第二讲 向量运算与复数运算、算法、推理与证明 学案

第二讲　向量运算与复数运算、算法、推理与证明

高考考点
考点解读
平面向量的
运算及运用
1.以平面图形为载体，借助向量考查数量关系与位置关系、向量的线性运算及几何意义
2．以平面向量基本定理为出发点，与向量的坐标运算、数量积交汇命题
3．直接利用数量积运算公式进行运算，求向量的夹角、模或判断向量的垂直关系
复数的概念及运算
1.复数的概念、纯虚数、复数相等、共轭复数等
2．复数的几何意义及四则运算，重点考查复数的乘除运算
程序框图
1.主要考查程序框图的应用及基本算法语句，尤其是含循环结构的程序框图
2．与分段函数的求值、数列求和或求积、统计等有规律的重复计算问题放在一起综合考查
合情推理
1.主要考查合情推理和演绎推理，重点考查归纳推理和类比推理
2．以数表、数阵、图形等为背景与数列、周期性等数学知识相结合考查归纳推理
备考策略
本部分内容在备考时应注意以下几个方面：
(1)加强对向量加法、减法的平行四边形法则与三角形法则的理解、掌握两向量共线与垂直的条件，熟记平面向量的相关公式，掌握求模、夹角的方法．
(2)掌握复数的基本概念及运算法则，在备考时注意将复数化为代数形式再进行求解，同时注意“分母实数化”的运用．
(3)关注程序框图和基本算法语句的应用与判别，尤其是含循环结构的程序框图要高度重视．
(4)掌握各种推理的特点和推理过程，同时要区分不同的推理形式，对归纳推理要做到归纳到位、准确；对类比推理要找到事物的相同点，做到类比合，对演绎推理要做到过程严密．
预测2020年命题热点为：
(1)利用平面向理的基本运算解决数量积、夹角、模或垂直、共线等问题，与三角函数、解析几何交汇命题．
(2)单独考查复数的四则运算，与复数的相关概念、复数的几何意义等相互交汇考查．
(3)程序框图主要是以循环结构为主的计算、输出、程序框图的补全，与函数求值、方程求解、不等式求解数列求和、统计量的计算等交汇在一起命题．
(4)推理问题考查归纳推理和类比推理，主要与数列、立体几何、解析几何等结合在一起命题．

Z
1．重要公式
(1)两个非零向量平行、垂直的充要条件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
①a∥b⇔a＝λb(b≠0，λ∈R)⇔x1y2－x2y1＝0.
②a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(2)复数的四则运算法则
(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i(a，b，c，d∈R)．
(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i(a，b，c，d∈R)．
(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)．
2．重要性质及结论
(1)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
(2)已知＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1..
(3)平面向量的三个性质
①若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.
③设θ为a与b(a≠0，b≠0)的夹角，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝＝.
(4)复数运算中常用的结论：
①(1±i)2＝±2i；②＝i；③＝－i；④－b＋ai＝i(a＋bi)；⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中n∈N*
3．推理与证明
(1)归纳推理的思维过程
→→
(2)类比推理的思维过程
→→
(3)(理)数学归纳法证题的步骤
①(归纳奠基)证明当n取第一个值n＝n0(n0∈N*)时，命题成立；
②(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题也成立．
只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对于任何n≥n0的正整数都成立．
Y
1．忽略复数的定义：
在解决与复数概念有关的问题时，在运用复数的概念时忽略某一条件而致误．
2．不能准确把握循环次数
解答循环结构的程序框图(流程图)问题，要注意循环次数，防止多一次或少一次的错误．
3．忽略特殊情况：两个向量夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价；两个向量夹角为钝角与向量的数量积小于0不等价．

