2019-2020学年江苏省无锡市锡山区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2019-2020学年江苏省无锡市锡山区九年级（上）期末数学试卷，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2019-2020学年江苏省无锡市锡山区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分．）
1．（3分）一元二次方程的根是　　
A．3 B． C．9 D．
2．（3分）如图，以为直径的上有一点，且，则的度数为　　

A． B． C． D．
3．（3分）为了比较甲乙两足球队的身高谁更整齐，分别量出每人身高，发现两队的平均身高一样，甲、乙两队的方差分别是1.7、2.4，则下列说法正确的是　　
A．甲、乙两队身高一样整齐
B．甲队身高更整齐
C．乙队身高更整齐
D．无法确定甲、乙两队身高谁更整齐
4．（3分）抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷6次都是正面朝上，则抛掷第7次正面朝上的概率是　　
A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定
5．（3分）下列方程有两个相等的实数根是　　
A． B． C． D．
6．（3分）如图，在中，，分别是，的中点，下列说法中不正确的是　　

A． B．
C． D．
7．（3分）如图，已知的内接正方形边长为2，则的半径是　　

A．1 B．2 C． D．
8．（3分）已知中，，，，则下列各式中，正确的是　　
A． B． C． D．以上都不对
9．（3分）如图，在中，，，，点是上的一点，点是上的一点，，当与中的一个角相等时，则的值为　　

A．3或4 B．或4 C．或6 D．4或6
10．（3分）如图1，是矩形的边上一点，点以每秒的速度沿折线匀速运动，同时点从点出发点，以每秒的速度沿边匀速运动并且点运动到点时点也运动到点．动点，同时停止运动．设点，出发秒时，的面积为．已知与的函数图象如图2所示．其中曲线，为两段抛物线，为线段．则下列说法：
①点运动到点时，用了2.5秒，运动到点时共用了4秒
②矩形的两邻边长为，；
③；
④点的运动速度为每秒．其中正确的是　　

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
二、填空题（本大题共8题，每空2分，共16分．）
11．（2分）二次函数，图象的顶点坐标是　　．
12．（2分）一元二次方程的解为　　．
13．（2分）如图，转动转盘一次，当转盘停止后（指针落在线上重转），指针停留的区域中的数字为偶数的概率是　　．

14．（2分）为了解某校九年级学生每天的睡眠时间，随机调查了其中20名学生，将所得数据整理并制成如表，那么这些测试数据的中位数是　　小时．
睡眠时间（小时）
6
7
8
9
学生人数
8
6
4
2
15．（2分）已知圆锥的底面半径为3，母线长为7，则圆锥的侧面积是　　．
16．（2分）如图，半径为的与边长为8的等边三角形的两边、都相切，连接，则　　．

17．（2分）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，点在轴正半轴上，且．点为线段（不含端点）上一动点，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，则线段的最小值为 　　．

18．（2分）如图，直线，，，分别为直线，，上的动点，连接，，，线段交直线于点．设直线，之间的距离为，直线，之间的距离为，若，，且，则的最大值为　　．

三、解答题（本大题共10题，共84分．）
19．（8分）（1）计算：；
（2）解方程：．
20．（8分）某校九年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，如果期末评价成绩80分以上（含80分），则评定为“优秀”，下面表中是小张和小王两位同学的成绩记录：

完成作业
单元测试
期末考试
小张
70
90
80
小王
60
75
　　
若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按的权重来确定期末评价成绩．
（1）请计算小张的期末评价成绩为多少分？
（2）小王在期末（期末成绩为整数）应该最少考多少分才能达到优秀？
21．（6分）已知三顶点的坐标分别为、、．
（1）画出；
（2）以为位似中心，将放大到原来的2倍，在右图的网格图中画出放大后的图形△；
（3）写出点的对应点的坐标：　 　．

22．（8分）某市有、、三个公园，甲、乙两位同学随机选择其中一个公园游玩．
（1）甲去公园游玩的概率是　　；
（2）求甲、乙恰好在同一个公园游玩的概率．（请用“画树状图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程）
23．（8分）如图，在矩形中，已知．在边上取点，连接．过点作，与边的延长线交于点．
（1）求证：．
（2）若，，，求线段的长．

24．（8分）已知：如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点．
（1）求证：是的切线．
（2）若的半径为，，求图中阴影部分的面积．

25．（8分）如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为，两个车轮的圆心的连线与地面平行，测得支架，、所在直线与地面的夹角分别为、，．

