
∴GM垂直平分AD，
∴GD＝GA＝DA，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角α＝60°；
②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角α＝360°﹣60°＝300°．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
22．（10分）已知⊙O是△ABC的外接圆．请根据下列条件，仅用无刻度的直尺，分别在图（1）和图（2）中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）．
（1）如图（1），AC＝BC；
（2）如图（2），直线l与⊙O相切于点D，l∥AB．
【分析】（1）作直线OC即可．
（2）连接DA，DB，可证△DAB是等腰三角形，根据垂径定理可证，直线OD平分AB，设直线OD交AB于E，则AE＝EB，作直线EC即可．
【解答】解：（1）如图，直线OC即为所求．
（2）如图，直线EC即为所求．
【点评】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，垂径定理，三角形中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．（8分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）
【分析】根据sin30°＝＝，求出CF的长，根据sin60°＝，再求出BF的长，即可得出CE的长．
【解答】解：由题意得：AD⊥CE，
过点B作BF⊥CE，BG⊥EA，
∵灯罩BC长为30cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，
∵CF⊥FB，即三角形CFB为直角三角形，
∴sin30°＝＝，
∴CF＝15cm，
在直角三角形ABG中，sin60°＝，
∴＝，
解得：BG＝20，
又∠ADC＝∠BFD＝∠BGD＝90°，
∴四边形BFDG为矩形，
∴FD＝BG，
∴CE＝CF+FD+DE＝CF+BG+ED＝15+20+2≈51.6（cm）．
答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是51.6cm．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
24．（13分）（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：＝；
（2）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．
①如图2，若AB＝AC＝1，直接写出MN的长；
②如图3，求证：MN2＝DM•EN．
【分析】（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出＝；
（2）①根据三角形的面积公式求出BC边上的高，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长，根据等于高之比即可求出MN；
②可得出△BGD∽△EFC，则DG•EF＝CF•BG；又由DG＝GF＝EF，得GF2＝CF•BG，再根据（1）＝＝，从而得出答案．
【解答】（1）证明：在△ABQ和△ADP中，
∵DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ，
∴＝，
同理在△ACQ和△APE中，
＝，
∴＝．
（2）①作AQ⊥BC于点Q．
∵BC边上的高AQ＝，
∵DE＝DG＝GF＝EF＝BG＝CF
∴DE：BC＝1：3
又∵DE∥BC，
∴AD：AB＝1：3，
∴AD＝，DE＝，
∵DE边上的高为，MN：GF＝：，
∴MN：＝：，
∴MN＝．
故答案为：．
②证明：∵∠B+∠C＝90°∠CEF+∠C＝90°，
∴∠B＝∠CEF，
又∵∠BGD＝∠EFC，
∴△BGD∽△EFC，
∴＝，
∴DG•EF＝CF•BG，
又∵DG＝GF＝EF，
∴GF2＝CF•BG，
由（1）得＝＝，
∴×＝•，
∴（）2＝•，
∵GF2＝CF•BG，
∴MN2＝DM•EN．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大．
25．（12分）如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明．
【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；
（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可．
【解答】解：（1）设抛物线为y＝a（x﹣4）2﹣1，
∵抛物线经过点A（0，3），
∴3＝a（0﹣4）2﹣1，
a＝；
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x+3；
（2）相交．
证明：连接CE，则CE⊥BD，（x﹣4）2﹣1＝0时，x1＝2，x2＝6．
A（0，3），B（2，0），C（6，0），
对称轴x＝4，
∴OB＝2，AB＝，BC＝4，
∵AB⊥BD，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠EBC＝90°，
∴△AOB∽△BEC，
∴，即＝，解得CE＝，
∵＞2，
故抛物线的对称轴l与⊙C相交．
【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识．
26．（14分）定义：如图1，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，若∠MPN绕点P旋转时始终满足OM•ON＝OP2，则称∠MPN是∠AOB的“相关角”．
（1）如图1，已知∠AOB＝60°，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，且∠MPN＝150°．求证：∠MPN是∠AOB的“相关角”；