1．(2018·全国卷Ⅰ，1)设z＝＋2i，则|z|＝( C )
A．0　　　 B．　　　　
C．1　　　 D．
[解析]　∵ z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，
∴ |z|＝1.
故选C．
2．(2018·全国卷Ⅱ，1)＝( D )
A．－－i B．－＋i
C．－－i D．－＋i
[解析]　＝＝＝＝－＋i.
故选D．
3．(2018·全国卷Ⅱ，4)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( B )
A．4 B．3
C．2 D．0
[解析]　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.
∵ |a|＝1，a·b＝－1，∴ 原式＝2×12＋1＝3.
故选B．
4．(2018·全国卷Ⅰ，6)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( A )
A．－ B．－
C．＋ D．＋
[解析]　 作出示意图如图所示．
＝＋＝＋
＝×(＋)＋(－)
＝－.
故选A．
5．(2018·北京卷，2)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于( D )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析]　＝＋，其共轭复数为－，对应点位于第四象限．
故选D．
6．(2018·全国卷Ⅱ，7)为计算S＝1－＋－＋…＋－，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入
( B )

A．i＝i＋1
B．i＝i＋2
C．i＝i＋3
D．i＝i＋4
[解析]　把各循环变量在各次循环中的值用表格表示如下.
循环
次数
①
②
③
…

N
0＋
0＋＋
0＋＋
＋
…
0＋＋＋
＋…＋
T
0＋
0＋＋
0＋＋
＋
…
0＋＋＋
＋…＋
S
1－
1－＋－
1－＋－
＋－
…
1－＋－
＋…＋－
因为N＝N＋，由上表知i是1→3→5，…，所以i＝i＋2.
故选B．
7．(2018·天津卷，3)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为( B )

A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　输入N的值为20，
第一次执行条件语句，N＝20，i＝2，＝10是整数，
∴ T＝0＋1＝1，i＝3<5；
第二次执行条件语句，N＝20，i＝3，＝不是整数，
∴ i＝4<5；
第三次执行条件语句，N＝20，i＝4，＝5是整数，
∴ T＝1＋1＝2，i＝5，此时i≥5成立，∴ 输出T＝2.
故选B．
8．(2018·天津卷，9)i是虚数单位，复数＝4－i.
[解析]　＝＝＝4－i.
9．(2018·北京卷，9)设向量a＝(1,0)，b＝(－1，m)．若a⊥(ma－b)，则m＝－1.
[解析]　a＝(1,0)，b＝(－1，m)，则ma－b＝(m＋1，－m)．
由a⊥(ma－b)得a·(ma－b)＝0，
即m＋1＝0，得m＝－1.
10．(2018·全国卷Ⅲ，13)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝.
[解析]　2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝.


例1 (1)如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝( B )

A．　　　 B．　　　　
C．　　　 D．2
[解析]　方法一：建立平面直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，M(2,1)，D(0,2)，所以＝(2,2)，＝(2,1)，＝(－2,2)．由＝λ＋μ，得(2,2)＝λ(2,1)＋μ(－2,2)，即(2,2)＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，所以解得
所以λ＋μ＝.故选B．

方法二：因为＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ(＋)＝λ(＋)＋μ(－＋)＝(λ－μ)＋(λ＋μ)，所以得所以λ＋μ＝.
故选B．
(2)在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，若＝λ＋μ，则λμ＝.
[解析]　由图形可得：＝＋①，
＝－②，

①×2＋②得：2＋＝3，即＝＋，所以λ＝，μ＝，所以λμ＝.
『规律总结』
1．平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．
2．正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用．
提醒：运算两平面向量的数量积时，务必要注意两向量的方向．
G
1．过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则PA―→·PB―→＝.
[解析]　圆心为O(0,0)，则，∠OPA＝∠OPB＝，则∠APB＝，所以cos∠APB＝··cos＝.
2．已知向量a＝(3,1)，b＝(x，－2)，c＝(0,2)，若a⊥(b－c)，则实数x的值为( A )
A．　　 B．　　　
C．－　　 D．－
[解析]　因为b－c＝(x，－4)，又a⊥(b－c)，所以a·(b－c)＝3x－4＝0，所以x＝.

