2019届二轮复习（文）算法、复数、推理与证明学案

第一讲　算法、复数、推理与证明


年份
卷别
考查角度及命题位置
命题分析
2018
Ⅰ卷
复数除法运算及模的运算·T2
1.程序框图是每年高考的必考内容，主要考查循环结构的程序框图的输出功能以及判断框内循环体结束条件的填充，多为选择题或填空题，试题难度不大．
2.对复数的考查，难度一般为容易，常在选择题或填空题的前两题的位置呈现．一般考查三个方面：一是复数的概念，如实部、虚部、模、共轭复数等；二是复数的四则运算；三是复数的几何意义．
3.推理与证明考查频次较低.
Ⅱ卷
复数乘法运算·T1
程序框图问题·T8
Ⅲ卷
复数的乘法运算·T2
2017
Ⅰ卷
循环结构程序框图的判断条件问题·T10
复数的运算与纯虚数概念·T3
Ⅱ卷
循环结构程序框图的结果输出问题·T10
复数的乘法运算·T2
推理问题·T9
Ⅲ卷
循环结构程序框图的输入值的判断·T8
复数的几何意义·T2
2016
Ⅰ卷
循环结构程序框图的输出功能·T10
复数的概念与运算·T2
Ⅱ卷
循环结构程序框图的输出功能(以秦九韶算法为背景)·T9
共轭复数·T2
推理问题·T16
Ⅲ卷
循环结构程序框图的输出功能·T8
共轭复数，复数的基本运算·T2


复数

授课提示：对应学生用书第56页

[悟通——方法结论]
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类
(1)z是实数⇔b＝0；
(2)z是虚数⇔b≠0；
(3)z是纯虚数⇔a＝0且b≠0.
2．共轭复数
复数a＋bi(a，b∈R)的共轭复数是a－bi(a，b∈R)．
3．复数的四则运算法则
(1)(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；
(2)(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i；
(3)(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R)．
提醒：记住以下结论，可提高运算速度
(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i；(3)＝－i；(4)＝b－ai；(5)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
[全练——快速解答]
1．(2018·高考全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝(　　)
A．0　　　 B.
C．1 D.
解析：∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，
∴|z|＝1.
故选C.
答案：C
2．(2017·高考全国卷Ⅲ)设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝(　　)
A.　　　 B.
C. D．2
解析：法一：由(1＋i)z＝2i得z＝＝1＋i，
∴|z|＝.
故选C.
法二：∵2i＝(1＋i)2，
∴由(1＋i)z＝2i＝(1＋i)2，得z＝1＋i，
∴|z|＝.
故选C.
答案：C
3．(2017·高考全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；
p4：若复数z∈R，则∈R.
其中的真命题为(　　)
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．
对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．
对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.
当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∉R，所以p2为假命题．
对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0⇒/ a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．
对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．
故选B.
答案：B
4．(2017·高考天津卷)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．
解析：∵a∈R，＝＝＝－i为实数，∴－＝0，∴a＝－2.
答案：－2


【类题通法】
复数的概念及运算问题的解题技巧
(1)与复数有关的代数式为纯虚数的问题，可设为mi(m∈R且m≠0)，利用复数相等求解．
(2)与复数模、共轭复数、复数相等有关的问题，可设z＝a＋bi(a，b∈R)，利用待定系数法求解．


算法

授课提示：对应学生用书第57页

[悟通——方法结论]
算法的两种基本逻辑结构
(1)循环结构分为当型和直到型两种．
(2)当型循环在每次执行循环体前对控制循环的条件进行判断，当条件满足时执行循环体，不满足时则停止．
(3)直到型循环在执行了一次循环体后，对控制循环的条件进行判断，当条件不满足时执行循环体，满足则停止．
[全练——快速解答]
1．(2017·高考全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝(　　)

A．2　 B．3　　　　 C．4　　　 　D．5
解析：当K＝1时，S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝2；
当K＝2时，S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，执行K＝K＋1后，K＝3；
当K＝3时，S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝4；
当K＝4时，S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，执行K＝K＋1后，K＝5；
当K＝5时，S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝6；
当K＝6时，S＝－3＋1×6＝3，执行K＝K＋1后，K＝7＞6.
输出S＝3.结束循环．
故选B.
答案：B
2．(2017·高考全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为(　　)

A．5　　　 B．4
C．3 D．2
解析：假设N＝2，程序执行过程如下：
t＝1，M＝100，S＝0，
1≤2，S＝0＋100＝100，M＝－＝－10，t＝2，
2≤2，S＝100－10＝90，M＝－＝1，t＝3，
3＞2，输出S＝90＜91.符合题意．
∴N＝2成立．显然2是最小值．
故选D.
答案：D
3．(2018·高考全国卷Ⅱ)为计算S＝1－＋－＋…＋－，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入(　　)

