2023届高考数学二轮复习专题二复数运算与平面向量运算学案

专题二 复数运算与平面向量运算 

（一）考点解读

（二）核心知识整合

考点1：复数的概念及运算

1.复数的乘法

复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可.

2. 复数的除法

除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式.复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”.

3.复数的四则运算法则

（1）(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i (a，b，c，d∈R)．

（2）(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i  (a，b，c，d∈R)．

（3）(a＋bi)÷(c＋di)＝ (a，b，c，d∈R，c＋di≠0)．

4.复数运算中常用的结论：

①(1±i)2＝±2i；

②＝i；

③＝－i； 

④－b＋ai＝i(a＋bi)；

⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中n∈N*.

 [典型例题]

1.设复数的共轭复数为 ，若，则（    ）

A． B． C． D．

[答案]：D

[解析]　 设，

则，

所以，

故，解得

故，故选：D

2.已知复数在复平面内对应的点在直线上，且，则（    ）

A．2 B． C． D．

[答案]：C

[解析] 设，

因为复数在复平面内对应的点在直线上，

所以，

又，

所以，

解得或，

所以，故选：C

『规律总结』

解决复数的概念与运算问题，一般都是直接用运算法则求或用复数相等的条件求解．一般是先变形分离出实部和虚部，把复数的非代数形式化为代数形式．然后再根据条件，列方程或方程组．

提醒：熟记复数表示实数、纯虚数的条件，复数相等的条件、共轭复数及复数的几何意义是解决复数问题的关键．

[跟踪训练]

1.设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为(   )

A.－3       B.－1 C.1     D.3

[答案]：D

[解析]　复数为纯虚数,则,即.

2. 设，则(   )

A.0 B. C.1 D. 

[答案]：C

[解析] ，，则.故选C.

考点2：平面向量的运算及应用

1.平面向量的概念及线性运算

（1）在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化.

（2）在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量.

2.平面向量的数量积

（1）平面向量的数量积有两种运算形式：

a.数量积的定义：a·b =∣a∣∣b∣（其中为向量a，b的夹角）.

b.坐标运算：a=, b=时，a·b =.

（2）投影

向量a在向量b方向上的投影为（其中为向量a，b的夹角）.

3.平面向量的重要性质及结论

（1）若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

（2）已知＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1．

（3）若a＝(x，y)，则|a|＝＝．

（4）若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝．

（5）设θ为a与b(a≠0，b≠0)的夹角，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝＝.

4. 平面向量的重要公式

两个非零向量平行、垂直的充要条件：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

①a∥b⇔λb(b≠0，λ∈R)⇔ x1y2－x2y1＝0.

②a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

5.平面向量在几何中的应用

用向量法解决平面（解析）几何问题的两种方法：

（1）基向量法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；

（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.

一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法.

 [典型例题]

1.已知，，，若，则(   )

A.  B.  C.   D.

[答案]：C

[解析]   由，有，得.故选C.

2.已知，，且，则(   )

A.， B.， C.， D.，

[答案]：B

[解析]  由题意可得，，.

，

，使，

得解得故选B.

『规律总结』

1．平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．

2．正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用．

提醒：运算两平面向量的数量积时，务必要注意两向量的方向．