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第三讲 不等式及线性规划 学案
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第三讲 不等式及线性规划
高考考点
考点解读
不等式的性
质及解法
1.利用不等式的性质判定命题的真假及一元二次不等式的解法
2．通过含参数不等式恒成立求参数范围
基本不等式的应用
1.考查利用基本不等式求最值问题
2．常与集合、函数等知识交汇命题
线性规划问题
1.给出约束条件求最值，求区域面积
2．已知最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围
备考策略
本部分内容在备考时应注意以下几个方面：
(1)掌握不等关系与不等式解法、基本不等式的应用．
(2)熟练掌握求解线性规划问题的方法，给出线性不等式组可以熟练找出其对应的可行域．
(3)关注目标函数的几何意义和参数问题，掌握求目标函数最值的方法．
预测2020年命题热点为：
(1)不等式的性质、不等关系及不等式解法；利用基本不等式求函数最值．
(2)求目标函数的最大值或最小值及求解含有参数的线性规划问题．
Z
1．不等式的四个性质
注意不等式的乘法、乘方与开方对符号的要求，如
(1)a>b，c>0⇒ac>bc，a>b，c<0⇒ac
(3)a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)．
(4)a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)．
2．四类不等式的解法
(1)一元二次不等式的解法
先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元
二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
(2)简单分式不等式的解法
>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0).
≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
(3)简单指数不等式的解法
当a>1时，af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x)；
当0ag(x)⇔f(x)
当a>1时，logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)>0；
当0logag(x)⇔g(x)>f(x)>0.
3．基本不等式
(1)基本不等式的常用变形
①a＋b≥2(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立．
②a2＋b2≥2ab，ab≤()2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立．
③＋≥2(a，b同号且均不为零)，当且仅当a＝b时，等号成立．
④a＋≥2(a>0)，当且仅当a＝1时，等号成立；a＋≤－2(a<0)，当且仅当a＝－1时，等号成立．
⑤a>0，b>0，则≥≥≥，当且仅当a＝b时取等号．
(2)利用基本不等式求最值
已知a，b∈R，则①若a＋b＝S(S为定值)，则ab≤()2＝，当且仅当a＝b时，ab取得最大值.
②若ab＝T(T为定值，且T>0)，则a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b时，a＋b取得最小值2.
4．求目标函数的最优解问题
(1)“斜率型”目标函数z＝(a，b为常数)，最优解为点(a，b)与可行域上点的连线的斜率取最值时的可行解．
(2)“两点间距离型”目标函数z＝(a，b为常数)，最优解为点(a，b)与可行域上点之间的距离取最值时的可行解．
5．线性规划中的参数问题的注意点
(1)当最值已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化．
(2)当目标函数与最值都已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可．
6．重要性质及结论
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是
Y
1．忽略条件
应用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可，否则会导致结论错误．
2．忽视分母不等于零
求解分式不等式时应注意正确进行同解变形，不能把≥0直接转化为f(x)·g(x)≥0，而忽略g(x)≠0.
3．忽略等号成立的条件
在连续使用基本不等式求最值时，应特别注意检查等号是否同时成立．
1．(2018·天津卷，2)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋5y的最大值为( C )
A．6 B．19
C．21 D．45
[解析]
画出可行域如图中阴影部分所示，由z＝3x＋5y得y＝－x＋.
设直线l0为y＝－x，平移直线l0，当直线y＝－x＋过点P(2,3)时，z取得最大值，zmax＝3×2＋5×3＝21.
故选C．
2．(2017·全国卷Ⅰ，7)设x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为( D )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z＝x＋y得y＝－x＋z.
作出直线y＝－x，并平移该直线，
当直线y＝－x＋z过点A时，目标函数取最大值．
由图知A(3,0)，
故zmax＝3＋0＝3.
故选D．
3．(2017·全国卷Ⅱ，5)设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是( A )
A．－15 B．－9
C．1 D．9
[解析] 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．
将目标函数z＝2x＋y化为y＝－2x＋z，作出直线y＝－2x，并平移该直线，知当直线y＝－2x＋z经过点A(－6，－3)时，z有最小值，且zmin＝2×(－6)－3＝－15.
故选A．
4．(2018·全国卷Ⅰ，13) 若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为6.
[解析] 作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．
由z＝3x＋2y得y＝－x＋.
作直线l0：y＝－x.平移直线l0，当直线y＝－x＋
过点(2,0)时，z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
5．(2018·全国卷Ⅱ，14)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为9.
[解析] 由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)．x＋y取得最大值⇔斜率为－1的直线x＋y＝z(z看做常数)的横截距最大，
由图可得直线x＋y＝z过点C时z取得最大值．
由得点C(5,4)，
∴ zmax＝5＋4＝9.
6．(2018·天津卷，13)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为.
[解析] ∵ a－3b＋6＝0，∴ a－3b＝－6，∴ 2a＋＝2a＋2－3b≥2＝2＝2＝2×2－3＝，当且仅当时等号成立，即时取到等号．
7．(2018·江苏卷，13)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为9.
[解析]
方法一：如图(1)，
∵ S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，
∴ ac·sin120°＝c×1×sin60°＋a×1×sin60°，
∴ ac＝a＋c.