（2）如图2，已知∠AOB＝α（0°＜α＜90°），OP＝3，若∠MPN是∠AOB的“相关角”，连结MN，用含α的式子分别表示∠MPN的度数和△MON的面积；
（3）如图3，C是函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于点A，B两点，且满足BC＝3CA，∠AOB的“相关角”为∠APB，请直接写出OP的长及相应点P的坐标．
【分析】（1）由角平分线求出∠MOP＝∠NOP＝∠AOB＝430°，再证出∠OMP＝∠OPN，证明△MOP∽△PON，即可得出结论；
（2）由∠MPN是∠AOB的“相关角”，判断出△MOP∽△PON，得出∠OMP＝∠OPN，即可得出∠MPN＝180°﹣α；过点M作MH⊥OB于H，由三角形的面积公式得出：S△MON＝ON•MH，即可得出结论；
（3）设点C（a，b），则ab＝3，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：
①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，BC＝3CA不可能；
当点A在x轴的正半轴上时；先求出＝，由平行线得出△ACH∽△ABO，得出比例式：＝，得出OB，OA，求出OA•OB，根据∠APB是∠AOB的“相关角”，得出OP，即可得出点P的坐标；
②当点B在y轴的负半轴上时；同①的方法即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠AOB＝60°，P为∠AOB的平分线上一点，
∴∠AOP＝∠BOP＝∠AOB＝30°，
∵∠MOP+∠OMP+∠MPO＝180°，
∴∠OMP+∠MPO＝150°，
∵∠MPN＝150°，
∴∠MPO+∠OPN＝150°，
∴∠OMP＝∠OPN，
∴△MOP∽△PON，
∴，
∴OP2＝OM•ON，
∴∠MPN是∠AOB的“相关角”；
（2）解：∵∠MPN是∠AOB的“相关角”，
∴OM•ON＝OP2，
∴，
∵P为∠AOB的平分线上一点，
∴∠MOP＝∠NOP＝α，
∴△MOP∽△PON，
∴∠OMP＝∠OPN，
∴∠MPN＝∠OPN+∠OPM＝∠OMP+∠OPM＝180°﹣α，
即∠MPN＝180°﹣α；
过点M作MH⊥OB于H，如图2，
则S△MON＝ON•MH＝ON•OMsinα＝OP2•sinα，
∵OP＝3，
∴S△MON＝sinα；
（3）设点C（a，b），则ab＝4，
过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：
①当点B在y轴正半轴上时；
Ⅰ、当点A在x轴的负半轴上，如图3所示：
BC＝3CA不可能，
Ⅱ、当点A在x轴的正半轴上时，如图4所示：
∵BC＝3CA，
∴＝，
∵CH∥OB，
∴△ACH∽△ABO，
∴＝，
∴
∴OB＝4b，OA＝a，
∴OA•OB＝a•4b＝ab＝，
∵∠APB是∠AOB的“相关角”，
∴OP2＝OA•OB，
∴OP＝＝＝，
∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，
∴点P的坐标为：（，）；
②当点B在y轴的负半轴上时，如图5所示：
∵BC＝3CA，
∴AB＝2CA，
∴＝，
∵CH∥OB，
∴△ACH∽△ABO，
∴＝，
∴＝
∴OB＝2b，OA＝a，
∴OA•OB＝a•2b＝ab＝，
∵∠APB是∠AOB的“相关角”，
∴OP2＝OA•OB，
∴OP＝＝＝，
∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，
∴点P的坐标为：（，﹣）；
综上所述：点P的坐标为：（，）或（，﹣）．
【点评】本题是反比例函数综合题目，考查了角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、新定义以及运用、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过作辅助线进行分类讨论，证明三角形相似才能得出结果．
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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上
1．（3分）如果两个相似三角形的周长比是1：2，那么它们的面积比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1： D．：1
2．（3分）抛物线y＝x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x+1）2﹣3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2+3
3．（3分）已知反比例函数的图象经过点（m，3m），则此反比例函数的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
4．（3分）一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为（ ）
A．40° B．45° C．60° D．70°
6．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为（ ）
A．10π B． C．π D．π
8．（3分）生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产，现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y＝﹣n2+15n﹣36，那么该企业一年中应停产的月份是（ ）
A．1月，2月 B．1月，2月，3月
C．3月，12月 D．1月，2月，3月，12月
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