例2 (1)已知复数z1＝的实部为a，复数z2＝i(2＋i)的虚部为b，复数z＝b＋ai的共轭复数在复平面内的对应点在( D )
A．第一象限　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[分析]　先计算z1、z2求出a、b，再由共轭复数的定义求得，最后写出对应点的坐标．
[解析]　z1＝＝＝1＋2i，
z2＝i(2＋i)＝－1＋2i，∴a＝1，b＝2，∴z＝2＋i，
∴＝2－i在复平面内的对应点(2，－1)在第四象限．
(2)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( B )
A．1 B．
C． D．2
[解析]　因为(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝＝，故选B．
(3)(2018·郑州质检二)设i是虚数单位，复数z＝，则|z|＝( B )
A．1 B．
C． D．2
[解析]　|z|＝＝＝.
『规律总结』
1．解决复数的概念与运算问题，一般都是直接用运算法则求或用复数相等的条件求解．一般是先变形分离出实部和虚部，把复数的非代数形式化为代数形式．然后再根据条件，列方程或方程组．
2．熟记复数表示实数、纯虚数的条件，复数相等的条件、共轭复数及复数的几何意义是解决复数问题的关键．
G
1．设复数z满足＝i，则|z|＝( A )
A．1　　　 B．　　　　
C．　　　 D．2
[解析]　因为＝i，所以z＝＝＝i，故|z|＝1.
2．若复数z满足＝1，其中i为虚数单位，则z＝( A )
A．1－i B．1＋i
C．－1－i D．－1＋i
[解析]　由＝i，得＝i(1－i)＝1＋i，z＝1－i.
3．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( A )
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
[解析]　由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以，解得－3
例3 (1)执行下面的程序框图，若输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出的x，y的值满足( C )

A．y＝2x　 B．y＝3x　　
C．y＝4x　 D．y＝5x
[解析]　运行程序，第1次循环得x＝0，y＝1，n＝2.第2次循环得x＝，y＝2，n＝3，第3次循环得x＝，y＝6，此时x2＋y2≥36，输出x，y，满足C选项．
(2)执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是( C )

A．s≤ B．s≤
C．s≤ D．s≤
[解析]　第一次：k＝2，s＝；第二次：k＝4，s＝；第三次：k＝6，s＝；第四次：k＝8，s＝；输出k＝8，s≤.
『规律总结』
解答程序框图问题的关注点
(1)首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构，特别是循环结构，如累加求和、累乘求积、多次输入等有规律的科学计算中，都有循环结构．
(2)准确把握控制循环的变量，变量的初值和循环条件，弄清在哪一步结束循环；弄清循环体和输入条件、输出结果．
(3)对于循环次数比较少的可逐步写出，对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环结果，找出规律．
易错提醒：解答循环结构的程序框图(流程图)问题要注意输出循环次数的情况，防止多一次或少一次的错误．
G
1．根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是( C )

A．an＝2n　　　　　　 B．an＝2(n－1)
C．an＝2n D．an＝2n－1
[解析]　当S＝1，i＝1时，执行循环体，a1＝2，S＝2，i＝2，
若不满足条件i>N，执行循环体，a2＝4，S＝4，i＝3，
若不满足条件i>N，执行循环体，a3＝8，S＝8，i＝4，
若不满足条件i>N，执行循环体，a4＝16，S＝16，i＝5.
……
所以an＝2n.
2．执行如图所示的程序框图．如果输入n＝3，则输出的S＝( B )

A． B．
C． D．
[解析]　由题意得，输出的S为数列{}的前三项和，而＝(－)，所以Sn＝(1－)＝，所以S3＝.

例4 观察下列等式：
－2＋－2＝×1×2；
－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；
……
照此规律，
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝n(n＋1).
[解析]　每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和．因此答案为n(n＋1)．
『规律总结』
1．在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．
2．在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．
3．归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．
G
(2018·湖北八校联考)祖暅(公元前5～6世纪)是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆＋＝1(a>b>0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(如图)(称为椭球体)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于×b2a.

[解析]　椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V＝2(V圆柱－V圆锥)＝2(π×b2×a－×b2a)＝×b2a.