∴ ＋＝1.
∴ 4a＋c＝(4a＋c)＝＋＋5
≥2＋5＝9.
当且仅当＝，即c＝2a时取等号．
方法二：如图(2)，以B为原点，BD为x轴建立平面直角坐标系，则D(1,0)，
A，C.
又A，D，C三点共线，
∴ ＝，
∴ ac＝a＋c.
以下同方法一．
例1 (1)(2018·保定一模)下列三个不等式：①x＋≥2(x≠0)；②<(a>b>c>0)；③>(a，b，m>0且a
C．1 D．0
[解析] 当x<0时，①不成立；由a>b>c>0得<，所以<成立，所以②恒成立；－＝，由a，b，m>0且a0恒成立，故③恒成立．
(2)(2018·衡阳一模)已知一元二次不等式f(x)≤9的解集为{x|x≤或x≥3}，则f(ex)>0的解集为( D )
A．{x|x<－ln 2或x>ln 3} B．{x|ln20，所以
解不等式的策略
(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．
(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解．
(3)有函数背景的不等式：灵活利用函数的性质(单调性、奇偶性、对称性等)与图象求解．
G
1．已知x，y∈R，且x>y>0，则( C )
A．－>0 B．sinx－siny>0
C．()x－()y<0 D．lnx＋lny>0
[解析] 因为x>y>0，选项A，取x＝1，y＝，则－＝1－2＝－1<0，排除A；选项B，取x＝π，y＝，则sinx－siny＝sinπ－sin＝－1<0，排除B；选项D，取x＝2，y＝，则lnx＋lny＝ln(x＋y)＝ln1＝0，排除D．故选C．
2．已知实数x，y满足ax
C．sinx>siny D．x3>y3
[解析] 根据指数函数的性质得x>y，此时x2，y2的大小不确定，故选项A，B中的不等式不恒成立；根据三角函数性质，选项C中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知选项D中的不等式恒成立．
3．设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是a≤.
[解析] 由题意或
解得f(a)≥－2，
所以或
解得a≤.
例2 (2018·徐州质检)设a、b、c都是正实数，且a、b满足＋＝1，则使a＋b≥c恒成立的c的范围是( D )
A．(0,8] B．(0,10]
C．(0,12] D．(0,16]
[分析] c≤a＋b恒成立，设a＋b的最小值为m，则c≤m.∵a、b为正实数，且＋＝1，故可用“1的代换”求a＋b的最小值．
[解析] ∵a、b为正实数，＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b)(＋)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即a＝4，b＝12时等号成立，∴(a＋b)min＝16，要使c≤a＋b恒成立，∵c为正实数，∴0
1．用基本不等式≥求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明确什么时候等号成立，要注意“代入消元”、“拆、拼、凑”、“1的代换”等技巧的应用．
2．不等式恒成立问题一般用分离参数法转化为函数最值求解或用赋值法讨论求解．
G
1．若点A(m，n)在第一象限，且在直线＋＝1上，则mn的最大值为3.
[解析] 因为点A(m，n)在第一象限，且在直线＋＝1上，所以m，n>0，且＋＝1.
所以·≤()2(当且仅当＝＝，即m＝，n＝2时，取等号)．所以·≤，即mn≤3，
所以mn的最大值为3.
2．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为( B )
A．1 B．
C．2 D．
[解析] 2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2·＋2a＝4＋2a，
由题意可知4＋2a≥7，得a≥，
即实数a的最小值为，故选B．
例3 (1)设变量x，y满足约束条件
则目标函数z＝2x＋5y的最小值为( B )
A．－4 B．6
C．10 D．17
[解析] 如图，已知约束条件所表示的平
面区域为图中所示的三角形区域ABC(包含边界)，其中A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)．根据目标函数的几何意义，可知当直线y＝－x＋过点B(3,0)时，z取得最小值2×3＋5×0＝6.
(2)若x，y满足约束条件，且目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是( B )
A．[－4,2] B．(－4,2)
C．[－4,1] D．(－4,1)
[解析] 本题主要考查线性规划．
作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，直线z＝ax＋2y的斜率为k＝－，从图中可看出，当－1<－<2，即－4
『规律总结』
1．线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是由最优解确定目标函数中参数的取值范围．
2．解决线性规划问题首先要画出可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题可通过验证解决．
3．确定二元一次不等式组表示的平面区域：①画线，②定侧，③确定公共部分；解线性规划问题的步骤：①作图，②平移目标函数线，③解有关方程组求值，确定最优解(或最值等)．
G
1．设x、y满足约束条件，则z＝2x－y的最大值为( B )
A．10 B．8
C．3 D．2
[解析] 作出可行域如图，作直线l：y＝2x，平移直线l，当经过可行域内的点A时，－z取最小值，z取最大值，
由解得
∴A(5,2)，∴zmax＝2×5－2＝8，故选B．
2．设z＝2x＋y，其中变量x，y满足条件.若z的最小值为3，则m的值为( A )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 作出不等式组，表示的平面区域，由于z＝2x＋y的最小值为3，作直线l0：x＝m平移l0可知m＝1符合题意．
A组
1．若a>b>0，c
C．> D．<
[解析] 令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，
则＝－1，＝－1，
所以A，B错误；
＝－，＝－，
所以<，
所以C错误．故选D．
2．下列不等式一定成立的是( C )
A．lg(x2＋)>lgx(x>0)
B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D．>1(x∈R)
[解析] 应用基本不等式：x，y>0，≥(当且仅当x＝y时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件．
当x>0时，x2＋≥2·x·＝x，
所以lg(x2＋)≥lgx(x>0)，故选项A不正确；
运用基本不等式时需保证一正二定三相等，
而当x≠kπ，k∈Z时，sinx的正负不定，故选项B不正确；
由基本不等式可知，选项C正确；
当x＝0时，有＝1，故选项D不正确．
3．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，
x2)，且x2－x1＝15，则a等于( A )
A． B．
C． D．
[解析] 由x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)(x－4a)<0，因a>0，所以不等式的解集为(－2a,4a)，即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15，得4a－(－2a)＝15，解得a＝.