10．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，第11-13每小题3分，第14-18每小题3分，共29分不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）抛物线y＝2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为 ．
12．（3分）△ABC是等边三角形，点O是三条高的交点．若△ABC以点O为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则△ABC旋转的最小角度是 ．
13．（3分）某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8米，母线AB＝10米，则该圆锥的侧面积是 平方米（结果保留π）．
14．（4分）如图，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在直线AB上，且点C的纵坐标为﹣1，点D在反比例函数y＝的图象上，CD平行于y轴，S△OCD＝，则k的值为 ．
15．（4分）“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是“上升数”的概率是 ．
16．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB＝cos∠DAC，若sinC＝，BC＝12，则AD的长 ．
17．（4分）如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于 （结果保留根号）．
18．（4分）已知正方形ABCD边长为4，点P为其所在平面内一点，PD＝，∠BPD＝90°，则点A到BP的距离等于 ．
三、解答题（本大题共8小题，共91分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出解题过程或演算步骤
19．（12分）如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）求△AOC的面积；
（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集．（直接写出答案）
20．（10分）甲、乙两校分别有一男一女共4名教师报名到农村中学支教．
（1）若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选1名，则所选的2名教师性别相同的概率是 ．
（2）若从报名的4名教师中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名教师来自同一所学校的概率．
21．（12分）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．
（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD＝CD；
（2）当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．
22．（10分）已知⊙O是△ABC的外接圆．请根据下列条件，仅用无刻度的直尺，分别在图（1）和图（2）中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）．
（1）如图（1），AC＝BC；
（2）如图（2），直线l与⊙O相切于点D，l∥AB．
23．（8分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）
24．（13分）（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：＝；
（2）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．
①如图2，若AB＝AC＝1，直接写出MN的长；
②如图3，求证：MN2＝DM•EN．
25．（12分）如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明．
26．（14分）定义：如图1，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，若∠MPN绕点P旋转时始终满足OM•ON＝OP2，则称∠MPN是∠AOB的“相关角”．
（1）如图1，已知∠AOB＝60°，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，且∠MPN＝150°．求证：∠MPN是∠AOB的“相关角”；
（2）如图2，已知∠AOB＝α（0°＜α＜90°），OP＝3，若∠MPN是∠AOB的“相关角”，连结MN，用含α的式子分别表示∠MPN的度数和△MON的面积；
（3）如图3，C是函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于点A，B两点，且满足BC＝3CA，∠AOB的“相关角”为∠APB，请直接写出OP的长及相应点P的坐标．
2019-2020学年江苏省南通市崇川区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上
1．（3分）如果两个相似三角形的周长比是1：2，那么它们的面积比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1： D．：1
【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长比是1：2，
∴它们的面积比是：1：4．
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
2．（3分）抛物线y＝x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x+1）2﹣3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2+3