（1）求扶手前端到地面的距离；
（2）手推车内装有简易宝宝椅，为小坐板，打开后，椅子的支点到点的距离为，，，，求坐板的宽度．（本题答案均保留根号）
26．（10分）某公司研制出新产品，该产品的成本为每件2400元．在试销期间，购买不超过10件时，每件销售价为3000元；购买超过10件时，每多购买一件，所购产品的销售单价均降低5元，但最低销售单价为2600元．请解决下列问题：
（1）直接写出：购买这种产品　　件时，销售单价恰好为2600元；
（2）设购买这种产品件（其中，且为整数），该公司所获利润为元，求与之间的函数表达式；
（3）该公司的销售人员发现：当购买产品的件数超过10件时，会出现随着数量的增多，公司所获利润反而减少这一情况．为使购买数量越多，公司所获利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）
27．（10分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求这个二次函数的解析式，并直接写出当满足什么值时？
（2）点是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点，使面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

28．（10分）【问题发现】如图1，半圆的直径，点是半圆上的一个动点，则的面积最大值是　　；

【问题探究】如图2所示，、、是某新区的三条规划路，其中，，，所对的圆心角为．新区管委会想在路边建物资总站点，在、路边分别建物资分站点、，即分别在、线段和上选取点、、．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路、和．显然，为了快捷环保和节约成本，就要使线段、、之和最短（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）．可求得周长的最小值为　　；
【拓展应用】如图3是某街心花园的一角，在扇形中，，米，在围墙和上分别有两个入口和，且米，是的中点，出口在上．现准备沿、从入口到出口铺设两条景观小路，在四边形内种花，在剩余区域种草．
①出口设在距直线多远处可以使四边形的面积最大？最大面积是多少？（小路宽度不计）
②已知铺设小路所用的普通石材每米的造价是200元，铺设小路所用的景观石材每米的造价是400元．
请问：在上是否存在点，使铺设小路和的总造价最低？若存在，求出最低总造价和出口距直线的距离；若不存在，请说明理由．

2019-2020学年江苏省无锡市锡山区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分．）
1．（3分）一元二次方程的根是　　
A．3 B． C．9 D．
【解答】解：，
，
故选：．
2．（3分）如图，以为直径的上有一点，且，则的度数为　　

A． B． C． D．
【解答】解：，
．
故选：．
3．（3分）为了比较甲乙两足球队的身高谁更整齐，分别量出每人身高，发现两队的平均身高一样，甲、乙两队的方差分别是1.7、2.4，则下列说法正确的是　　
A．甲、乙两队身高一样整齐
B．甲队身高更整齐
C．乙队身高更整齐
D．无法确定甲、乙两队身高谁更整齐
【解答】解：甲、乙两队的方差分别是1.7、2.4，
，
甲队身高更整齐；
故选：．
4．（3分）抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷6次都是正面朝上，则抛掷第7次正面朝上的概率是　　
A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定
【解答】解：因为每次抛掷概率相同，则第7次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：，
故选：．
5．（3分）下列方程有两个相等的实数根是　　
A． B． C． D．
【解答】解：、，
△，
所以方程没有实数根，故本选项不符合题意；
、，
△，
所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
、，
△，
所以方程有两个相等的实数根，故本选项符合题意；
、，
△，
所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
故选：．
6．（3分）如图，在中，，分别是，的中点，下列说法中不正确的是　　

A． B．
C． D．
【解答】解：，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
，，
．
故选：．

7．（3分）如图，已知的内接正方形边长为2，则的半径是　　

A．1 B．2 C． D．
【解答】解：如图所示，
四边形是正方形，，
是的直径，
，，
，
，
的半径是，
故选：．

8．（3分）已知中，，，，则下列各式中，正确的是　　
A． B． C． D．以上都不对
【解答】解：如图：
由勾股定理得：，
所以，，，所以只有选项正确；
故选：．
9．（3分）如图，在中，，，，点是上的一点，点是上的一点，，当与中的一个角相等时，则的值为　　

A．3或4 B．或4 C．或6 D．4或6
【解答】解：，
，设，，
①当时，可得，
，
，
，
．
②当时，如图2中，过点作，可得，

，
，
，，
，
，，
，
，
，
或0，
．
综上所述，或6．
故选：．
10．（3分）如图1，是矩形的边上一点，点以每秒的速度沿折线匀速运动，同时点从点出发点，以每秒的速度沿边匀速运动并且点运动到点时点也运动到点．动点，同时停止运动．设点，出发秒时，的面积为．已知与的函数图象如图2所示．其中曲线，为两段抛物线，为线段．则下列说法：
①点运动到点时，用了2.5秒，运动到点时共用了4秒
②矩形的两邻边长为，；
③；
④点的运动速度为每秒．其中正确的是　　

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【解答】解：由图象可知点运动到点时用了2.5秒，运动到点时共用了4秒．故①正确．
设，，
由题意，
解得，
所以，，故②正确，
，，
，设，，
在中，，
，
解得或（舍，
，，，
故③错误，
，
，
，故④正确，
故选：．
二、填空题（本大题共8题，每空2分，共16分．）
11．（2分）二次函数，图象的顶点坐标是　　．
【解答】解：，
二次函数的图象的顶点坐标是
故答案为：．
12．（2分）一元二次方程的解为　，　．
【解答】解：，
移项得：，
，
或，
，．
故答案为：，．
13．（2分）如图，转动转盘一次，当转盘停止后（指针落在线上重转），指针停留的区域中的数字为偶数的概率是　　．