4．(2017·长春一模)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>}，则f(ex)>0的解集为( D )
A．{x|x<－1或x>－ln3}
B．{x|－1－ln3}
C．{x|x>－ln3}
D．{x|x<－ln3}
[解析] f(x)>0的解集为{x|－1
5．若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是( C )
A．4 B．9
C．10 D．12
[解析] 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设P(x，y)为平面区域内任意一点，则x2＋y2表示|OP|2.显然，当点P与点A重合时，|OP|2取得最大值．由，解得，故A(3，－1)．所以x2＋y2的最大值为32＋(－1)2＝10.故选C．
6．(文)若实数x、y满足不等式组则w＝的取值范围是( D )
A．[－1，] B．[－，]
C．[－，＋∞) D．[－，1)
[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图所示．据题意，即求点M(x，y)与点P(－1,1)连线斜率的取值范围．
由图可知wmin＝＝－，wmax<1，
∴w∈[－，1)．
(理)已知O是坐标原点，点A(－1,2)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是( D )
A．[－1,0] B．[0,1] C．[1,3] D．[1,4]
[解析] 作出点M(x，y)满足的平面区域，如图阴影部分所示，易知当点M为点C(0,2)时，·取得最大值，即为(－1)×0＋2×2＝4，当点M为点B(1,1)时，·取得最小值，即为(－1)×1＋2×1＝1，所以·的取值范围为[1,4]，故选D．
7．某企业生产甲、乙两种新产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( D )
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元
[解析] 设企业每天生产甲产品x吨、乙产品y吨，每天获得的利润为z万元，则有z＝3x＋4y，由题意得x，y满足：不等式组表示的可行域是以O(0,0)，
A(4,0)，B(2,3)，C(0,4)为顶点的四边形及其内部．根据线性规划的有关知识，知当直线3x＋4y－z＝0过点B(2,3)时，z取最大值18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．
8．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是( C )
A．[1,2] B．(0，]
C．[，2] D．(0,2]
[解析] 因为loga＝－log2a，所以f(log2a)＋f(loga)＝f(log2a)＋f(－log2a)＝2f(log2a)，原不等式变为2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)，又因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上递增，所以|log2a|≤1，即－1≤log2a≤1，解得≤a≤2，故选C．
9．已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( B )
A． B． C．1 D．2
[解析] 画出可行域，如图所示，
由
得A(1，－2a)，则直线y＝z－2x过点A(1，－2a)时，z＝2x＋y取最小值1，故2×1－2a＝1，解得a＝.
10．已知x∈(0，＋∞)时，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，则m的取值范围是( C )
A．2－2
[解析] 令t＝3x(t>1)，则由已知得函数f(t)＝t2－mt＋m＋1的图象在t∈(1，＋∞)上恒在x轴的上方，
则对于方程f(t)＝0，有Δ＝(－m)2－4(m＋1)<0或
解得m<2＋2.
11．已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，)，则四边形ABCD面积的最大值为( A )
A．5 B．10
C．15 D．20
[解析] 如图，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，则OP2＋OQ2＝OM2＝3，∴AC2＋BD2＝4(4－OP2)＋4(4－OQ2)＝20.又AC2＋BD2≥2AC·BD，则AC·BD≤10，
∴S四边形ABCD＝AC·BD≤×10＝5，
当且仅当AC＝BD＝时等号成立．
12．函数f(x)＝若f(x0)≤，则x0的取值范围是( C )
A．(log2，) B．(0，log2]∪[，＋∞)
C．[0，log2]∪[，2] D．(log2，1)∪[，2]
[解析] ①当0≤x0<1时，2x0≤，x0≤log2，
∴0≤x0≤log2.
②当1≤x0≤2时，4－2x0≤，x0≥，
∴≤x0≤2，故选C．
13．(2018·衡水中学高三调研)已知f(x)是R上的减函数，A(3，－1)，B(0,1)是其图象上两点，则不等式|f(1＋lnx)|<1的解集是(，e2).
[解析] ∵|f(1＋lnx)|<1，∴－1
∴0<1＋lnx<3，∴－1
[解析] 画出满足条件的可行域如图阴影部分所示，则当直线z＝2x＋3y过点A(a，a)时，z＝2x＋3y取得最大值5，所以5＝2a＋3a，解得a＝1.