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y＝x2向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2；
由“上加下减”的原则可知，抛物线y＝（x﹣1）2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+3．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
3．（3分）已知反比例函数的图象经过点（m，3m），则此反比例函数的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【分析】只需把所给点的横纵坐标相乘，判断出k的取值范围，再判断出函数所在的象限．
【解答】解：将点（m，3m）代入反比例函数得，
k＝m•3m＝3m2＞0；
故函数在第一、三象限，
故选：B．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于该反比例函数系数．
4．（3分）一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．
【解答】解：6个黑球3个白球一共有9个球，所以摸到白球的概率是．
故选：B．
【点评】本题考查了概率的基本计算，摸到白球的概率是白球数比总的球数．
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为（ ）
A．40° B．45° C．60° D．70°
【分析】根据切线的性质得到∠BAC＝90°，根据直角三角形的性质求出∠ABC，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点D，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠C＝20°，
由圆周角定理得，∠AOD＝2∠ABC＝40°，
故选：A．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
6．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据勾股定理计算出斜边AB的长，然后根据正弦的定义求解．
【解答】解：如图，
∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∴sinB＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．也考查了勾股定理．
7．（3分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为（ ）
A．10π B． C．π D．π
【分析】由题意可知点A所经过的路径为以C为圆心，CA长为半径，圆心角为60°的弧长，故在直角三角形ACD中，由AD及DC的长，利用勾股定理求出AC的长，然后利用弧长公式即可求出．
【解答】解：如图所示：
在Rt△ACD中，AD＝3，DC＝1，
根据勾股定理得：AC＝＝，
又将△ABC绕点C顺时针旋转60°，
则顶点A所经过的路径长为l＝＝π．
故选：C．
【点评】此题考查了弧长公式，以及勾股定理，解本题的关键是根据题意得到点A所经过的路径为以C为圆心，CA长为半径，圆心角为60°的弧长．
8．（3分）生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产，现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y＝﹣n2+15n﹣36，那么该企业一年中应停产的月份是（ ）
A．1月，2月 B．1月，2月，3月
C．3月，12月 D．1月，2月，3月，12月
【分析】求出利润为0时n的值，即令y＝0，则﹣n2+15n﹣36＝0，解方程得到n1＝3，n2＝12，所以3月和12月要停产，然后根据二次函数的性质得到抛物线开口向下，则n＝1和n＝2时，y＜0，于是得到该企业一年中应停产的月份还有是1月，2月．
【解答】解：令y＝0，则﹣n2+15n﹣36＝0，
∴n2﹣15n+36＝0，
∴（n﹣3）（n﹣12）＝0，
∴n1＝3，n2＝12，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴n＝1和n＝2时，y＜0，
∴该企业一年中应停产的月份是1月，2月，3月，12月．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的应用：根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的性质解决实际问题．
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
【分析】过D作DE⊥AC与E点，设BC＝a，则AC＝4a，根据等角的余角相等得到∠1＝∠3，易证得△ABC≌△DAE，所以AE＝BC＝a，DE＝AC＝4a，得到EC＝AC﹣AE＝4a﹣a＝3a，在Rt△DEC中，根据勾股定理得到DC＝5a，所以有x＝5a，即a＝x；根据四边形ABCD的面积y＝三角形ABC的面积+三角形ACD的面积，即可得到y＝×a×4a+×4a×4a＝10a2＝x2．
【解答】解：过D作DE⊥AC于E点，如图，
设BC＝a，则AC＝4a，
∵∠BAD＝90°，∠AED＝90°，
∴∠1＝∠3，
而∠ACB＝90°，AB＝AD，
∴△ABC≌△DAE，
∴AE＝BC＝a，DE＝AC＝4a，
∴EC＝AC﹣AE＝4a﹣a＝3a，
在Rt△DEC中，DC＝5a，
∴x＝5a，即a＝x，
又∵四边形ABCD的面积y＝三角形ABC的面积+三角形ACD的面积，
∴y＝×a×4a+×4a×4a＝10a2＝x2．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质．也考查了勾股定理以及三角形的面积公式．