A组
1．(2017·全国卷Ⅱ，1)＝( D )
A．1＋2i　　 B．1－2i　　　
C．2＋i　　 D．2－i
[解析]　＝＝＝2－i.
故选D．
2．(文)已知i为虚数单位，则复数＝( C )
A．2＋i B．2－i
C．－1－2i D．－1＋2i
[解析]　＝＝－1－2i，故选C．
(理)若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a、b∈R，则|a＋bi|＝( C )
A．＋i B．
C． D．
[解析]　∵(1＋2ai)i＝－2a＋i＝1－bi，
∴a＝－，b＝－1，
∴|a＋bi|＝|－－i |＝＝.
3．(2018·济南二模)已知数列{an}，观察如图所示的程序框图，若输入a1＝1，d＝2，k＝7，则输出的结果为( C )

A． B．
C． D．
[解析]　由题中程序框图知，输出S＝＋＋＋…＋＝×(1－＋－＋…＋－)＝.
4．设向量a，b满足|a＋b|＝，a·b＝4，则|a－b|＝( C )
A． B．2
C．2 D．
[解析]　向量的数量积．∵|a＋b|＝，a·b＝4，
∴|a＋b|2－|a－b|2＝4a·b＝16，∴|a－b|＝2，故选C．
5．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝( B )
A． B．
C．2 D．10
[解析]　∵a⊥b，∴a·b＝0，∴x－2＝0，∴x＝2，
∴a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝.
6．(2018·大连一模)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( D )

A．21 B．34
C．52 D．55
[解析]　由题意可得，这种树从第一年的分枝数分别是1,1,2,3,5，…则2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3，即从第三项起，每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数是21＋34＝55.故选D．
7．下面框图所给的程序运行结果为S＝28，那么判断框中应填入的关于k的条件是( D )

A．k＝8? B．k≤7?
C．k<7? D．k>7?
[解析]　开始→k＝10，S＝1，满足条件→S＝1＋10＝11，k＝10－1＝9，满足条件→S＝11＋9＝20，k＝9－1＝8，满足条件→S＝20＋8＝28，k＝8－1＝7.由于输出S的值为28，故k＝7不再满足条件，故选D．
8．设D，E，F分别为△ABC的三边BC、CA、AB的中点，则＋＝( A )
A． B． C． D．
[解析]　如图，

＋
＝－(＋)－(＋)
＝－(＋)＝(＋)＝.
选A．
9．对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( B )
A．|a·b|≤|a||b|
B．|a－b|≤||a|－|b||
C．(a＋b)2＝|a＋b|2
D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
[解析]　由|a·b|＝||a|·|b|·cosθ|，
因为－1≤cosθ≤1，所以|a·b|≤|a||b|恒成立；
由向量减法的几何意义结合三角形的三边关系可得|a－b|≥||a|－|b||，故B选项不成立；
根据向量数量积的运算律C，D选项恒成立．
10．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为( C )
A．201 B．411 C．465 D．565
[解析]　200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)·(1＋5＋52)＝465，所以200的所有正约数之和为465.
11．设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝－1.
[解析]　(1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i，所以a＋1＝0，a＝－1.
12．已知a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则|2a＋3b|等于4.
[解析]　由a∥b⇒m＋4＝0，解得m＝－4，故2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，因此|2a＋3b|＝＝4.
13．已知△ABC的面积为2，且B＝，则·＝4.
[解析]　设△ABC的三角A，B，C的对边分别为a，b，c，
则S＝acsinB＝ac＝2，即ac＝8，
·＝||||·cos(π－B)＝cacos＝8×＝4.
14．执行下边的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值为13.

