预测新题型专练

预测新题型专练(多选题和一题两空题)

一、多选题

1．设全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{0,1,4}，B＝{0,1,3}，则(　　)

A．A∩B＝{0,1}

B．∁UB＝{4}

C．A∪B＝{0,1,3,4}

D．集合A的真子集个数为8

AC　[∵全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{0,1,4}，B＝{0,1,3}，∴A∩B＝{0,1}，故A正确；∁UB＝{2,4}，故B错误；A∪B＝{0,1,3,4}，故C正确；集合A的真子集个数为23－1＝7，故D不正确；故选AC.]

2．设函数f(x)＝sin的图象为C，则下列结论错误的是(　　)

A．函数f(x)的最小正周期是π

B．图象C关于直线x＝对称

C．图象C可由函数g(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到

D．函数f(x)在区间上是增函数

CD　[由f(x)＝sin得f(x)的最小正周期为π，故A正确；当x＝时，f(x)＝1取得最大值，故图象C关于直线x＝对称，故B正确；将g(x)向左平移个单位得y＝sin＝sin≠f(x)，故C错误；当x∈时，2x＋∈，∴f(x)在上不单调，故D不正确．故选CD.]

3．为比较甲、乙两地某月10时的气温状况随机选取该月中的5天，将这5天10时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图，估计该月两地气温情况，下列推测合理的是(　　)

A．甲地该月10时的平均气温低于乙地该月10时的平均气温

B．甲地该月10时的平均气温高于乙地该月10时的平均气温

C．甲地该月10时气温的标准差小于乙地该月10时的气温的标准差

D．甲地该月10时气温的标准差大于乙地该月10时的气温的标准差

BC　[根据茎叶图中的数据知，

甲的平均数为甲＝×(18＋19＋20＋21＋22)＝20，

乙＝×(16＋18＋19＋21＋21)＝19，

s＝×[(18－20)2＋(19－20)2＋(20－20)2＋(21－20)2＋(22－20)2]＝2，

∴s甲＝，

s＝×[(16－19)2＋(18－19)2＋(19－19)2＋(21－19)2＋(21－19)2]＝3.6，

∴s乙＝，

∴甲地该月10时的平均气温高于乙地该月10时的平均气温，A错误，B正确；

甲地该月10时的平均气温的标准差小于乙地该月10时的气温的标准差，C正确，D错误．故选BC.]

4．设{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是(　　)

A．d＜0

B．a7＝0

C．S9＞S5

D．S6与S7均为Sn的最大值

ABD　[由S5＜S6得a1＋a2＋a3＋a4＋a5＜a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，即a6＞0，

又∵S6＝S7，∴a1＋a2＋…＋a6＝a1＋a2＋…＋a6＋a7，

∴a7＝0，故B正确；

由S7＞S8，得a8＜0，∴d＝a8－a7＜0，故A正确；

而C选项S9＞S5，即a6＋a7＋a8＋a9＞0，可得2(a7＋a8)＞0，由结论a7＝0，a8＜0，显然C选项错误；∵S5＜S6，∴S6＝S7＞S8，∴S6与S7均为Sn的最大值，故D正确；故选ABD.]

5．符号[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]＝3，[－1.6]＝－2，定义函数：f(x)＝x－[x]，则下列命题正确的是(　　)

A．f(－0.8)＝0.2

B．当1＜x＜2时，f(x)＝x－1

C．函数f(x)的定义域为R，值域为[0,1)

D．函数f(x)是增函数、奇函数

ABC　[f(x)＝x－[x]表示数x的小数部分，

则f(－0.8)＝f(－1＋0.2)＝0.2，故A正确；

当1＜x＜2时，f(x)＝x－[x]＝x－1，故B正确；

函数f(x)的定义域为R，值域为[0,1)，故C正确；

当0＜x＜1时，f(x)＝x－[x]＝x，

当1＜x＜2时，f(x)＝x－1，

当x＝0.5时，f(0.5)＝0.5，当x＝1.5时，f(1.5)＝0.5，

则f(0.5)＝f(1.5)，即有f(x)不为增函数，

由f(－1.5)＝0.5，f(1.5)＝0.5，可得f(－1.5)＝f(1.5)，即有f(x)不为奇函数．]

6．如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE、DF、EF折起，使A、B、C重合于点P.则下列结论正确的是(　　)

A．PD⊥EF

B．平面PDE⊥平面PDF

C．二面角P­EF­D的余弦值为

D．点P在平面DEF上的投影是△DEF的外心

ABC　[如图，由已知可得PE、PF、PD三条侧棱两两互相垂直，则PD⊥平面PEF，∴PD⊥EF，故A正确；

PE⊥平面PDF，而PE⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面PDF，故B正确；取EF中点G，连接PG，DG，可得PG⊥EF，DG⊥EF，得∠PGD为二面角P­EF­D的平面角，设正方形ABCD的边长为2，则PD＝2，PG＝EF＝，DG＝，∴cos∠PGD＝＝，即二面角P­EF­D的余弦值为，故C正确；过P作PO⊥DG，则O为P在底面DEF上的射影，∵PE＜PD，∴OE＜OD，则O不是△DEF的外心，故D错误；故选ABC.]