10．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，求出BC、BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．
在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝3，
∴BC＝＝5，
∵CD＝DB，
∴ED＝DC＝DB＝，
∵•BC•AH＝•AB•AC，
∴AH＝，
∵AE＝AB，
∴点A在BE的垂直平分线上．
∵DE＝DB＝DC，
∴点D在BE的垂直平分线上，△BCE是直角三角形，
∴AD垂直平分线段BE，
∵•AD•BO＝•BD•AH，
∴OB＝，
∴BE＝2OB＝，
在Rt△BCE中，EC＝＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共8小题，第11-13每小题3分，第14-18每小题3分，共29分不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）抛物线y＝2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为 8 ．
【分析】由抛物线y＝2x2+8x+m与x轴只有一个公共点可知，对应的一元二次方程2x2+8x+m＝0，根的判别式△＝b2﹣4ac＝0，由此即可得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．
【解答】解：∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴△＝0，
∴b2﹣4ac＝82﹣4×2×m＝0；
∴m＝8．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了二次函数根的判别式的和抛物线与x轴的交点个数的关系．
12．（3分）△ABC是等边三角形，点O是三条高的交点．若△ABC以点O为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则△ABC旋转的最小角度是 120° ．
【分析】根据旋转的性质及等边三角形的性质求解．
【解答】解：若△ABC以O为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，
根据旋转变化的性质，可得△ABC旋转的最小角度为360°÷3＝120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查旋转的性质：变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心．
13．（3分）某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8米，母线AB＝10米，则该圆锥的侧面积是 60π 平方米（结果保留π）．
【分析】根据勾股定理求得OB，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S＝lr，求得答案即可．
【解答】解：∵AO＝8米，AB＝10米，∴OB＝6米，
∴圆锥的底面周长＝2×π×6＝12π米，
∴S扇形＝lr＝×12π×10＝60π米2，
故答案为60π．
【点评】本题考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
14．（4分）如图，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在直线AB上，且点C的纵坐标为﹣1，点D在反比例函数y＝的图象上，CD平行于y轴，S△OCD＝，则k的值为 3 ．
【分析】把y＝﹣1代入y＝x﹣2求出C的横坐标，得出OM＝2，CM＝1，根据CD∥y轴得出D的横坐标是2，根据三角形的面积求出CD的值，求出MD，得出D的纵坐标，把D的坐标代入反比例函数的解析式求出k即可．
【解答】解：∵点C在直线AB上，即在直线y＝x﹣2上，点C的纵坐标为﹣1，
∴代入得：﹣1＝x﹣2，
解得，x＝2，即C（2，﹣1），
∴OM＝2，
∵CD∥y轴，S△OCD＝，
∴CD×OM＝，
∴CD＝，
∴MD＝﹣1＝，
即D的坐标是（2，），
∵D在双曲线y＝上，
∴代入得：k＝2×＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数、反比例函数的图象上点的坐标特征、三角形的面积等知识点，通过做此题培养了学生的计算能力和理解能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
15．（4分）“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是“上升数”的概率是 0.4 ．
【分析】先列举出所有上升数，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：两位数一共有99﹣10+1＝90个，
上升数为：
12，13，14，15，16，17，18，19，
23，24，25，26，27，28，29，
34，35，36，37，38，39，
45，46，47，48，49，
56，57，58，59，
67，68，69，
78，79，
89，
共8+7+6+5+4+3+2+1＝36个．
概率为36÷90＝0.4．
故答案为：0.4．
【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝；易错点是得到上升两位数的个数．
16．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB＝cos∠DAC，若sinC＝，BC＝12，则AD的长 8 ．
【分析】在Rt△ADC中，利用正弦的定义得sinC＝＝，则可设AD＝12x，所以AC＝13x，利用勾股定理计算出DC＝5x，由于cos∠DAC＝sinC得到tanB＝，接着在Rt△ABD中利用正切的定义得到BD＝13x，所以13x+5x＝12，解得x＝，然后利用AD＝12x进行计算．