15．(2018·赣州六校高三期末联考)若点A(1,1)在直线2mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为＋.
[解析] ∵点A(1,1)在直线2mx＋ny－2＝0上，
∴2m＋n＝2，
∵＋＝(＋)＝(2＋＋＋1)≥(3＋2＝＋，
当且仅当＝，即n＝m时取等号，
∴＋的最小值为＋.
16．已知函数f(x)＝若对任意的x∈R，不等式f(x)≤m2－m恒成立，则实数m的取值范围是(－∞，－)∪[1，＋∞).
[解析] 对于函数
f(x)＝
当x≤1时，f(x)＝－(x－)2＋≤；
当x>1时，f(x)＝logx<0.
则函数f(x)的最大值为.
则要使不等式f(x)≤m2－m恒成立，
则m2－m≥恒成立，即m≤－或m≥1.
B组
1．(2018·山东菏泽一模)已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是( A )
A．9 B．8
C．4 D．2
[解析] 圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，得x2＋(y－1)2＝6，
所以圆心为C(0,1)．
因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，
所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.
因此＋＝(b＋c)(＋)＝＋＋5.
因为b，c>0，
所以＋≥2＝4.
当且仅当＝时等号成立．
由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝，
c＝时，＋取得最小值9.
2．(2018·天津二模)已知函数f(x)＝，则不等式f(1－x2)>f(2x)的解集是( D )
A．{x|－1
C．{x|－1－
[解析] 由f(x)＝可得当x≤1时，函数f(x)为减函数，则由f(1－x2)>f(2x)可得或解得x<－1－或－1，所以不等式f(1－x2)>f(2x)的解集是{x|x<－1－或x>－1}．
3．已知x，y满足约束条件 若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝( B )
A． 3 B． 2
C． －2 D． －3
[解析] 由约束条件可画可行域如图，解得A(2,0)，B(1,1)．若过点A(2,0)时取最大值4，则a＝2，验证符合条件；若过点B(1,1)时取最大值4，则a＝3，而若a＝3，则z＝3x＋y最大值为6(此时A(2,0)是最大值点)，不符合题意. (也可直接代入排除)
4．(2018·德州模拟)若a＝，b＝，c＝，则( C )
A．a
＝＝＝log89>1，所以b>a，
＝＝＝log2532>1，
所以a>c，
故b>a>c.
5．已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为( A )
A． B．
C． D．不存在
[解析] 由an>0，a7＝a6＋2a5，设{an}的公比为q，
则a6q＝a6＋，所以q2－q－2＝0.
因为q>0，所以q＝2，
因为＝4a1，所以a·qm＋n－2＝16a，
所以m＋n－2＝4，
所以m＋n＝6，
所以＋＝(m＋n)(＋)＝(5＋＋)≥(5＋2)＝，等号在＝，即n＝2m＝4时成立．
6．若变量x，y满足则点P(2x－y，x＋y)表示区域的面积为( D )
A． B．
C． D．1
[解析] 令2x－y＝a，x＋y＝b，
解得
代入x，y的关系式得
画出不等式组表示的平面区域如图．
易得阴影区域面积S＝×2×1＝1.
7．(2018·临沂模拟)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( D )
A．[，＋∞) B．(0,1]
C．[1，) D．(0,1]∪[，＋∞)
[解析] 不等式组表示区域如图．
由图可知，0
A．(，) B．[，)
C．[，] D．(，]
[解析] 依题意知，当x∈(0，)时，f(x)＝＝(3tanx＋)≥＝，
当且仅当3tanx＝，即tanx＝，x＝时取等号，因此b＝，不等式g(x)≤1等价于①，或
[解析] 由题意知，一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>}，因为f(10x)>0，所以－1<10x<，即x
[解题提示] 根据分段函数的定义找出f(0)的表达形式，再利用f(0)是f(x)的最小值，求出a的取值范围．
[解析] 当x>0时，f(x)＝x＋≥2，若f(0)是f(x)的最小值，则f(0)＝a≤2.
11．已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数且f(1)＝2，当x1、x2∈[－1,1]，且x1＋x2≠0时，有>0，若f(x)≥m2－2am－5对所有x∈[－1,1]、a∈[－1,1]恒成立，则实数m的取值范围是[－1,1].
[解析] ∵f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，
∴当x1、x2∈[－1,1]且x1＋x2≠0时，
>0等价于>0，
∴f(x)在[－1,1]上单调递增．
∵f(1)＝2，∴f(x)min＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
要使f(x)≥m2－2am－5对所有x∈[－1,1]，a∈[－1，1]恒成立，
即－2≥m2－2am－5对所有a∈[－1,1]恒成立，
∴m2－2am－3≤0，设g(a)＝m2－2am－3，
则即∴－1≤m≤1.
∴实数m的取值范围是[－1,1]．
12．(2017·天津卷，16)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放
时长(分钟)
广告播放时
长(分钟)
收视人次(万)
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
[解析] (1)由已知x，y满足的数学关系式为
即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整数点．
(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.