7．已知函数y＝mex的图象与直线y＝x＋2m有两个交点，则m的取值可以是(　　)

A．－1　 B．1

C．2   D．3

BCD　[令f(x)＝mex－x－2m，则f′(x)＝mex－1.

当m＜0时，f′(x)＝mex－1＜0，函数f(x)在R上单调递减，不可能有两个零点；当m＞0时，令f′(x)＝mex－1＝0，解得x＝－ln m，可得函数f(x)在x＝－ln m时取得最小值，f(－ln m)＝1＋ln m－2m，令g(m)＝1＋ln m－2m(m＞0)，则g′(m)＝－2，可得函数g(m)在m＝取得最大值，g＝－ln 2＜0，∴f(x)的最小值f(－ln m)＜0.∴m＞0时，函数f(x)有且仅有两个零点，即函数y＝mex的图象与直线y＝x＋2m有两个交点，∴m的取值可以是1,2,3.故选BCD.]

8．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，A(－2,0)，B(4,0)，点P满足＝.设点P的轨迹为C，下列结论正确的是(　　)

A．C的方程为(x＋4)2＋y2＝9

B．在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得＝

C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线

D．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|

BC　[在平面直角坐标系xOy中，A(－2,0)，B(4,0)，点P满足＝，设P(x，y)，则＝，化简得(x＋4)2＋y2＝16，故A错误；假设在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得＝，可设D(m,0)，E(n,0)，可得＝2，

化简可得3x2＋3y2－(8m－2n)x＋4m2－n2＝0，

由P的轨迹方程为x2＋y2＋8x＝0，可得8m－2n＝－24,4m2－n2＝0，解得m＝－6，n＝－12或m＝－2，n＝4(舍去)，即存在异于A、B的两定点D(－6,0)，E(－12,0)使＝，故B正确；

当A，B，P三点不共线时，由＝＝，可得射线PO是∠APB的平分线，故C正确；

若在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|，可设M(x，y)，即有＝2，

化简可得x2＋y2＋x＋＝0，联立x2＋y2＋8x＝0，可得方程组无解，故不存在M，故D错误．故选BC.]

二、一题两空

9．已知复数z满足(1＋2i)z＝3－4i，i为虚数单位，则z的虚部是________，|z|＝________.

－2　　[由(1＋2i)z＝3－4i，得

z＝＝＝－1－2i，

∴z的虚部是－2，|z|＝.]

10．双曲线－x2＝1的渐近线方程是________，离心率为________．

y＝±2x　　[由－x2＝1得渐近线方程为y＝±2x，且a＝2，c＝，∴e＝.]

11．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a，b的夹角为，则|a＋2b|＝________，a与a－2b的夹角为________．

2　　[因为|a|＝2，|b|＝1，a，b的夹角为，

所以|a＋2b|＝＝＝＝2，

|a－2b|＝＝＝＝2，所以cos〈a，a－b〉

＝＝＝＝，

因此〈a，a－2b〉＝.]

12．已知f(x)＝则f(2)＝________，不等式f(x)＞f(1)的解为________．

5　(－2,0)∪(1，＋∞)　[f(2)＝22＋2－1＝5.

f(x)＞f(1)等价于或

解得－2＜x＜0或x＞1.]

13．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，若∠BDC＝45°，则BD＝________；cos∠ABD＝________.

　　[在△ABC中，∠ABC＝90°， AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝5，

sin∠BAC＝＝，cos∠BAC＝＝.

在△ABD中，正弦定理有：＝，

而AB＝4，∠ADB＝135°，所以BD＝.

∴cos∠ABD＝cos(∠BDC－∠BAC)

＝cos 45°cos∠BAC＋sin  45° sin∠BAC＝.]

14．已知直线l：mx－y＝1.若直线l与直线x－my－1＝0平行，则m的值为________；动直线l被圆x2＋2x＋y2－24＝0截得弦长的最小值为________．

－1　2　[由题得m×(－m)－(－1)×1＝0，∴m＝±1.

当m＝1时，两直线重合，舍去，故m＝－1.

因为圆的方程x2＋2x＋y2－24＝0可化为(x＋1)2＋y2＝25，它表示圆心为C(－1,0)，半径为5的圆．由于直线l：mx－y－1＝0过定点P(0，－1)，

所以过点P且与PC垂直的弦的弦长最短，

且最短弦长为2＝2.]