2019届二轮复习（理）专题七第一讲坐标系与参数方程(选修4－4)学案

第一讲　坐标系与参数方程(选修4－4)


年份
卷别
考查角度及命题位置
命题分析
2018
Ⅰ卷
极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线和圆的位置关系·T22
1.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．
2.全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用.
Ⅱ卷
曲线的参数方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的几何意义·T22
Ⅲ卷
参数方程与直角坐标方程的互化·T22
2017
Ⅰ卷
参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离·T22
Ⅱ卷
直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题·T22
Ⅲ卷
直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求法·T22
2016
Ⅰ卷
参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用·T23
Ⅱ卷
极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用、直线与圆的位置关系·T23
Ⅲ卷
参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值·T23



极坐标方程及应用

授课提示：对应学生用书第75页

[悟通——方法结论]
1．圆的极坐标方程
若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程：
(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；
(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acos θ；
(3)当圆心位于M，半径为a：ρ＝2asin θ.
2．直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
几个特殊位置的直线的极坐标方程：
(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；
(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；
(3)直线过M且平行于极轴：ρsin θ＝b.
[全练——快速解答]
1．(2018·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
解析：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.
由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．
当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；
当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．
当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；
当k＝时，l2与C2没有公共点．
综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.
2．(2017·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
解析：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)．
因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)，
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB面积
S＝|OA|·ρB·sin∠AOB
＝4cos α·|sin|
＝2|sin－|
≤2＋.
当α＝－时，S取得最大值2＋.
所以△OAB面积的最大值为2＋.
3．(2018·长春二模)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．
(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解析：(1)∵ρcos＝1，
∴ρcos θ·cos ＋ρsin θ·sin＝1.
又∴x＋y＝1，
即曲线C的直角坐标方程为x＋y－2＝0，
令y＝0，则x＝2；令x＝0，则y＝.
∴M(2,0)，N.
∴M的极坐标为(2,0)，N的极坐标为.
(2)∵M，N连线的中点P的直角坐标为，
∴P的极角为θ＝，
∴直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．

1.极坐标方程与普通方程互化技巧
(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．
(2)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．
(3)将直角坐标方程中的x转化为ρcos θ，将y换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程．
2．求解与极坐标有关的问题的主要方法
(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用．
(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．




参数方程

授课提示：对应学生用书第76页

[悟通——方法结论]
几种常见曲线的参数方程
(1)圆
以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是其中α是参数．
当圆心在(0,0)时，方程为其中α是参数．
(2)椭圆
椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程是其中φ是参数．
椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程是其中φ是参数．
(3)直线
经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是其中t是参数．
[全练——快速解答]
1．(2018·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
解析：(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.
当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，
当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.
2．(2017·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；
(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.
解析：(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.
当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.
由
解得或
从而C与l的交点坐标为(3,0)，.
(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离为
d＝.
当a≥－4时，d的最大值为.
由题设得＝，解得a＝8；
当a＜－4时，d的最大值为.
由题设得＝，
解得a＝－16.
综上，a＝8或a＝－16.
3．(2018·惠州模拟)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)．
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝，求直线l的倾斜角α的值．
解析：(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ.
∵x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4.
(2)将代入曲线C的方程得(tcos α－1)2＋(tsin α)2＝4，化简得t2－2tcos α－3＝0.
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则.
∴|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，
∴4cos2α＝2，cos α＝±，α＝或.

1．有关参数方程问题的2个关键点
(1)参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化．
(2)利用参数方程解决问题，关键是选准参数，理解参数的几何意义．
2．利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题
经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：
(1)t0＝；
(2)|PM|＝|t0|＝；
(3)|AB|＝|t2－t1|；
(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.




极坐标方程与参数方程的综合应用

授课提示：对应学生用书第77页

　(2017·高考全国卷Ⅲ)(10分)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．
[规范解答]　(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；
消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．
(2分)
设P(x，y)，由题设得消去k得x2－y2＝4(y≠0)．
所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)． (4分)
(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．
联立 (6分)
得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．
故tan θ＝－，
从而cos2θ＝，sin2θ＝. (8分)
代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，
所以交点M的极径为. (10分)

解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法
(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰.
(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．
(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．