A．i＝i＋1 B．i＝i＋2
C．i＝i＋3 D．i＝i＋4
解析：把各循环变量在各次循环中的值用表格表示如下.
循环次数
①
②
③
…

N
0＋
0＋＋
0＋＋＋
…
0＋＋＋＋…＋
T
0＋
0＋＋
0＋＋＋
…
0＋＋＋＋…＋
S
1－
1－＋－
1－＋－＋－
…
1－＋－＋…＋－
因为N＝N＋，由上表知i是1→3→5，…，所以i＝i＋2.
故选B.
答案：B
4．(2018·西安八校联考)如图是求样本x1，x2，…，x10的平均数的程序框图，则空白框中应填入的内容为(　　)

A．S＝S＋xn B．S＝S＋
C．S＝S＋n D．S＝S＋
解析：由题可知，该程序的功能是求样本x1，x2，…，x10的平均数，由于“输出 ”的前一步是“＝”，故循环体的功能是累加各样本的值，故应为S＝S＋xn.
答案：A
【类题通法】
解答程序框图(流程图)问题的方法
(1)首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构，特别是循环结构，在累加求和、累乘求积、多次输入等有规律的科学计算中，都有循环结构．
(2)准确把握控制循环的变量，变量的初值和循环条件，弄清在哪一步结束循环；弄清循环体和输入条件、输出结果．
(3)对于循环次数比较少的可逐步写出，对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环结果，找出规律.



推理与证明

授课提示：对应学生用书第58页

[悟通——方法结论]
两种合情推理的思维过程
(1)归纳推理的思维过程：
→→
(2)类比推理的思维过程：
→→
[全练——快速解答]
1．(2017·高考全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(　　)
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
解析：依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选D.
答案：D
2．(2018·日照模拟)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝.推广到空间几何体中可以得到类似结论：若正四面体ABCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝________.
解析：设正四面体ABCD的棱长为a，高为h，四个面的面积均为S，内切球半径为r，外接球半径为R，则由4×
Sr＝Sh，得r＝h＝×a＝a.
由相似三角形的性质可得R＝a，
所以＝3＝.
答案：
3．根据下面一组等式：
s1＝1，
s2＝2＋3＝5，
s3＝4＋5＋6＝15，
s4＝7＋8＋9＋10＝34，
s5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，
s6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，
……
可得s1＋s3＋s5＋…＋s2n－1＝________.
解析：n＝1时，结果为s1＝1＝14；
n＝2时，结果为s1＋s3＝1＋15＝16＝24；
n＝3时，结果为s1＋s3＋s5＝16＋65＝81＝34；
……
由此可以推知s1＋s3＋s5＋…＋s2n－1＝n4.
答案：n4
【类题通法】
合情推理的解题思路
(1)在进行归纳推理时，要先把已知的部分个体适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．
(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．
(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．



授课提示：对应学生用书第135页

一、选择题
1．(2018·福州四校联考)如果复数z＝，则(　　)
A．z的共轭复数为1＋i B．z的实部为1
C．|z|＝2 D．z的实部为－1
解析：∵z＝＝＝＝－1－i，∴z的实部为－1，故选D.
答案：D
2．(2018·辽宁五校联考)执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝－10，则输出的y＝(　　)

A．0 B．1
C．8 D．27
解析：开始x＝－10，满足条件x≤0，x＝－7；满足条件x≤0，x＝－4，满足条件x≤0，x＝－1；满足条件x≤0，x＝2，不满足条件x≤0，不满足条件y＝23＝8.故输出的y＝8.故选C.
答案：C
3．i是虚数单位，则复数i(2 018－i)在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：复数i(2 018－i)＝1＋2 018i，在复平面内对应的点为(1,2 018)，故选A.
答案：A
4．(2018·广州模拟)若复数z满足(1＋2i)z＝1－i，则|z|＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：法一：由(1＋2i)z＝1－i，可得z＝＝＝＝－－i，所以|z|＝＝，选C.
法二：由(1＋2i)z＝1－i可得|(1＋2i)z|＝|1－i|，即|1＋2i||z|＝|1－i|，得到|z|＝，故|z|＝，选C.
答案：C
5．(2018·南宁模拟)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是(　　)
A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民
B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人
C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民
D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人
解析：由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．所以选C.
答案：C
6．(2018·沈阳模拟)已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x的值为(　　)

A．－3 B．－3或9
C．3或－9 D．－9或－3
解析：当输出的y＝0时，若x≤0，则y＝()x－8＝0，解得x＝－3，若x＞0，则y＝2－log3x＝0，解得x＝9，两个值都符合题意，故选B.
答案：B
7．(2018·长春模拟)已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是(　　)