【解答】解：在Rt△ADC中，sinC＝＝，
设AD＝12x，则AC＝13x，
∴DC＝＝5x，
∵cos∠DAC＝sinC＝，
∴tanB＝，
在Rt△ABD中，∵tanB＝＝，
而AD＝12x，
∴BD＝13x，
∴13x+5x＝12，解得x＝，
∴AD＝12x＝8．
故答案为8．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
17．（4分）如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于 （结果保留根号）．
【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，再根据求出其边长，可根据三角函数得出三角形面积．
【解答】解：∵△ABC∽△ADE，AB＝2AD，
∴＝，
∵AB＝2AD，S△ABC＝，
∴S△ADE＝，
如图，在△EAF中，过点F作FH⊥AE交AE于H，
∵∠EAF＝∠BAD＝45°，∠AEF＝60°，
∴∠AFH＝45°，∠EFH＝30°，
∴AH＝HF，
设AH＝HF＝x，则EH＝xtan30°＝x．
作CM⊥AB交AB于M，
∵△ABC是面积为的等边三角形，
∴×AB×CM＝，
∠BCM＝30°，
设AB＝2k，BM＝k，CM＝k，
∴k＝1，AB＝2，
∴AE＝AB＝1，
∴x+x＝1，
解得x＝＝．
∴S△AEF＝×1×＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质等知识点，解得此题的关键是根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，然后问题可解．
18．（4分）已知正方形ABCD边长为4，点P为其所在平面内一点，PD＝，∠BPD＝90°，则点A到BP的距离等于 或 ．
【分析】由题意可得点P在以D为圆心，为半径的圆上，同时点P也在以BD为直径的圆上，即点P是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理可求BP，AH的长，即可求点A到BP的距离．
【解答】解：∵点P满足PD＝，
∴点P在以D为圆心，为半径的圆上，
∵∠BPD＝90°，
∴点P在以BD为直径的圆上，
∴如图，点P是两圆的交点，
若点P在AD上方，连接AP，过点A作AH⊥BP，
∵CD＝4＝BC，∠BCD＝90°，
∴BD＝4，
∵∠BPD＝90°，
∴BP＝＝3，
∵∠BPD＝90°＝∠BAD，
∴点A，点B，点D，点P四点共圆，
∴∠APB＝∠ADB＝45°，且AH⊥BP，
∴∠HAP＝∠APH＝45°，
∴AH＝HP，
在Rt△AHB中，AB2＝AH2+BH2，
∴16＝AH2+（3﹣AH）2，
∴AH＝（不合题意），或AH＝，
若点P在CD的右侧，
同理可得AH＝，
综上所述：AH＝或．
【点评】本题考查正方形的性质，两圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解．
三、解答题（本大题共8小题，共91分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出解题过程或演算步骤
19．（12分）如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）求△AOC的面积；
（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集．（直接写出答案）
【分析】（1）由B点在反比例函数y＝上，可求出m，再由A点在函数图象上，由待定系数法求出函数解析式；
（2）由上问求出的函数解析式联立方程求出A，B，C三点的坐标，从而求出△AOC的面积；
（3）由图象观察函数y＝的图象在一次函数y＝kx+b图象的上方，对应的x的范围．
【解答】解：（1）∵B（1，4）在反比例函数y＝上，
∴m＝4，
又∵A（n，﹣2）在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝﹣2，
又∵A（﹣2，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的上的点，联立方程组解得，
k＝2，b＝2，
∴，y＝2x+2；
（2）过点A作AD⊥CD，
∵一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点为A，B，联立方程组解得，
A（﹣2，﹣2），B（1，4），C（0，2），
∴AD＝2，CO＝2，
∴△AOC的面积为：S＝AD•CO＝×2×2＝2；
（3）由图象知：当0＜x＜1和﹣2＜x＜0时函数y＝的图象在一次函数y＝kx+b图象的上方，
∴不等式kx+b﹣＜0的解集为：0＜x＜1或x＜﹣2．
【点评】此题考查一次函数和反比例函数的性质及图象，考查用待定系数法求函数的解析式，还间接考查函数的增减性，从而来解不等式．
20．（10分）甲、乙两校分别有一男一女共4名教师报名到农村中学支教．
（1）若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选1名，则所选的2名教师性别相同的概率是 ．
（2）若从报名的4名教师中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名教师来自同一所学校的概率．
【分析】（1）根据甲、乙两校分别有一男一女，列出树状图，得出所有情况，再根据概率公式即可得出答案；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意画图如下：
共有4种情况，其中所选的2名教师性别相同的有2种，
则所选的2名教师性别相同的概率是＝；
故答案为：；
（2）将甲、乙两校报名的教师分别记为甲1、甲2、乙1、乙2（注：1表示男教师，2表示女教师），树状图如图所示：
所以P（两名教师来自同一所学校）＝＝．