考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，
当取得最大值时，z的值就最大．
又因为x，y满足约束条件，所以由图②可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组
得
则点M的坐标为(6,3)．
所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．
高考考点
考点解读
不等式的性
质及解法
1.利用不等式的性质判定命题的真假及一元二次不等式的解法
2．通过含参数不等式恒成立求参数范围
基本不等式的应用
1.考查利用基本不等式求最值问题
2．常与集合、函数等知识交汇命题
线性规划问题
1.给出约束条件求最值，求区域面积
2．已知最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围
备考策略
本部分内容在备考时应注意以下几个方面：
(1)掌握不等关系与不等式解法、基本不等式的应用．
(2)熟练掌握求解线性规划问题的方法，给出线性不等式组可以熟练找出其对应的可行域．
(3)关注目标函数的几何意义和参数问题，掌握求目标函数最值的方法．
预测2020年命题热点为：
(1)不等式的性质、不等关系及不等式解法；利用基本不等式求函数最值．
(2)求目标函数的最大值或最小值及求解含有参数的线性规划问题．
Z
1．不等式的四个性质
注意不等式的乘法、乘方与开方对符号的要求，如
(1)a>b，c>0⇒ac>bc，a>b，c<0⇒ac
(3)a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)．
(4)a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)．
2．四类不等式的解法
(1)一元二次不等式的解法
先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元
二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
(2)简单分式不等式的解法
>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0).
≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
(3)简单指数不等式的解法
当a>1时，af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x)；
当0
当a>1时，logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)>0；
当0
3．基本不等式
(1)基本不等式的常用变形
①a＋b≥2(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立．
②a2＋b2≥2ab，ab≤()2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立．
③＋≥2(a，b同号且均不为零)，当且仅当a＝b时，等号成立．
④a＋≥2(a>0)，当且仅当a＝1时，等号成立；a＋≤－2(a<0)，当且仅当a＝－1时，等号成立．
⑤a>0，b>0，则≥≥≥，当且仅当a＝b时取等号．
(2)利用基本不等式求最值
已知a，b∈R，则①若a＋b＝S(S为定值)，则ab≤()2＝，当且仅当a＝b时，ab取得最大值.
②若ab＝T(T为定值，且T>0)，则a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b时，a＋b取得最小值2.
4．求目标函数的最优解问题
(1)“斜率型”目标函数z＝(a，b为常数)，最优解为点(a，b)与可行域上点的连线的斜率取最值时的可行解．
(2)“两点间距离型”目标函数z＝(a，b为常数)，最优解为点(a，b)与可行域上点之间的距离取最值时的可行解．
5．线性规划中的参数问题的注意点
(1)当最值已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化．
(2)当目标函数与最值都已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可．
6．重要性质及结论
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是
Y
1．忽略条件
应用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可，否则会导致结论错误．
2．忽视分母不等于零
求解分式不等式时应注意正确进行同解变形，不能把≥0直接转化为f(x)·g(x)≥0，而忽略g(x)≠0.
3．忽略等号成立的条件
在连续使用基本不等式求最值时，应特别注意检查等号是否同时成立．
1．(2018·天津卷，2)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋5y的最大值为( C )
A．6 B．19
C．21 D．45
[解析]
画出可行域如图中阴影部分所示，由z＝3x＋5y得y＝－x＋.
设直线l0为y＝－x，平移直线l0，当直线y＝－x＋过点P(2,3)时，z取得最大值，zmax＝3×2＋5×3＝21.
故选C．
2．(2017·全国卷Ⅰ，7)设x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为( D )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z＝x＋y得y＝－x＋z.
作出直线y＝－x，并平移该直线，
当直线y＝－x＋z过点A时，目标函数取最大值．
由图知A(3,0)，
故zmax＝3＋0＝3.
故选D．
3．(2017·全国卷Ⅱ，5)设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是( A )
A．－15 B．－9
C．1 D．9
[解析] 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．
将目标函数z＝2x＋y化为y＝－2x＋z，作出直线y＝－2x，并平移该直线，知当直线y＝－2x＋z经过点A(－6，－3)时，z有最小值，且zmin＝2×(－6)－3＝－15.
故选A．
4．(2018·全国卷Ⅰ，13) 若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为6.
[解析] 作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．
由z＝3x＋2y得y＝－x＋.
作直线l0：y＝－x.平移直线l0，当直线y＝－x＋
过点(2,0)时，z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
5．(2018·全国卷Ⅱ，14)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为9.
[解析] 由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)．x＋y取得最大值⇔斜率为－1的直线x＋y＝z(z看做常数)的横截距最大，
由图可得直线x＋y＝z过点C时z取得最大值．
由得点C(5,4)，
∴ zmax＝5＋4＝9.
6．(2018·天津卷，13)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为.
[解析] ∵ a－3b＋6＝0，∴ a－3b＝－6，∴ 2a＋＝2a＋2－3b≥2＝2＝2＝2×2－3＝，当且仅当时等号成立，即时取到等号．
7．(2018·江苏卷，13)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为9.
[解析]
方法一：如图(1)，
∵ S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，
∴ ac·sin120°＝c×1×sin60°＋a×1×sin60°，
∴ ac＝a＋c.