【解答】解：占圆，2与3占，
把数字为1的扇形可以平分成2部分，
转动转盘一次共有4种等可能的结果，分别是1，1，2，3；
当转盘停止后，指针指向的数字为偶数的概率是：．
故答案为：．
14．（2分）为了解某校九年级学生每天的睡眠时间，随机调查了其中20名学生，将所得数据整理并制成如表，那么这些测试数据的中位数是　7　小时．
睡眠时间（小时）
6
7
8
9
学生人数
8
6
4
2
【解答】解：共有20名学生，把这些数从小到大排列，处于中间位置的是第10和11个数的平均数，
这些测试数据的中位数是小时；
故答案为：7．
15．（2分）已知圆锥的底面半径为3，母线长为7，则圆锥的侧面积是　　．
【解答】解：圆锥的侧面积．
故答案为．
16．（2分）如图，半径为的与边长为8的等边三角形的两边、都相切，连接，则　　．

【解答】解：连接，作于，如图所示：
是边长为8的等边三角形，
，，
与等边三角形的两边、都相切，
是的半径，，
，
，
，
，
．

17．（2分）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，点在轴正半轴上，且．点为线段（不含端点）上一动点，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，则线段的最小值为 　　．

【解答】解：直线与坐标轴分别交于，两点，
，，
点为线段（不含端点）上一动点，将线段绕点顺时针旋转得线段，
作轴于，轴于，
由旋转可知，，，
，
在和中，
，
，
，，
设，则．
点是直线上的点，
设直线与，轴的交点为、点，则，，

根据垂线段最短可知当时，的长最短，
如图，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
线段的最小值为，
故答案为．

18．（2分）如图，直线，，，分别为直线，，上的动点，连接，，，线段交直线于点．设直线，之间的距离为，直线，之间的距离为，若，，且，则的最大值为　　．

【解答】解：过作于，延长交于，过作于，过作于，

设，，，，
，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
当时，，
的最大值，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10题，共84分．）
19．（8分）（1）计算：；
（2）解方程：．
【解答】解：（1）原式；

（2），
，
则或，
解得：或．
20．（8分）某校九年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，如果期末评价成绩80分以上（含80分），则评定为“优秀”，下面表中是小张和小王两位同学的成绩记录：

完成作业
单元测试
期末考试
小张
70
90
80
小王
60
75
　85　
若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按的权重来确定期末评价成绩．
（1）请计算小张的期末评价成绩为多少分？
（2）小王在期末（期末成绩为整数）应该最少考多少分才能达到优秀？
【解答】解：（1）小张的期末评价成绩为（分；
（2）设小王期末考试成绩为分，
根据题意，得：，
解得，
小王在期末（期末成绩为整数）应该最少考85分才能达到优秀．
故答案为：85．
21．（6分）已知三顶点的坐标分别为、、．
（1）画出；
（2）以为位似中心，将放大到原来的2倍，在右图的网格图中画出放大后的图形△；
（3）写出点的对应点的坐标：　　．

【解答】解：（1）根据、、．
在坐标系中找出连接即可；


（2）把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．
所画图形如下所示：

它的三个对应顶点的坐标分别是：、、．

（3）利用（2）中图象，直接得出答案．
故答案为：．
22．（8分）某市有、、三个公园，甲、乙两位同学随机选择其中一个公园游玩．
（1）甲去公园游玩的概率是　　；
（2）求甲、乙恰好在同一个公园游玩的概率．（请用“画树状图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程）
【解答】解：（1）有、、三个公园，
甲去公园游玩的概率是；
故答案为：；

（2）画树状图如下：

共有9种等可能结果，其中甲、乙恰好在同一个公园游玩的有3种，
则甲、乙恰好在同一个公园游玩的概率．
23．（8分）如图，在矩形中，已知．在边上取点，连接．过点作，与边的延长线交于点．
（1）求证：．
（2）若，，，求线段的长．

【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，

，
，
，又，
．

（2），
，
，，，
，
解得．
答：线段的长为5．
24．（8分）已知：如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点．
（1）求证：是的切线．
（2）若的半径为，，求图中阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：连接，如图1所示：
，
．
，
．
．
．
，
，
是的切线．
（2）解：过作于，如图2所示：
，，，
，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
．


25．（8分）如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为，两个车轮的圆心的连线与地面平行，测得支架，、所在直线与地面的夹角分别为、，．