[练通——即学即用]
1．(2018·惠州模拟)已知曲线C：(α为参数)和定点A(0，)，F1，F2是此曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求直线AF2的极坐标方程；
(2)经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交曲线C于M，N两点，求||MF1|－|NF1||的值．
解析：(1)曲线C：可化为＋＝1，故曲线C为椭圆，
则焦点F1(－1,0)，F2(1,0)．
所以经过点A(0，)和F2(1,0)的直线AF2的方程为x＋＝1，即x＋y－＝0，
所以直线AF2的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝.
(2)由(1)知，直线AF2的斜率为－，因为l⊥AF2，所以直线l的斜率为，即倾斜角为30˚，所以直线l的参数方程为(t为参数)，
代入椭圆C的方程中，得13t2－12t－36＝0.
因为点M，N在点F1的两侧，所以||MF1|－|NF1||＝|t1＋t2|＝.
2．(2018·长郡中学模拟)在直角坐标系中，已知曲线M的参数方程为(β为参数)，在极坐标系中，直线l1的方程为α1＝θ，直线l2的方程为α2＝θ＋.
(1)写出曲线M的普通方程，并指出它是什么曲线；
(2)设l1与曲线M交于A，C两点，l2与曲线M交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围．
解析：(1)由(β为参数)，消去参数β，得曲线M的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝8，
∴曲线M是以(1,1)为圆心，2为半径的圆．
(2)设|OA|＝ρ1，|OC|＝ρ2，
∵O，A，C三点共线，则|AC|＝|ρ1－ρ2|＝(*)，
将曲线M的方程化成极坐标方程，得ρ2－2ρ(sin θ＋cos θ)－6＝0，
∴代入(*)式得|AC|＝.
用θ＋代替θ，得|BD|＝，
又l1⊥l2，∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|，
∴S四边形ABCD＝＝2，
∵sin22θ∈[0,1]，∴S四边形ABCD∈[8，14].



授课提示：对应学生用书第159页

1．已知曲线C1的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin(θ＋)，直线l的直角坐标方程为y＝x.
(1)求曲线C1和直线l的极坐标方程；
(2)已知直线l分别与曲线C1、曲线C2相交于异于极点的A，B两点，若A，B的极径分别为ρ1，ρ2，求|ρ2－ρ1|的值．
解析：(1)曲线C1的参数方程为(θ为参数)，
其普通方程为x2＋(y－1)2＝1，极坐标方程为ρ＝2sin θ.
∵直线l的直角坐标方程为y＝x，
故直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sin θ，
直线l的极坐标方程为θ＝，
将θ＝代入C1的极坐标方程得ρ1＝1，
将θ＝代入C2的极坐标方程得ρ2＝4，
∴|ρ2－ρ1|＝3.
2．(2018·开封模拟)在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为(t为参数)，圆C2：(x－2)2＋y2＝4，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程和交点A的坐标(非坐标原点)；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为B(非坐标原点)，求△OAB的最大面积．
解析：(1)由(t为参数)得曲线C1的普通方程为y＝xtan α，故曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(x－2)2＋y2＝4，得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.故交点A的坐标为(4cos α，α)．
(2)由题意知，B的极坐标为(2，)．
∴S△OAB＝|×2×4cos α×sin(－α)|＝|2sin(2α－)－2|，
故△OAB的最大面积是2＋2.
3．(2018·长春模拟)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为(1,2)，点C的极坐标为(3，)，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以点C为圆心，3为半径．
(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|.
解析：(1)由题意得直线l的参数方程为(t为参数)，
圆C的极坐标方程为ρ＝6sin θ.
(2)由(1)易知圆C的直角坐标方程为x2＋(y－3)2＝9，
把代入x2＋(y－3)2＝9，得t2＋(－1)t－7＝0，
设点A，B对应的参数分别为t1，t2，∴t1t2＝－7，
又|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，∴|PA|·|PB|＝7.
4．(2018·唐山模拟)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同．已知圆C1的极坐标方程为ρ＝4(cos θ＋sin θ)，P是C1上一动点，点Q在射线OP上且满足|OQ|＝|OP|，点Q的轨迹为C2.
(1)求曲线C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；
(2)已知直线l的参数方程为(t为参数，0≤φ＜π)，l与曲线C2有且只有一个公共点，求φ的值．
解析：(1)设点P，Q的极坐标分别为(ρ0，θ)，(ρ，θ)，则
ρ＝ρ0＝·4(cos θ＋sin θ)＝2(cos θ＋sin θ)，
点Q的轨迹C2的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)，
两边同乘以ρ，得ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，
C2的直角坐标方程为x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)将l的参数方程代入曲线C2的直角坐标方程，得
(tcos φ＋1)2＋(tsin φ－1)2＝2，即t2＋2(cos φ－sin φ)t＝0，t1＝0，t2＝2(sin φ－cos φ)，
由直线l与曲线C2有且只有一个公共点，得sin φ－cos φ＝0，
因为0≤φ＜π，所以φ＝.