∴ ＋＝1.
∴ 4a＋c＝(4a＋c)＝＋＋5
≥2＋5＝9.
当且仅当＝，即c＝2a时取等号．
方法二：如图(2)，以B为原点，BD为x轴建立平面直角坐标系，则D(1,0)，
A，C.
又A，D，C三点共线，
∴ ＝，
∴ ac＝a＋c.
以下同方法一．
例1 (1)(2018·保定一模)下列三个不等式：①x＋≥2(x≠0)；②<(a>b>c>0)；③>(a，b，m>0且a
C．1 D．0
[解析] 当x<0时，①不成立；由a>b>c>0得<，所以<成立，所以②恒成立；－＝，由a，b，m>0且a
(2)(2018·衡阳一模)已知一元二次不等式f(x)≤9的解集为{x|x≤或x≥3}，则f(ex)>0的解集为( D )
A．{x|x<－ln 2或x>ln 3} B．{x|ln2
解不等式的策略
(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．
(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解．
(3)有函数背景的不等式：灵活利用函数的性质(单调性、奇偶性、对称性等)与图象求解．
G
1．已知x，y∈R，且x>y>0，则( C )
A．－>0 B．sinx－siny>0
C．()x－()y<0 D．lnx＋lny>0
[解析] 因为x>y>0，选项A，取x＝1，y＝，则－＝1－2＝－1<0，排除A；选项B，取x＝π，y＝，则sinx－siny＝sinπ－sin＝－1<0，排除B；选项D，取x＝2，y＝，则lnx＋lny＝ln(x＋y)＝ln1＝0，排除D．故选C．
2．已知实数x，y满足ax
C．sinx>siny D．x3>y3
[解析] 根据指数函数的性质得x>y，此时x2，y2的大小不确定，故选项A，B中的不等式不恒成立；根据三角函数性质，选项C中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知选项D中的不等式恒成立．
3．设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是a≤.
[解析] 由题意或
解得f(a)≥－2，
所以或
解得a≤.
例2 (2018·徐州质检)设a、b、c都是正实数，且a、b满足＋＝1，则使a＋b≥c恒成立的c的范围是( D )
A．(0,8] B．(0,10]
C．(0,12] D．(0,16]
[分析] c≤a＋b恒成立，设a＋b的最小值为m，则c≤m.∵a、b为正实数，且＋＝1，故可用“1的代换”求a＋b的最小值．
[解析] ∵a、b为正实数，＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b)(＋)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即a＝4，b＝12时等号成立，∴(a＋b)min＝16，要使c≤a＋b恒成立，∵c为正实数，∴0
1．用基本不等式≥求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明确什么时候等号成立，要注意“代入消元”、“拆、拼、凑”、“1的代换”等技巧的应用．
2．不等式恒成立问题一般用分离参数法转化为函数最值求解或用赋值法讨论求解．
G
1．若点A(m，n)在第一象限，且在直线＋＝1上，则mn的最大值为3.
[解析] 因为点A(m，n)在第一象限，且在直线＋＝1上，所以m，n>0，且＋＝1.
所以·≤()2(当且仅当＝＝，即m＝，n＝2时，取等号)．所以·≤，即mn≤3，
所以mn的最大值为3.
2．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为( B )
A．1 B．
C．2 D．
[解析] 2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2·＋2a＝4＋2a，
由题意可知4＋2a≥7，得a≥，
即实数a的最小值为，故选B．
例3 (1)设变量x，y满足约束条件
则目标函数z＝2x＋5y的最小值为( B )
A．－4 B．6
C．10 D．17
[解析] 如图，已知约束条件所表示的平
面区域为图中所示的三角形区域ABC(包含边界)，其中A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)．根据目标函数的几何意义，可知当直线y＝－x＋过点B(3,0)时，z取得最小值2×3＋5×0＝6.
(2)若x，y满足约束条件，且目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是( B )
A．[－4,2] B．(－4,2)
C．[－4,1] D．(－4,1)
[解析] 本题主要考查线性规划．
作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，直线z＝ax＋2y的斜率为k＝－，从图中可看出，当－1<－<2，即－4
『规律总结』
1．线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是由最优解确定目标函数中参数的取值范围．
2．解决线性规划问题首先要画出可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题可通过验证解决．
3．确定二元一次不等式组表示的平面区域：①画线，②定侧，③确定公共部分；解线性规划问题的步骤：①作图，②平移目标函数线，③解有关方程组求值，确定最优解(或最值等)．
G
1．设x、y满足约束条件，则z＝2x－y的最大值为( B )
A．10 B．8
C．3 D．2
[解析] 作出可行域如图，作直线l：y＝2x，平移直线l，当经过可行域内的点A时，－z取最小值，z取最大值，
由解得
∴A(5,2)，∴zmax＝2×5－2＝8，故选B．
2．设z＝2x＋y，其中变量x，y满足条件.若z的最小值为3，则m的值为( A )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 作出不等式组，表示的平面区域，由于z＝2x＋y的最小值为3，作直线l0：x＝m平移l0可知m＝1符合题意．
A组
1．若a>b>0，c
C．> D．<
[解析] 令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，
则＝－1，＝－1，
所以A，B错误；
＝－，＝－，
所以<，
所以C错误．故选D．
2．下列不等式一定成立的是( C )
A．lg(x2＋)>lgx(x>0)
B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D．>1(x∈R)
[解析] 应用基本不等式：x，y>0，≥(当且仅当x＝y时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件．
当x>0时，x2＋≥2·x·＝x，
所以lg(x2＋)≥lgx(x>0)，故选项A不正确；
运用基本不等式时需保证一正二定三相等，
而当x≠kπ，k∈Z时，sinx的正负不定，故选项B不正确；
由基本不等式可知，选项C正确；
当x＝0时，有＝1，故选项D不正确．
3．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，
x2)，且x2－x1＝15，则a等于( A )
A． B．
C． D．
[解析] 由x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)(x－4a)<0，因a>0，所以不等式的解集为(－2a,4a)，即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15，得4a－(－2a)＝15，解得a＝.