A．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 017项和
B．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 018项和
C．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和
D．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和
解析：由程序框图可得S＝1＋5＋9＋…＋4 033，故该算法的功能是求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和．故选C.
答案：C
8．(2018·山西八校联考)已知a，b∈R，i为虚数单位，若3－4i3＝，则a＋b等于(　　)
A．－9 B．5
C．13 D．9
解析：由3－4i3＝得，3＋4i＝，即(a＋i)(3＋4i)＝2－bi，(3a－4)＋(4a＋3)i＝2－bi，则解得故a＋b＝－9，故选A.
答案：A
9．(2018·石家庄模拟)当n＝4时，执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为(　　)

A．9 B．15
C．31 D．63
解析：执行程序框图，k＝1，S＝1；S＝3，k＝2；S＝7，k＝3；S＝15，k＝4；S＝31，k＝5＞4，退出循环．故输出的S＝31，故选C.
答案：C
10．(2018·西安八校联考)如图给出的是计算＋＋＋…＋＋的值的程序框图，其中判断框内应填入的是(　　)

A．i≤2 014? B．i≤2 016?
C．i≤2 018? D．i≤2 020?
解析：依题意得，S＝0，i＝2；S＝0＋，i＝4；…；S＝0＋＋＋…＋＋，i＝2 018不满足，输出的S＝＋＋＋…＋＋，所以题中的判断框内应填入的是“i≤2 016”．
答案：B
11．(2018·重庆模拟)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和，恰好重1斤．问此人总共持金多少．则在此问题中，第5关收税金(　　)
A.斤 B.斤
C.斤 D.斤
解析：假设原来持金为x，则第1关收税金x；第2关收税金(1－)x＝x；第3关收税金(1－－)x＝x；第4关收税金(1－－－)x＝x；第5关收税金(1－－－－)x＝x.依题意，得x＋x＋x＋x＋x＝1，即(1－)x＝1，x＝1，解得x＝，所以x＝×＝.故选B.
答案：B
12．(2018·惠州调研)《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：
卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤

000
0
艮

001
1
坎

010
2
巽

011
3
依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是(　　)
A．33 B．34
C．36 D．35
解析：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.
答案：B
二、填空题
13．若(a，b∈R)与(2－i)2互为共轭复数，则a－b＝________.
解析：＝＝b－ai，(2－i)2＝3－4i，因为这两个复数互为共轭复数，所以b＝3，a＝－4，所以a－b＝－4－3＝－7.
答案：－7
14．(2018·昆明模拟)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵：
a1
a2，a3
a4，a5，a6
a7，a8，a9，a10
……
若第11行左起第1个数为am，则m＝________.
解析：要求这个数阵第11行左起的第1个数是这个数列中的第几项，只需求出这个数阵的前10行共有几项即可．因为第1行有1项，且每一行都比上一行多1项，所以前10行共有1＋2＋3＋…＋10＝＝55项，所以m＝56.
答案：56
15．在学习等差数列这一节时，可以这样得到等差数列的通项公式：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，根据等差数列的定义，可以得到a2－a1＝d，a3－a2＝d，…，an－an－1＝d，将以上n－1个式子相加，即可得到an＝a1＋(n－1)d.“斐波那契数列”是数学史上一个著名的数列，在“斐波那契数列”{an}中，令a1＝1，a2＝1，a3＝2，…，an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)，当a2 018＝t时，根据上述方法可知数列{an}的前2 016项和是________．
解析：由题意知，a3－a2＝a1，a4－a3＝a2，…，a2 018－a2 017＝a2 016，
将以上2 016个式子相加，可得a2 018－a2＝a1＋a2＋…＋a2 016＝S2 016.
因为a2 018＝t，所以S2 016＝t－1.故答案为t－1.
答案：t－1
16．(2018·重庆模拟)某学生的素质拓展课课表由数学、物理和体育三门学科组成，且各科课时数满足以下三个条件：
①数学课时数多于物理课时数；
②物理课时数多于体育课时数；
③体育课时数的两倍多于数学课时数．
则该学生的素质拓展课课表中课时数的最小值为________．
解析：法一：设该学生的素质拓展课课表中的数学、物理、体育的课时数分别为x，y，z，则由题意，得则该学生的素质拓展课课表中的课时数为x＋y＋z.设x＋y＋z＝p(x－y)＋q(y－z)＋r(2z－x)＝(p－r)x＋(－p＋q)y＋(－q＋2r)z，比较等式两边的系数，得解得p＝4，q＝5，r＝3，则x＋y＋z＝4(x－y)＋5(y－z)＋3(2z－x)≥4＋5＋3＝12，所以该学生的素质拓展课课表中的课时数的最小值为12.
法二：设该学生的素质拓展课课表中的数学、物理、体育的课时数分别为x，y，z，则2z＞x＞y＞z.由题意，知z的最小值为3，由此易知y的最小值为4，x的最小值为5，故该学生的素质拓展课课表中的课时数x＋y＋z的最小值为12.
答案：12