[解析]　第一次执行程序，满足条件x＜2，x＝1＋1＝2；第二次执行程序，不满足条件x＜2，y＝3×22＋1＝13，输出y＝13，结束．答案为13.
15．(2018·聊城一模)观察等式：f()＋f()＝1；f()＋f()＋f()＝；f()＋f()＋f()＋f()＝2；f()＋f()＋f()＋f()＋f()＝；
…
由以上几个等式的规律可猜想f()＋f()＋f()＋…＋f()＝1_009.
[解析]　从所给四个等式看：等式右边依次为1，，2，，将其变为，，，，可以得到右边是一个分数，分母为2，分子与左边最后一项中自变量的分子相同，所以f()＋f()＋f()＋…＋f()＝＝1 009.
B组
1．设复数z1＝1＋i，z2＝2＋bi，若为实数，则实数b等于( D )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
[解析]　＝＝
＝，
若其为实数，则有＝0，解得b＝2.
2．(文)(2018·石景山检测)已知复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i，若z是纯虚数，则实数a等于( B )
A．2 B．1
C．0 D．－1
[解析]　∵z为纯虚数，∴∴a＝1.
(理)已知复数z1＝1＋i，z2＝a＋i，若z1·z2为纯虚数，则实数a的值为( B )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
[解析]　∵z1·z2＝(a－1)＋(a＋1)i为纯虚数，
∴，∴a＝1.
3．(2017·全国卷Ⅱ，4)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( A )
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
[解析]　方法一：∵|a＋b|＝|a－b|，
∴|a＋b|2＝|a－b|2.
∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.
∴a·b＝0.
∴a⊥b.
故选A．
方法二：利用向量加法的平行四边形法则．
在▱ABCD中，设＝a，＝b，
由|a＋b|＝|a－b|知||＝||，∴|AC|＝|DB|
从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.
故选A．
4．执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为( B )

A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　输入a＝1，则b＝1，第一次循环，a＝＝－，k＝1；第二次循环，a＝＝－2，k＝2；第三次循环，a＝＝1，此时a＝b，结束循环，输出k＝2.故选B．
5．(2018·潍坊一模)若复数z＝m(m－1)＋(m－1)(m－2)i是纯虚数，其中m是实数，i2＝－1，则等于( D )
A． B．－
C． D．－
[解析]　因为复数z＝m(m－1)＋(m－1)·(m－2)i是纯虚数，所以m(m－1)＝0且(m－1)(m－2)≠0，所以m＝0，则＝＝－.
6．设向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则|a－tb|(t∈R)的最小值为( A )
A． B．
C．1 D．2
[解析]　由于|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，于是|a＋b|2＝1，即a2＋2a·b＋b2＝1，
即a·b＝－.
|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝(1＋t2)－2ta·b＝t2＋t＋1≥，故|a－tb|的最小值为.
7．如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N)个点，相应的图案中总的点数记为an，则＋＋＋…＋＝( C )

A． B．
C． D．
[解析]　每条边有n个点，所以三条边有3n个点，三角形的3个顶点都被重复计算了一次，所以减3个顶点，即an＝3n－3，那么＝＝＝－，
则＋＋＋…＋＝(－)＋(－)＋(－)＋…(－)＝1－＝.故选C．
8．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝( C )

A．7 B．12
C．17 D．34
[解析]　由程序框图知，
第一次循环：x＝2，n＝2，a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；
第二次循环：a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2；
第三次循环：a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3.结束循环，输出s的值为17，故选C．
9．设复数z的共轭复数为，若z＝1－i(i为虚数单位)，则＋z2的虚部为－1.
[解析]　∵z＝1－i(i为虚数单位)，
∴＋z2＝＋(1－i)2＝－2i＝－2i＝－i，故其虚部为－1.
10．(文)(2018·厦门联考)刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：
甲说：“我们四人都没考好．”
乙说：“我们四人中有人考得好．”
丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”
丁说：“我没考好．”
结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的乙，丙两人说对了．
[解析]　甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为乙，丙．
(理)(2018·湖北七市联考)观察下列等式：
1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；
1＋3＋6＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)；
1＋4＋10＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋2)·(n＋3)；
……
可以推测，1＋5＋15＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)(n∈N*).
[解析]　根据式子中的规律可知，等式右侧为n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)
＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)(n∈N*)
11．(2017·江苏卷，4)如图是一个算法流程图，若输入x的值为，则输出y的值是－2.

[解析]　输入x＝<1，执行y＝2＋log2＝2－4＝－2，故输出y的值为－2.
12．如图所示，A、B、C是圆O上的三点，线段CO的延长线
与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是(－1,0).

[解析]　根据题意知，线段CO的延长线与线段BA的延长线的交点为D，则＝t.
∵D在圆外，∴t<－1，
又D、A、B共线，∴存在λ、μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1，又由已知，＝m＋n，
∴tm＋tn＝λ＋μ，
∴m＋n＝，故m＋n∈(－1,0)．