4．(2017·长春一模)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>}，则f(ex)>0的解集为( D )
A．{x|x<－1或x>－ln3}
B．{x|－1
C．{x|x>－ln3}
D．{x|x<－ln3}
[解析] f(x)>0的解集为{x|－1
5．若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是( C )
A．4 B．9
C．10 D．12
[解析] 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设P(x，y)为平面区域内任意一点，则x2＋y2表示|OP|2.显然，当点P与点A重合时，|OP|2取得最大值．由，解得，故A(3，－1)．所以x2＋y2的最大值为32＋(－1)2＝10.故选C．
6．(文)若实数x、y满足不等式组则w＝的取值范围是( D )
A．[－1，] B．[－，]
C．[－，＋∞) D．[－，1)
[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图所示．据题意，即求点M(x，y)与点P(－1,1)连线斜率的取值范围．
由图可知wmin＝＝－，wmax<1，
∴w∈[－，1)．
(理)已知O是坐标原点，点A(－1,2)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是( D )
A．[－1,0] B．[0,1] C．[1,3] D．[1,4]
[解析] 作出点M(x，y)满足的平面区域，如图阴影部分所示，易知当点M为点C(0,2)时，·取得最大值，即为(－1)×0＋2×2＝4，当点M为点B(1,1)时，·取得最小值，即为(－1)×1＋2×1＝1，所以·的取值范围为[1,4]，故选D．
7．某企业生产甲、乙两种新产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( D )
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元
[解析] 设企业每天生产甲产品x吨、乙产品y吨，每天获得的利润为z万元，则有z＝3x＋4y，由题意得x，y满足：不等式组表示的可行域是以O(0,0)，
A(4,0)，B(2,3)，C(0,4)为顶点的四边形及其内部．根据线性规划的有关知识，知当直线3x＋4y－z＝0过点B(2,3)时，z取最大值18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．
8．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是( C )
A．[1,2] B．(0，]
C．[，2] D．(0,2]
[解析] 因为loga＝－log2a，所以f(log2a)＋f(loga)＝f(log2a)＋f(－log2a)＝2f(log2a)，原不等式变为2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)，又因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上递增，所以|log2a|≤1，即－1≤log2a≤1，解得≤a≤2，故选C．
9．已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( B )
A． B． C．1 D．2
[解析] 画出可行域，如图所示，
由
得A(1，－2a)，则直线y＝z－2x过点A(1，－2a)时，z＝2x＋y取最小值1，故2×1－2a＝1，解得a＝.
10．已知x∈(0，＋∞)时，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，则m的取值范围是( C )
A．2－2
[解析] 令t＝3x(t>1)，则由已知得函数f(t)＝t2－mt＋m＋1的图象在t∈(1，＋∞)上恒在x轴的上方，
则对于方程f(t)＝0，有Δ＝(－m)2－4(m＋1)<0或
解得m<2＋2.
11．已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，)，则四边形ABCD面积的最大值为( A )
A．5 B．10
C．15 D．20
[解析] 如图，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，则OP2＋OQ2＝OM2＝3，∴AC2＋BD2＝4(4－OP2)＋4(4－OQ2)＝20.又AC2＋BD2≥2AC·BD，则AC·BD≤10，
∴S四边形ABCD＝AC·BD≤×10＝5，
当且仅当AC＝BD＝时等号成立．
12．函数f(x)＝若f(x0)≤，则x0的取值范围是( C )
A．(log2，) B．(0，log2]∪[，＋∞)
C．[0，log2]∪[，2] D．(log2，1)∪[，2]
[解析] ①当0≤x0<1时，2x0≤，x0≤log2，
∴0≤x0≤log2.
②当1≤x0≤2时，4－2x0≤，x0≥，
∴≤x0≤2，故选C．
13．(2018·衡水中学高三调研)已知f(x)是R上的减函数，A(3，－1)，B(0,1)是其图象上两点，则不等式|f(1＋lnx)|<1的解集是(，e2).
[解析] ∵|f(1＋lnx)|<1，∴－1
∴0<1＋lnx<3，∴－1
[解析] 画出满足条件的可行域如图阴影部分所示，则当直线z＝2x＋3y过点A(a，a)时，z＝2x＋3y取得最大值5，所以5＝2a＋3a，解得a＝1.