（1）求扶手前端到地面的距离；
（2）手推车内装有简易宝宝椅，为小坐板，打开后，椅子的支点到点的距离为，，，，求坐板的宽度．（本题答案均保留根号）
【解答】（1）如图2，过作，垂足为，
又过作，垂足为，过作，垂足为，则．
，、所在直线与地面的夹角分别为、，
，
则在中，．
在中，，，
．
又，前后车轮半径均为，
扶手前端到地面的距离为；

（2），
，
，椅子的支点到点的距离为，，
，
如图2，过作，垂足为，设，
在中，，
，，
在中，，
，
，
，
解得．
．
答：坐板的宽度为．

26．（10分）某公司研制出新产品，该产品的成本为每件2400元．在试销期间，购买不超过10件时，每件销售价为3000元；购买超过10件时，每多购买一件，所购产品的销售单价均降低5元，但最低销售单价为2600元．请解决下列问题：
（1）直接写出：购买这种产品　90　件时，销售单价恰好为2600元；
（2）设购买这种产品件（其中，且为整数），该公司所获利润为元，求与之间的函数表达式；
（3）该公司的销售人员发现：当购买产品的件数超过10件时，会出现随着数量的增多，公司所获利润反而减少这一情况．为使购买数量越多，公司所获利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）
【解答】解：（1）购买这种产品件时，销售单价恰好为2600元，
由题意得：，解得：，
故答案为：90；

（2）由题意得：；
同理当时，，
故；

（3）要满足购买数量越大，利润越多．故随的增大而增大，
，随的增大而增大，
，当时，随的增大而增大，
若一次购买65件，设置为最低售价，则可以避免随增大而减小的情况发生，
故时，设置最低售价为（元，
答：公司应将最低销售单价调整为2725元．
27．（10分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求这个二次函数的解析式，并直接写出当满足什么值时？
（2）点是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点，使面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将，代入，
得，
解得，，，
抛物线解析式为：，
在中，
当时，，，
由二次函数的图象及性质知，当或时，；

（2）存在，理由如下：
如图1，过点作平行于轴的直线交于点，
将点、代入，
得，，
解得，，，
直线的解析式为，
设，则，
的面积，
，
当时，有最大值为，此时，；

（3）如图2，当且时，
，
，
在中，
当时，，，
，
，
，
，
或；

当时，
，
，
，
在中，
当时，，，
，，，，
，
，
或，
，或，，
综上所述，点的坐标为或或或．


28．（10分）【问题发现】如图1，半圆的直径，点是半圆上的一个动点，则的面积最大值是　25　；

【问题探究】如图2所示，、、是某新区的三条规划路，其中，，，所对的圆心角为．新区管委会想在路边建物资总站点，在、路边分别建物资分站点、，即分别在、线段和上选取点、、．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路、和．显然，为了快捷环保和节约成本，就要使线段、、之和最短（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）．可求得周长的最小值为　　；
【拓展应用】如图3是某街心花园的一角，在扇形中，，米，在围墙和上分别有两个入口和，且米，是的中点，出口在上．现准备沿、从入口到出口铺设两条景观小路，在四边形内种花，在剩余区域种草．
①出口设在距直线多远处可以使四边形的面积最大？最大面积是多少？（小路宽度不计）
②已知铺设小路所用的普通石材每米的造价是200元，铺设小路所用的景观石材每米的造价是400元．
请问：在上是否存在点，使铺设小路和的总造价最低？若存在，求出最低总造价和出口距直线的距离；若不存在，请说明理由．
【解答】解：【问题发现】如图1，点运动至半圆的中点时，底边上的高最大，即，
此时的面积最大值，
，
故答案为：25；

【问题探究】如图2，假设点即为所求，分别作点关于、的对称点、，
连接，分别交、于点、，连接，，
由对称性可知，，且、、、在一条直线上，
即为最短距离，其长度取决于的长度，
作出的圆心，连接，与交于，点即为使最短的点，
，，，
是直角三角形，，，
所对的圆心角为，
是等边三角形，，，
，，，
，，
，，
，
，
周长的最小值为，
故答案为：；

【拓展应用】①如图，作，垂足为，延长交于点，则此时的面积最大，
，，点为的中点，
，，
在中，，，
，
四边形面积的最大值为；
作，垂足为，
，，
，
又，
，
，
，
；
出口设在距直线的7.2米处可以使四边形的面积最大为60平方米；

②铺设小路和的总造价为，
如图，连接，延长到点，使，连接，
在与中，，且，
，故，
，问题转化为求的最小值，
连接，交于点，此时取得最小值为，
在中，，，
，故总造价的最小值为元；
作，垂足为，连接，
设，则，
在△中，，
，
解得，，（舍去），
总造价的最小值为元，出口距直线的距离为米．




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日期：2021/12/3 14:21:32；用户：星星卷大葱；邮箱：jse035@xyh.com；学号：39024125