【点评】本题考查列表法和树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．
21．（12分）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．
（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD＝CD；
（2）当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．
【分析】（1）先运用SAS判定△AED≌△FDE，可得DF＝AE，再根据AE＝AB＝CD，即可得出CD＝DF；
（2）当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG＝60°，即可得到旋转角α的度数．
【解答】解：（1）由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，
∴∠AEB＝∠ABE，
又∵∠ABE+∠EDA＝90°＝∠AEB+∠DEF，
∴∠EDA＝∠DEF，
又∵DE＝ED，
∴△AED≌△FDE（SAS），
∴DF＝AE，
又∵AE＝AB＝CD，
∴CD＝DF；
（2）如图，当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，
∵GC＝GB，
∴GH⊥BC，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM＝BH＝AD＝AG，
∴GM垂直平分AD，
∴GD＝GA＝DA，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角α＝60°；
②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角α＝360°﹣60°＝300°．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
22．（10分）已知⊙O是△ABC的外接圆．请根据下列条件，仅用无刻度的直尺，分别在图（1）和图（2）中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）．
（1）如图（1），AC＝BC；
（2）如图（2），直线l与⊙O相切于点D，l∥AB．
【分析】（1）作直线OC即可．
（2）连接DA，DB，可证△DAB是等腰三角形，根据垂径定理可证，直线OD平分AB，设直线OD交AB于E，则AE＝EB，作直线EC即可．
【解答】解：（1）如图，直线OC即为所求．
（2）如图，直线EC即为所求．
【点评】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，垂径定理，三角形中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．（8分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）
【分析】根据sin30°＝＝，求出CF的长，根据sin60°＝，再求出BF的长，即可得出CE的长．
【解答】解：由题意得：AD⊥CE，
过点B作BF⊥CE，BG⊥EA，
∵灯罩BC长为30cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，
∵CF⊥FB，即三角形CFB为直角三角形，
∴sin30°＝＝，
∴CF＝15cm，
在直角三角形ABG中，sin60°＝，
∴＝，
解得：BG＝20，
又∠ADC＝∠BFD＝∠BGD＝90°，
∴四边形BFDG为矩形，
∴FD＝BG，
∴CE＝CF+FD+DE＝CF+BG+ED＝15+20+2≈51.6（cm）．
答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是51.6cm．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
24．（13分）（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：＝；
（2）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．
①如图2，若AB＝AC＝1，直接写出MN的长；
②如图3，求证：MN2＝DM•EN．
【分析】（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出＝；
（2）①根据三角形的面积公式求出BC边上的高，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长，根据等于高之比即可求出MN；
②可得出△BGD∽△EFC，则DG•EF＝CF•BG；又由DG＝GF＝EF，得GF2＝CF•BG，再根据（1）＝＝，从而得出答案．
【解答】（1）证明：在△ABQ和△ADP中，
∵DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ，
∴＝，
同理在△ACQ和△APE中，
＝，
∴＝．
（2）①作AQ⊥BC于点Q．
∵BC边上的高AQ＝，
∵DE＝DG＝GF＝EF＝BG＝CF
∴DE：BC＝1：3
又∵DE∥BC，
∴AD：AB＝1：3，
∴AD＝，DE＝，
∵DE边上的高为，MN：GF＝：，
∴MN：＝：，
∴MN＝．
故答案为：．
②证明：∵∠B+∠C＝90°∠CEF+∠C＝90°，
∴∠B＝∠CEF，
又∵∠BGD＝∠EFC，
∴△BGD∽△EFC，
∴＝，
∴DG•EF＝CF•BG，
又∵DG＝GF＝EF，
∴GF2＝CF•BG，
由（1）得＝＝，
∴×＝•，
∴（）2＝•，
∵GF2＝CF•BG，
∴MN2＝DM•EN．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大．
25．（12分）如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明．