15．(2018·赣州六校高三期末联考)若点A(1,1)在直线2mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为＋.
[解析] ∵点A(1,1)在直线2mx＋ny－2＝0上，
∴2m＋n＝2，
∵＋＝(＋)＝(2＋＋＋1)≥(3＋2＝＋，
当且仅当＝，即n＝m时取等号，
∴＋的最小值为＋.
16．已知函数f(x)＝若对任意的x∈R，不等式f(x)≤m2－m恒成立，则实数m的取值范围是(－∞，－)∪[1，＋∞).
[解析] 对于函数
f(x)＝
当x≤1时，f(x)＝－(x－)2＋≤；
当x>1时，f(x)＝logx<0.
则函数f(x)的最大值为.
则要使不等式f(x)≤m2－m恒成立，
则m2－m≥恒成立，即m≤－或m≥1.
B组
1．(2018·山东菏泽一模)已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是( A )
A．9 B．8
C．4 D．2
[解析] 圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，得x2＋(y－1)2＝6，
所以圆心为C(0,1)．
因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，
所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.
因此＋＝(b＋c)(＋)＝＋＋5.
因为b，c>0，
所以＋≥2＝4.
当且仅当＝时等号成立．
由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝，
c＝时，＋取得最小值9.
2．(2018·天津二模)已知函数f(x)＝，则不等式f(1－x2)>f(2x)的解集是( D )
A．{x|－1
C．{x|－1－
[解析] 由f(x)＝可得当x≤1时，函数f(x)为减函数，则由f(1－x2)>f(2x)可得或解得x<－1－或－1
3．已知x，y满足约束条件 若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝( B )
A． 3 B． 2
C． －2 D． －3
[解析] 由约束条件可画可行域如图，解得A(2,0)，B(1,1)．若过点A(2,0)时取最大值4，则a＝2，验证符合条件；若过点B(1,1)时取最大值4，则a＝3，而若a＝3，则z＝3x＋y最大值为6(此时A(2,0)是最大值点)，不符合题意. (也可直接代入排除)
4．(2018·德州模拟)若a＝，b＝，c＝，则( C )
A．a
＝＝＝log89>1，所以b>a，
＝＝＝log2532>1，
所以a>c，
故b>a>c.
5．已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为( A )
A． B．
C． D．不存在
[解析] 由an>0，a7＝a6＋2a5，设{an}的公比为q，
则a6q＝a6＋，所以q2－q－2＝0.
因为q>0，所以q＝2，
因为＝4a1，所以a·qm＋n－2＝16a，
所以m＋n－2＝4，
所以m＋n＝6，
所以＋＝(m＋n)(＋)＝(5＋＋)≥(5＋2)＝，等号在＝，即n＝2m＝4时成立．
6．若变量x，y满足则点P(2x－y，x＋y)表示区域的面积为( D )
A． B．
C． D．1
[解析] 令2x－y＝a，x＋y＝b，
解得
代入x，y的关系式得
画出不等式组表示的平面区域如图．
易得阴影区域面积S＝×2×1＝1.
7．(2018·临沂模拟)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( D )
A．[，＋∞) B．(0,1]
C．[1，) D．(0,1]∪[，＋∞)
[解析] 不等式组表示区域如图．
由图可知，0
A．(，) B．[，)
C．[，] D．(，]
[解析] 依题意知，当x∈(0，)时，f(x)＝＝(3tanx＋)≥＝，
当且仅当3tanx＝，即tanx＝，x＝时取等号，因此b＝，不等式g(x)≤1等价于①，或
[解析] 由题意知，一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>}，因为f(10x)>0，所以－1<10x<，即x
[解题提示] 根据分段函数的定义找出f(0)的表达形式，再利用f(0)是f(x)的最小值，求出a的取值范围．
[解析] 当x>0时，f(x)＝x＋≥2，若f(0)是f(x)的最小值，则f(0)＝a≤2.
11．已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数且f(1)＝2，当x1、x2∈[－1,1]，且x1＋x2≠0时，有>0，若f(x)≥m2－2am－5对所有x∈[－1,1]、a∈[－1,1]恒成立，则实数m的取值范围是[－1,1].
[解析] ∵f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，
∴当x1、x2∈[－1,1]且x1＋x2≠0时，
>0等价于>0，
∴f(x)在[－1,1]上单调递增．
∵f(1)＝2，∴f(x)min＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
要使f(x)≥m2－2am－5对所有x∈[－1,1]，a∈[－1，1]恒成立，
即－2≥m2－2am－5对所有a∈[－1,1]恒成立，
∴m2－2am－3≤0，设g(a)＝m2－2am－3，
则即∴－1≤m≤1.
∴实数m的取值范围是[－1,1]．
12．(2017·天津卷，16)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放
时长(分钟)
广告播放时
长(分钟)
收视人次(万)
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
[解析] (1)由已知x，y满足的数学关系式为
即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整数点．
(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.
考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，
当取得最大值时，z的值就最大．
又因为x，y满足约束条件，所以由图②可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组
得
则点M的坐标为(6,3)．
所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．
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