【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；
（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可．
【解答】解：（1）设抛物线为y＝a（x﹣4）2﹣1，
∵抛物线经过点A（0，3），
∴3＝a（0﹣4）2﹣1，
a＝；
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x+3；
（2）相交．
证明：连接CE，则CE⊥BD，（x﹣4）2﹣1＝0时，x1＝2，x2＝6．
A（0，3），B（2，0），C（6，0），
对称轴x＝4，
∴OB＝2，AB＝，BC＝4，
∵AB⊥BD，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠EBC＝90°，
∴△AOB∽△BEC，
∴，即＝，解得CE＝，
∵＞2，
故抛物线的对称轴l与⊙C相交．
【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识．
26．（14分）定义：如图1，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，若∠MPN绕点P旋转时始终满足OM•ON＝OP2，则称∠MPN是∠AOB的“相关角”．
（1）如图1，已知∠AOB＝60°，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，且∠MPN＝150°．求证：∠MPN是∠AOB的“相关角”；
（2）如图2，已知∠AOB＝α（0°＜α＜90°），OP＝3，若∠MPN是∠AOB的“相关角”，连结MN，用含α的式子分别表示∠MPN的度数和△MON的面积；
（3）如图3，C是函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于点A，B两点，且满足BC＝3CA，∠AOB的“相关角”为∠APB，请直接写出OP的长及相应点P的坐标．
【分析】（1）由角平分线求出∠MOP＝∠NOP＝∠AOB＝430°，再证出∠OMP＝∠OPN，证明△MOP∽△PON，即可得出结论；
（2）由∠MPN是∠AOB的“相关角”，判断出△MOP∽△PON，得出∠OMP＝∠OPN，即可得出∠MPN＝180°﹣α；过点M作MH⊥OB于H，由三角形的面积公式得出：S△MON＝ON•MH，即可得出结论；
（3）设点C（a，b），则ab＝3，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：
①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，BC＝3CA不可能；
当点A在x轴的正半轴上时；先求出＝，由平行线得出△ACH∽△ABO，得出比例式：＝，得出OB，OA，求出OA•OB，根据∠APB是∠AOB的“相关角”，得出OP，即可得出点P的坐标；
②当点B在y轴的负半轴上时；同①的方法即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠AOB＝60°，P为∠AOB的平分线上一点，
∴∠AOP＝∠BOP＝∠AOB＝30°，
∵∠MOP+∠OMP+∠MPO＝180°，
∴∠OMP+∠MPO＝150°，
∵∠MPN＝150°，
∴∠MPO+∠OPN＝150°，
∴∠OMP＝∠OPN，
∴△MOP∽△PON，
∴，
∴OP2＝OM•ON，
∴∠MPN是∠AOB的“相关角”；
（2）解：∵∠MPN是∠AOB的“相关角”，
∴OM•ON＝OP2，
∴，
∵P为∠AOB的平分线上一点，
∴∠MOP＝∠NOP＝α，
∴△MOP∽△PON，
∴∠OMP＝∠OPN，
∴∠MPN＝∠OPN+∠OPM＝∠OMP+∠OPM＝180°﹣α，
即∠MPN＝180°﹣α；
过点M作MH⊥OB于H，如图2，
则S△MON＝ON•MH＝ON•OMsinα＝OP2•sinα，
∵OP＝3，
∴S△MON＝sinα；
（3）设点C（a，b），则ab＝4，
过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：
①当点B在y轴正半轴上时；
Ⅰ、当点A在x轴的负半轴上，如图3所示：
BC＝3CA不可能，
Ⅱ、当点A在x轴的正半轴上时，如图4所示：
∵BC＝3CA，
∴＝，
∵CH∥OB，
∴△ACH∽△ABO，
∴＝，
∴
∴OB＝4b，OA＝a，
∴OA•OB＝a•4b＝ab＝，
∵∠APB是∠AOB的“相关角”，
∴OP2＝OA•OB，
∴OP＝＝＝，
∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，
∴点P的坐标为：（，）；
②当点B在y轴的负半轴上时，如图5所示：
∵BC＝3CA，
∴AB＝2CA，
∴＝，
∵CH∥OB，
∴△ACH∽△ABO，
∴＝，
∴＝
∴OB＝2b，OA＝a，
∴OA•OB＝a•2b＝ab＝，
∵∠APB是∠AOB的“相关角”，
∴OP2＝OA•OB，
∴OP＝＝＝，
∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，
∴点P的坐标为：（，﹣）；
综上所述：点P的坐标为：（，）或（，﹣）．
【点评】本题是反比例函数综合题目，考查了角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、新定义以及运用、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过作辅助线进行分类讨论，证明三角形相似才能得出结果．
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日期：2020/12/29 13:39:03；用户：15052476161；邮箱：15052476161；学号：36943782
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